单调性最大小值教案

1

x 2

x )(1x f )(2x f )

(x f 图3

y

x

1

x 2

x )

(1x f )(2x f )

(x f 图4

y

x

1

x 2

x )(1x f )(2x f )

(x f 图5

y

x

第1.3.1节 单调性与最大(小)值

研习教材重难点

研习点1. 增函数与减函数

1.增函数与减函数的概念（重点） 一般地,设函数

()f x 的定义域为I

:

增函数的定义:如果对于定义域内某个区间

D 上的任意两个自变量的值

12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是

增函数(increasing function).如右图所示.

减函数的定义:如果对于定义域内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,

当

12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数

(decreasing function).如右图所示.

从增函数的定义可以看出, 函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间

而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数

2x y =（如右图），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数.

函数单调性的定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语.另外,在某个区间上的两个自变量12,x x 与其对应的函数值对增函数而言是“荣辱与共”的，而对于减函数而言, “此消彼长”的. 单调性的定义的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么

（1）

()()()x f x x x f x f ⇔>--02

121在[],a b 是增函数；

()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[]

,a b 是减函数； （2）

()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数.

2．单调性与单调区间（难点）

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，

这一区间叫做函数

)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象

是上升的，减函数的图象是下降的.

在理解函数的单调性与单调区间时就注意以下几个方面:

⑴函数的单调区间是其定义域的子集；增函数、减函数、单调函数是对整个定义域而言.有的函数不是单调函数，但在某个区间上可以有单调性. 因此说函数的单调性是对某个区间而言的，是一个局部概念.

⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如右图中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显

然此图象表示的函数不是一个单调函数；

⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“

)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；

⑷定义的内涵与外延：

内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；

外延:①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相

对时是单调递减.

②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.

思考：函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗?“某个函数()f x 在区间D 上单调”与“区间D 是函

数

()f x 的单调区间”这两句话,你认为一样吗?

【辨析·比较】 单调区间的书写要求

由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定义,则必须写成开区间.另外,若函数

()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都是单调增（减）函数，一般不能认简单地认为()f x 在区间

A B 上是增（减）函数.例如1

()f x x

=

在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上也是减函数，但不能说它在定义域

(,0)(0,)

-∞+∞上是减函数.事实上，若取

12

11x x =-<=，有

(1)11(1)f f -=-<<，这是不符合减函数的定义的.

典例1. 给出下列函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.

【研析】通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理,图（1）中 f(x)的单

调区间有

(]1,3-,(－1,0),[)1,0,[)3,1.其中在

(]1,3-和

[)1,0上是减函数,在 (－1,0)和

[)3,1上是增函数.

图（2）中 g(x)的单调区间有⎪⎭⎫ ⎝⎛-

2,2ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ,其中在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ和 ⎪⎭

⎫

⎝⎛23,2ππ上都是减函数. 以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？ 3．单调性的判断与证明（难点）

用定义法判断或证明函数f (x ) 在给定的区间D 上的单调性的方法步骤：