辽宁省辽师大附中2015-2016学年高一下学期(6月)第二次模块考试 数学
辽宁省沈阳市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)
沈阳二中2024-2025学年度上学期10月阶段测试高二（26届）数学试题说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（58分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.过点，倾斜角为的直线方程为（ ）A. B. C. D.2.已知两条直线：，：，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.当点到直线：的距离最大时，直线的一般式方程是（ ）A. B. C. D.4.关于空间向量，以下说法错误的是（ ）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若，则与的夹角是锐角C.已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量D.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面5.如图，正四棱柱中，，点和分别是线段与上的动点，则间最小距离为（ ）B.16.直线过点，且与圆：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）A.6B.7C.8D.9()4,2-3π420x y -+=20x y ++=2x y -=10x y -+=1l 410ax y +-=2l 20x ay ++=2a =12l l ∥()2,1P --l ()()()131240x y λλλλ+++--=∈R l 3250x y +-=2310x y -+=3250x y ++=2320x y -+=0a b ⋅> a b a b c 2a b c a - O 1121243OP OA OB OC =++ P A B C 1111ABCD A B C D -122AA AB ==E F 1AC BD EF l ()2,1C ()()222410x y -+-=7.直线关于直线对称的直线方程为（ ）A. B. C. D.8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥（以为顶点）的侧面积的最大值为（ ）A.6B.C.D.二、多项选择题（每小题6分，共18分）9.设，，是不同的直线，，是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）A.若，，，则B.若，，，则C.若直线，，且，，则D.若，是异面直线，，，且，，则10.下列结论正确的是（ ）A.已知点在圆：上，则的最大值是4B.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离D.已知直线：，：，则存在实数，使得和关于直线对称11.设圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（ ）A.的取值范围为 B.四边形C.存在点使D.直线过定点第Ⅱ卷（92分）1y x =+2y x =310x y --=420x y --=530x y --=750x y --=A BCD -O AD ⊥ABC π2BAC ∠=2AD =O 22πA BCD -A 212252272l m n αβl α∥m β∥αβ∥l m∥αβ⊥l α∥m β∥l m∥m α⊂n α⊂l m ⊥l n ⊥l α⊥l m l α⊂m β⊂l β∥m α∥αβ∥(),P x y C ()()22112x y -+-=x y +10kx y --=()3,1M -()3,2N k 213k -≤≤(),P a b 222x y r +=l 2ax by r +=l 1l 20mx y -+=2l 20x my ++=m 1l 2l 0x y +=C ()()22113x y -+-=l 10x y ++=P l P C PA PB A B PA ⎫+∞⎪⎪⎭PACB P 120APB ∠︒=AB ()0,0三、填空题（每空5分，共15分）12.若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为______.13.已知三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是______.14.如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
陕西师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题
陕西师大附中2015-2016学年度第一学期月考高一年级数学必修1试题一、 选择题（选择题共10小题，每小题5分，共50分）1．设集合{}1,0,1,2,4U =-，集合{}1,1M =-，则集合u C M 等于（ ）A ．{}0,2B ．{}0,4C ．{}2,4D ．{}0,2,42．下列幂函数中，定义域为实数集R 的是（ ）A ．2y x -=B ．13y x = C ．14y x = D ．12y x = 3．设()1f x x x =--，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（ ） A ．12- B ．0 C ．12 D ．14．下列函数与函数y x =表示同一函数的是（ ）A ．2y =B ．y =C ．y =D ．2x y x= 5．已知()()222f x x a x =+-1+在(],4-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．3a -≤B ．3a -≥C ．5a ≥D ．5a ≤6．若()22f x x ax =-+与()1a g x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-∪ B ．()1,1-C ．()0,1D ．(]0,1 7．若()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又()30f -=，则()0f x <的解集是（ ）A ．{|30x x -<<，或}3x >B ．{|3x x <-，或}3x >C ．{|3x x <-，或}03x <<D ．{|30x x -<<，或}03x <<8．已知2m <-，点()11,m y -，()2,m y ，()31,m y +都在二次函数22y x x =-的图象上则（ ）A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<9．为了确保信心安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文,a b ，c ，d 对应密文2a b +，2b c +，23c d +，4d ．例如，明文1，2，3，4，对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）A ．7，6，1，4B ．6，4，1，7C ．4，6，1，7D ．1，6，4，710．设函数()y f x =定义在实数集R 上，则函数()1y f x =-与()1y f x =-的图象关系（ ）对称．A ．直线0y =B ．直线0x =C ．直线1y =D ．直线1x = 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．函数121y x =+-的定义域是__________． 12．集合{}1,2,3A =，{}3,4B =，从A 到B 的映射满足()33f =．则这样的映射有__________个．13．若()f x 是偶函数，其定义域为R 且在[)0,+∞上是减函数，则34M f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()21N f a a a =-+∈R 的大小关系为__________．14．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．三、解答题：（本大题5小题，共50分）15．（本小题10分）设{}|42A x x =-<<，{}|11,0B x m m m =--<->．求分别满足下列条件的取值集合．（1）A B ⊆（2）A B ≠∅∩16．（本小题共10分）已知()2243,3033,016516x x x f x x x x x x ⎧++-<⎪=-+<⎨⎪-+-⎩≤≤≤≤ （1）画出函数的图象；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值和最小值．17．（本小题共10分）如果函数()f x 是定义域为{}|0x x >上的增函数，且()()()f x y f x f y ⋅=+．（1）求证：()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）若()31f =，且()()12f a f a >-+，求a 的取值范围．18．（本小题共10分）函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求实数a ，b 的值，并确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是递增的；19．（本小题共10分）通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散．分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接收概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位：分 ）可以用公式：()20.1 2.643,01059,10163107,1630x x x f x x x x ⎧-++<⎪=<⎨⎪-+<⎩≤≤≤（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能坚持多长时间？（2）一个数学难题，需要的接受能力为55，教学时间至少要13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需要接受能力的状态下讲授完这个难题？。
辽宁省葫芦岛一中2015-2016学年高一(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）第一次月考数学试卷一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁I A）∪（∁I B）等于（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≥1或x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1或x＜2}3．设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1） B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）4．满足条件{1，2，3}⊊M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．55．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）6．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）=﹣C．f（x）= D．f（x）=﹣7．函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（）A．B．（﹣20，4）C． D．8．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），那么f（0）、f（﹣1）、f（1）的大小关系是（）A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0）B．f（1）＜f（0）＜f（﹣1）C．f（0）＜f（﹣1）＜f（1）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（1）10．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅11．已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．负数 B．正数 C．0 D．符号与a有关12．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2]D．（﹣∞，2]二．填空题（本大题共5个小题，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.）13．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为．14．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是．15．已知f（x）=x2+1，g（x）是一次函数，若f（g（x））=9x2+6x+2则g（x）的解析式为．16．不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则实数m的取值范围为．三．解答题（将答案写在答题卡中相应题号的方框内，只有结果没有步骤不给17．已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3}（1）求a的值；（2）若C⊆（A∩B），求m的值．18．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，A∪B=A，求实数a的取值范围．19．解关于x的不等式x2﹣（a+）x+1＜0．20．求函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）．21．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2+2（m﹣1）x+2m+6=0（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；（2）两个实根，均在区间（1，3）内．22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集I={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，集合B={2，3，4}，则（∁I A）∪（∁I B）等于（）A．{0} B．{0，1} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合补集的含义先求C I A、C I B，再根据并集的意义求（C I A）∪（C I B）．【解答】解：C I A={4}，C I B={0，1}，（C I A）∪（C I B）={0，1，4}，故选C【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0的解集是（）A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≥1或x≤2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1或x＜2}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0化为（x﹣1）（x﹣2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）（2﹣x）≥0可化为（x﹣1）（x﹣2）≤0；解得1≤x≤2，∴不等式的解集是{x|1≤x≤2}．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是容易题目．3．设集合A和B都是坐标平面上的点集{（x，y）|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素（x，y}映射成集合B中的元素（x+y，x﹣y），则在映射f下，象（2，1）的原象是（）A．（3，1） B．（，）C．（，﹣）D．（1，3）【考点】映射．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x，y的值，即可求出原像（x，y）【解答】解：由映射的定义结合题意可得x+y=2，x﹣y=1，解得x=，y=，故像（2，1）的原像是（，），故选B．【点评】本题主要考查映射的定义，在映射f下，像和原像的定义，属于基础题．4．满足条件{1，2，3}⊊M⊊{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，分析可得集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，即M的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，由集合的子集与元素数目的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，满足题意题意条件的集合M中必须有1，2，3这三个元素，且至少含有4、5、6中的一个但不能同时包含3个元素，则M的个数应为集合{4，5，6}的非空真子集的个数，集合{4，5，6}有3个元素，有23﹣2=6个非空真子集；故选C．【点评】本题考查集合间包含关系的判断，关键是根据题意，分析集合M的元素的特点．5．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．6．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．f（x）= B．f（x）=﹣C．f（x）= D．f（x）=﹣【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，由于已知条件中f（）=，给定的是一个复合函数的解析式，故可用换元法或凑配法解答，但由于内函数为分式形式，凑配起来难度较大，故本题采用换元法解题．【解答】解：令=t，得x=，∴f（t）==，∴f（x）=．故选C【点评】求解析式的几种常见方法：①代入法：即已知f（x），g（x），求f（g（x））用代入法，只需将g（x）替换f（x）中的x即得；②换元法：已知f（g（x）），g（x），求f（x）用换元法，令g（x）=t，解得x=g﹣1（t），然后代入f（g（x））中即得f（t），从而求得f（x）．当f（g（x））的表达式较简单时，可用“配凑法”；③待定系数法：当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．④方程组法：方程组法求解析式的实质是用了对称的思想．一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法．在解关于f（x）的方程时，可作恰当的变量代换，列出f（x）的方程组，求得f（x）．7．函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（）A．B．（﹣20，4）C． D．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】先进行配方找出对称轴，判定对称轴是否在定义域内，然后结合二次函数的图象可知函数的单调性，从而求出函数的值域．【解答】解：f（x）=﹣2x2+6x=﹣2（x﹣）2+（﹣2＜x＜2）根据二次函数的开口向下，对称轴为x=在定义域内可知，当x=时，函数取最大值离对称轴较远的点，函数值较小，即当x=﹣2时，函数取最小值﹣20∴函数f（x）=﹣2x2+6x（﹣2＜x＜2）的值域是（﹣20，]故答案为：（﹣20，]【点评】本题主要考查了二次函数的值域，二次函数的最值问题一般考虑开口方向和对称轴以及区间端点，属于基本题．8．函数，若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．【分析】由f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2得关于b和c的两个方程，求出b、c，再分x≤0和x＞0两段，分别解方程f（x）=x即可．【解答】解：由题知，解得b=4，c=2故，当x≤0时，由f（x）=x得x2+4x+2=x，解得x=﹣1，或x=﹣2，即x≤0时，方程f（x）=x有两个解．又当x＞0时，有x=2适合，故方程f（x）=x有三个解．故选C．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式、分段函数、及解方程问题，难度不大．9．函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），那么f（0）、f（﹣1）、f（1）的大小关系是（）A．f（1）＜f（﹣1）＜f（0）B．f（1）＜f（0）＜f（﹣1）C．f（0）＜f（﹣1）＜f（1）D．f（﹣1）＜f（0）＜f（1）【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知可判断函数f（x）=x2+px+q的图象开口朝上，且以x=1为对称轴，进而函数在（﹣∞，1]上为减函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=x2+px+q对任意的x均有f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）=x2+px+q的图象开口朝上，且以x=1为对称轴，∴函数在（﹣∞，1]上为减函数；∴f（1）＜f（0）＜f（﹣1），故选：B．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．10．若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|3≤x≤22}，则能使A⊆A∩B成立的所有a的集合是（）A．{a|1≤a≤9} B．{a|6≤a≤9} C．{a|a≤9} D．∅【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】若A⊆A∩B，则A⊆B．比较两个集合的端点即可得到参数a的不等式，解不等式即可得到参数的取值范围．【解答】解：由于B={x|3≤x≤22}，∵A⊆A∩B，∴A⊆B，∴，解得：{a|1≤a≤9}，又A为非空集合，故有2a+1≤3a﹣5，解得a≥6综上得，使A⊆A∩B成立的a的集合是：{a|6≤a≤9}．故选B．【点评】本题考查集合与集合之间的关系，尤其着重考查了集合的包含关系及此时取值范围的界定，为基础题．解题时须注意：（1）A⊆A∩B⇔A⊆B；（2）此类题目容易出现错误的地方为端点值的取舍．11．已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（）A．负数 B．正数 C．0 D．符号与a有关【考点】函数的值．【专题】规律型．【分析】先由函数y=x2+x，确定小于零时的区间为（﹣1，0），区间长为1，而a＞0，则f（x）图象由函数y=x2+x向上平移，则f（x）小于零的区间长会小于1，再由f（m）＜0，得m+1一定跨出了小于零的区间得到结论．【解答】解：函数y=x2+x在x轴以下的部分时﹣1＜x＜0，总共区间只有1的跨度，又∵a＞0∴f（x）图象由函数y=x2+x图象向上平移，所以小于零的区间长会小于1，又∵f（m）＜0∴m+1一定跨出了小于零的区间，所以f（m+1）一定是正数故选B【点评】本题主要考查函数图象的平移变换，这种变换只是改变了图象在坐标系中的位置，没有改变图象的形状．12．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2]D．（﹣∞，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解a的取值范围．【解答】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．所以当x=1时，函数的最小值为2．当x=0时，f（0）=3．由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．二．填空题（本大题共5个小题，共20分，将答案填写在答题卡中相应题号的横线上.）13．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，则实数a的值为0或1．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】讨论a，当a=0时，方程是一次方程，当a≠0时，二次方程只有一个解时，判别式等于零，可求出所求．【解答】解：若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4﹣4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故答案为：0或1【点评】本题考查的知识点是集合元素的确定性及方程根的个数的判断及确定，同时考查了转化的思想，属于基础题．14．设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是6．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可得出ab的值．【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由根与系数的关系，得﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故答案为：6．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．15．已知f（x）=x2+1，g（x）是一次函数，若f（g（x））=9x2+6x+2则g（x）的解析式为g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】先设出函数g（x）的表达式，代入f（g（x）），通过系数相等得到关于a，b的不等式组，解出即可．【解答】解：设g（x）=ax+b，则f（ax+b）=（ax+b）2+1=a2x2+2abx+b2+1=9x2+6x+2，∴，解得：或，∴g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．故答案为：g（x）=3x+1或g（x）=﹣3x﹣1．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，本题是一道基础题．16．不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则实数m的取值范围为（﹣8，0]．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】当m=0时，不等式可化为﹣2＜0成立，当m≠0时，不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，利用对应二次函数的图象与性质列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：当m=0时，不等式可化为﹣2＜0，显然成立，当m≠0时，不等式mx2+mx﹣2＜0的解集为R，则对应的二次函数y=mx2+mx﹣2的图象应开口朝下，且与x轴没有交点，故，解得﹣8＜m＜0综上，实数m的取值范围是（﹣8，0]．故答案为：（﹣8，0]．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目．三．解答题（将答案写在答题卡中相应题号的方框内，只有结果没有步骤不给17．已知A={a2，a+1，﹣3}，B={a﹣3，3a﹣1，a2+1}，C={x|mx=1}，若A∩B={﹣3}（1）求a的值；（2）若C⊆（A∩B），求m的值．【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）利用集合与元素之间的关系得出a的值，再通过验证是否满足题意即可；（2）先得出集合C，再分类讨论即可．【解答】解：（1）∵﹣3∈B，∴a﹣3=﹣3或3a﹣1=﹣3，解得a=0或．当a=0时，A={0，1，﹣3}，B={﹣3，﹣1，1}，而A∩B={﹣3，1}≠{﹣3}，∴a≠0；当时，A={}，B={}，A∩B={﹣3}．综上得．（2）∵C⊆（A∩B），∴C=∅或{﹣3}．①当C=∅时，m=0，满足题意；②当C={﹣3}时，﹣3m=1，解得满足题意．综上可知：m=0或．【点评】熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键．18．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2﹣2（a+1）x+（a2﹣5）=0}，A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．可得A={1，2}．由A∪B=A，可得B⊆A．分类讨论：B=∅，△＜0，解得即可．若B={1}或{2}，则△=0，解得即可．若B={1，2}，可得，此方程组无解．【解答】解：由x2﹣3x+2=0解得x=1，2．∴A={1，2}．∵A∪B=A，∴B⊆A．1°B=∅，△=8a+24＜0，解得a＜﹣3．2°若B={1}或{2}，则△=0，解得a=﹣3，此时B={﹣2}，不符合题意．3°若B={1，2}，∴，此方程组无解．综上：a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【点评】本题考查了集合之间的关系、一元二次方程的解与判别式△的关系，属于中档题．19．解关于x的不等式x2﹣（a+）x+1＜0．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先因式分解，再分类讨论，即可得到不等式的解．【解答】解：∵x2﹣（a+）x+1＜0．∴（x﹣a）（x﹣）＜0，当a＞时，即a＞1或﹣1＜a＜0时，解得＜x＜a，当a＜时，即a＜﹣1或0＜a＜1时，解得a＜x＜，当a=时，即a=±1时，不等式的解集为空集．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及分类讨论的思想，属于基础题．20．求函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，分对称在区间[﹣1，1]的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得f（x）在[﹣1，1]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a，当a＜﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，其最小值为g（a）=f（﹣1）=2a+3；当﹣1≤a≤1时，f（x）在[﹣1，1]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2；当a＞1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，其最小值为g（a）=f（1）=3﹣2a．函数f（x）=x2﹣2ax+2在[﹣1，1]上的最小值g（a）=．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属中档题．21．求实数m的取值范围，使关于x的方程x2+2（m﹣1）x+2m+6=0（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小；（2）两个实根，均在区间（1，3）内．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用二次函数的性质，求得实数m的范围．【解答】解：（1）设f（x）=x2+2（m﹣1）x+2m+6，则由题意可得f（2）=6m+6＜0，求得m＜﹣1．（2）由题意可得，求得﹣＜m≤﹣1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．22．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）【考点】函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；压轴题；函数思想．【分析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为．（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5、综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．【点评】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．。
辽宁省辽宁师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题
辽宁省辽宁师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期开
学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题A ．()()f x g x +C ．()()
f x
g x -5．若3sin cos 4x x m -=-A ．2≤m ≤6
B ．﹣6．已知棱长为6的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为（A ．2B ．7．定义运算
a b ad bc c
d
=-
二、多选题
ω=
A．2
心
三、填空题
四、解答题
17．如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．
（1）求证：FG∥平面EBO；
（2）求证：PA⊥BE．
18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面面PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 上的点（1）求证：AP BE ⊥；
（2）求二面角B AC P --余弦值19．已知函数()2
23cos 2sin f x x =-单调增区间.
20．如图，点A ，B ，D 是函数f 三个交点，其横坐标分别为
3π，(1)求函数()f x 的解析式及对称轴的方程；(2)若()065f x =
，且052,123x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求0sin 2x .
(1)求证：AF 平面CDE ；
(2)若90,2ABC AB ∠== ，求四面体。
东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)
2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长：90分钟 试卷总分：120分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1. 下列元素的全体可以组成集合的是（ ） A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上四大洋 D. 优秀的高中生【答案】C 【解析】【分析】根据集合的确定性，互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意，选项ABD ，都不满足集合元素的确定性，选项C 的元素是确定的，可以组成集合. 故选：C.2. 若全集R U =，集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，{|3}B x x =<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}【答案】A 【解析】【分析】根据图中阴影部分表示()U A B 求解即可. 【详解】由题知：图中阴影部分表示()U A B ，{}|3U Bx x =≥ ，则(){}3,4,5,6U B A = .故选：A3. 命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定为（ ）的【A. []1,3x ∃∈−，2320x x −+≥B. []1,3x ∃∈−，2320x x −+>C. []1,3x ∀∈−，2320x x −+≥D. []1,3x ∃∉−，2320x x −+≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 因此命题“[1,3]x ∀∈−，2320x x −+<”的否定是[]1,3x ∃∈−，2320x x −+≥. 故选：A4. 已知集合{}240A x x=−>，{}2430B x xx =−+<，则A B = （ ）A. {}21x x −<< B. {}12x x <<C. {}23x x −<<D. {}23x x <<【答案】D 【解析】【分析】解出集合,A B ，再利用交集含义即可.【详解】{}{2402A x xx x =−>=或}2x <−，{}{}2430|13B x xx x x =−+<=<<，则{}23A Bx x ∩=<<.故选：D.5. 若,,a b c ∈R ，0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b> B. a c b c >C. 2ab b >D. ()()2211a c b c −>−【答案】C 【解析】【分析】对BD 举反例即可，对AC 根据不等式性质即可判断. 【详解】对A ，因为0a b >>，则11a b<，故A 错误； 对B ，当0c =时，则a c b c =，故B 错误；对C ，因为0a b >>，则2ab b >，故C 正确； 对D ，当1c =时，则()()2211a c b c −=−，故D 错误. 故选：C.6. “2a <−”是“24a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式24a >，根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】24a >，解得2a >或2a <−，则“2a <−”可以推出“24a >”，但“24a >”无法推出“2a <−”， 则“2a <−”是“24a >”的充分不必要条件. 故选：A .7. 关于x 的一元二次方程(1)(4)x x a −−=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的说法是（ ） A. 当0a =时，11x =，24x = B. 当0a >时，1214x x << C. 当0a >时，1214x x <<< D. 当904a −<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x −−=的二实根为121,4x x ==，A 正确； 对于B ，方程(1)(4)x x a −−=，即2540x x a −+−=，254(4)0a ∆=−−>，解得94a >−， 当0a >时，1244x x a =−<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =−−，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确； 对于D ，当904a −<<时，12254(4,)4x x a =−∈，D 正确.故选：B8. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220Bx xax x x b =+++=，且 R A B ∩=∅ ，则集合B 的子集个数为（ ）．A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ∩=∅R 可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数. 【详解】由题设可知，[]{}{}Z |31,2A x x =∈<<=，又因为()A B ∩=∅R ，所以A B ⊆， 而()(){}22|20B x xax x x b =+++=，因为20x ax 的解为=0x 或x a =−，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=−， 所以1,2分属方程20x ax 与220x x b ++=的根，若1是20x ax 的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b × × ，解得=1=8a b −− ， 代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =−，故{}0,1,2,4B=−；若2是20x ax 的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b × × ，解得=2=3a b −− ，代入20x ax 与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =−，故{}0,1,2,3B=−；所以不管1,2如何归属方程20x ax 与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素， 故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16. 故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，则（ ） A. 0a < B. 不等式0ax c +>的解集是{|6}x x > C. 0a b c ++< D. 不等式20cx bx a −−<的解集为11(,)32【答案】BC 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集用a 表示,b c ，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−，得1,6−是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a >，A 错误；对于B ，16,16b ca a−+=−−×=，则5,6b a c a =−=−， 不等式0ax c +>，即60ax a −>，解得6x >，B 正确； 对于C ，56100a b c a a a a ++=−−=−<，C 正确；对于D ，不等式20cx bx a −−<，即2650ax ax a −+−<，整理得()()31210x x −−>，解得13x <或12x >，D 错误. 故选：BC10. 已知x y 、都是正数，且满足2x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. xy 的最大值为1B.+的最小值为2C. 11x y+的最小值为2D. 2211x y x y +++的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A ，由0,0x y >>，2x y +=，得2()12x y xy +≤=，当且仅当1xy ==时取等号，A 正确；对于B2+≤，当且仅当1xy ==时取等号，B 错误； 对于C，1111111()()(2)(22222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=， 当且仅当1xy ==时取等号，C 正确； 对于D ，222211111111111111x y x y x y x y x y x y −+−++=+=−++−+++++++ 11111111[(1)(1)]()(2)11411411y x x y x y x y x y ++=+=++++=++++++++1(214≥+=，当且仅当1111y x x y ++=++，即1x y ==时取等号，D 正确. 故选：ACD11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥ ∗=−< ，已知集合222{0},{R |()(1)0}A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=|，则下面正确结论正确的是（ ）A. a ∃∈R ，()3C B =B. a ∀∈R ，()2C B ≥C. “0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件D 若{}R1S a A B =∈∗=∣，则()4C S = 【答案】AC 【解析】【分析】根据集合新定义，结合一元二次方程，逐项分析判断即可. 【详解】对于A ，当2a =时，{}0,2,1B =−−，此时()3C B =，A 正确；对于B ，当0a =时，{}0B =，此时()1C B =，B 错误；.对于C ，当0a =时，{}0B =，则()1C B =，而{}0,1A =−，()2C A =，因此1A B ∗=；当1A B ∗=时，而()2C A =，则()1C B =或3，若()1C B =，满足2Δ40a a ==−< ，解得0a =； 若()3C B =，则方程20x ax 的两个根120,x x a ==−都不是方程210x ax ++=的根，且20Δ40a a ≠ =−=，解得2a =±，因此“0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件，C 正确； 对于D ，由1A B ∗=，而()2C A =，得()1C B =或3，由C 知：0a =或2a =±，因此{}0,2,2S =−， 3C S ，D 错误.故选：AC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知集合{}A x x a =<，{}13B x x =<<，若A B B = ，则实数a 的取值范围是______．【答案】3a ≥ 【解析】【分析】根据给定条件，利用交集的定义，结合集合的包含关系求解即得.【详解】由A B B = ，得B A ⊆，而{}A x x a =<，{}13B x x =<<，则3a ≥，所以实数a 的取值范围是3a ≥. 故答案：3a ≥13.若一个直角三角形的斜边长等于，当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为______． 【答案】18 【解析】【分析】由题意画出图形，结合勾股定理并通过分析得知当()2722AB AC AB AC +=+⋅最大值，这个直角三角形周长取最大值，根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示：为在Rt ABC △中，90,A BC ==而直角三角形周长l AB BC CA AB CA =++=++，由勾股定理可知(222272AB CA BC +===，若要使l 最大，只需+AB AC 即()2222722AB AC AB AC AB AC AB AC +=++⋅=+⋅最大即可， 又22272AB AC AB AC ⋅≤+=，等号成立当且仅当6AB AC ==， 所以()2722144AB AC AB AC +=+⋅≤，12AB AC +≤，12l ≤+， 等号成立当且仅当6AB AC ==， 此时，其面积为11661822S AB AC =⋅=××=. 故答案为：18.14. 若不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立，则实数x 取值范围是______． 【答案】(]),2∞∞−−∪+【解析】【分析】根据主元法得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立， 得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立，令()()212g a x a x x =+−−+，得22(0)20(1)120g x x g x x x =−−+≤ =+−−+< ， 解得(]),2x ∈−∞−+∞，∴实数x的取值范围是(.故答案为：(]),2∞∞−−∪+.四、解答题（本题共3小题，共47分）15. 设集合U =R ，{}05Ax x =≤≤，{}13B x m x m =−≤≤． （1）3m =，求()U A B ∪ ；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．的【答案】（1）{|5x x ≤或}9x > （2）12m <−或513m ≤≤. 【解析】【分析】（1）根据 集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得B A ，讨论集合B 是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果. 【小问1详解】当3m =时，可得{}|29B x x =≤≤，故可得{|2U B x x =< 或}9x >，而{}|05A x x =≤≤， 所以(){|5U A B x x ∪=≤ 或}9x >. 【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件可得B A ； 当B =∅时，13m m −>，解得12m <−，符合题意； 当B ≠∅时，需满足131035m m m m −≤−≥ ≤，且10m −≥和35m ≤中的等号不能同时取得，解得513m ≤≤； 综上可得，m 的取值范围为12m <−或513m ≤≤. 16. （1）已知03x <<，求y =的最大值； （2）已知0x >，0y >，且5x y xy ++=，求x y +的最小值； （3）解关于x 的不等式()2330ax a x −++<（其中0a ≥）． 【答案】（1）92；（2）2+；（3）答案见解析 【解析】【分析】（1）化简得y，再利用基本不等式即可；（2）利用基本不等式构造出252x y x y + ++≤，解出即可；（3）因式分解为(3)(1)0ax x −−<，再对a 进行分类讨论即可.【详解】（1）()229922x x y +−=≤=，当且仅当229x x =−，即229x x =−，即x =时等号成立.则y =的最大值为92. （2）因为 0,0x y >>, 且 5x y xy ++=, 则252x y x y xy + ++≤，解得2x y +≥ 或 2x y +≤−（舍去），当且仅当1x y ==时等号成立，则x y +的最小值为2+.（3）不等式()2330ax a x −++<化为(3)(1)0ax x −−<，（其中0a ≥）， 当0a =时，解得1x >；当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a−−<，若0<<3a ，即31a>，解得31x a <<；若3a =，x 无实数解； 若3a >，即31a <，解得31x a<<， 所以当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >； 当0<<3a 时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<； 当3a =时，原不等式的解集为∅； 当3a >时，原不等式的解集为3{|1}x x a<<. 17. 已知方程()220,x mx n m n −+−=∈R（1）若1m =，0n =，求方程220x mx n −+−=的解；（2）若对任意实数m ，方程22x mx n x −+−=恒有两个不相等的实数解，求实数n 的取值范围；（3）若方程()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，且()2121248x x x x +−=，求221221128x x x x x x +−+的最小值． 【答案】（1）2x =或1−；（2）2n <（3）【解析】【分析】（1）由题意得到220x x −−=，求出方程的根；（2）由根的判别式大于0得到()21124n m <++，求出()211224m ++≥，从而得到2n <； （3）由韦达定理得到1212,2x x m x x n +==−，代入()2121248x x x x +−=中得到24m n =，结合立方和公式化简得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，令8t m m =−，由单调性得到81333t −=≥，结合基本不等式求出22122112832x x t x x x x t +−=+≥+，得到答案. 【小问1详解】1m =，0n =时，220x x −−=，解得2x =或1−；【小问2详解】()222120x mx n x x m x n −+−=⇒−++−=，故()()2Δ1420m n =+−−>，所以()21124n m <++， 其中()211224m ++≥，当且仅当1m =−时，等号成立， 故2n <；【小问3详解】()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ，()2Δ420m n =−−>，由韦达定理得1212,2x x m x x n +==−，故()2212124488x x x x m n +−=−+=，所以24m n =，此时80∆=>， 所以()()2222331211221212211212121212888x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +−+++−=−=−+++ ()()()221212121212336882x x x x x x m m n x x x x n m ++−−+ −=−+−，因为24m n =， 所以2222122221126284488883282244m m m m x x m m m x x x x m m m m m +−+ +−=−=−=−++−−−， 令8t m m =−，其在3m ≥上单调递增，故81333t −=≥，故22122112832x x t x x x x t +−=+≥+ 当且仅当32t t=，即=t 时，等号成立， 故221221128x x x x x x +−+的最小值为【点睛】关键点点睛：变形得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−，换元后，由函数单调性和基本不等式求最值.。
精华在线 2015-2016届数学第2次月考试卷及答案
精华学校2015—2016学年度第一学期第二次月考试卷理数(新课标卷)本卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合M={x|﹣2＜x ＜1}，N={x|x 2﹣2x ≤0}，则M ∩N=（）A ．{x|0＜x ＜1}B ．{x|0≤x ＜1}C ．{x|﹣1＜x ≤1}D ．{x|﹣2＜x ≤1}2．设平面向量(1,2),(2,),//,|2|a b y a b a b ==--若则等于 （） A ．4 B ．5 C ．35 D ．4 53．点M （1，1）到抛物线y=ax 2准线的距离为2，则a 的值为（）A ．B ．﹣C ．或﹣D ．﹣或4．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＞0，若S 5=S 9，则当S n 最大时，n=（） A ．6B ．7C ．10D ．95．4.函数9()3x xaf x -=的图像关于原点对称，()lg(101)xg x bx =++是偶函数，则=+b a （） A.1 B. 1- C. 21-D. 21 6．下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x ﹣1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x ﹣1＞0； ②p 是q 的必要不充分条件，则￢p 是￢q 的充分不必要条件； ③命题“若x=y ，则sinx=siny ”的逆否命题为真命题；④“m=﹣1”是“直线l 1：mx+（2m ﹣1）y+1=0与直线l 2：3x+my+3=0垂直”的充要条件． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体 的三视图，则此几何体的体积为（）A ．6B ．8C ．10D. 128．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若|FB|≥d ，则双曲线离心率的取值X 围是（） A ．（1，]B ．[，+∞）C ．（1，3]D ．[，+∞）9．设函数()ln(1)f x x x =+- ，记(1),(3),c (7)a f b f f ===则 （ ） A.c a b << B.a b c << C.c b a << D.b c a <<10．在ABC ∆中，=∠===∠C AB BC A 则,6,3,3π（ ） A ．4π或43π B ．43π C ．6π D ．4π11．（5分）已知数列{a n }满足a n =n 3﹣n 2+3+m ，若数列的最小项为1，则m 的值为（） A ．B ．C ．﹣D ．﹣12．（5分）已知函数f （x ）=，若函数F （x ）=f （x ）﹣kx 有且只有两个零点，则k 的取值X 围为（）A ．（0，1）B ．（0，）C ．（，1）D ．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为．14．（5分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA 1=4，则这个球的表面积为．15.（5分）设,x y 满足约束条件22002x x y e y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，则(,)M x y 所在平面区域的面积为___________. 16．（5分）已知函数y=sin （πx+φ）﹣2cos （πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．=三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）已知△ABC 的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值X 围； （2）求函数f （θ）=2sin 2（+θ）﹣cos2θ的取值X 围．18（12分）已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，某某数λ的值．19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、PC 的中点． （Ⅰ）求证：EF ‖平面PAD ；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角Q ﹣AP ﹣D 的余弦值为？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b ＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x 轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A （0，﹣2），某某数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．22．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，某某数m的取值X围月考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B．2．D 3．C．4．B5．D 6．B．7．C8．A．9．B10．D 11．B．12.C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为90°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直的条件可得（+）•（2﹣）=0，根据向量数量积的运算化简得=0，即可求出向量与的夹角．解答：解：因为||=1，||=，（+）⊥（2﹣），所以（+）•（2﹣）=2+﹣=0，则2+﹣2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90°，故答案为：90°．14．三棱柱ABC﹣A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OAO′中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．解答：解：在△ABC中，∠ACB=120°，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O ′，球心为O，在RT△OAO′中，得球半径R==4，故此球的表面积为4πR 2=64π．故答案为：64π．15．【答案】22e-【解析】试题分析：画出2202xx ye yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩对应的平面区域，如图所示.(,)M x y所在平面区域的面积为222021|21122x xAOBe dx S e e e e∆-=-⨯⨯=--=-⎰.16．（5分）已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．解答：解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．∵函数的图象关于直线x=1对称，∴π+φ﹣α=+kπ，即φ=α﹣+kπ，则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2××=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值X围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值X围．考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的X围，进而可得θ的取值X围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的X围和三角函数公式可得．解答：解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的X围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣cos2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴f（θ）的取值X围为：[2，3]点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．18．（12分）解：(1)设数列{a n}的公比为q，由条件可知q3,3q2，q4成等差数列，∴6q2＝q3＋q4，解得q＝－3或q＝2，∵q>0，∴q＝2.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1(n∈N*)．(2)记b n＝a n＋1－λa n，则b n＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，若λ＝2，则b n＝0，S n＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n＋1b n＝2，数列{b n}为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n＝2－λ1－2(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，∵S n＝2n－1(n∈N*)，∴λ＝1.19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF 、MA，通过中位线定理可得EF∥AM，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可．解答：证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD 中，F为PC的中点，∴MF，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，，0），F（，，1），由题易知平面PAD 的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=λ，∵=（，0，1），∴Q（，，λ），=（，，λ），λ∈[0，1]，设平面PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，﹣λ，0），∴==，由已知：=，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点．点评：本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．20．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直．（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求△AOB面积的最大值．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）有已知：c=2，解得a=，b2=4，从而写出方程．（2）分AB斜率不存在或斜率存在两种情况讨论．解答：解：（1）有已知：c=2，∴a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB 斜率不存在时：，当AB 斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：△=16﹣8（2k2+1）=8，即：，|AB|=，O到直线AB 的距离：d=，∴S△AOB==，∴2k2+1∈[1，2）∪（2，+∞），∴，∴此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：△AOB面积取最大值为．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力，解题时要认真审题，仔细解答．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），某某数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x 2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．解答：（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax （x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x 2），设g（x ）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：x（0，﹣）﹣（﹣，+∞）g′（x）+0﹣g（x）↗极大值↘依题意：g（﹣）=ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可得，﹣＜a＜0得证；②由①知：f（x），f′（x）变化如下：x（0，x 1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）↘↗↘由表可知：f（x）在[x 1，x2]上为增函数，所以：f（x2）＞f（x1）又f′（1）=g（1）=1+2a＞0，故x1∈（0，1），由（1）知：ax1=，f（x1）=x1lnx1+ax12=（x1lnx1﹣x1）（0＜x1＜1）设h（x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），则h′（x）=lnx＜0成立，所以h（x）单调递减，故：h（x）＞h（1）=﹣，也就是f（x1）＞﹣综上所证：f（x2）＞f（x1）＞﹣成立．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题．22．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，某某数m的取值X围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m 的X围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于。
2022年辽宁省高考数学二模试卷及答案解析
2022年辽宁省高考数学二模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，3）B．（2，3）C．（﹣∞，3）D．（﹣2，+∞）2．复数z满足（1+i）z＝3+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数f(x)=x2−1e x的图象大致为（）A．B．C．D．4．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，15，…叫做三角形数；把1，4，9，16，25，…叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．16B．25C．36D．495．在(2x −√x )5的展开式中x 2的系数为20，则常数a ＝（ ）A ．±12B ．12C ．±√2D ．√26．已知a ＞0，b ＞0，直线（a ﹣1）x +2y +3＝0与直线x +by ﹣1＝0垂直，则1a+1b的最小值是（ ） A ．2+√2B ．4C ．3+2√2D ．67．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为P ，且|PF 1|+2|PF 2|＝2|F 1F 2|，则此双曲线的离心率是（ ） A ．√2B ．2C ．4D ．58．已知函数f(x)=2x 13，若当x ∈R 时，f(e x )+f(ae x −2√3)＞0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(√3，+∞)B ．(−∞，√3)C ．（3，+∞）D ．（﹣∞，3）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． （多选）9．下列说法中正确的是（ ）A ．在回归分析模型中，若相关指数R 2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好B ．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，8），其线性回归方程是y =x +a ，且y 1+y 2+y 3+…+y 8＝2（x 1+x 2+x 3+…+x 8）＝16，则实数a 的值是1C ．若一组数据2，a ，4，6的平均数是4，则这组数据的众数和中位数都是4D ．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若P （ξ≥1）＝p ，则P(−1＜ξ≤0)=1−p2 （多选）10．已知两条直线m ，n 和两个平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β B ．若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β C ．若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥βD ．若α⊥β，且a ⊂α，则a ⊥β（多选）11．设动直线l ：mx ﹣y ﹣2m +3＝0（m ∈R ）交圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2＝12于A ，B 两点（点C 为圆心），则下列说法正确的有（ ）A ．直线l 过定点（2，3）B ．当|AB |取得最大值时，m ＝1C ．当∠ACB 最小时，其余弦值为14D ．AB →⋅AC →的最大值为24（多选）12．已知函数f(x)=sin|x|+√3|cosx|，下列说法正确的有（ ） A ．函数f （x ）在[23π，76π]上单调递减B ．函数f （x ）是最小正周期为2π的周期函数C ．函数的最大值与最小值之和为1D ．函数f （x ）在区间[﹣8，8]内，共有4个零点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设F 为抛物线C ：x 2＝16y 的焦点，直线l ：y ＝﹣1，点A 为C 上任意一点，过点A 作AP ⊥l 于P ，则||AP |﹣|AF ||＝ ．14．平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于P （x 0，y 0），若cos(α−π4)=√33，则x 0y 0＝ ．15．已知圆O 的半径为2，A 为圆内一点，OA =12，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC →⋅BC →的取值范围是 ．16．如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成．设其中的第一个直角△OA 1A 2是等腰三角形，且A 1A 2＝A 2A 3＝⋯＝A n A n +1=√2，则OA 2＝2，OA 3=√6，…，OA n =√2n ，现将△OA 1A 2沿OA 2翻折成△OP A 2，则当四面体OP A 2A 3体积最大时，它的表面有 个直角三角形；当P A 3=√2时，四面体OP A 2A 3外接球的体积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1+a n＝6n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n﹣a n}是公比为2的等比数列，且b1＝2，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=√3，AD＝1，∠CAD＝30°．（1）求∠ACD；（2）若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝PC＝PD＝2，P A＝AD＝4．（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PC﹣D的正弦值．20．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．（1）赛前小明在某数独APP 上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y （秒）与训练天数x （天）有关，经统计得到如表的数据： x （天） 1 2 3 4 5 6 7 y （秒）990990450320300240210现用y =a +bx作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度y 约为多少秒？（2）小明和小红在数独APP 上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为23，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率． 参考数据（其中t i =1x i）∑ 7i=1t i y i t ∑ 7i=1t i 2−7×t 218450.370.55参考公式：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v =α^+β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β^=∑ n i=1u i v i −nu⋅v ∑ ni=1u i2−nu 2，α^=v −β^⋅u ．21．（12分）已知一动圆Q 与圆M ：（x +1）2+y 2＝1外切，同时与圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝25内切，圆心Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上点P 作该曲线的一条切线l 与直线x ＝1相交于点A ，与直线x ＝9相交于点B ，证明PN ⊥NB 并判断|AN||BN|是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣k）x2，k＞0．（1）若k＝2，求函数f（x）的极值点的个数；（2）是否存在正实数k使函数f（x）的极值为2ek2，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．2022年辽宁省高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．[2，3）B．（2，3）C．（﹣∞，3）D．（﹣2，+∞）解：A＝{x|x≤2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，则（∁U A）∩B＝{x|x＞2}∩{x|﹣2＜x＜3}＝（2，3）．故选：B．2．复数z满足（1+i）z＝3+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由（1+i）z＝3+2i得z=3+2i1+i=(3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=52−12i，可得复数z在复平面内对应的点位于第四象限．故选：D．3．函数f(x)=x2−1e x的图象大致为（）A．B．C．D．函数f(x)=x2−1e x不是偶函数，可以排除C，D，又令f′(x)=−x2+2x+1e x=0得极值点为x1=1−√2，x2=1+√2，所以排除B，故选：A．4．传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1，3，6，10，15，…叫做三角形数；把1，4，9，16，25，…叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A ．16B ．25C ．36D ．49解：由题意可得三角形数构成的数列通项a n =n 2（n +1）， 同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2， 则由a n =n2（n +1），令n2（n +1）＝16，n2（n +1）＝25与 n2（n +1）＝49，无正整数解，对于选项C ，36＝62，36=82(8+1)，故36既是三角形数又是正方形数． 故选：C ．5．在(2x −√x )5的展开式中x 2的系数为20，则常数a ＝（ ）A ．±12B ．12C ．±√2D ．√2解：展开式(2x a √x )5的通项公式为 T r +1=C 5r •（2x ）5﹣r •（a √x）r ＝25﹣r •（﹣a ）r •C 5r•x 5−3r 2， 令5−32r ＝2，解得r ＝2，∴含x 2项系数为 25﹣2•（﹣a ）2•C 52=20，解得a ＝±12，故选：A ．6．已知a ＞0，b ＞0，直线（a ﹣1）x +2y +3＝0与直线x +by ﹣1＝0垂直，则1a+1b 的最小值是（ ） A ．2+√2B ．4C ．3+2√2D ．6解：∵直线（a ﹣1）x +2y +3＝0与直线x +by ﹣1＝0垂直， ∴（a ﹣1）×1+2b ＝0，整理得a +2b ＝1， ∵a ＞0，b ＞0， ∴1a +1b =（1a +1b ）（a +2b ）=a b +2b a +3≥2√a b ⋅2ba +3＝3+2√2， 当且仅当a b=2b a时，取等号，∴1a+1b的最小值是3+2√2．7．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与此双曲线在第一象限内的交点为P ，且|PF 1|+2|PF 2|＝2|F 1F 2|，则此双曲线的离心率是（ ） A ．√2B ．2C ．4D ．5解：由题意可得：|PF 1|+2|PF 2|＝2|F 1F 2|，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， 解得|PF 1|=4(a+c)3， |PF 2|=4c−2a 3， 又|PF 1|2+|PF 2|2＝4c 2，代入化简可得5a 2+4ac ﹣c 2＝0，e =ca＞1， 所以e 2﹣4e ﹣5＝0，解得e ＝5． 故选：D ．8．已知函数f(x)=2x 13，若当x ∈R 时，f(e x )+f(ae x −2√3)＞0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(√3，+∞)B ．(−∞，√3)C ．（3，+∞）D ．（﹣∞，3）解：∵f(x)=2x 13=2√x 3，x ∈R ，f （﹣x ）＝﹣2x 13=−f （x ），∴f （x ）为奇函数，同时也为增函数， 又因为f(e x )+f(ae x−2√3)＞0恒成立， 所以f （e x ）＞﹣f （a e x−2√3）＝f （2√3−ae x ）恒成立，即：e x ＞2√3−ae x 恒成立， 所以a ＞﹣（e x ）2+2√3e x ， 令t ＝e x ，则t ＞0，令g （t ）＝﹣t 2+2√3t ＝﹣（t −√3）2+3≤3， 所以g （t ）max ＝3， 所以a ＞3，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．下列说法中正确的是（）A．在回归分析模型中，若相关指数R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好B．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（i＝1，2，…，8），其线性回归方程是y=x+a，且y1+y2+y3+…+y8＝2（x1+x2+x3+…+x8）＝16，则实数a的值是1C．若一组数据2，a，4，6的平均数是4，则这组数据的众数和中位数都是4D．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ≥1）＝p，则P(−1＜ξ≤0)=1−p 2解：对于A，相关指数R2用来刻画回归效果，R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确；对于B，∵y1+y2+y3+…+y8＝2（x1+x2+x3+…+x8）＝16，∴x=1，y=2，∴样本中心为（1，2），又线性回归方程是y=x+a，∴2＝1+a，解得a=1，故B正确；对于C，若一组数据2，a，4，6的平均数是4，则a＝4×4﹣2﹣4﹣6＝4，∴这组数据的众数和中位数都是4，故C正确；对于D，设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ≥1）＝p，则P（ξ≤﹣1）＝p，则P（﹣1＜ξ＜1）＝1﹣2p，∴P（﹣1＜ξ≤0）=12−p，故D错误．故选：ABC．（多选）10．已知两条直线m，n和两个平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βB．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥βC．若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α⊥βD．若α⊥β，且a⊂α，则a⊥β解：两条直线m，n和两个平面α，β，对于A，若m∥α，n∥β，且m∥n，则α与β相交或平行，故A错误；对于B ，若n ⊥β，且m ⊥n ，则m ∥β或m ⊂β，∵m ⊥α，∴由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B 正确；对于C ，若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C 正确； 对于D ，若α⊥β，且a ⊂α，则a 与β相交、平行或a ⊂β，故D 错误． 故选：BC ．（多选）11．设动直线l ：mx ﹣y ﹣2m +3＝0（m ∈R ）交圆C ：（x ﹣4）2+（y ﹣5）2＝12于A ，B 两点（点C 为圆心），则下列说法正确的有（ ） A ．直线l 过定点（2，3） B ．当|AB |取得最大值时，m ＝1 C ．当∠ACB 最小时，其余弦值为14D ．AB →⋅AC →的最大值为24解：对于A ：由l ：mx ﹣y ﹣2m +3＝0（m ∈R ）整理得m （x ﹣2）﹣y +3＝0，当{x −2=0−y +3=0，即{x =2y =3时，不论m 为何值时m （x ﹣2）﹣y +3＝0（m ∈R ）都成立，所以直线l 过定点（2，3），故A 正确；对于B ：因为直线l 过定点（2，3），将定点代入圆C ：（2﹣4）2+（3﹣5）2＝8＜12，所以定点（2，3）在圆C 的内部，当直线l 过圆心（4，5）时，|AB |取得最大值，此时解得m ＝1，故B 正确；对于C ：设直线l 过的定点M （2，3），当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，而|CM |=√(4−2)2+(5−3)2=2√2，所以|AB |＝2√12−8=4，所以在△ABC 中，由余弦定理计算可得cos ∠ABC =13，故C 不正确；对于D ：AB →⋅AC →=|AB →||AC →|•cos ∠BAC ，而|AB →|•cos ∠BAC 表示AB →在AC →方向 上的投影，所以当AC →、AB →共线即A 、C 、B 、M 四点共线，且方向相同时，AB →⋅AC →取得最大值，此时AB →⋅AC →=|AB →||AC →|=2√3⋅4√3=24，所以AB →⋅AC →的最大值为24，故D 正确． 故选：ABD ．（多选）12．已知函数f(x)=sin|x|+√3|cosx|，下列说法正确的有（ ） A ．函数f （x ）在[23π，76π]上单调递减B ．函数f （x ）是最小正周期为2π的周期函数C．函数的最大值与最小值之和为1D．函数f（x）在区间[﹣8，8]内，共有4个零点解：选项A，∵f(−x)=sin|−x|+√3|cos(−x)|=sin|x|+√3|cosx|=f(x)，∴f（x）为偶函数，当x∈[2π3，7π6]时，cos x＜0，所以f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3 )，又x−π3∈[π3，5π6]，由y＝sin x在[π3，5π6]为先增后減，故A不正确；选项B，当x⩾0时，由cos x⩾0可得f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3 )，所以函数在[2kπ−π2，2kπ+π6]，（k∈Z）且x⩾0上为增凾数，在[2kπ+π6，2kπ+π2]，（k∈Z）且x⩾0 上为减函数，当x⩾0时，由cos x⩽0可得f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3 )，所以函数在[2kπ+π2，2kπ+5π6]，（k∈Z）且x⩾0上为增函数，在[2kπ+5π6，2kπ+3π2]，（k∈Z）且x⩾0上为减函数，做出函数图象如图，又因为函数为偶函数，故f（x）不是周期函数，故B错误；选项C，由B选项的分析可知，函数的最大值为2，最小值为﹣1，故最大值与最小值的和为1，C正确；选项D，由函数图象可得f（x）在区间[﹣8，8]有4个零点，故D正确，故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设F为抛物线C：x2＝16y的焦点，直线l：y＝﹣1，点A为C上任意一点，过点A作AP ⊥l 于P ，则||AP |﹣|AF ||＝ 3 ．解：由抛物线的方程可得准线方程为y ＝﹣4，设AP ⊥l 交点为P ，与准线的焦点为Q ，由抛物线的性质可得|AQ |＝|AF |， 所以||AP |﹣|AF ||＝||AP |﹣|AQ ||＝|PQ |＝|﹣1﹣（﹣4）|＝3， 故答案为：3．14．平面直角坐标系xOy 中，α为第四象限角，角α的终边与单位圆O 交于P （x 0，y 0），若cos(α−π4)=√33，则x 0y 0＝ −16 ．解：根据三角函数的定义可得，x 0＝cos α，y 0＝sin α， 又cos(α−π4)=√33，所以x 0y 0＝sin αcos α=12sin2α=12cos （π2−2α）=12cos （2α−π2）=12[2cos 2（α−π4）﹣1]=−16．故答案为：−16．15．已知圆O 的半径为2，A 为圆内一点，OA =12，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC →⋅BC →的取值范围是 [−18，10] ．解：如图，设BC 的中点为D ，连接OA ，OC ，OD ，则OD ⊥BC ． 设θ为OA →和BC →的夹角，则AC →⋅BC →=（OC →−OA →）•BC →=OC →⋅BC →−OA →⋅BC →=|OC →|•|BC →|cos ∠BCO ﹣|OA →|•|BC →|cos θ=12|BC →|²−12|BC →|cos θ， 且12|BC →|²−12|BC →|≤12|BC →|²−12|BC →|cos θ≤12|BC →|²+12|BC →|，由|BC →|∈[0，4]，当|BC →|=12时，AC →⋅BC →有最小值−18； 当|BC →|＝4时，AC →⋅BC →有最大值10． 所以AC →⋅BC →的取值范围是[−18，10]． 故答案为：[−18，10]．16．如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成．设其中的第一个直角△OA 1A 2是等腰三角形，且A 1A 2＝A 2A 3＝⋯＝A n A n +1=√2，则OA 2＝2，OA 3=√6，…，OA n =√2n ，现将△OA 1A 2沿OA 2翻折成△OP A 2，则当四面体OP A 2A 3体积最大时，它的表面有 4 个直角三角形；当P A 3=√2时，四面体OP A 2A 3外接球的体积为8√2π3．解：由题意可得：△OP A 2，△OA 2A 3为直角三角形，因为V P−OA 2A 3=13×S △OA 2A 3×ℎ=√23ℎ，所以要使四面体P ﹣OA 2A 3的体积最大，只需h 最大，此时平面OP A 2⊥平面OA 2A 3，又平面OP A 2∩平面OA 2A 3＝OA 2，A 2A 3⊥OA 2， 所以A 2A 3⊥平面OP A 2．因为P A 2⊂平面OP A 2，所以A 2A 3⊥P A 2，所以△OP A 3为直角三角形．综上所述，当四面体P ﹣OA 2A 3的体积最大时，它的表面有4个直角三角形．当PA 3=√2时，三棱锥P ﹣OA 2A 3的三条侧棱相等， 所以点P 在底面OA 2A 3的射影为△OA 2A 3的外心．因为△OA 2A 3的为直角三角形，所以△OA 2A 3的外心为OA 3的中点M ． 如图，连接PM ，则PM =√22，所以四面体P ﹣OA 2A 3的外接球的球心在PM 的延长线上． 设球心为N ，连接 NA 3，令 NA 3＝R ，在Rt △MNA 3中，由勾股定理，得R 2=(R −√22)2+(√62)2，解得R =√2，所以V =4πR 33=4π3×(√2)3=8√2π3，所以当P A 3=√2时，四面体P ﹣OA 2A 3外接球8√2π3．故答案为：4；8√2π3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1+a n ＝6n ﹣1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n ﹣a n }是公比为2的等比数列，且b 1＝2，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（1）a n +1+a n ＝6n ﹣1，当n ＝1时，a 2+a 1＝5，又a 1＝1，所以a 2＝4， 当n ≥2时，a n +a n ﹣1＝6（n ﹣1）﹣1， 两式相减可得a n +1﹣a n ﹣1＝6，所以数列{a n }的奇数项是首项为a 1＝1，公差为6的等差数列， 偶数项是首项为a 2＝4，公差为6的等差数列，所以a 2n ﹣1＝1+6（n ﹣1）＝6n ﹣5，a 2n ＝4+6（n ﹣1）＝6n ﹣2， 则a 2n ﹣a 2n ﹣1＝3，a 2n +1﹣a 2n ＝3，n ∈N *， 所以a n +1﹣a n ＝3，n ∈N *，所以数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为3，所以a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（2）若数列{b n﹣a n}是公比为2的等比数列，且b1﹣a1＝1，所以b n﹣a n＝2•2n﹣1＝2n﹣1，所以b n＝3n﹣2+2n﹣1，所以S n=n(1+3n−2)2+1×(1−2n)1−2=3n2−n2+2n﹣1．18．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AC=√3，AD＝1，∠CAD＝30°．（1）求∠ACD；（2）若△ABC为锐角三角形，求BC的取值范围．解：（1）在△ACD中，AC=√3，AD＝1，∠CAD＝30°，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝1，∴CD＝1，所以△ACD是等腰三角形，AD＝CD＝1，所以∠ACD＝∠CAD＝30°；（2）设BC＝a，AB＝c，在△ABC中，AC=√3，∠ACB＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∴∠BAC＝120°﹣B，又因为△ABC为锐角三角形，∴{0°＜B＜90°0°＜120°−B＜90°，∴30°＜B＜90°由正弦定理可得：AC sinB =BCsin∠BAC=BCsin(120°−B)，化简得：BC =√32+32×1tanB， ∵30°＜B ＜90°， ∴tan B ＞√33， ∴0＜1tanB ＜√3，∴√32＜BC ＜2√3， 故BC 的范围为（√32，2√3）． 19．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝PC ＝PD ＝2，P A ＝AD ＝4． （1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角B ﹣PC ﹣D 的正弦值．（1）证明：取CD 的中点M ，连接AM ，PM ，因为CD ＝PC ＝PD ＝2，所以△PCD 为等边三角形，所以PM ⊥CD ，PM =√3， 过点C 作CN ⊥AD 于N ，因为AB ＝BC ＝CD ＝2，AD ＝4，所以DN ＝1，CD ＝2DN ，所以∠ADC ＝60°， 在△ADM 中，由余弦定理知，AM 2＝AD 2+DM 2﹣2AD •DM •cos ∠ADC ＝16+1﹣2×4×1×12=13， 所以P A 2＝AM 2+PM 2，即PM ⊥AM ， 又AM ∩CD ＝M ，AM 、CD ⊂平面ABCD ， 所以PM ⊥平面ABCD ，因为PM ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ．（2）解：以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴的正方向，作Dz ∥PM ，Dy ⊥AD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （3，√3，0），C （1，√3，0），P （12，√32，√3）， 所以PC →=（12，√32，−√3），BC →=（﹣2，0，0），DC →=（1，√3，0）， 设平面PBC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PC →=0m →⋅BC →=0，即{12x +√32y −√3z =0−2x =0， 令y ＝2，则x ＝0，z ＝1，所以m →=（0，2，1）， 同理可得，平面PCD 的法向量n →=（√3，﹣1，0），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−2√5×2=−√55，因为＜m →，n →＞∈[0，π]，所以sin ＜m →，n →＞=2√55， 故二面角B ﹣PC ﹣D 的正弦值为2√55．20．（12分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1﹣9，不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．（1）赛前小明在某数独APP 上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度y （秒）与训练天数x （天）有关，经统计得到如表的数据： x （天） 1 2 3 4 5 6 7 y （秒）990990450320300240210现用y =a +bx 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度y 约为多少秒？（2）小明和小红在数独APP 上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为23，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率． 参考数据（其中t i =1x i） ∑ 7i=1t i y i t ∑ 7i=1t i 2−7×t 218450.370.55参考公式：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v =α^+β^u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β^=∑ n i=1u i v i −nu⋅v ∑ ni=1u i 2−nu2，α^=v −β^⋅u ．解：（1）由题意可得，y =17× （990+990+450+320+300+240+210）＝500， 令t =1x ，设y 关于t 的线性回归方程为y =b t +a ，则b =∑ 7i=1t i y i −7t⋅y ∑ 7i=1t i 2−7t2=1845−7×0.37×5000.55=1000， 则a =500−1000×0.37=130， 故y =1000t +130， ∴y =1000x+130， 当x ＝50时，y =150，故预测小明经过50天训练后，每天解题的平均速度为150秒．（2）设比赛再继续进行X 局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜， 由题意可得，最多再进行4局，就能分出胜负， 当X ＝2时，小明4：1胜，P （X ＝2）=23×23=49，当X ＝3时，小明4：2胜，P （X ＝3）=C 21×13×(23)2=827， 当X ＝4时，小明4：3胜，P （X ＝4）=C 32×(13)2×(23)2=427， 故小明最终赢得比赛的概率为49+827+427=89．21．（12分）已知一动圆Q 与圆M ：（x +1）2+y 2＝1外切，同时与圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝25内切，圆心Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上点P 作该曲线的一条切线l 与直线x ＝1相交于点A ，与直线x ＝9相交于点B ，证明PN ⊥NB 并判断|AN||BN|是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解：（1）圆M ：（x +1）2+y 2＝1圆心M （﹣1，0），半径1， 圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝25圆心N （1，0），半径5， 设动员圆心Q （x ，y ），半径r ，则QM ＝1+r ，QN ＝5﹣r ， 则QM +QN ＝6＞MN ＝2，所以动员圆心Q 的轨迹是以M （﹣1，0），N （1，0）为焦点，长轴为6的椭圆， 即a ＝3，c ＝1，所以b ＝2√2 则点Q 的轨迹方程为x 29+y 28=1；（2）证明：设P （x 0，y 0），则x 029+y 028=1，易知y 0≠0，设直线l 的方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 29+y 28=1，可得（8+9k ²）x ²+18k （y 0﹣kx 0）+9（kx 0﹣y 0）²﹣72＝0，则由直线l 与椭圆相切可得Δ＝[18k （y 0﹣kx 0）]²﹣4（8+9k ²）[9（kx 0﹣y 0）²﹣72]＝0， 即（kx 0﹣y 0）²﹣8﹣9k ²＝0，整理得（x 0²﹣9）k ²﹣2x 0y 0k +y 0²﹣8＝0， 因为点P 在椭圆上，所以x 029+y 028=1，代入可得k =−8x 09y 0， 则切线l 的方程为x 0x 9+y 0y 8=1，将x ＝1和x ＝9分别代入l 中可得A （1，8(9−x 0)9y 0）B （9，8(1−x 0)y 0），则k PN =y 0x 0−1，k BN =8(1−x 0)y 0−09−1=1−x0y 0，|BN |=√(9−1)2+(8−8x 0y 0)2=8√y 02+(x 0−1)2y 02=83⋅|x 0−9y 0|，所以k PN •k BN =y 0x 0−1•1−x 0y 0=−1，|AN||BN|=|8(9−x 0)9y 0−0|83|x 0−9y 0|=13，即PN ⊥NB ，|AN||BN|=13．22．（12分）已知函数f （x ）＝（e x ﹣k ）x 2，k ＞0． （1）若k ＝2，求函数f （x ）的极值点的个数；（2）是否存在正实数k 使函数f （x ）的极值为2ek 2，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．解：（1）当k ＝2时，f （x ）＝（e x ﹣2）x 2，f ′（x ）＝e x •2x +（e x ﹣2）2x ＝x （xe x +2e x ﹣4）＝x [（x +2）e x ﹣4]， 令g （x ）＝（x +2）e x ﹣4，则g ′（x ）＝（x +3）e x ，所以g （x ）＝（x +2）e x ﹣4在（﹣∞，﹣3）单调递减，在（﹣3，+∞）单调递增， 又因为x ＜﹣2时，g （x ）＜0恒成立，g （0）＝﹣2＜0，g （1）＝3e ﹣4＞0， 所以g （x ）＝（x +2）e x ﹣4在（0，1）上有唯一的零点x 0，所以当x ∈（﹣∞，0），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（0，x 0），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（x 0，+∞），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以函数f （x ）有两个极值点， （2）f ′（x ）＝e x x 2+（e x ﹣k ）•2x ＝x [（x +2）e x ﹣2k ]， 令h （x ）＝（x +2）e x ﹣2k （k ＞0），则x ＜﹣2时，h （x ）＜0，h ′（x ）＝（x +3）e x ，当x ＞﹣3时，h （x ）单调递增，h （0）＝2﹣2k ， ①当k ＝1时，f ′（x ）≥0在R 上恒成立，f （x ）无极值，不存在符合题意的k ， ②当k ＞1时，h （0）＜0，h （k ）＝（k +2）e k ﹣2k ＞（k +2）•e ﹣2k ＞0，存在x 0∈（0，k ），使得h （x 0）＝0，当x ∈（﹣∞，0），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（0，x 0），f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当x ∈（x 0，+∞）， f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）的极大值为f （0）＝0＜2ek 2，f （x ）的极小值为f （x 0）＜f （0）＝0＜2ek 2，故不存在符合题意的k ，③当0＜k ＜1时，h （0）＞0，存在x 0∈（﹣2，0），使得h （x 0）＝0，当x ∈（﹣∞，x 0），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（x 0，0），f ′（x ）＜0，f （x 0）单调递减，当x ∈（0，+∞），f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 所以f （x ）的极小值为f （0）＝0＜2ek 2，f （x ）的极大值为f （x 0），如果存在正实数k 使函数f （x ）的极值为2ek 2，则f （x 0）＝（e x 0−k ）x 02=2ek 2， 又因为h （x 0）＝（x 0+2）e x 0−2k ＝0，所以（2kx 0+2−k ）x 02=2ek 2，所以x 03+2ek （x 0+2）＝0， 所以x 03+ex 0+1（x 0+2）2＝0，即x 03e+e x 0（x 0+2）2＝0，令H（x）=x3e+e x（x+2）2，则H′（x）=3x2e+e x（x2++6x+8），因为x∈（﹣2，0），所以H′（x）＞0，所以H（x）在（﹣2，0）单调递增，又因为H（﹣1）＝0，所以x0＝﹣1，此时k=(x0+2)e x02=12e，综上所述，k=12e时，存在极值为2ek2．。
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辽师大附中2015-2016学年下学期第二次模块测试
高一数学试题
一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.tan 690
的值为( )
A.
B.
C.
D. 2.已知向量(4,2)a = ，向量(,3)b x = ，且a ∥b ，则x 等于( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 9
3.若向量a 与b 的夹角为()()4,53,1,2=+=b a a ，
θ，则=θsin ( ) A.1010 B. 31 C. 1010
3 D. 54
4．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫其中A>0，|φ|<π
2的图象如图所示，则f(0)＝(
)
A ．1 B.12 C.22 D.32
5 若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o
180，且53||=，则=( )
A )6,3(-
B )6,3(-
C )3,6(-
D )3,6(-
6. 下列各式中,值为21
的是（ ）
A ．
12sin 12cos 22π
π- B.0
20
5.22tan 15.22tan - C ．0
0150cos 150sin D.2
6
cos
1π
+．
7．函数f(x)＝
sin x －1
2
，x ∈(0，2π)的定义域是( )
A.⎣⎡⎦⎤π6，π2
B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6
C.⎣⎡⎦⎤π2，5π6
D.⎣⎡⎦⎤π3
，5π3
8．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)则向量AB →在CD →
方向上的正投影数量为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－3152
9．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43
10．已知在△ABC 中，向量AB →与AC →
满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12 , 则△ABC 为( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
11．设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sin x ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫
23π6＝( )
A.12
B.32 C ．0 D ．－12
12.已知P 是ABC ∆内一点，且满足32=++BCP ABP ∆∆,, ACP ∆的面积依次为
321S S S ，，，则321S S S ：：等于( )
A. 1:2:3
B. 1:4:9
C. 6:1:2
D. 3:1:2 二、填空题（每题5分满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 函数y=sin （1-x ）的递增区间为 __________________ . 14． tan20o
+tan40o
+3tan20o
tan40o
的值是 .
15. 已知向量(cos ,sin )a θθ= ，向量1)b =- ，则2a b - 的最大值是______________
16.若函数()()0sin 2>=ωωx x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是2-，则ω的最小值为_________
三、解答题 （本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
１７(本小题满分10分)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13. (1)求tan α的值；
(2)求2sin 2α－sin(π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π
2＋α的值．
．
１8(本小题满分10分)
如图，边长为2的菱形ABCD 中，
60=∠A ，E 、F 分别是BC,DC 的中点，G 为 BF 、DE 的交点，若
b AD a AB ==,
(1)试用b a ,表； (2)求CG BF ⋅的值.
19(本小题满分10分)
已知函数f(x)=)3
sin(cos 2π
-
⋅x x
(1)求()x f 的对称中心和单调增区间；
(2)若将()x f 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 ()x g 的图像,当
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈ππ,2x 时，求函数()x g 的值域.
20(本小题满分10分)
已知函数
2
()sin cos )cos f x x x x x ωωωωλ=+--的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且
1,12
ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若存在
030,5x π⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦，使0()0f x =，求λ的取值范围．
答案
选择题ＢＣＡＤＡ ＢＢＡＣＤ ＡＤ 填空题１３
[]ππ
ππ
k k 22
31,22
1++
++１４
４ ；１６ ３／２
１７解析：(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝13， ∴tan α＝－1
2
.
(2)原式＝2sin 2
α－sin αcos α＋cos 2
α
＝2sin 2α－sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2
α－tan α＋1tan 2
α＋1
＝
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＋1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122
＋1＝85
.
１８解：
（1
）=+=由题意......................................
+=+=，.........................................
E 、
F 分别是BC,DC 的中点，
G 为 BF 、DE 的交点
所以G 为BCD ∆的重心，设BD 中点为H ,则
(
)
3132=+-====
..............５ （2
） ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅b CG BF
-=.......................................
60=
43
1
212261461⨯-⨯⨯⨯-⨯=
1-= (9)
１９(1)()()x x x x x f 2cos 12
3
2sin 21cos 32sin 212+-
=-= 2332sin 232cos 232sin 21-
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=--=πx x x 对称中心（)2
3
,63-+ππk 令Z k k x k ∈-
≤-
≤-
,2
23
22
2π
ππ
π
π，解得Z k k x k ∈+
≤≤-
,12
512
π
ππ
π 所以()x f 的单调增区间为Z k k x k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤-，12512ππππ...............6 3.由条件可知().233sin -⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=πx x g
,32,63,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈πππππx x 时，有当 (8)
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1213sin ，的值域为从而πx y ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛
-=232,231233sin 的值域为于是πx y (9)
２０解（1）
()2cos22sin(2)
6
f x x x x
π
ωωλωλ
=--=--
．……………………………（２分）
因为
()
f x的图象关于直线xπ
=对称，则
2
62
k
ππ
ωππ
-=+
，即
1
()
23
k
k Z
ω=+∈
．
因为
1
(,1)
2
ω∈
，则1
k=，
5
6
ω=
．
所以
()
f x的最小正周期
26
25
T
ππ
ω
==
．…………………………………………………………………（５分）
（2）令
()0
f x=，则
5
2sin()
36
π
λπ
=-
由
3
5
x
π
≤≤
，得
55
6366
x
πππ
-≤-≤
，则
15
sin()1
236
x
π
-≤-≤
．
据题意，方程
5
2sin()
36
x
π
λ=-
在
3
[0,]
5
π
内有解，所以λ的取值范围是[1,2]
-．…………………9 .。