2020高考理科数学月考试卷

高考理科数学月考试卷（六）

时量：120分钟 满分：150分

得分：

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线x y 2-=按向量)3,2(-=a 的平移后，得到的直线方程为

A ．32--=y

B ．32+-=x y

C ．42+-=x y

D ．12--=x y

2．已知集合}1|{},12|{2

++==+==x x y y B x y x A ，则=B A I

A ．{（0，1），（1，3）}

B ．R

C ．（0，+∞）

D ．[+∞,4

3）

3．函数)2(2

31)(≠-+=x x x

x f 的反函数)(1x f y -=的一个单调减区间是 A ．（+∞-,2） B ．（+∞,2）

C ．（+∞,3）

D ．（+∞-,3）

4．数列{a n }满足=+-

==+200811a ,1

1

,2则n n a a a A ．2

B ．－

3

1 C ．－

2

3 D ．1

5．代数式5

2

2

)1)(524(+--x x x 的展开式中，含4

x 项的系数是

A ．－30

B ．30

C ．70

D ．90

6．△ABC 中，已知：sinA ：sinB ：sinC=1:1:2，且S △ABC =

2

1

，则 +?+?的值是

A ．2

B ．2

C ．－2

D ．－2

7．若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，

||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是

A ．x

x f 1)(=

B ．||)(x x f =

C ．x

x f 2)(=

D ．2

)(x x f =

8．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为

A ．3

B ．6

C ．12

D ．18

9．设双曲线122

22=-b

y a x （b ＞a ＞0）的半焦距为c ，直线l 过A （a ,0）,B(0,b )两点，若原点

O 到l 的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为 A ．

33

2或2

B ．2

C ．3

3

22或

D ．

3

3

2 10．对于任意的两个实数对（a ,b ）和（c ,d ），规定当且仅当d b c a ==,时(a ,b )=(c ,d )；现定义两种运算，运算“?”为：（a,b ）?（c,d ）=（ad bc bd ac +-,）；运算“⊕”为：(a,b) ⊕ (c,d)=（d b c a ++,）.设p 、R q ∈.若（1，2）?),(q p =（5,0）.则（1，2）⊕),(q p =

A ．（4,0）

B ．（2,0）

C ．（0，2）

D ．（0，－4）

选择题答题卡

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上）

11．??+??167cos 43sin 77cos 43cos 的值为 。

12．设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(2

2=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦长为32，

则a= 。

13．已知：点P 的坐标（y x ,）满足：AOP OP A y x y x ∠???

?

??≥≤+≤+-cos ||01-x (2,0),,

2553,034则及（O

为坐标原点）的最大值是 。

14．关于x 的不等式：||22

a x x ->-至少有一个负数解，则a 的取值范围是 。 15．已知：)(x f 是定义的R 上的不恒为零的函数，且对任意a 、

b R ∈，满足：

)()()(a bf b af b a f +=?，且)2

1

f(,)2(,2)2(则n f a f n n -=== ；数列{a n }的通项公式a n = 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）

已知函数),(2

3

cos

cos sin 3)(2

R x R x x x x f ∈∈+-?=ωωωω的最小正周期为π，

且当3

π=x 时，函数取最大值.

（1）求)(x f 的解析式；

（2）试列表描点作出)(x f 在[0，π]范围内的图象.

17．（本小题满分12分）

国家射击队为备战xx 年北京奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动。在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50

米远处命中的概率为

3

2. （1）如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一枪．．．至少有一次击中的概率。

（2）如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米（此后飞碟不在射程之内）.已知，命中的概率与飞碟飞和地距离的平方成反比．．．．．.求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率。

18．（本小题共12分）

在直三棱柱111C B A ABC -中，A 1A=AB=32，AC=3，

P CAB ,90?=∠、Q 分别为棱BB 1、CC 1上的点，且

113

2

,31CC CQ BB BP ==.

（1）求平面APQ 与面ABC 所成的锐二面角的大小.

（2）在线段A 1B （不包括两端点）上是否存在一点M ，使AM+MC 1最小？ 若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.

19．（本小题满分13分）

已知圆M ：（x+5）2+y 2=36及定点N （5，0），点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=?=NP GQ NQ NP .

（1）求点G 的轨迹C 的方程.

（2）过点K （2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设OB OA OS +=，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

某加工厂有一块三角形的铁板余料（如图），经测量得知：AC=3，AB=33，BC=6.工人师傅计划用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起，请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

21．（本小题满分13分）

数列}b {}{n 和n a ，由下列条件确定：①a 1＜0，b 1＜0.②当k ≥2时，a k 和b k 满足下列条

件：当11

1k

1

1,2

，a 02

-----=+=

+k k k k k k b b b a ＜b a 时. （1）若21-=a ，51=b ，分别写出{a n }、{b n }的前四项. （2）证明数列{a k －b k }是等比数列.

（3）设n n ,2≥是满足b 1＞b 2＞…＞b n 的最大整数时，用a 1、b 1表示n 满足的条件.

参考答案

一、选择题

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 D

D

C

A

A

C

A

C

B

B

二、填空题 11．21-

12. 0 13. 5 14. (2,49-) 15. 21

- n 2

1-

三、解答题

16．解：（1）1)6

2sin(2322cos 12sin 23)(+-=++-=

π

ωωωx x x x f ……………（4分） ∵)(x f 的周期为π，∴

.1|||

2|2=?=ωπωπ

1±=∴ω.

1°当ω=1时，.1)6

2sin()(+-

=π

x x f

212sin )3(=+=π

πf Θ是函数的最大值，.1=∴ω……………………………………（5分）

2°当ω=－1时，.1)6

2sin()(++

-=π

x x f

16

5sin )3(+=π

πf Θ不是函数的最大值. 1-=∴ω（舍去）…………………………（7分）

∴.1)6

2sin()(+-=π

x x f …………………………………………………………………

（8分） （2）

x

6π 3

π 2π 32π 6

5π π

)(x f

2

1

2

3 2

23 2

1 0

2

1 作图如下.

……………………………………………………………………（12分）

17．解：（1）记“队员甲在三次游戏中，第一枪至少有一次命中”为事件A.

27

26

)(1)(=

-=A P A P ……………………………………………………………………（5分）

（2）记在一次游戏中“第i 次击中飞碟”为事件).3,2,1(=i B i

.27

2

)31(32)(,61)21(32)(,32)(23221=?==?==

B P B P B P …………………………（8分）

又i B 是相互独立事件.

)B ()(P )(P )(P )(P )(P )B (P )()()(321211321211P B B B B B B B B B P B P B P ??+?+=??+?+=∴.486

361

2726531613132=??+?+=

………………………………………………………（12分）

18．解：（1）建立如图所示空间直角坐标系A ),,(z y x A （0，0，0），P （32，0，2），Q （0，3，22）. 设平面APQ 的一个法向量为),,(1z y x n =

????

?=+?=?=+?=?.

02230.

0223011z y AQ n z x AP n 令3=z ，则)3,22,1(,22,11--=∴-=-=n y x 平面ABC 的一个法向量).1,0,0(2=n

.22

9

813),cos(21=++=

∴n n ∴平面APQ 与面ABC 所成的锐角大小为45°.…………………………………………（6分） （1）问也用传统方法求解.（并参照计分）

（2）沿A 1B 将面A 1BC 1与面A 1BA 展开，连结AC 1与A 1B 交于点M ，此时AM+MC 1有最小值.

∵,45,,90111?=∠∴=?=∠AB A AB AA AB A 又C 1A 1⊥面ABB 1A 1，∴C 1A 1⊥A 1B. ∴△AA 1C 1中，∠AA 1C 1=135° AC 1=

.5318918135cos C A 21111212

1=++=???-+AA C A AA

∴存在点M ，使AM+AC 1取最小值为.53……………………………………………（12分）

19．解：（1）Q NP GQ NQ

NP ?????

?=?=0

2为PN 的中点，且GQ GQ PN ?⊥是PN 的中垂线. ∴.||||GN PG =

又.6||||||||||=====PM GN GM GP GM ∴点G 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，.5,3=

=c a

∴G ∴==,2c -a b 2

2

的轨迹方程是.14

92

2=+y x ……………………………………（5分） （2）?==Θ四边形OASB 为平行四边形，假设存在直线l ，使||||=；则四边形OASB 为矩形..0=?∴ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为2=x .

??

???±==??????===3522149x 2

x 22y x y 由

09

16

φ=

?∴，这与OB OA ?=0矛盾，故l 的斜率存在.………………………（7分）

设直线l 的方程为),(),2(11y x A x k y -=、)y ,(x 22B .

0)1(3636)49(149

)2(22222

2

=-+-+??????=+-=k x k x k y x x k y ………………………（9分） .4

9)1(36,49362

2212221+-=+=+∴k k x x k k x x .4

920]4)(2[)]2()][2([22

21212

2121+=++-=--=∴k k x x x x k x k x k y y

又04

92049)1(36,0022

2

22121=+-+-=+?=?∴k k k k y y x x ………………………（12分） .2

3

±=∴k

∴存在直线或0623:=--y x l 06-2y x 3=+满足条件. …………………………（13分） 20．解：设容器的高为x.

,3

,2

.6,33,3222π

π

=

∠=∠?+=∴===C A AB AC BC BC AB AC Θ

.3,3

,3

x CED un DE CD FEG CED =∠?=∴=

∠=

π

π

x

GE GF x x x CE )13(333.)13(333--==∴--=--=∴

又GE ＞0，∴0＜x ＜1

33

+ 设容器的容积为V. 则V=

2])13(3[32

1

x x --??…………………………………………………………（6分） )13(])13(3[3])13(3[2

3

2+?+--+-=

'∴x x x V ])13(1][)13(3[2

3

3x x +-+-=

……………………………………………………（7分） 令0='V ，又0＜x ＜

.21

31

31,133-=+=∴+x ………………………………（10分）

当0＜x ＜

2

1

3-时，33max -=V .……………………………………………………（13分） 21．解：（1）;4

1,41,2,24321-=-

=-=-=a a a a 85

,23,5121==

=b b b ………………………………………………………………………（3分）

（2）当0211≥+--e k b a 时，)(21

2211111------=--=-k k k k k k k b a b a a b a

当

02

11<+--e k b a 时，).(21

211111------=-+=-k k k k k k k b a b b a b a

又011≠-b a ，∴数列}{k k b a -是等比数列. ……………………………………………（9分） （3）当b 1＞b 2＞…＞b n （n ≥2）时，b k ≠b k-1(2≤k ≤n). 由（2）知：

02

11<+--k k b a 不成立，0211≥+∴--k k b

a .

从而对于2≤k ≤n 有a k =a k-1,b k =

2

11--+k k b a 于是11a a a n n ===-Λ……………………………………………………………………（11分）

.

)2

1)((22.

)2

1

()(,)21()(11111111111n n n n n n n n a b a b a b a a b a bn a b a b -+=+=+∴?-==∴?-=-∴--

若

02≥+n

n b a ，则.2

1n n

n b a b +=+ .,0)2

1

)((1111++>∴<--=-∴n n n n n b b a b b b

这与n 是满足b 1＞b 2＞…＞b n （n ≥2）的最大整数矛盾.

∴n 是满足

02

<+n

n b a 的最小整数. .20)21

)((02111111n n n n a a b a b a b a <--?<-+?<+ .log 1

112

a b a n ->∴∴n 是满足大于1112log a b

a -的最小整数.…………………………（13分）