小六数学第5讲：递推与归纳(教师版)

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第五讲遴稚鸟归角大脳体標作业兒成情况知识械理有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。

例如：按规律填数：1，4, 9, 16, 25, ( ), 49, 64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。

若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3, 5, 7, 9,……,15；可以看到相邻两数的差从3 开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36,再看36+13=49得到验证。

⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。

那么所求的是第六项是62=36。

我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。

像这种解题方法称为递推法。

教学重•难点1.理解递推法的概念。

2.会用递推法解题趣味引入例1： 999・・：99*X999・・：999』勺乘积屮有多少个数字是奇数?10个910个9分析：我们可以从最简单的9X9的乘积屮有几个奇数着手寻找规律。

9X9=81,有 1 个奇数；99 X 99=99 X (100-1) =9900-99=9801,有 2 个奇数; 999X999=999 (1000-1) =999000-999=998001,有 3 个奇数； …… 从而可知，Q99・・・999X9g9・・・99Q 的乘积屮共有10个数字是奇数。

---- y ------------ V Z10个910个9分析:先从AB 之间只有一个点开始，在逐步增加AB 之I'可的点数，找出点和线段之I'可的规律。

我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。

AB 之间只有1个点：线段有1+2=3条。

AB 之间只有2个点：线段有1+2+3二6条。

2021年人教版六年级数学上册5 整理和复习课件牛老师

(2)在同一个圆内，半径与直径都有( 无数
有半径的长度(
相等
)，所有直径长度(
直径的长度是半径长度的(
2倍
)。
)。
)条，所
相等
)，
一个圆形牛栏的直径为30m，要用多长的粗铁丝才能把牛栏
围上3圈？
3.14×30×3＝282.6（m）
答：要282.6m长的粗铁丝才能把牛栏围上3圈。
世界最大单口径射电望远镜——“中国天眼”于2017年10月
生活是蜿蜒在山中的小径，坎坷不平。
►一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。——
维尔斯特拉斯
►历史使人贤明,诗造成气质高雅的人,数学使人高尚,自然哲学使人
深沉,道德使人稳重,而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根
►在现实中,不存在像数学那样有如此多的东西,持续了几千年依然是
确实的如此美好。——苏利文确。
is not old until regrets take the place of dreams.
只要一个人还有追求，他就没有老。直到后悔取代了梦想，一个人才
算老。
►Bad times make a good man.
艰难困苦出能人。
►Life is a path winding in the mountain, bumpy and zigzagging.
►宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。J·H·京斯
►新的数学方法和概念,常常比解决数学问题本身更重要。——华罗
庚
►数学是无穷的科学。――赫尔曼外尔
►上帝是一位算术家。——雅克比
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。
►冲冠一怒为红颜，英雄难过美人关。只愿博得美人笑，烽火戏侯弃江山

六年级上册数学教案-第五单元归纳总结人教新课标

教学内容1. 数学基础知识的复习：复习整数、小数、分数的基本概念和运算规则，包括四则运算、分数的通分和约分、小数的位值等。

2. 数学应用问题的解决：通过解决实际问题，如百分比、比例、速率、面积和体积计算等，来提升学生的数学应用能力。

3. 数学思维的培养：通过逻辑推理、问题分析、解决策略的选择等，锻炼学生的数学思维能力。

4. 数学在实际生活中的应用：将数学知识应用于日常生活中，如购物时的价格计算、家庭预算的制定等。

教学目标1. 知识目标：学生能够熟练掌握并运用整数、小数、分数的运算规则，理解并运用数学公式和定理。

2. 技能目标：学生能够运用所学的数学知识解决实际问题，包括计算、测量、估算等。

3. 思维目标：学生能够通过数学学习培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

4. 应用目标：学生能够将数学知识应用到实际生活中，增强数学的实用性和生活联系。

教学难点本单元的教学难点在于如何帮助学生将零散的数学知识进行系统化整理，形成完整的知识框架，并能够灵活运用到实际问题中。

如何激发学生对数学的兴趣，提高他们解决复杂问题的能力，也是教学中的难点。

教具学具准备1. 教具：多媒体教学设备、数学公式挂图、实物模型等。

2. 学具：学生笔记本、计算器、直尺、圆规等。

教学过程1. 复习导入：通过复习已学的数学知识，帮助学生回顾和巩固基础概念。

2. 知识讲解：详细讲解数学公式、定理和概念，并通过实际例子进行说明。

3. 互动讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，促进知识的内化。

4. 案例分析：通过分析生活中的数学问题，让学生体验数学的实用性。

5. 课后作业：布置相关练习题，让学生在课后进行巩固。

板书设计板书设计将简洁明了地展示教学内容，包括关键知识点、公式、定理等，并配合图表和实例进行说明。

作业设计作业设计将围绕本单元的教学内容，包括基础知识的巩固练习、实际应用问题的解决以及思维训练题目。

作业难度适中，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

2023人教版六年级数学上册全册整理教案

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2023年人教版六年级数学上册全册整理教案 - 整体评述教学是一项复杂而又重要的工作，教师需要精心准备教案来支撑自己的教学活动。

教案的质量直接关系到教学效果，因此2023年人教版六年级数学上册全册整理教案的重要性不言而喻。

本文将从不同章节的教案内容出发，深入探讨这一主题。

1. 教案的重要性教案是指导和规范教学活动的一种工具，它包括了教学目标、教学内容、教学方法、教学安排、教学活动设计、师生活动安排以及评价方式等内容。

【精品】五年级下册数学试题：培优专题讲练：第5讲巧用递推人教版

第5讲巧用递推方法和技巧学会实际操作、计算、观察、分析、，归纳出规律，并应用这些规律解决实际问题。

例题精讲A级基础点睛【例1】班主任需要在最短的时间内，向全班同学发出紧急通知。

假定用电话联系，每通知一个同学需要1分钟，第1分钟由班主任通知同学C，第2分钟由班主任和C同学通知其他的两位同学，以此类推，如果没有重复，那么，5分钟共通知了多少名同学？分析与解第一分钟通知1名同学：第二分钟通知2名同学；第三分钟通知4（2×2=4）名同学；第四分钟通知8（2×2×2=8）名同学；第五分钟通知16（2×2×2×2=16）名同学。

所以，共通知了1+2+4+8+16=31（名）同学。

做一做1 把一张16厘米×32厘米的纸裁去一半，再将其中的一张裁去一半……继续这样裁下去，直到得到一张1厘米×2厘米的纸为止。

那么，一共需裁多少次？【例2】将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干块小纸片，如果要分成不少于50块小纸片，那么至少要画多少条直线？请说明。

分析与解我们通过列表来观察：直线条数纸片最多划分成的块数1 1+12 1+1+23 1+1+2+34 1+1+2+3+45 1+1+2+3+4+5…………不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。

我们把问题转化为：自第几行起，右边的数不小于50？我们知道1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。

答：至少要画10条直线。

做一做2 若把一个菠萝竖直切成11块，问：最少要切多少刀？【例3】如右图，在2×2的方格中画一条直线，最多可穿过3个方格，在3×3的方格中画一条直线，最多可穿过5个方格，那么在10×10的方格中画一条直线，最多可穿过多少个方格？分析与解采用递推的方法，从中找出规律和答案。

人教版数学小学六年级上册第5单元圆第4~5课时圆的面积计算公式的推导及应用优质教案

1.独立解答后集体订正。
2.独立解答后，汇报，全班集体交流。
5.将一只羊拴在草地的木桩上，绳子的长度是4米。这只羊最多可以吃到多少平方米的草？
3.14×42＝3.14×16＝50.24m2
答：这只羊最多可以吃到50.24平方米的草。
五、课堂总结，拓展延伸。（2分钟）
1.总结本节课学习的内容。
2.布置课后学习内容。
2.指导操作，推导圆的面积计算公式。
（1）议一议：怎样求圆的面积？
（2）想一想：怎样分割才能把圆转化成长方形？
（3）剪一剪、拼一拼。（教师指导，课件演示）
（4）问题提示：拼成的近似长方形的长和宽分别相当于圆的哪一部分？
你能根据长方形的面积计算公式推导出圆的面积计算公式吗？
（5）师生共同小结。
1.思考并回答老师提出的问题。
教师点评和总结：
2.（1）小组内讨论。
（2）小组讨论分割的方法。
（3）利用学具操作：把圆平均分成2份；再把每个半圆平均分成8份；剪开后拼一拼。
（4）观察拼成的近似长方形，教师提出的问题，小组内讨论的面积计算公式的推导过程
（5）汇报推导结果。
3.填空。
（1）把圆平均分成若干份，然后把它剪开，可以拼成一个近似的长方形，这个长方形的长等于圆的（周长的一半），宽等于圆的（半径）。
在学生掌握圆的面积计算公式最常用推导方法的基础上，引导学生巧妙运用转化的方法创新思维，多角度探究推导圆的面积计算公式的方法。
学习目标
1.理解圆的面积的意义，掌握圆的面积的计算公式，能运用公式解决实际问题。
2.经历圆的面积计算公式的推导过程，体会转化的思想方法。
3.培养动手操作、自主探究的能力。
学习重点
（2）圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（2）倍，面积扩大（4）倍。

浙教版(2023)六上第5课算法的执行教案2

学情分析
学生在进入六年级之前，已经学习了基础的数学知识和简单的计算机操作。他们对算法概念可能有一定的了解，但不一定能够深入理解算法的执行过程和原理。学生在知识方面，需要进一步掌握算法的基本概念和执行方法。在能力方面，学生需要提高逻辑思维和问题解决能力，能够运用算法解决实际问题。在素质方面，学生需要培养创新意识和实践能力。
教学资源拓展
1.拓展资源
-算法案例库：提供一系列不同领域的算法案例，如数学、物理、生物等，让学生了解算法在实际应用中的广泛性。
-编程挑战平台：介绍一些在线编程挑战平台，如LeetCode、Codeforces等，让学生通过解决实际问题来提高编程能力。
-算法讲座视频：推荐一些在线视频讲座，如MIT OpenCourseWare、Coursera等，让学生深入了解算法的理论和应用。
输出：最大值索引max_index，最小值索引min_index
算法流程：
1.初始化max_index = 0，min_index = 0
2.对于数组中的每个元素arr[i]：
1.如果arr[i] > arr[max_index]，则更新max_index = i
2.如果arr[i] < arr[min_index]，则更新min_index = i
1.初始化n =数组长度
2.对于i = 0到n-1：
1.对于j = 0到n-i-1：
1.如果arr[j] > arr[j+1]，则交换arr[j]和arr[j+1]
3.返回排序后的数组arr
```
4.题型四：算法优化
题目：优化以下算法，使其时间复杂度更低：给定一个整数数组，计算数组中所有元素的和。
答案：

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第五讲递推与归纳有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。

例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64；分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。

若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。

那么所求的是第六项是62=36。

我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。

像这种解题方法称为递推法。

1. 理解递推法的概念。

2. 会用递推法解题例1：999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？分析：我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。

9×9=81，有1个奇数；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数； 999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数； ……从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。

例2：如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？分析：先从AB 之间只有一个点开始，在逐步增加AB 之间的点数，找出点和线段之间的规律。

我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。

AB 之间只有1个点：线段有 1+2=3条。

AB 之间只有2个点：线段有 1+2+3=6条。

AB 之间只有3个点：线段有 1+2+3+4=10条。

AB 之间只有4个点：线段有 1+2+3+4+5=15条。

……不难发现，当AB 之间有8个点时，线段有 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45条。

若再进一步研究可得出这样得规律，线段数=点数×（点数-1）÷2。

例3：计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。

分析：这是一道特殊的计算题，当然我们可以采用分别求出每个数的立方是多少再求和计算出这题的结果。

这样的计算工作量比较大，是否可以采用其它较简便的方法计算呢？下面我们就来研究这个问题。

13+23=（1+2）2； 13+23+33=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2 ；……这样我们可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2 =552= 3025通过这个例题我们可以得到13+23+33++……+n 3=（1+2+3+…+n ）2例4：2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。

问：最后留下的这个人原来的号码是多少？分析“我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。

第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，……；都是2的倍数。

即21的倍数；第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，……；都是4的倍数，即22的倍数；第一次留下的学生编号是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍数。

即23的倍数；……由于210=1024＜2000＜211=2048；这样可知，最后留下学生的号码一定是1024。

例5：圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数1；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上的数之和；再把4段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的数之和，如此继续下去，问第6步后，圆周上所有点上的之和是多少？分析：先可以采用作图尝试寻找规律。

10个9 10个9 10个910个9 1 2 3 4 5 6 7 8 B第一步，圆周上有两个点，第二步有四个点，第三步有八个点，第四步有十六个点，…，第六步有32个点。

因为问题是求圆周上所有数的和，所以我们不必去考虑每一步具体增加了哪些数，只须知道每一步增加数的总和是多少。

第一步：圆周上有两个点，两个数的和是1+1=2；第二步：圆周上有四个点，四个数的和是1+1+2+2=6；增加数之和恰好是第一步圆周上所有数之和的2倍。

第三步：圆周上有八个点，八个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加数之和恰好是第二步数圆周上所有数之和的2倍。

第四步：圆周上有十六个点，十六个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，增加数之和恰好是第三步数圆周上所有数之和的2倍。

……这样我们可以知道，圆周上所有数之和是前一步圆周上所有数之和的3倍。

用递推法关系表示。

设a n 为第n 步后得出的圆周上所有数之和，则a n =3×a n －1利用此式可以得到： a n =3×a n －1=3×3a n －2=3×3×3a n －3=……=3×3×……×3a 1 因为a 1=2，所以：a n =3×3×……×3a 1=3（6-1）×2=486。

例6： 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？分析：设第n 次传球后，球又回到甲手中的传球方式有a n 种。

可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有 3×3×……×3=3（种）传球方法。

这些传球方式并不是符合要求的，它们可以分为两类，一类是第n-1次恰好传到甲手中，这有a n-1传法，它们不符合要求，因为这样第n 次无法再把球传给甲；另一类是第n-1次传球，球不在甲手中，第n 次持球人再将球传给甲，有a n 传法。

根据加法原理，有a n-1+a n =3×3×……×3=3n-1。

由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方式是不存在的，所以a 1=0。

利用递推关系可以得到 a 2=3-0=3，a 3=3×3-3=6，a 4=3×3×3-6=21，a 4=3×3×3×3-21=60。

这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种。

当然这题也可以利用列表法求解。

我们可以这样想，第n 次传球后，球不在甲手中的传球方法，第n+1次传球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。

从图中可以看出经过四次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种。

1 1 1 （n －1）个3（n －1）个3（n －1）个3 （n －1）个3A1.100条直线最多能把一个平面分成_____个部分。

答案：50512.熊大叔是一个卖烧饼的师傅,他用一个平底锅煎饼,他是这样煎饼的:每次只能放两个饼,每个饼正反面都要煎,煎每一面都要1分钟,问他煎10个这样的饼需要_____分钟。

答案：103.上一段11阶楼梯,规定每一步只能上一级或两级,那么要登上第11级台阶有_____种不同的走法。

答案：1444.请先计算11×11,111×111,1111×1111,你能根据以上结果,不经过计算而直接写出11111111×11111111=________。

答案：1234567876543215.我们知道三角形的内角和是180度,长方形的内角和是360度,那么正十边形的内角和是_____度。

答案：1440B6.有一列数,第一个数是0.第二个数是100,从第三个数开始,每个数都是前两个数的平均数,问第2005个数的整数部分是_____。

答案：667.小华过生日,邀请了班上的16名同学参加他的生日聚会,小华买了一个单层的大蛋糕,要保证每个人都能吃到蛋糕,问至少要切_____刀。

答案：58.一对刚出生的雌雄小兔,在喂养两个月后就生下一对雌雄小兔,并且以后每个月都能生一对雌雄小兔,张大伯现在喂养一对雌雄小兔,一年后一共有_____对小兔。

答案：1449.两个自然数的差是5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是_____。

答案：2910.两个自然数它们的最小公倍数是60。

那么它们的差有_____种可能。

答案：23C11.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子跳4次。

兔子跑出_____米远将被猎狗追上。

答案：28012.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。

已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离是_____米。

答案：78013.小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。

问：甲、乙两地相距_____千米远。

答案：27014.A、B两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64千米处相遇，甲、乙两站间相距_____千米。

答案：8015.AB两地相距98千米，甲从A地出发汽车速度为30千米/时，乙从B地出发开车速度为40千米/时，问甲乙第三次迎面相遇距离A地_____米远。

答案：141.平面上有10条直线，这10条直线最多有多少个交点？答案：452.小明有5块水果糖，妈妈规定：每天只能吃一块或两块，小明吃完这5块糖有多少种不同方法？答案：83.小蜜蜂通过蜂巢房间，规定：只能从小号房间进入大号房间，问小蜜蜂由1号房间走到8号房间有多少种方法？（2007年东直门中学试题）答案：214.（21012）3=（）10答案：1945.11（a 2＋b 2）=b a 0 求 b a 0=（）答案：8036.求1×2×3×4×……×50末尾有多少个连续的零？答案：121.下列数是按一定规律排列的。

3、8、15、24、35、48、63、……，那么，它的第36个数是（）。