2020高考理科数学月考试卷

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辽宁省2020届高三月考数学(理)试题

高三数学试卷（理）时间：120分钟．总分：150分命题人：第 Ⅰ 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =I （）A.(3,0)-B.()3,1--C.(]3,1--D.()3,3- 2．设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．212(1)ii +=- （） A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i - 4．已知2α=，则点P (sin ,tan )αα所在的象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．设32log 31=a ，31log 21=b ，3.021⎪⎭⎫⎝⎛=c ,则（）A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>6．函数f(x)＋cos2x （） A ．在,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减 B ．在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．在,06π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减 D ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 7. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件A =“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件B =“三次取到的球颜色都不相同”，则P(B |A)= （）A.16 B.13 C.23D.1 8．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x －2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log 220)的值为 ( ) A ．1 B.45 C ．－1 D ．－459．若函数b bx x x f 33)(3+-=在（0，1）内有极小值，则 ( ) A ．b ＜1 B ．0＜b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜2110. 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（） A.42ln 2- B.2ln 2- C.4ln 2- D.2ln 2 11. 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，若函数()f x 在区间3(,)2ππ上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是（） A ．211[,]39B ．511[,]69C ．23[,]34D ．25[,]3612．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20xxf x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >第 Ⅱ 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

2020高三数学上学期月考试题一理含解析-精装版

教学资料范本2020高三数学上学期月考试题一理含解析-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高三数学上学期月考试题一理含解析时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z ＝x ＋yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若＝x＋i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由已知，y ＝(1－i)(x ＋i)＝x ＋1＋(1－x)i ，则y ＝x＋1，且1－x ＝0，即x ＝1，y ＝2.所以＝x －yi ＝1－2i ，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.2．已知向量a 与b 的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a ＋λb)⊥a ，则实数λ的值为(B)23．－C. D ．－A. B 【解析】由已知，(3a ＋λb)·a＝0，即3a2＋λb·a ＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－，选B.3．下列说法中正确的是(C)A ．若样本数据x1，x2，…，xn 的平均数为5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn ＋1的平均数为10B ．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C ．某种圆环形零件的外径服从正态分布N(4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A ，若x1，x2，…，xn 的平均数为5，则2x1＋1，2x2＋1，…，2xn ＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；对于B ，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．对于C ，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u －3σ，u ＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．对于D ，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.4．已知(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是(A)A．－84 B．84C．－24 D．24【解析】由已知，2n＝128，得n＝7，所以Tr＋1＝C(2x2)7－r＝(－1)r·27－rCx14－3r.令14－3r＝－1，得r＝5，所以展开式中含项的系数为(－1)527－5C＝－84，选A.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在R上单调递增，若a，b，c成等差数列，且b＞0，则下列结论正确的是(A)A．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＞0B．f(b)＞0，且f(a)＋f(c)＜0C．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＞0D．f(b)＜0，且f(a)＋f(c)＜0【解析】由已知，f(b)＞f(0)＝0.因为a＋c＝2b＞0，则a＞－c，从而f(a)＞f(－c)＝－f(c)，即f(a)＋f(c)＞0，选A. 6．设x为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y值落在区间内的概率为(C)3A. B. C. D.8【解析】因为当x∈[－2，0]时，y＝2x∈；当x∈(0，2]时，y＝2x＋1∈(1，5]．所以当y∈时，x∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P＝＝，选C.7．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x＋1，给出下列四个结论：(B)①函数f(x)的最小正周期是2π；②函数f(x)在区间上是减函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到．其中正确结论的个数是A．1 B．2C．3 D．4【解析】f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.①因为ω＝2，则f(x)的最小正周期T＝π，结论错误．②当x∈时，2x＋∈，则f(x)在区间上是减函数，结论正确．③因为f＝为f(x)的最大值，则f(x)的图象关于直线x＝对称，结论正确．④设g(x)＝sin 2x，则g＝sin 2＝sin＝cos 2x≠f(x)，结论错误，选B.8.已知命题p：若a＞2且b＞2，则a＋b＜ab；命题q：x>0，使(x－1)·2x＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)【解析】若a＞2且b＞2，则<且<，得＋<1，即<1，从而a＋b＜ab，所以命题p为真．因为直线y＝x－1与函数y＝的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x－1＝有正数解，即方程(x－1)·2x＝1有正数解，所以命题q为真，选A. 9．已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为(D)A．5 B．4C．3 D．2【解析】令|x|＝a ，|y|＝b ，则且z ＝2a －b.作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且zmax ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD⊥CD.将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为(B)A.πB.πC ．2πD ．3π【解析】如图，因为平面ABD⊥平面BCD ，BD⊥CD，则CD⊥平面ABD ，从而CD⊥AB.因为AB⊥AD，则AB⊥平面ACD ，从而AB⊥AC，所以BC 是外接球的直径．在Rt△BDC 中，BC ＝＝，则球半径R ＝.所以外接球的体积V ＝π＝π，选B.11．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则双曲线的离心率为(C)33 C. D.．6 B ．A 【解析】过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO|＝|MF2|，则A 为OF2的中点，所以|AF2|＝，|AF1|＝.设|MF2|＝m ，则|MF1|＝2m.在Rt△MA F1中，|MA|2＝4m2－c2.在Rt△MAF2中，|MA|2＝m2－，则4m2－c2＝m2－，即3m2＝2c2. 因为|MF1|－|MF2|＝2a ，则m ＝2a ，所以3×(2a)2＝2c2，即c2＝6a2，所以e ＝＝，选C.12．对于给定的正整数n ，设集合Xn ＝{1，2，3，…，n}，A Xn ，且A≠．记I(A)为集合A 中的最大元素，当A 取遍Xn 的所有非空子集时，对应的所有I(A)的和记为S(n)，则S(2 018)＝(D)A ．2 018×22 018＋1B ．2 018×22 017＋1C ．2 017×22 017＋1D ．2 017×22 018＋1【解析】对于集合Xn ，满足I(A)＝1的集合A 只有1个，即{1}；满足I(A)＝2的集合A 有2个，即{2}，{1，2}；满足I(A)＝3的集合A 有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I(A)＝n 的集合A 有2n －1个，所以S(n)＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1.由错位相减法，得S(n)＝(n －1)2n ＋1，所以S(2 018)＝2017×22 018＋1，选D.二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ＝，则sin ＝__－__．【解析】sin ＝sin ＝cos 2＝2cos2－1＝－.14．如图，在△ABC 中，＝，P 是线段BD 上一点，若＝m ＋，则实数m 的值为____．【解析】因为＝，则＝4，所以＝m ＋.因为B ，P ，D 三点共线，则m ＋＝1，所以m ＝.15．已知函数f(x)＝|2x －1|－a ，若存在实数x1，x2(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)＝－1，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f(x)＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a1＝1，且Sn ＝4－an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是an ＝____．【解析】当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝an －1－an ，则an ＝an －1，即＝，所以数列{}是首项为1，公比为的等比数列，则＝，即an＝.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.(1)若BC ＝2，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】(1)在△ABD 中，因为AB ＝4，AD ＝2，∠BAD＝60°，则 BD2＝AB2＋AD2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝16＋4－2×4×2×＝12，所以BD ＝2.(3分)在△BCD 中，因为∠BCD＝120°，BC ＝2，BD ＝2，由＝，得sin ∠CDB ＝＝＝，则∠CDB ＝45°.(5分)所以∠CBD＝60°－∠CDB＝15°.(6分)(2)设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°－θ.在△BCD 中，因为＝＝4，则BC ＝4sin(60°－θ)．(8分) 所以S ＝BD·BC·sin∠CBD＝4sin(60°－θ)sin θ＝4sin θ ＝3sin 2θ－2sin2θ＝3sin 2θ－(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3－cos 2θ ＝2sin(2θ＋30°)－.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S≤.故S 的取值范围是(0，]．(12分)18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD⊥PB；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积．【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得BC2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC ＝2.因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝.(2分)因为＝(＋)，则2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝.(4分)因为AB2＋AD2＝4＋3＝7＝BD2，则AB⊥AD.(5分)因为PA⊥底面ABC ，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB ，从而AD⊥PB.(6分)(2)解法一：因为AD⊥平面PAB ，过点A 作AE⊥PB，垂足为E ，连结DE.则DE⊥PB，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角．(8分) 在Rt△DAE 中，由已知，∠AED＝45°，则AE ＝AD ＝.(9分)在Rt△PAB 中，设PA ＝a ，则PB ＝＝.(10分)因为AB×AP＝PB×AE，则2a ＝×，即4a2＝3(4＋a2)，解得a2＝12，所以PA ＝a ＝2.(11分)所以VP －ABC ＝×S△ABC×PA＝××2×4×sin 120°×2＝4.(12分)解法二：分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设PA ＝a ，则点B(2，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，a)．所以＝(－2，，0)，＝(－2，0，a)．(8分)设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0.即取x ＝，则y ＝2，z ＝，所以m ＝.(9分)因为n ＝(0，1，0)为平面PAB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos45°＝，即＝.所以＝，解得a2＝12，所以PA ＝a ＝2.(11分)所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝××2×4×sin 120°×2＝4.(12分)19．(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元．现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：(ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A，则P(A)＝,C)＝.(3分)(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n，日工资为X元，则当n＝38时，X＝38×6＝228；当n＝39时，X＝39×6＝234；当n＝40时，X＝40×6＝240；当n＝41时，X＝40×6＋7＝247；当n＝42时，X＝40×6＋14＝254.所以X的分布列为X228234240247254p 153101515110(7分)E＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝238.6.(9分)(ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分)所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分)因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分)20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且直线y＝x与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y2＝4x的焦点为(，0)，则c＝，所以a2－b2＝3.(2分)因为直线bx－ay＝0与圆(x－5)2＋y2＝5相切，则＝，即a2＝4b2.(4分)解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程是＋y2＝1.(5分) (2)设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l的方程代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2＝4，即(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.(7分)由已知，k2＝k1k2＝＝，则k2x1x2＝(kx1＋m)(kx2＋m)，即km(x1＋x2)＋m2＝0，所以－＋m2＝0，即(1－4k2)m2＝0.因为m≠0，则k2＝，即k＝±，从而x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－2.(10分)所以|OA|2＋|OB|2＝x＋y＋x＋y＝x＋(kx1＋m)2＋x＋(kx2＋m)2＝(k2＋1)(x＋x)＋2km(x1＋x2)＋2m2＝(k2＋1)[(x1＋x2)2－2x1x2]＋2km(x1＋x2)＋2m2.＝[4m2－2(2m2－2)]－2m2＋2m2＝5为定值．(12分)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex－a(x－1)，a∈R，e为自然对数的底数．(1)若存在x0∈(1，＋∞)，使f(x0)＜0，求实数a的取值范围；(2)若f(x)有两个不同零点x1，x2，证明：x1＋x2＞x1x2.【解析】(1)解法一：f′(x)＝ex－a.(1分)①若a≤0，因为ex>0，则f′(x)>0，此时f(x)在R上单调递增．当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)＝e＞0，不合题意．(2分)②若a＞0，由f′(x)>0，得ex>a，即x＞ln a，则f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a)上单调递减，所以f(x)min＝f(ln a)＝eln a－a(ln a－1)＝a(2－ln a)．(4分)据题意，则ln a＞2，即a>e2，所以a的取值范围是(e2，＋∞)．(5分)解法二：当x∈(1，＋∞)时，由f(x)＜0，得ex<a(x－1)，即a>.(1分)设g(x)＝(x>1)，据题意，当x∈(1，＋∞)时，a＞g(x)能成立，则a>g(x)min.(2分)因为g′(x)＝＝(x>1)，(3分)则当x＞2时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当1＜x＜2时，g′(x)<0，g(x)单调递减．(4分)所以g(x)min＝g(2)＝e2，故a的取值范围是(e2，＋∞)．(5分) (2)由题设，f(x1)＝f(x2)＝0，即则ex1·ex2＝a2(x1－1)(x2－1)，即ex1＋x2＝a2(x1x2－x1－x2＋1)．(7分)要证x1＋x2＞x1x2，只要证ex1＋x2<a2，即证x1＋x2<2ln a，即证x1<2ln a－x2.(8分)不妨设x1＜x2，由(1)可知，a>e2，且x1＜ln a＜x2，从而2lna－x2＜ln a.因为f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，所以只要证f(x1)>f(2lna－x2)，即证f(x2)>f(2ln a－x2)．(9分)设h(x)＝f(x)－f(2ln a－x)，则h′(x)＝f′(x)＋f′(2ln a－x)＝ex－2a＋e2ln a－x＝ex＋－2a≥2－2a＝0，所以h(x)在R上单调递增．因为x2＞ln a，则h(x2)>h(ln a)＝f(ln a)－f(ln a)＝0，即f(x2)－f(2ln a－x2)>0，即f(x2)>f(2ln a－x2)，所以原不等式成立．(12分) (二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数)，点P在曲线C1上，其极角为，点Q为曲线C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入，得曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(3分)由得x＋2y＝3，所以直线l的普通方程为x＋2y－3＝0.(5分)(2)由题设，点P的极坐标为，其直角坐标为(2，2)．(7分)设点Q(2cos α，sin α)，则PQ的中点M的坐标为.(8分)点M到直线l的距离d＝＝≤.所以点M到直线l的距离的最大值为.(10分)23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|，其中a为实常数．(1)若函数f(x)的最小值为3，求a的值；(2)若当x∈[1，2]时，不等式f(x)≤|x－4|恒成立，求a的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)11 / 11。

陕西省榆林市2020届高三月考(一)数学(理)试题含答案

榆林市2020届高三月考数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.）1. 已知集合{})2lg(x y x A -==，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=4241x xB ，则B A ⋂=（） A ．{}2-≥x x B ．{}22<<-x xC ．{}22<≤-x xD ．{}2<x x 2. 若复数)(122R a iia ∈++是纯虚数，则i a 22+在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗）（）（b a b b a a b a ，则函数xx f 21)(⊗=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4. 抛物线方程为x y 42=，一直线与抛物线交于B A 、两点，其弦AB 的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（）A ．012=--y xB ．012=-+y xC ．012=+-y xD ．012=---y x5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A ．2550100,,777 B ．252550,,1477 C ．100200400,,777 D ．50100200,,7776. 若p 是q ⌝的充分不必要条件，则p ⌝是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68. 已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥-100x y x y x ，则32y x --的取值范围为（）A ．3[,4]2B ．(1]，2C ．(,0][2)-∞⋃+∞，D ．(,1)[2)-∞⋃+∞，9. 已知点(30),(03)A B -，，，若点P 在曲线21x y --=上运动，则PAB △面积的最小值为（）A ．6B ．22329+ C ．3 D ．22329- 10．已知双曲线()2222:100x y a b a bΓ-=>>，的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于A B ，两点，延长BF 交右支于C 点，若AF FB ⊥，3CF FB =，则双曲线Γ的离心率是（） A ．17B ．32C ．53D ．10 11. 已知)172(log 22+-=x x y 的值域为),[+∞m ,当正数b a ,满足m ba b a =+++2132时,则b a 47+的最小值为（） A ．49B ．5C ．4225+ D ．912. 已知函数)()(R x e x x f x∈=,若关于x 的方程01)(=+-m x f 恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（）A ．），（122e e B ．），（e e 220 C ．），（111+e D ．)1221(+e e ，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为______.14. 在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.15. 在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的1O ，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______. 16. 在数列}{n a 中，11=a ，n n a n a -=+21，则数列}{n a 的通项公式=n a ______. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本小题满分12分）已知函数)(,212cos sin 23)(2R x x x x f ∈-+= (1) 当],0[π∈x 时，求函数的值域；(2) ABC △的角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 ,1)(,3==C f c 求AB 边上的高h 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,BC AC CB CA ⊥==,2(1) 证明：ABC PAB 面面⊥； (2) 求二面角B PA C --的余弦值．19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：研发费用x （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y （万盒）1122.53.53.54.56（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数1222211ni ii n ni i i i x y nx yr x nx y ny ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑，178542.25≈．20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，离心率N M e ,,22=是直线ca x l 2:=上的两个动点，且满足021=⋅N F M F .(1) 若5221==N F M F ，求b a ,的值；(2) 证明：当MN 取最小值时，N F M F 21+与21F F 共线．21.（本小题满分12分）设函数）），（（其中∞+∈-++=0,1)1()(2-x kx e e x f x，且函数)(x f 在2=x 处的切线与直线0)2(2=-+y x e 平行. (1) 求k 的值；(2) 若函数x x x g ln )(-=，求证：)()(x g x f >恒成立.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ=（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值.23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】已知函数b x a x x f -++=)(，（其中0,0>>b a ） (1) 求函数)(x f 的最小值M .(2) 若M c >2，求证：ab c c a ab c c -+<<--22.数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.40 14. -3 15. 29π 16. ⎩⎨⎧-)(1)(为偶数为奇数n n n n三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分）解：(1)21cos 2121sin 23)(-++=x x x f =)6sin(π+x π≤≤x 0 ππ676≤≤∴x 1)6sin(21≤+≤-∴πx ∴函数的值域为]1,21[-∴(6分)(2) 1)6sin()(=+=πC C f26ππ=+∴C 3π=∴C2123cos 22-=-+=ab b a C ab ab b a 2322≥-=+∴ 3≤∴ab≤==C ab h S sin 2132134323323=⨯⨯ 23≤∴h h ∴的最大值为23(12分)18.（本小题满分12分）解：(1)取AB 中点O ，连结PO ，OC . ∵PA ＝PB ，∴PO ⊥AB ， ∵PB=AP ＝ 3 ∴PO ＝2，CO ＝1∴∠POC 为直角 ∴PO ⊥0C∴PO ⊥平面ABC ，∴面PAB ⊥面ABC （6分）(2)如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1,0,0)，P (0,0，2)，C (0,1,0)，可取m ＝OC →＝(0,1,0)为平面PAB 的一个法向量．设平面PAC 的一个法向量为n ＝(l ，m ，n )．则PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，其中PA →＝(1,0，－2)，AC →＝(－1,1,0)，∴⎩⎨⎧l －2n ＝0，－l ＋m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝22l ，m ＝l .不妨取l ＝2，则n ＝(2，2，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m ||n |＝0×2＋1×2＋0×102＋12＋02·22＋22＋12＝105. ∵C －PA －B 为锐二面角， ∴二面角C －PA －B 的余弦值为105.（12分） 19.（本小题满分12分）【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.20.（本小题满分12分）解：由e ＝22，得b ＝c ＝22a ，所以焦点F 1(－22a,0)，F 2(22a,0)，直线l 的方程为x ＝2a ，设M (2a ，y 1)，N (2a ，y 2)，(1)∵|F 1M →|＝|F 2N →|＝25，∴12a 2＋y 22＝20，92a 2＋y 21＝20，消去y 1，y 2，得a 2＝4，故a ＝2，b ＝ 2.（6分）(2)|MN |2＝(y 1－y 2)2＝y 21＋y 22－2y 1y 2≥－2y 1y 2－2y 1y 2＝－4y 1y 2＝6a 2.当且仅当y 1＝－y 2＝62a 或y 2＝－y 1＝62a 时，|MN |取最小值6a ，此时，F 1M →＋F 2N →＝(322a ，y 1)＋(22a ，y 2)＝(22a ，y 1＋y 2)＝(22a,0)＝2F 1F 2→，故F 1M →＋F 2M→与F 1F 2→共线.（12分）21.（本小题满分12分）解：(1)k e e x f x++='-)1()(22)1()2(222+=++='-e k e e f ，解得1=k .(4分)(2) )()(x g x f >得x x x e e xln 1)1(2-->-++，变形得x x x e e x ln 1)1(2--->+令函数x x x x h ln 1)(--=x x h ln 2)(--='令0ln 2=--x 解得2-=e x当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ，),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h .∴函数)(x h 在),0(2-e 上单调递增，在),(2+∞-e 上单调递减 ∴221)()(--+=≤e e h x h而函数xe e x F )1()(2-+=在区间),0(+∞上单调递增∴)1()0()(2-+=>e F x F∴x x x x h e F x F ln 1)()1()0()(2--=≥+=>-即x x x e e xln 1)1(2-->+- 即x x x e e x ln 1)1(2->+-+-∴)()(x g x f >恒成立（12分）22．（本小题满分10分）解：（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+，将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为13x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=- 11 - 23.（本小题满分10分）解: (1)b a b a b x a x b x a x +=+=--+≥-++)()(b a M +=∴(2)证明：为要证c a c <<+只需证a c <-<即证a c -<，也就是22()a c c ab -<-，即证22a ac ab -<-，即证2()ac a a b >+，∵0,2,0a c a b b >>+>，∴2a b c +>≥，故2c ab >即有20c ab ->，又由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，∴所求不等式c a c -<<+成立．。

2020届高三12月月考数学(理)试题+参考答案

2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的（ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是（） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为（） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角．（l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥，所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==，所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ，又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点，所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ，设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ．故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+，一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦，所以一篇学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532．（2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦．令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+：与椭圆G 交于 A B ，两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ，两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．（1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立，则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点，故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >，则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根，即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，则ln22k e =或11k e≥-，即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->，即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.。

辽宁省2020届高三月考数学(理)试卷

高三月考数学（理）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设{}U -1012=，，，，集合{}21,A x x x U =<∈，则U C A =（） A ．{}012，， B ．{}-1,12， C ．{}-1,02， D ．{}-1,01，2、若复数z 满足(1)3z i i +=-，则z 的共轭复数z =（） A ．23i -- B ．23i -C ．23i +D ．23i -+3、设,a b R ∈, 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了用圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A.227B.258 C.15750 D.3551135、下列函数中既是奇函数又在区间[]1,1-上单调递减的是（） A ．sin y x = B ．1y x =-+ C ．2ln 2x y x -=+ D ．()1222x x y -=+ 6、已知(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且2sin 2cos 2cos (1sin )αβαβ=+，则下列结论正确的是（） A ．22παβ-=B ．22παβ+=C ．2παβ+=D ．2παβ-=7、ABC ∆中，2AB =,22AC =45BAC ∠=︒,P 为线段AC 上任意一点，则PB PC⋅u u u r u u u r的取值范围是（）A ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8、已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)(),n a f n f n n N +=++∈，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（） A ．10B ．120C ．130D ．1409、四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③② 10、已知0,0x y >>，182x y x y-=-，则2+x y 的最小值为( ) A 2 B ．2 C ．32 D ．411、一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，则圆锥的内切球的表面积为( ) A ．8π B ．24(22)π- C ．24(22)π+ D ．232(22)49π- 12、已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>二．填空题：本大题共4小题，每小题5分13、求值：100lg 20log 25+=________14、已知函数()4cos()f x x ωϕ=+（0,0ωϕπ><<）为奇函数，(,0),(,0)A a B b 是其图像上两点，若a b -的最小值是1，则1()6f =_________15、数列{}n a 中，12a =，22a =，*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S =_______16、下列命题中，正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）． ①函数()(0)af x x x x=+>的最小值为2a ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数； ③定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则(1)(4)(7)0f f f ++=；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的必要不充分条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ．（1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．18、（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12811-=a ，0≠n a ，且641311+=+++n n n a S S ，（1）求n a （2）若n n a log b 4=，n n b b b T +++=Λ21，当n 为何值时，n T 取最小值？并求出最小值。

2020高三数学9月月考试卷理1-精装版

教学资料范本2020高三数学9月月考试卷理1-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高三数学9月月考试卷理1数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷2至4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．为虚数单位，复数在复平面内对应的点所在象限为（）i 2i i 1z =-A ．第二象限B ．第一象限C ．第四象限D ．第三象限 2.已知，函数的定义域为，，则下列结论正确的是（）U R=ln(1)y x =-M 2{|0}N x x x =-<A ．B ．C ．D ．M N N ⋂=()U M C N φ⋂=M N U⋃=()U M C N ⊆3.知f(x)=ax ²+bx 是定义在[a-1,3a]上的偶函数，那么a+b=（） A.B.C.D.14-124.设，则不等式f(x)f(-1)的解集是（）A.(-3,-1)(3,+)B.（-3，-1）（2，+）C.（-3，+）D.（-，-3）（-1，3）5.已知命题：N,，命题：N,，则下列命题中为真命题的是( )px ∀∈*1123xx⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭q x ∃∈*12222x x -+=A. B.C. D.p q ∧()p q ⌝∧()p q ∧⌝()()p q ⌝∧⌝6.已知实数满足则的零点所在的区间是( )A.B.C.D.b a , )2,1(7．已知函数，则的大致图象为（）()324x f x x =+()f xA ．B ．C ．D ．8．若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）()f x ()0,+∞(3)0f =()0xf x <A.；B.{303}x x x -<<>或{33}x x x <-<<或0C.；D.{33}x x x <->或{303}x x x -<<<<或09.已知函数,则在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是( )x ax ax x f ln 4)(2--=)(x fA. B.C. D.)61,(-∞∈a ),21(+∞-∈a ),21(+∞∈a )61,21(∈a 10.若函数的最大值为，则实数的取值范围是（）⎪⎩⎪⎨⎧<+++>-=)0(21)0(ln )(2x a x x x x x a x f )1(-f a A.B.C.D.]2,0[2e ]2,1(2e ]2,0[3e ]2,(3e e 11.已知函数，若，则( )a x a x e e xf +--+=)(c b a==3log 3A.<<B.<<)(a f )(b f )(c f )(b f )(c f )(a fC.<<D.<<)(a f )(c f )(b f )(c f )(b f )(a f12．已知函数，若函数的图象与轴的交点个数不少于2个，则实数的取值范围为（）1,)21(1,2542{)(≤>-+-=xxxxxxf()()g x f x mx m=--x mA. B. 1,6304⎡⎤+⎢⎥⎣⎦1,6304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. D. ][1,2ln2,6304⎛⎤-∞-⋃-⎥⎝⎦][1,2ln2,6304e⎛⎤-∞-⋃-⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数的图像过点，则的值为；14.已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，，则R]1,0(∈x)1lg()(+=xxf=+14lg)52018(f15．若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为.16．已知函数，(e是自然对数的底数)，对任意的R，存在，有，则的取值范围为____________.()ln xf xx=axexxg+-=2)(1x∈21,23x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12f xg x≤a三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知m＞0，p：x2﹣2x﹣8≤0，q：2﹣m≤x≤2+m．（1）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数，是否存在实数，使函数有三个不同的零点，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．2()86ln()f x x x x a a=-++∈R a()f x a19.（本小题满分13分）已知函数．()e xxf x=（1）求函数的单调区间；()f x（2）设，求函数在区间上的最大值．0a>()f x[],2a a20．（本小题满分13分）已知函数()ln ().au x x a R x =-∈（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值.)(x u 0=y a（Ⅱ）若设求证：有两个不同的零点，且.（为自然对数的底数）,21e a e <<+,ln |)(|)(x xx u x f -=()f x 12,x x 21x x e -<e21.（本小题满分10分）选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin2θ＝2acos θ(a＞0)，已知过点P(－2，－4)的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点. (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值. 22.（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数.|32||12|)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式的解集；6)(≤x f（Ⅱ）若不等式解集非空，求实数的取值范围.2)3(log )(22+-<a a x f a 江油中学高20xx 级高三上9月月考试题答案1-5 CABAC 6-10 BADCC 11-12 CD 13、； 14. 1 15. 16.12[)2,+∞17.解：（1）由x2﹣2x ﹣8≤0得﹣2≤x ≤4，即p ：﹣2≤x ≤4，记命题p 的解集为A=[﹣2，4]，……1分∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⊊B ，∴，解得：m ≥4．………5分⎩⎨⎧≥+-≤-4222m m（2）∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴命题p 与q 一真一假，………7分①若p 真q 假，则，无解，②若p 假q 真，则，⎩⎨⎧>-<≤≤-7或342x x x ⎩⎨⎧≤≤->-<734或2x x x解得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．综上得：﹣3≤x＜﹣2或4＜x≤7．………………12分18.解∵，2()86ln f x x x x a =-++∴，．262862(1)(3)()28x x x x f x x x x x-+--'=-+==()0x >令，则或，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；()0f x '=1x =3x =(0,1)x ∈()0f x '>()f x (1,3)x ∈()0f x '<()f x (3,)x ∈+∞()0f x '>()f x∴，，[()](1)7f x f a ==-极大值[()](3)6ln 315f x f a ==+-极小值当充分接近0时，，当充分大时，，要使函数有三个不同的零点，即使函数的图象与轴的正半轴有三个不同的交点；x ()0f x <x ()0f x >()f x ()f x x故应有，解得，[()]70[()]6ln 3150f x a f x a =->⎧⎨=+-<⎩极大值极小值7156ln 3a <<-∴存在实数，使函数有三个不同的零点，所以的取值范围是．a ()f x a (7,156ln 3)-19.（1），由，解得；由，解得．()1ex xf x ='-()0f x '<1x >()0f x '>1x <所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．()f x ()1,+∞(),1-∞（2）由（1）可知：①当时，即，在上是增函数，所以此时；()f x [],2a a ()()2max 22ea a f x f a ==②当，时，即，在处取得极大值，也是它的最大值，所以此时；1a <21a >()f x 1x =()()max11ef x f == ③当时，在上是减函数，所以此时．1a ≥()f x [],2a a ()()max ea af x f a == 综上，函数在区间上的最大值；()f x [],2a a当时，为；当时，为；当时，为．102a <≤22e a a 112a <<1e 1a ≥e aa20.解：（Ⅰ）设切点)0,(0x P ,)('2x xa x u -+=Θ.,00200x a x x a k -=∴=-+=∴又切点在函数上，即 … 5分（Ⅱ）证明:不妨设，，所以在上单调递减，12x x <Θ21()0a u x x x'=--<()u x (0,)+∞又，()10,(2)ln 202a au e u e e e e =->=-<所以必存在，使得，即0(,2)x e e ∈0()0u x =,ln 00x x a=⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x xx a x x x x x x x ax f . … 7分①当时，， 00x x <≤222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x ---+---+'=---=≤<所以在区间上单调递减，()f x 0(0,]x 注意到，1()10a f e e e =-->0000000ln ln ()ln 0x x a f x x x x x =--=-<所以函数在区间上存在零点，且. …… 10分()f x 0(0,]x 1x 10e x x << ②当时, 所以在区间上单调递增，0(,)x +∞ 又，0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f且，ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e =-->--->->->g 所以在区间上必存在零点，且. ()f x 0(,2)x e 2x 022x x e << 综上，有两个不同的零点、，且. …… 13分()f x 1x 2x 21212x x x x e e e-=-<-=21.解：解 (1)由C ：ρsin2θ＝2acos θ，得(ρsin θ)2＝2a ρcos θ ，所以曲线的普通方程为y2＝2ax.由直线l 的参数方程消去参数t ，得x －y －2＝0. ……5分 (2)直线l 的参数方程为(t 为参数)，代入y2＝2ax, 得到t2－2(4＋a)t ＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a).因为|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2. 解得a ＝1. ………10分22. 解：（1）27256|32||12|)(≤≤-∴≤-++=x x x x f（2）因为，当且仅当时取等4|)32(12||32||12|)(=--+≥-++=x x x x x f ]23,21[-∈x故不等式解集非空，2)3(log )(22+-<a a x f 等价于或404342)3(log 222>∴>--∴>+-a a a a a 1-<a。

2020届高三第二次月考数学(理科)试卷

2020届高三第二次月考数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A ∩B ＝ ( ) A ．(－3，－32) B ．(－3，32) C ．(1，32) D ．(32，3)2．“x ＞1”是“12l og (2)0x +<”的 ( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是 ( )A ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a>1”的必要不充分条件B ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件C ．若命题p ：“∀x ∈R ，sinx ＋cosx ≤2”，﹁p 是真命题D ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”4.函数y ＝)1(log 922+-x x 的定义域为 ( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3]5.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥<+-1,ln 1,3)21(x x x a x a 的值域为R ，则实数a 的取值范围( )A ．(－∞，－1]B ．(－1，12]C ．[－1，12)D ．(0，12)6.下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是 ( )A ．y ＝11－x B ．y ＝cosx C ．y ＝ln(x ＋1) D ．y ＝2-x7.f(x)＝2x ＋a2x 为奇函数，g(x)＝bx －log 2(4x ＋1)为偶函数，则f(ab)＝( )A.174B.52 C ．－154 D ．－328.已知二次函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]上有最大值2，则a 的值为 ( )A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或29.设0.4433,log 0.4,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．a>c>b B ．a>b>c C ．c>a>b D ．c>b>a10.在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a (x>0)，g(x)＝log a x 的图象可能( )11.函数f(x)＝e x＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a) C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0 12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1+x2+…+xm＝ ( )A．0 B．m C．2m D．4m 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡题中横线上．)13. M＝{x|－2≤x≤5}，N＝{x|a＋1≤x≤2a－1},N⊆M，a的取值范围为14．函数f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是15. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2. 则 f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)= ．16.已知函数f(x)对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，若方程f(x)＝0有4个不相等的实数解，则这4个解的和为三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17至21必做，22/23选做一题，且填涂好题号)17.(本题满分12分）已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x ＋1，求函数f(x)的解析式．18.(本题满分12分）已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[12，2]上的值域．19.(本题满分12分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示．B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示(利润与投资单位：万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入到A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？(精确到万元)20．(本题满分12分）已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)．(1)若f(x)在[m，n]上的值域是[m，n]，求a的取值范围，并求相应的m，n值；(2)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．21.(本题满分12分）已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得函数F(x)＝g(x)－f(x)有两个不同的零点．选做题（以下两题任选一题，若两题均做，则默认选择第一题）(本题满分10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，π2 ]．(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．23.设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．2020届第二次月考数学（理科）答案1~12 DBADC DDDAD AB 13. (－∞，3] 14. [2,4) 15. 0 16. 817.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，所以c ＝0，所以f (x )＝ax 2＋bx .又因为f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，所以(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x .18.(1)由4x －1>0，解得x >0，所以函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(3)因为f (x )在[12，2]上递增，又f (12)＝0，f (2)＝log 415.所以f (x )在区间[12，2]上的值域为[0，log 415]．19. (1)设投资为x 万元，A ，B 两种产品的利润分别为f (x )、g (x )，则f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (1)＝14，所以k 1＝14，又g (4)＝52，所以k 2＝54，所以f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元，设企业利润为y 万元．所以y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x (0≤x ≤10)．令10－x ＝t ，则0≤t ≤10，所以y ＝10－t 24＋54t ＝－14(t －52)2＋6516.当t ＝52，y max ＝6516≈4，此时x ＝3.75.所以当A 产品投入3.75万元、B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润，约为4万元．20.(1)因为f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．那么当x ∈[m ，n ]时，y ∈[m ，n ]．所以⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m ，f (n )＝n .即m ，n 是方程1a －1x＝x 相异的两实根，由1a －1x ＝x 得：x 2－1ax ＋1＝0，由题设知：⎩⎨⎧m ＋n ＝1a>0，m ·n ＝1＞0，Δ＝1a 2－4＞0.所以0＜a ＜12.此时，m ＝1－1－4a 22a ，n ＝1＋1－4a 22a.(2)若1a －1x ≤2x 在(0，＋∞)上恒成立，那么a ≥12x ＋1x在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝12x ＋1x (x ＞0)，所以g (x )≤122x ·1x ＝24.故a ≥24.21. (1)因为g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域为[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．即m 的取值范围为[2e ，＋∞)．(2)函数F (x )＝g (x )－f (x )有两个不同的零点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的图象．因为f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．所以m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)． 22.(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，则tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．23.(1)当a ＝1时，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+.2,62,21,2,1-,42x x x x x可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x ≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x ＋a|＋|x －2|≥4.而|x ＋a|＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．。

2020高三数学上学期第二次月考试卷理(含解析)

高三数学上学期第二次月考试卷理（含解析）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，复数的实部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣12．已知M={y|y=x+1}，N={（x，y）|x2+y2=1}，则M∩N中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．多个3．下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．B．C．D．4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则S9=（）A．90 B．54 C．﹣54 D．﹣725．若函数f（x）=exsinx，则此函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．钝角B．0 C．D．锐角6．函数的定义域是（）A．B．C．D．7．已知向量=（﹣1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．38．若两个非零向量满足|+|+|﹣|=2||，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．10．若偶函数f（x）在[0，2]上单调递减，则（）A．f（﹣1）＞f＞f（lg0.5）B．f（lg0.5）＞f（﹣1）＞fC．f＞f（﹣1）＞f（lg0.5）D．f（lg0.5）＞f＞f（﹣1）11．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f （2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）12．函数的单调递增区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若不等式x2﹣ax＜0的解集是{x|0＜x＜1}，则a= ．14．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．15．设，则= ．16．在△ABC中，A，B，C成等差数列，则= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知向量=（1，2），=（x，1）（1）若∥，求x的值．（2）若＜，＞为锐角，求x的范围；（3）当（+2）⊥（2﹣）时，求x的值．18．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．19．已知函数，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）图象的对称轴，对称中心．20．已知f（x）=Asin（ωx+φ）+1，（x∈R，其中）的周期为π，且图象上一个最低点为M（）（1）求f（x）的解析式；（2）当时，求f（x）的值域．21．已知函数f（x）是定义在R上的增函数．（1）a∈R，试比较f（a2）与f（a﹣1）的大小，并说明理由；（2）若对任意的x∈R，不等式f（ax2）＜f（ax+1）恒成立．求实数a的取值范围．22．已知向量，，且，f（x）=•﹣2λ||（λ为常数），求：（1）•及||；（2）若f（x）的最小值是，求实数λ的值．20xx-20xx学年甘肃省××市××县马营中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，复数的实部为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】把给出的复数分子分母同时乘以1﹣i，化简为a+bi （a，b∈R）的形式，则实部可求．【解答】解：由=．所以复数的实部为1．故选C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知M={y|y=x+1}，N={（x，y）|x2+y2=1}，则M∩N中元素的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．多个【考点】交集及其运算．【分析】由集合的意义分析可得，M是数集，N是点集，则M与N的元素性质不同，其交集为空集，进而可得答案．【解答】解：由集合的意义分析可得，M为y=x+1的值域，是数集，而N={（x，y）|x2+y2=1}表示的是单位圆上的点，是点集；M与N的元素性质不同，故其交集为空集，故选A．【点评】本题考查集合的交集，首先分析集合的元素，再根据交集的意义来求解．3．下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A．B．C．D．【考点】函数的周期性；余弦函数的奇偶性．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据周期为π= 求得ω=2，故排除C、D．再利用诱导公式化简A、B中的函数，判断其奇偶性，从而得出结论．【解答】解：根据周期为π=，∴ω=2，故排除C、D．再根据函数为偶函数，而=﹣sin（﹣2x）=﹣cos2x，故函数是偶函数，故满足条件．而=cos（﹣2x）=sin2x，为奇函数，不满足条件，故排除．故选A．【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，诱导公式，属于基础题．4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=2，a5=3a3，则S9=（）A．90 B．54 C．﹣54 D．﹣72【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差d，再利用前n 项和公式即可得到S9．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2，a5=3a3，∴2+4d=3（2+2d），解得d=﹣2．∴S9=9×=﹣54．故选C．【点评】熟练掌握等差数列的通项公式、前n项和公式是解题的关键．5．若函数f（x）=exsinx，则此函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（）A．钝角B．0 C．D．锐角【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】转化思想；分析法；导数的综合应用；三角函数的求值．【分析】求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两角和的正弦公式，化简斜率k，再由三角函数值的符号，结合直线的斜率公式，即可判断倾斜角为钝角．【解答】解：函数f（x）=exsinx的导数为f′（x）=ex（sinx+cosx），则在点（4，f（4））处的切线的斜率为k=e4（sin4+cos4）=e4•sin（4+），由e4＞0，4+∈（，2π），即有sin（4+）＜0，可得k=e4•sin（4+）＜0，即有tanα＜0，则倾斜角为钝角．故选A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，同时考查三角函数的化简和求值，考查直线的斜率公式的运用，属于中档题．6．函数的定义域是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】要使函数有意义，则应满足，解不等式组即可得到函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，解得：或且x≠1．故函数的定义域是：（0，）∪（，1）∪（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数的运算性质和一元二次不等式的解法，是基础题．7．已知向量=（﹣1，1），=（3，m），∥（+），则m=（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意求出（+），利用∥（+），求出m即可．【解答】解：向量=（﹣1，1），=（3，m），∴+=（2，1+m），∵∥（+），∴1×2=﹣1（1+m），∴m=﹣3．故选：C．【点评】本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．8．若两个非零向量满足|+|+|﹣|=2||，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】将满足|+|+|﹣|=2||，将各项平方转化，能得=0，=3，利用夹角余弦公式计算，注意等量代换．【解答】解：由已知得由①得出=0，将②展开并代入整理得： =3，∴（）•（）==2，cosθ===所求夹角是，故选B【点评】本题考查向量的数量积、模、夹角的运算，本题的关键是将已知转化，得出的两条关系，在解题过程中进行等量代换．属于中档题．9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合．【分析】原问题等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有三个不同的零点，等价于函数y=f（x）与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：由二次函数的知识可知，当x=时，抛物线取最低点为，函数y=m的图象为水平的直线，由图象可知当m∈（，0）时，两函数的图象有三个不同的交点，即原函数有三个不同的零点，故选C【点评】本题考查函数的零点，转化为两函数图象的交点是解决问题的关键，属中档题．10．若偶函数f（x）在[0，2]上单调递减，则（）A．f（﹣1）＞f＞f（lg0.5）B．f（lg0.5）＞f（﹣1）＞fC．f＞f（﹣1）＞f（lg0.5）D．f（lg0.5）＞f＞f（﹣1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．【解答】解：f =f（2），f（lg0.5）=f（﹣lg2）=f（lg2），∵0＜lg2＜1＜2，f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（lg2）＞f（1）＞f（2），即f（lg0.5）＞f（﹣1）＞f，故选：B【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的关系以及对数的运算法则是解决本题的关键．11．已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（）A．f（2a）＜f（3）＜f（log2a）B．f（3）＜f（log2a）＜f （2a）C．f（log2a）＜f（3）＜f（2a）D．f（log2a）＜f（2a）＜f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）=f（4﹣x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2，∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的单调递增；∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．故选C．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断f （x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．12．函数的单调递增区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】利用辅助角公式将y=cos（﹣）﹣sin（﹣）转化为：y=cos（+），利用余弦函数的性质即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（﹣）﹣sin（﹣）=cos（+），∴由2kπ﹣π≤+≤2kπ（k∈Z）即可求得y=cos（﹣）﹣sin （﹣）的单调递增区间，由2kπ﹣π≤+≤2kπ（k∈Z）得：∴2kπ﹣≤≤2kπ﹣（k∈Z）∴4kπ﹣≤x≤4kπ﹣（k∈Z）．故选A．【点评】本题考查正弦函数的单调性，着重考查辅助角公式的应用及两角和与差的余弦函数，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若不等式x2﹣ax＜0的解集是{x|0＜x＜1}，则a= 1 ．【考点】一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】由一元二次方程与不等式关系可知，不等式解集边界值就是对应的一元二次方程两根，进而有根与系数关系可以求得a．【解答】解：不等式x2﹣ax＜0的解集是{x|0＜x＜1}等价于x2﹣ax=0有两个根0，10+1=a则a=1【点评】本题考查一元二次方程与对应的不等式之间关系 14．若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则 a 的值是 2 ．【考点】微积分基本定理．【专题】计算题．【分析】根据题意找出 2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出 a 值；【解答】解： =（x2+lnx） =a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞ 1， ∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得 a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题．15．设，则= ．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由 f（）=||﹣2=﹣，知=f（﹣）==．【解答】解：∵f（）=||﹣2=﹣，∴=f（﹣）==．故答案为：．【点评】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分段函数的应用． 16．在△ABC 中，A，B，C 成等差数列，则 =．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】首先利用等差中项求出∠A+∠C=120°，然后利用两角和与差公式化简原式，即可得出结果．【解答】解：A，B，C 成等差数列 ∴2∠B=∠A+∠C11 / 16又∵∠B+∠A+∠C=180° ∴∠B=60°∠A+∠C=120°=tan（）（1﹣tantan）+tantan=（1﹣tantan）+tantan= 故答案为．【点评】本题考查了等差数列的性质和两角和与差的正切函数，关键是求出∠A+∠C 和化简原式，要灵活掌握两角和与差的正切函数．属于基础题．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知向量=（1，2），=（x，1）（1）若∥，求 x 的值．（2）若＜，＞为锐角，求 x 的范围；（3）当（+2）⊥（2﹣）时，求 x 的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】（1）利用斜率共线，直接求解即可．（2）利用斜率的数量积列出不等式，即可求出结果．（3）利用斜率的垂直条件，列出方程求解即可．【解答】解：（1）向量=（1，2），=（x，1），∥，可得 2x=1， ∴x=（2）若＜，＞为锐角，则•＞0 且，不同向． •=x+2＞0，∴x＞﹣2，当 x=时，，同向．∴x＞﹣2 且 x≠．（3）+2=（1+2x，4），2﹣=（2﹣x，3），（+2）⊥（2﹣），可得（2x+1）（2﹣x）+3×4=0．即﹣2x2+3x+14=0．解得：x=或 x=﹣2．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，斜率共线以及斜率垂直条件的应用，考查计算能力．12 / 1618．设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， a=2bsinA（Ⅰ）求 B 的大小；（Ⅱ）若，c=5，求 b．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角 B 的正弦值，再由△ABC 为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角 B 的值，和余弦定理直接可求 b 的值．【解答】解：（Ⅰ）由 a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得 b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形中正余弦定理应用的很广泛，一定要熟练掌握公式． 19．已知函数，（1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）的单调区间；（3）求 f（x）图象的对称轴，对称中心．【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】（1）用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据 T=求得最小正周期．（2）由正弦函数的性质可知时，函数单调增，函数单调减．进而求得 x 的范围，确定函数的单调递增和递减区间．（3）由正弦函数的对称性可知，利用求得函数的对称轴，由求得对称中心．【解答】解：（1）==13 / 16T=π；（2）由，可得单调增区间，（k∈z），由，可得单减区间；（3）由得对称轴为由得对称中心为．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基本性质． 20．已知 f（x）=Asin（ωx+φ）+1，（x∈R，其中）的周期为 π，且图象上一个最低点为 M（）（1）求 f（x）的解析式；（2）当时，求 f（x）的值域．【考点】由 y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）通过函数的周期求出 ω，利用函数图象上一个最低点求出 A，列出关系式求出 φ，推出函数的解析式．（2）利用函数的解析式，通过 x 的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的值域即可．【解答】解：（1）因为函数的周期为 π，所以 T=，所以 ω=2，因为函数图象上一个最低点为 M（）所以﹣A+1=﹣1，所以 A=2，并且﹣1=2sin（2×+φ）+1，可得 sin（2×+φ）=﹣1，=2kπ﹣，k∈Z，φ=2kπ﹣，k∈Z，因为，所以 k=1，解得 φ=．函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+）+1．（2）因为，所以，2x+∈[]，14 / 16sin（2x+），∴2sin（2x+），2sin（2x+）+1，所以 f（x）的值域为：．【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的值域的求法，基本知识的应用，考查计算能力． 21．已知函数 f（x）是定义在 R 上的增函数．（1）a∈R，试比较 f（a2）与 f（a﹣1）的大小，并说明理由；（2）若对任意的 x∈R，不等式 f（ax2）＜f（ax+1）恒成立．求实数 a 的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）f（a2）＞f（a﹣1）；运用作差法，结合函数的单调性，即可得到大小；（2）由题意可得 ax2﹣ax﹣1＜0 恒成立，讨论 a=0，a＜0，且判别式小于 0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）f（a2）＞f（a﹣1）；理由：因为，所以 a2＞a﹣1，又函数 f（x）是定义在 R 上的增函数，可得 f（a2）＞f（a﹣1）；（2）由函数 f（x）是定义在 R 上的增函数，对任意的 x∈R，不等式 f（ax2）＜f（ax+1）恒成立，即为 ax2﹣ax﹣1＜0 恒成立，当 a=0 时，﹣1＜0 恒成立，符合；a≠0 时，由恒成立．综上，实数 a 的取值范围为（﹣4，0]．【点评】本题考查函数的单调性的运用：比较大小和解不等式，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题． 22．已知向量，，且，f（x）=•﹣2λ||（λ 为常数），求：（1）•及||；（2）若 f（x）的最小值是，求实数 λ 的值．【考点】数量积的坐标表达式；三角函数的最值．【专题】计算题．15 / 16【分析】（1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长．（2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数 λ，把式子整理成关于 cosx 的二次函数形式，结合 λ 的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到 λ 的值，把不合题意的舍去．【解答】解：（1），，∵， ∴cosx≥0， ∴．（2）f（x）=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2， ∵， ∴0≤cosx≤1， ①当 λ＜0 时，当且仅当 cosx=0 时，f（x）取得最小值﹣1，这与已知矛盾； ②当 0≤λ≤1，当且仅当 cosx=λ 时，f（x）取得最小值﹣1﹣ 2λ2，由已知得，解得； ③当 λ＞1 时，当且仅当 cosx=1 时，f（x）取得最小值 1﹣ 4λ，由已知得，解得，这与 λ＞1 相矛盾、综上所述，为所求．【点评】本题考查向量的数量积和模长，考查三角函数变换，考查二次函数的最值，考查分类讨论思想，是一个综合题，题目涉及的内容比较多，易错点是带有字母系数的二次函数最值问题．16 / 16。

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高考理科数学月考试卷（六）时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线x y 2-=按向量)3,2(-=a 的平移后，得到的直线方程为A ．32--=yB ．32+-=x yC ．42+-=x yD ．12--=x y2．已知集合}1|{},12|{2++==+==x x y y B x y x A ，则=B A IA ．{（0，1），（1，3）}B ．RC ．（0，+∞）D ．[+∞,43）3．函数)2(231)(≠-+=x x xx f 的反函数)(1x f y -=的一个单调减区间是 A ．（+∞-,2） B ．（+∞,2）C ．（+∞,3）D ．（+∞-,3）4．数列{a n }满足=+-==+200811a ,11,2则n n a a a A ．2B ．－31 C ．－23 D ．15．代数式522)1)(524(+--x x x 的展开式中，含4x 项的系数是A ．－30B ．30C ．70D ．906．△ABC 中，已知：sinA ：sinB ：sinC=1:1:2，且S △ABC =21，则 +⋅+⋅的值是A ．2B ．2C ．－2D ．－27．若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．xx f 2)(=D ．2)(x x f =8．将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为A ．3B ．6C ．12D ．189．设双曲线12222=-by a x （b ＞a ＞0）的半焦距为c ，直线l 过A （a ,0）,B(0,b )两点，若原点O 到l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A ．332或2B ．2C ．3322或D ．332 10．对于任意的两个实数对（a ,b ）和（c ,d ），规定当且仅当d b c a ==,时(a ,b )=(c ,d )；现定义两种运算，运算“⊗”为：（a,b ）⊗（c,d ）=（ad bc bd ac +-,）；运算“⊕”为：(a,b) ⊕ (c,d)=（d b c a ++,）.设p 、R q ∈.若（1，2）⊗),(q p =（5,0）.则（1，2）⊕),(q p =A ．（4,0）B ．（2,0）C ．（0，2）D ．（0，－4）选择题答题卡二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷中对应题号后的横线上）11．︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos 的值为。

12．设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦长为32，则a= 。

13．已知：点P 的坐标（y x ,）满足：AOP OP A y x y x ∠⋅⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+-cos ||01-x (2,0),,2553,034则及（O为坐标原点）的最大值是。

14．关于x 的不等式：||22a x x ->-至少有一个负数解，则a 的取值范围是。

15．已知：)(x f 是定义的R 上的不恒为零的函数，且对任意a 、b R ∈，满足：)()()(a bf b af b a f +=⋅，且)21f(,)2(,2)2(则n f a f n n -=== ；数列{a n }的通项公式a n = 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数),(23coscos sin 3)(2R x R x x x x f ∈∈+-⋅=ωωωω的最小正周期为π，且当3π=x 时，函数取最大值.（1）求)(x f 的解析式；（2）试列表描点作出)(x f 在[0，π]范围内的图象.17．（本小题满分12分）国家射击队为备战xx 年北京奥运会进行紧张艰苦的训练，训练项目完成后，教练总会设计安排一些放松、娱乐性恢复活动。

在一次速射“飞碟”的游戏活动中，教练制定如下规则：每次飞碟飞行过程中只允许射击三次，根据飞碟飞行的规律，队员甲在飞行距离为50米远处命中的概率为32. （1）如果队员甲一共参加了三次射击飞碟的游戏，试求队员甲在这三次游戏中第一枪．．．至少有一次击中的概率。

（2）如果队员甲射击飞行距离为50米远处的飞碟，如果第一次未命中，则进行第二次射击，同时第二次射击时飞碟行距离变为100米；如果第二次未命中，则进行第三次射击，第三次射击时飞碟飞行距离变为150米（此后飞碟不在射程之内）.已知，命中的概率与飞碟飞和地距离的平方成反比．．．．．.求队员甲在一次游戏中命中飞碟的概率。

18．（本小题共12分）在直三棱柱111C B A ABC -中，A 1A=AB=32，AC=3，P CAB ,90︒=∠、Q 分别为棱BB 1、CC 1上的点，且1132,31CC CQ BB BP ==.（1）求平面APQ 与面ABC 所成的锐二面角的大小.（2）在线段A 1B （不包括两端点）上是否存在一点M ，使AM+MC 1最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知圆M ：（x+5）2+y 2=36及定点N （5，0），点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足0,2=⋅=NP GQ NQ NP .（1）求点G 的轨迹C 的方程.（2）过点K （2，0）作直线l ，与曲线C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，设OB OA OS +=，是否存在这样的直线l ，使四边形OASB 的对角线相等？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）某加工厂有一块三角形的铁板余料（如图），经测量得知：AC=3，AB=33，BC=6.工人师傅计划用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起，请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？21．（本小题满分13分）数列}b {}{n 和n a ，由下列条件确定：①a 1＜0，b 1＜0.②当k ≥2时，a k 和b k 满足下列条件：当111k11,2，a 02-----=+=+k k k k k k b b b a ＜b a 时. （1）若21-=a ，51=b ，分别写出{a n }、{b n }的前四项. （2）证明数列{a k －b k }是等比数列.（3）设n n ,2≥是满足b 1＞b 2＞…＞b n 的最大整数时，用a 1、b 1表示n 满足的条件.参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DDCAACACBB二、填空题 11．21-12. 0 13. 5 14. (2,49-) 15. 21- n 21-三、解答题16．解：（1）1)62sin(2322cos 12sin 23)(+-=++-=πωωωx x x x f ……………（4分） ∵)(x f 的周期为π，∴.1|||2|2=⇒=ωπωπ1±=∴ω.1°当ω=1时，.1)62sin()(+-=πx x f212sin )3(=+=ππf Θ是函数的最大值，.1=∴ω……………………………………（5分）2°当ω=－1时，.1)62sin()(++-=πx x f165sin )3(+=ππf Θ不是函数的最大值. 1-=∴ω（舍去）…………………………（7分）∴.1)62sin()(+-=πx x f …………………………………………………………………（8分）（2）x6π 3π 2π 32π 65π π)(x f2123 223 21 021 作图如下.……………………………………………………………………（12分）17．解：（1）记“队员甲在三次游戏中，第一枪至少有一次命中”为事件A.2726)(1)(=-=A P A P ……………………………………………………………………（5分）（2）记在一次游戏中“第i 次击中飞碟”为事件).3,2,1(=i B i.272)31(32)(,61)21(32)(,32)(23221=⨯==⨯==B P B P B P …………………………（8分）又i B 是相互独立事件.)B ()(P )(P )(P )(P )(P )B (P )()()(321211321211P B B B B B B B B B P B P B P ⋅⋅+⋅+=⋅⋅+⋅+=∴.4863612726531613132=⨯⨯+⨯+=………………………………………………………（12分）18．解：（1）建立如图所示空间直角坐标系A ),,(z y x A （0，0，0），P （32，0，2），Q （0，3，22）. 设平面APQ 的一个法向量为),,(1z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=+⇒=⋅=+⇒=⋅.02230.0223011z y AQ n z x AP n 令3=z ，则)3,22,1(,22,11--=∴-=-=n y x 平面ABC 的一个法向量).1,0,0(2=n.229813),cos(21=++=∴n n ∴平面APQ 与面ABC 所成的锐角大小为45°.…………………………………………（6分）（1）问也用传统方法求解.（并参照计分）（2）沿A 1B 将面A 1BC 1与面A 1BA 展开，连结AC 1与A 1B 交于点M ，此时AM+MC 1有最小值.∵,45,,90111︒=∠∴=︒=∠AB A AB AA AB A 又C 1A 1⊥面ABB 1A 1，∴C 1A 1⊥A 1B. ∴△AA 1C 1中，∠AA 1C 1=135° AC 1=.5318918135cos C A 211112121=++=︒⋅⋅-+AA C A AA∴存在点M ，使AM+AC 1取最小值为.53……………………………………………（12分）19．解：（1）Q NP GQ NQNP ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=02为PN 的中点，且GQ GQ PN ⇒⊥是PN 的中垂线. ∴.||||GN PG =又.6||||||||||=====PM GN GM GP GM ∴点G 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，.5,3==c a∴G ∴==,2c -a b 22的轨迹方程是.14922=+y x ……………………………………（5分）（2）⇒==Θ四边形OASB 为平行四边形，假设存在直线l ，使||||=；则四边形OASB 为矩形..0=⋅∴ 若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为2=x .⎪⎩⎪⎨⎧±==⇒⎪⎩⎪⎨⎧===3522149x 2x 22y x y 由0916φ=⋅∴，这与OB OA ⋅=0矛盾，故l 的斜率存在.………………………（7分）设直线l 的方程为),(),2(11y x A x k y -=、)y ,(x 22B .0)1(3636)49(149)2(222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k x k y x x k y ………………………（9分） .49)1(36,493622212221+-=+=+∴k k x x k k x x .4920]4)(2[)]2()][2([22212122121+=++-=--=∴k k x x x x k x k x k y y又0492049)1(36,0022222121=+-+-=+⇒=⋅∴k k k k y y x x ………………………（12分） .23±=∴k∴存在直线或0623:=--y x l 06-2y x 3=+满足条件. …………………………（13分） 20．解：设容器的高为x.,3,2.6,33,3222ππ=∠=∠⇒+=∴===C A AB AC BC BC AB AC Θ.3,3,3x CED un DE CD FEG CED =∠⋅=∴=∠=ππxGE GF x x x CE )13(333.)13(333--==∴--=--=∴又GE ＞0，∴0＜x ＜133+ 设容器的容积为V. 则V=2])13(3[321x x --⋅⋅…………………………………………………………（6分） )13(])13(3[3])13(3[232+⋅+--+-='∴x x x V ])13(1][)13(3[233x x +-+-=……………………………………………………（7分）令0='V ，又0＜x ＜.213131,133-=+=∴+x ………………………………（10分）当0＜x ＜213-时，33max -=V .……………………………………………………（13分） 21．解：（1）;41,41,2,24321-=-=-=-=a a a a 85,23,5121===b b b ………………………………………………………………………（3分）（2）当0211≥+--e k b a 时，)(212211111------=--=-k k k k k k k b a b a a b a当0211<+--e k b a 时，).(21211111------=-+=-k k k k k k k b a b b a b a又011≠-b a ，∴数列}{k k b a -是等比数列. ……………………………………………（9分）（3）当b 1＞b 2＞…＞b n （n ≥2）时，b k ≠b k-1(2≤k ≤n). 由（2）知：0211<+--k k b a 不成立，0211≥+∴--k k ba .从而对于2≤k ≤n 有a k =a k-1,b k =211--+k k b a 于是11a a a n n ===-Λ……………………………………………………………………（11分）.)21)((22.)21()(,)21()(11111111111n n n n n n n n a b a b a b a a b a bn a b a b -+=+=+∴⋅-==∴⋅-=-∴-- 若02≥+n n b a ，则.21n nn b a b +=+ .,0)21)((1111++>∴<--=-∴n n n n n b b a b b b 这与n 是满足b 1＞b 2＞…＞b n （n ≥2）的最大整数矛盾. ∴n 是满足02<+n n b a 的最小整数. .20)21)((02111111n n n n a a b a b a b a <--⇔<-+⇒<+ .log 1112a b a n ->∴∴n 是满足大于1112log a b a -的最小整数.…………………………（13分）。