弦切角定理的证明

合集下载

弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法弦切角定理证明方法连oc、oa，则有oc⊥cd于点c。

得oc‖ad，知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac，得∠cad=∠oac。

进而有∠oac=∠bac。

由此可知，0a与ab重合，即ab为⊙o的直径。

连接bc，且作ce⊥ab于点e。

立即可得△abc为rt△，且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。

又∠cad=∠cae，ac公用，∠cda=∠cea，得△cea ≌△cda，有ad=ae，所以，ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下：首先证明弦切角定理，即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc，则有∠acd+∠aco=90°===∠aco+∠aoc,所以∠acd=∠aoc，而∠cba=∠aoc，得∠acd=∠cba。

另外，∠acd+∠cad=90°，∠cad=∠cab，所以有∠cab+∠cba=90°，得∠bca=90°，进而ab为⊙o的直径。

2证明一：设圆心为o，连接oc，ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb∵∠boc=2∠cab∴∠tcb=∠cab证明已知：ac是⊙o的弦，ab是⊙o 的切线，a为切点，弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证：证明：分三种情况：圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径，ab切⊙o于a，∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么，连接ec、ed、ea则有：∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在rt△abc中，∠c=90，以ab为弦的⊙o与ac相切于点a，∠cba=60°,ab=a求bc长.解：连结oa，ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a例2：如图，ad是δabc中∠bac的平分线，经过点a的⊙o与bc切于点d，与ab，ac分别相交于e，f.求证：ef∥bc.证明：连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3：如图，δabc内接于⊙o，ab是⊙o直径，cd⊥ab于d，mn切⊙o于c，求证：ac平分∠mcd，bc平分∠ncd.证明：∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b，∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b，∴∠mca=∠acd，即ac平分∠mcd，同理：bc平分∠ncd.弦切角逆定理证明已知角cae=角abc，求证ae是圆o 的切线证明：连接ao并延长交圆o于d，连接cd，则角adc=角abc=角cae而ad是直径，因此角acd=90度，所以角dac=90度-角adc=90度-角cae 所以角dae=角dac+角cae=90度故ae为切线弦切角定理证明弦切角定理编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理证明-概念解析以及定义

弦切角定理证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述弦切角定理是几何学中一个重要的定理，被广泛应用于圆的相关问题中。

根据该定理，如果一个弦切割了一个圆，并且与该圆的切线相交于切点，那么与这个弦相对的角与这个切线相交的角是相等的。

这个定理基于圆的几何性质而推导得出，它不仅具有理论的重要性，还被大量应用于解决实际问题。

无论是在数理推导中，还是在物理、工程等实际应用中，弦切角定理都被广泛运用。

本文将会系统地介绍弦切角定理的定义、证明要点和应用。

在正文部分，我们将详细阐述定理的定义，解释证明该定理所需的关键要点，并通过推理和几何演绎来证明这一定理的正确性。

同时，我们也将结合实际问题，展示弦切角定理在实际中的应用。

结论部分将对弦切角定理的意义进行总结，并回顾全文的主要内容。

通过阅读本文，读者将能够深入了解弦切角定理的定义、证明过程，并能够灵活运用该定理解决与圆相关的问题。

同时，本文也为读者展示了弦切角定理在实际中的重要性和应用价值。

在接下来的章节中，我们将逐步介绍弦切角定理的定义、证明要点以及其在实际问题中的应用。

希望读者通过对本文的阅读和理解，能够对弦切角定理有一个全面而深入的认识，从而在解决相关问题时能够能够灵活运用并取得理想的结果。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：在本文中，我将探讨弦切角定理的证明。

本文分为引言、正文和结论三部分。

引言部分将对弦切角定理进行概述，介绍其定义、重要性和应用领域。

然后我会详细说明本文的结构以及每个部分的内容。

正文部分将详细介绍弦切角定理的证明。

首先，我将给出弦切角定理的定义，并解释其背后的数学原理。

然后，我会重点讨论证明该定理所需的关键要点。

第一要点将涉及到几何图形的构建和性质推导，第二要点将涉及到角度关系的推理和推导。

通过详细的推导和证明过程，读者将能够全面理解弦切角定理的证明方法。

结论部分将归纳总结弦切角定理的应用和意义。

我将讨论该定理在几何学中的实际应用，以及它对其他几何定理的推导和应用的重要性。

切割角定理

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角∴∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA∵∠TCB=90-∠OCD∵∠BOC=180-2∠OCD更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB∴∠TCB=∠CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证：.（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴ ∠CEA=∠CAB∴ （弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）编辑本段推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在中, ∠C=90∴∠BAC=30°∵ （弦切角定理）∴∠AOB=60°又∵AO=BO∴为等边三角形∴A O=AB=BO=2BC∴BC=1/2a例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.。

弦切角定理及其推论

定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴∠BOC=2∠TCB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB （定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）应用举例：第一个算出地球周长的人──埃拉托色尼2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。

这个人就是古希腊的埃拉托色尼。

埃拉托色尼博学多才，他不但通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。

细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光能够一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。

但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。

他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。

从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。

按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。

埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。

他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。

这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。

埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。

书中描绘了地球的形状、大小和海陆分布。

埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。

(完整版)弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定义图1如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB∵∠BOC=180°-2∠OCB∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)过A作直径AD交⊙O于D,E若在优弧m所对的劣弧上有一点那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）3弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等应用举例例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。

（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求证：EF//BC.证明：连接DFAD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。

弦切角定理怎么证明

弦切角定理怎么证明弦切角定理是几何学中一个基本的定理，它描述了一个弦与其所对的角的关系。

根据弦切角定理，一个弦所对的角等于其对应弧所对的角等于该弦所夹的两个弧的角和的一半。

为了证明弦切角定理，我们可以利用以下步骤：步骤1: 假设在一个圆上有一个弦AB，它所对的角为∠ACB。

我们需要证明∠ACB = 1/2(∠AOB + ∠APB)。

步骤2: 通过圆心O作弦AB的垂线，交弦AB于点P，并延长OP使其与圆相交于点C。

步骤3: 由于AO = OB（弦AB的中垂线），所以∠AOP = ∠BOP = α。

同时，由于∠OCP是弧APB所对的角，根据圆心角定理，我们知道∠OCP = 1/2∠APB = β。

步骤4: 观察三角形ACP和BCP。

根据直角三角形的定义，我们知道∠ACP = 90° - α，∠BCP = 90° - α。

步骤5: 由于三角形ACP和BCP的两个角分别等于∠ACB的两个角，根据三角形角和定理，我们可以得到∠ACB = ∠ACP + ∠BCP = (90° - α) + (90° - α) = 180° - 2α。

步骤6: 同时，我们可以通过两个角β和∠OCP的和来计算∠AOB。

根据直角三角形定义，我们知道∠OCP = 90° - β。

因此，∠AOB = ∠AOP + ∠BOP + ∠OCP = α + α + (90° - β) = 180° - 2β。

步骤7: 根据步骤5和步骤6的结果，我们可以得到∠ACB = 1/2 (∠AOB + ∠APB)。

这就证明了弦切角定理。

弦切角定理在几何学中具有广泛的应用，特别是在证明和解决与圆相关的问题时非常有用。

它不仅可以帮助我们计算弦所对的角，还可以用于证明弦所夹的两个弧的角和等于360°。

弦切角定理的证明方法

弦切角定理的证明方法证明弦切角定理时，需要使用到以下几何模型：1.一个圆，圆心为O，半径为r；2.在圆上选择两个点A和B，连接OA和OB；3.以A和B分别为圆心，r为半径，画两个与圆相交的圆弧。

接下来按照以下步骤进行证明：第一步：证明OA与OB垂直。

由于OA和OB是圆的半径，所以OA和OB相等，即OA≡OB。

根据等腰三角形的性质，OA和OB的中垂线也相等，即OM≡OM。

由此可得，△OMA≡△OMB。

根据等腰三角形的定义，可以得出∠MOA≡∠MOB。

而∠MOA和∠MOB是相交直线与两条相交弧所夹的角，因此根据垂直角的定义，可以得到OA与OB垂直。

第二步：证明角AOB的度数等于弦AB所对的圆心角的度数。

由于AOB是一个半圆角，根据半圆角的定义，它的度数等于180°。

另一方面，弦AB所对的圆心角的度数等于弧AMB的度数。

所以，要证明两者相等，我们只需要证明两个弧所对的角相等。

第三步：证明弦AB所对的圆心角的度数等于弦AB所对的切角的度数。

以A为圆心，r为半径，作弧周上的线段AC切圆于点C。

连接OC。

根据圆的切线定理，切线与半径垂直，所以OC与AC垂直。

又由于OA与OC是圆半径，所以∠OAC是一个直角。

因此，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°。

由于∠OAC是弦AB所对的圆心角，OC是切线AC所对的切角。

根据三角形中角的性质，弦切角等于其所对的圆心角的补角，即∠OCA等于∠OAB的补角，即180°-∠OAB。

所以，∠OAC+∠OAB=90°。

综上所述，在△OAC中，∠OAC+∠OCA=90°，∠OAC+∠OAB=90°。

所以，∠OCA=∠OAB，即切角与圆心角相等。

第四步：综合前面的结论，得到结论弦切角定理的证明。

由第一步可得△OMA≡△OMB，由第二步可得∠AOB=180°。

由第三步可得∠OAC=∠OAB。

将这些结论整合起来，可以得到△OMA和螺旋△OAC与△OMB和螺旋△OBC全等，即∠MOA=∠COA，∠MOB=∠COB。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

弦切角定理的证明弦切角定理：定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明
证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。

过点A作TP的平行线交BC于D，
则∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
∴,∠BOC=2∠TCB
证明：分三种情况：
(1)圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
(2)圆心O在∠BAC的内部.
过A作直径AD交⊙O于D,
那么
.
(3)圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么
2
连接并延长TO交圆O于点D，连接BD因为TD为切线，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因为TD为直径，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A
3
编辑本段弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。

编辑本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。