大一上学期微积分复习资料

10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导

第一章 函数

一．本章重点

复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求

1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。

2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。

3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中

⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运

算性质，还能熟练应用它与指数函数 x

y e

=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v

u v u

e =

⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.

4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解

例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2

sin x y e =

⑵.2

1

arctan(

)1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解：

⑴.2,,sin u y e u v v x

===⑵.21

arctan ,, 1.y u u v x v

==

=+

例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：

cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是

(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=.

cot14

arc π

=

四．练习题及参考答案

1. ()arctan f x x =

则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .

2.()arcsin f x x =

则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) =

；2

f = .

3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3

ln(1)y x =- 答案：

1.（-∞ +∞）, (,

)2

2

π

π

-

,

,04

π

2. []1,1,,,,2223ππππ

⎡⎤--⎢⎥⎣⎦

.3. ⑴.,

3u y e u x ==-

⑵.3ln ,

1.

y u u x ==-

自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶；

习题一.（B ）.11.

第二章 极限与连续

一．本章重点

极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数

的连续性。

二．复习要求

1．了解变量极限的概念，掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是：函数在x 0点的左右极限都存在且相等。

2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：

1

sin lim sin

0,lim

0x x x

x x

x

→→∞==

3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，

利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当()x α 0时,有：

sin ()x α～()x α； tan ()x α～()x α

()1x e α-～()x α;

ln(1())x α+～()x α

;

1～

()

x n

α

1cos ()x α-～

2()

2

x α.…….

（参见教材P79）

4.掌握两个重要极限:

(Ⅰ).0sin lim

1x x

x

→=

(Ⅱ).1

01lim(1)lim(1)x

x x x e x x

→∞→+==+

记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1∞型未定式极限：

1

0lim(1)lim(1)x k

x x x k e kx x

→∞→+==+ 1

0lim(1)lim(1)x k

x x x k e kx x

-→∞→-==- 5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条是：函数在x 0点极限存在且等于

0()f x ，即：

0lim ()()x x f x f x →=

当分段函数在分段点0x 的左右两边表达式不相同时，函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条件则是：

0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -

+→→==.

6. 掌握函数间断点及类型的判定。

函数的不连续点称为间断点，函数()f x 在

0x 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：

⑴、()f x 在0x 点无定义；

⑵、0

lim ()x x f x →不存在；

⑶、存在0

lim ()x x f x →，但0

0lim ()()x x f x f x →≠.

若0x 为()f x 的间断点，当)(lim 0

x f x x +→及

)(lim 0x f x x -

→都存在时，称0x 为()f x 的第一类间断