《群论基础》习题
群论试题及答案
群论试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 群的运算满足以下哪些条件？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元答案：ABCD2. 以下哪个不是阿贝尔群的性质？A. 群的运算满足交换律B. 群中任意两个元素的乘积仍然在群中C. 群中存在唯一的单位元D. 群中每个元素都有唯一的逆元答案：B3. 群的阶数是指：A. 群中元素的个数B. 群中元素的最小公倍数C. 群中元素的最大公约数D. 群中元素的乘积答案：A4. 以下哪个不是子群的性质？A. 子群是群的一个非空子集B. 子群中的元素对群的运算封闭C. 子群包含群的单位元D. 子群的阶数必须小于原群的阶数答案：D5. 群的同态映射满足以下条件：A. 保持运算结构B. 映射到的群与原群是同构的C. 保持单位元和逆元D. 映射是双射答案：A二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述群的定义及其基本性质。
答案：群是一个集合G，配合一个二元运算*，满足以下四个条件： - 封闭性：对于任意的a, b ∈ G，有a * b ∈ G。
- 结合律：对于任意的a, b, c ∈ G，有(a * b) * c = a * (b * c)。
- 存在单位元：存在一个元素e ∈ G，使得对于任意的a ∈ G，有e * a = a * e = a。
- 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素b ∈ G，使得a * b = b * a = e。
2. 什么是群的同构映射？请给出一个例子。
答案：群的同构映射是指两个群之间的一个双射函数f: G → H，它保持群的运算结构，即对于任意的a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) * f(b)。
例如，考虑整数加法群(Z, +)和模n的剩余类群(Zn, +)，映射f: Z → Zn，定义为f(k) = k mod n，这是一个同构映射。
3. 解释什么是群的正规子群，并给出一个例子。
答案：群的正规子群是指满足以下条件的子群N：对于G中的任意元素g和N中的任意元素n，都有g * n * g^-1 ∈ N。
《群论基础》习题
《群论基础》习题1．讨论以下集合是否构成群：（1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法；（2）1的任何次根（n k i n e π21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法；（3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法；（4）m ⨯n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）；2．回答问题：（1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。
（2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。
（3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。
（4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？（5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有何特点？3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？(1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i(5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于哪一个点群。
5．确定以下分子所属点群：（1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇（3）8-羟基喹啉 （4）肼（5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯（7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°）（8）环戊二烯 （9）环丁烷（10）六氯乙烷 （11）丁二烯6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。
7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。
8．利用C 2h 的特征标表说明：（1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。
（2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。
9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。
11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示：A 1g ⊗B 1g A 1u ⊗ A 1u B 2u ⊗ E 1gE 1g ⊗ E 2u E 1g ⊗ B 2g A 2u ⊗ E 1u12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。
《群论》部分习题答案
《群论》部分习题解答版权所有人：Wu TS,2006年4月第一章.预备知识(Chapter1.Preliminary) 4.(Page28)Let S be the set of all n×n symmetric real matrices and in S we define a binary relation∼in the followingA∼B if and only if there exists an invertible matrix C such that B=C AC,where C is the transpose matrix of C.Prove that∼defines an equivalent relation in pute|S/∼|.解答：（1）直接验证∼是S的一个等价关系。
（2）根据线性代数理论，对于任意实对称矩阵A,存在可逆矩阵Q 使得Q AQ是对角矩阵diag{1,1,···,−1,···,−1,0,···,0},简记为Q AQ=E r000−E s0000=Dr,s,其中r+s=r(A).根据惯性定理，其中的r也是由A唯一确定的。
因此，两个n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是r(A)=r(B)且正惯性指数相同。
所以我们得到S/∼={D r,s|0≤r,s and r+s≤n},其中，D r,s={P D r,s P|P∈GL n(R)}.下面计算|S/∼|.(1)满足r=0的D r,s共有n+1个，它们分别是D0,0,D0,1,D0,2,···,D0,n.(2)满足r=1的D r,s共有n个，它们分别是D1,0,D1,1,D1,2,···,D1,n−1.···(n+1)满足r=n的D r,s共有1个，即为D n,0.因此，|S/∼|=n+1j=1j=(n+1)(n+2)2.1第二章.群论(Chapter2.Group Theory)1.(Page49)Prove that both G1={(a ij)n×n|a ij∈Z,det(A)=1}and G2= {(a ij)n×n|a ij∈Q,det(A)=1}are groups under the matrix multiplication.证明:只证明G1是子群。
群论初步习题
第十二章 群论简介习题§12.1 群的定义和例子１．设Ｇ为一切不等于零的有理数所成的集合，证明Ｇ对于数的乘法作成一个群． 【证明】１）任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故Ｇ对数的乘法封闭；２）数的乘法结合律对一切数都成立，自然对Ｇ也成立； ３）01≠是非零有理数，且对任何一个非零有理数a ，011≠=⨯=⨯a a a ， 说明１是Ｇ的单位元素； ４）对任意的非零有理数a ，则a1是非零有理数，且 111=⨯=⨯a aa a ， 说明a 的逆元是a 1，根据群的定义，即知集合Ｇ对数的乘法作成一个群． ２．Ｇ是由a ，b ，c 三个元素所作成的集合，它的乘法表是判别Ｇ是否成群？【解】由乘法表容易看到，Ｇ对规定的乘法是封闭的，a 是Ｇ的单位元素，a 、b 、c 的逆元分别是a 、c 、b ． 以下只要证明结合律成立即可．因为(ab)c ＝bc ＝a ，a(bc)＝aa ＝a ，故(ab)c ＝a(bc)；同法可知a(cb)＝(ac)b ＝a ，(ba)c ＝b(ac)＝a ，(bc)a ＝b(ca)＝a ，(ca)b ＝c(ab)＝a ，(cb)a ＝c(ba)＝a ，以上６个式子说明结合律对规定的乘法是成立的， 因此Ｇ对规定的乘法作成一个群．３．证明下列四个方阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ对于矩阵乘法作成一个群Ｖ，写出的Ｖ乘法表．Ｖ是否循环群？Ｖ是否交换群？⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001C ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001D ．【证明】先写出乘法表．由乘法表看出，集合Ｖ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵的乘法满足，自然对Ｖ中的矩阵也满足，而矩阵Ａ是单位元，元素Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的逆元素分别是它们自身，故Ｖ对矩阵的乘法作成群． 但（Ａ）＝｛Ａ｝，（Ｂ）＝｛Ａ，Ｂ｝，（Ｃ）＝｛Ａ，Ｃ｝，（Ｄ）＝｛Ａ，Ｄ｝， 它们都不等于Ｖ，从而Ｖ不是循环群．由乘法表的对称性，可知群Ｖ是一个交换群．§12.2 置换群１．求置换的乘积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3245115432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3245154321． ２．把置换表为轮换的乘积： （１）⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321， 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321)642)(7531(=； （２）⎪⎪⎭⎫⎝⎛1234568787654321． 【解】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234568787654321)54)(63)(8271(=．３．证明：（１）121)(-k i i i )(11i i i k k -=；（２）设Ｐ，Ｑ为两个不相交的轮换，则ＰＱ＝ＱＰ．【证明】（１）)(21k i i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++n k n k k i i i i ii i i i i 1132121,)(11i i i k k -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+--+-n k kk k n k k k i i i i ii i i i i 121111, )(11i i i k k -)(21k i i i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+-n k k k k n k k k i i i i ii i i i i 121111⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n k n k ki i i i i i i i i i 1132121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n k k n k i i i i i i i i i i 1211132⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n k n k ki i i i i i i i i i 1132121)(1121121i i i i i i i i i i i n k kn k k =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++ ,（恒等变换）同理可证 )(21k i i i )(11i i i k k -)(1i =，所以 121)(-k i i i )(11i i i k k -=．（２）设)(21k i i i P =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++n r rk n r r k k i i i i i i ii i i i i i i 111321121，)(21r k k i i i Q ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k k n r r k k i i i i i i ii i i i i i i 112211121， 其中没有相同的数字．则 )(21k i i i PQ =)(21r k k i i i ++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i 1121321121)(21r k k i i i ++=QP i i i k =)(21 .４．写出四次对称群的所有置换．【解】四次对称群的全体置换（共２４个）用轮换的形式表示就是： （１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）．§12.3 子群及其陪集１．求出三次对称群的所有子群．【解】)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ，它的平凡子群为单位元群)}1{(及3S 本身；其２阶子群有３个，即)}12(),1{(1=H ，)}13(),1{(2=H ，)}23(),1{(3=H ； 三阶子群只有１个，即)}132(),123(),1{(4=H ，由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是3S 的所有子群．２．证明：阶为质数的群一定是循环群．【证明】设Ｇ群的阶为质数p ，则Ｇ必含有周期大于１的元素，不妨设为a ，其周期为m ＞１，故由a 生成的循环群（a ）是群Ｇ的子群，其阶数为m ， 由拉格朗日定理知，m 整除p ， 但p 是质数，故m ＝p ， 从而 Ｇ＝（a ），即Ｇ是循环群． ３．证明：阶为质数幂mp 的群中包含一个阶为p 的子群．【证明】设群Ｇ的阶为mp ，因p 为质数，故群Ｇ含有非单位元素a ． 设a 的周期为n ，由拉格朗日定理的推论，知n 整除mp ，即rn p =，1r m ≤≤． 若r ＝１，则循环群（a ）＝2{,,,}p a a a e =是Ｇ的p 阶子群；若1r >，那么循环群（1r p a-）＝1112{,,,}---==r r r rp p pp p a a a a e是Ｇ的p 阶子群．证完．４．证明：循环群的子群也是循环群． 【证明】设Ｇ是循环群，Ｈ是其子群．若Ｇ是单位元群，则显然Ｈ＝Ｇ，故结论成立． 下面讨论Ｇ不是单位元群的情况． 若Ｇ＝（ａ），其中ａ不是单位元，Ｈ是Ｇ的子群，但不是单位元群，那么Ｈ中必含有m ＞０的幂ma ．不妨就设m a 是Ｈ中a 的最小正幂，显然Ｈ包含ma 的任何乘幂． 若sa 是Ｈ中的任意元素，由s ＝tm ＋r ，m r <≤0，可知 t m s tms ra a aa --==)( 也是Ｈ中的元素，但m 是最小正整数，而且m r <≤0，故r ＝０， 于是 tmsa a )(=，这就是说，Ｈ中的任意元素s a 都是m a 的幂，即Ｈ只含有ma 的任意乘幂， 所以Ｈ是由m a 生成的循环群，即Ｈ＝（ma ）． 这样就证明了命题．５．证明：群Ｇ的一个元素a 是恒等元的充分必要条件为a 适合关系a a =2． 【证明】必要性是显然的．下面只证充分性．设群Ｇ的恒等元为e ，由于e a a aa==--11，在关系式a a =2两端同时乘a 的逆元1-a ，有e aa aa ==--112而 a ae aa a aa ===--)(112，所以 e a =，即a 是群Ｇ的单位元．§12.4 共轭类与子群１．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2145354321P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5143254321Q ，求1-QPQ ．【解】使用教材８４—８５页的方法，对置换Ｐ的上下两行分别施行置换Ｑ，得 1-QPQ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3215451432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3154254321． ２．设四阶群Ｖ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝的乘法表为求出Ｖ的所有共轭类．【解】由Ｖ的乘法表看出，群Ｖ是可换群，故群Ｖ的每一个元素就是一个共轭类．即群Ｖ有四个共轭类：｛ｅ｝，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝． ３．证明：指数为２的子群一定是正规子群．【证明】设Ｈ为群Ｇ的子群，由于［Ｇ：Ｈ］＝２，则群Ｇ按子群Ｈ的左分解为Ｇ＝Ｈ＋ａＨ按Ｈ的右分解为 Ｇ＝Ｈ＋Ｈａ， 其中H a ∉． 因此 ａＨ＝Ｈａ，即对任意的H a ∉，都有 H aHa =-1．若H a ∈，则ａＨ＝Ｈａ，即H aHa=-1显然成立．依正规子群的定义，Ｈ是正规子群． ４．证明：交换群的每一个子群都是正规子群．【证明】设Ｇ为交换群，Ｈ为Ｇ的子群，则对任意的G a ∈，都有ａＨ＝Ｈａ，即H aHa=-1，所以Ｈ是正规子群．５．求四次对称群的所有共轭类．【解】由§１２．２的习题４，知4S 的所有置换（共２４个）为（１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）． 再由教材８５页的定理２，具有相同的轮换结构的置换必共轭，知4S 共有５个共轭类， 即上面的每一行的置换组成一个共轭类．§12.5 点群１．证明：点群3D 含有三个共轭类．【证明】点群3D 有一个三重轴（取为z 轴）及三条二重轴（与z 轴垂直），其元素为)3(2)2(2)1(2233,,,,,C C C C C E ，其中23)()3(23)()2(2)()1(2,,C C C C C yz v yz v yz v σσσ===,这个群的乘法表为233,C C 属于一个共轭类．这是因为233,C C 有共同的旋转轴，而变换Ｅ即保持它不变． (1)(2)(3)222,,C C C 属于另一个共轭类．因为只要作变换3C 或23C ，反映(1)(2)(3)222,,C C C 的对称平面即可互相转化．而Ｅ是恒等变换，它单独成一类． 所以两面体群3D 共有三个共轭类． ２．求出点群ℭh 3的元素和它的乘法表．【解】把反映h σ加到旋转群2333(){,,}C E C C =上去，并用h σ分别乘233,C C ，即得点群ℭh 3223333{,,,,,}h h h E C C C C σσσ=．它的乘法表为注意上述乘法表使用了可换性．３．设I 为以原点为对称中心的反演，证明2G ＝},{I E 是一个群． 【证明】写出2G 的乘法表 则显然2G 是一个群．§12．6 同构对应和同态对应１．证明：三次对称群3S 与点群两面体群3D 同构． 【证明】三次对称群3S 元素为Ｅ＝（１），Ａ＝（１２），Ｂ＝（１３），Ｃ＝（２３），Ｄ＝（１２３），Ｆ＝（１３２）． 其乘法表为而3D 的乘法表为（上节习题１）：作从对应3S 到3D 的对应ϕ：(1)(2)(3)222233,,,,,E E A C B C C C D C F C →→→→→→，比较两个群，发现它们有共同的乘法表，故3S 与3D 同构． ２．证明：点群v G 2与点群h G 2同构．【证明】点群v G 2＝()()()2{,,,}z xz yz v v E C σσ与点群h G 2＝22{,,,}h h E C C σσ，它们的乘法表分别为22h h E C σσ C E 22h h E C σσ C 2C h h σσ22C E C h σ 22C σσh h C E 2h C σ 2h σσ2h C C E作两个群之间的对应ϕ：()()()222,,z xz yz v h v h E E C C C σσσσ→→→→，则由两个群的乘法表可知，ϕ是一个同构对应， 从而点群v G 2与点群h G 2同构．３．证明：点群v G 3与下面的矩阵乘群M 同构．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10011A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323212A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323213A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10014A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323215A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212323216A ． 【证明】v G 3的乘法表参见教材９２页．作矩阵乘群的乘法表，作v G 3与矩阵乘群M 之间的一一对应ϕ：2(1)(2)(3)13233456,,,,,v v v E A C A C A A A A σσσ→→→→→→比较它们的乘法表，知v G 3与矩阵乘群M 同构．４．证明：群Ｇ的子群Ｈ与每一个左陪集ａＨ之间存在１—１对应． 【证明】假如{}H h =，则{|,}aH ah a G h H =∈∈．下面分两种情况讨论． １）a H ∈的情形，此时有aH H =，则Ｈ的元素与自身的对应（即恒等对应）就是一个一一对应； ２）a H ∉的情形，作Ｈ到ａＨ的对应:h ah ϕ→，则可证ϕ是一一对应．事实上，对Ｈ中不同的元素12,h h ，则它们的象12ah ah ≠，否则将会有12h h =， 这说明不同元素的象也不同，即ϕ是一个单射；另一方面，如果ah 是aH 的一个元素，则按aH 的定义，即知ｈ是ａｈ的一个原象，这说明ϕ是从Ｈ到ａＨ上的对应，即ϕ是一个满射， 从而ϕ是一一对应．综上所述，Ｈ与ａＨ之间存在１—１对应． ５．证明：存在一个从点群v G 2到点群2G 上的同态对应． 【证明】点群v G 2和点群2G 的乘法表分别是作对应()()()222:*,,,z xz yz v v E E C E C C ϕσσ→→→→，则(#)(#)*(#)()(#)E E E ϕϕϕϕϕ===，＃表示()()()2z xz yz v v C σσ,,中的任意一个变换．()()()()()2222()()*()()z xz yz z xz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====， ()()()()()2222()()*()()z yz xz z yz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====，()()()()22()()*()()xz yz xz yz v v v v E E C C ϕσσϕϕσϕσ====，注意到两个群都是交换群，故ϕ是从点群v G 2到点群2G 的一个同态对应．６．证明：除同构对应外，只有两个四阶群． 【证明】设四阶群Ｇ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝，则由拉格朗日定理的推论，即知群的元素的周期只能是１或２或４， 但a ，b ，c 的周期不能是１，故它们的周期必为２或４．１） 若a ，b ，c 之中有一个元素（比如说a ）的周期为４，则Ｇ＝（ａ），此时Ｇ为四阶循环群．２） 若a ，b ，c 的周期都是２，则Ｇ的乘法表一定是这是因为a ，b ，c 的周期为２，则222a b c e ===，而ab e ≠，否则，将有2e ab a b a ==⇒=，这与群的阶数为４不符； ab a ≠，否则b ＝e ，同样ab b ≠，这样只有ab c =．表中其它乘积的结果类似．因此，从同构的意义上说，只有两个四阶群，前一个是四阶循环群，后一个是Klein 四元群，它们都是交换群．。
群论习题及答案 群论讲义课件
[ 答案: 因为 F 中没有 23, 所以不能由P123 F 可得 13 ]
*
= (31/2/3) 4 (1/2) (31/2/2) sin cos
= sin cos
[ 将此归一化得 23 = 2 1/2 cos sin , 或 2-1/2 sin cos ]
讨论 :
6
[ 问题1: P223 F = P123 F = 0 说明什么? ]
[ 答案: 说明 F = sin2 中不含有D3 群二维不可约表示D3 的第二
[ 问题4: 还有什ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ途径可以得到 23 ? ]
[ 答案: 先由 P113 F = P113 sin2 得 13 = 2-1/2 ( sin2 - cos2 ),
再由 P213 13 得 23 = 2 1/2 cos sin ]
[ 问题5: 由 P213 F 可得 23, 是否可由P123 F 可得 13 ? 为什么? ]
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 120o + )
+ sin2 ( + 120o ) - sin2 ( - 120o ) ] = 0
*
P213 F = ( 31/2 / 6 ) ( PB - PC - PD + PF ) F
4
= ( 31/2 / 6 ) [ sin2 ( 120o - ) - sin2 ( 240o - )
群论及其应用习题及答案
2 习题: 试将由 D3 群二维不可约表示 D3 的矩阵元构成的投影算符
P223 , P213 与 P123 作用到函数 F = sin2 上, 求 D3 的一组基矢 13 和 23. 并结合课上介绍的 P113 对 F 作用的结果一起进行 讨论 *
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
大学数学群论练习题及答案
大学数学群论练习题及答案一、群论概述群论是数学中极为重要的一个分支，它研究了集合和代数结构之间的关系。
群论的应用广泛，涉及到代数、几何、计算机科学等领域。
本文将介绍一些大学数学群论的练习题，并提供答案供读者参考。
二、基本概念1. 定义：集合G上的一个二元运算*，如果满足结合律、存在单位元和逆元，那么称< G, *>为一个群。
2. 练习题：a. 证明：一个群的单位元唯一。
答案：假设有两个单位元e1和e2，那么e1*e2=e1 (e2作为单位元)，但同时由于e1*e2=e2 (e1作为单位元)，所以e1=e2。
因此，群的单位元是唯一的。
b. 证明：群中的任意元素的逆元唯一。
答案：假设有两个逆元a和b，那么a*a^-1=e (a的逆元)，同时a*b^-1=e (b的逆元)。
根据群的结合律，我们有a^-1*(a*b^-1)=(a^-1*a)*b^-1=e*b^-1=b^-1。
因此，a^-1=b^-1，逆元是唯一的。
三、群的性质1. 半群：若集合G上的二元运算*满足结合律，但不存在单位元和逆元，则称< G, *>为一个半群。
2. 幺半群：若集合G上的二元运算*满足结合律和幺半性质（存在单位元），但不存在逆元，则称< G, *>为一个幺半群。
3. 练习题：a. 判断以下集合在给定的运算下是半群、幺半群还是群：i) 整数集合Z上的加法运算。
答案：整数集合Z上的加法运算满足结合律，存在单位元0，但不存在逆元。
因此，< Z, + >是一个幺半群。
ii) 实数集合R上的减法运算。
答案：实数集合R上的减法运算满足结合律，不存在单位元和逆元。
因此，< R, - >是一个半群。
b. 证明：每个群都是幺半群。
答案：对于一个群< G, *>，它满足结合律、存在单位元和逆元，因此也满足幺半性质。
所以每个群都是幺半群。
四、同态与同构1. 定义：设有两个群< G, *>和< H, @>，若存在一个满射f：G→H，且对任意的g1、g2∈G有f(g1*g2) = f(g1)@f(g2)，则称f为从群< G, *>到< H, @>的同态映射。
群论练习题
一、群的基本概念1. 定义一个群，并判断其是否满足群的基本性质。
a) R+（正实数集合，在乘法下）b) R（实数集合，在加法下）c) Z（整数集合，在加法下）d) Zn（模n的整数集合，在加法下）3. 给定一个群G，求出G的阶。
a) 在R上定义运算a b = a + b + abb) 在R上定义运算a b = a + b abc) 在R上定义运算a b = a^ba) 在S3上定义运算a b = ab^{1}b) 在S3上定义运算a b = a^{1}bc) 在S3上定义运算a b = a^{1}b^{1}6. 给定一个群G，求出G的子群。
a) {e, (12)}b) {e, (13), (23), (123)}c) {e, (12), (34), ()}a) 在Z4上定义运算a b = a + b + 1b) 在Z4上定义运算a b = a + b 1c) 在Z4上定义运算a b = a b (乘法)a) 在S3上定义运算a b = ab^{1}b) 在S3上定义运算a b = a^{1}bc) 在S3上定义运算a b = a^{1}b^{1}10. 给定一个群G，求出G的正规子群。
二、群的同态与同构1. 定义一个群同态，并判断其是否为满同态或单射。
a) f: R → R，f(x) = 2xb) f: R → R，f(x) = x^2c) f: R → R，f(x) = x + 1a) f: Z → Z，f(x) = 2xb) f: Z → Z，f(x) = x^2c) f: Z → Z，f(x) = x + 14. 给定一个群同态f，求出f的核。
a) f: Z → Z，f(x) = 2xb) f: Z → Z，f(x) = x^2c) f: Z → Z，f(x) = x + 16. 给定一个群同态f，求出f的像。
a) f: Z → Z，f(x) = 2xb) f: Z → Z，f(x) = x^2c) f: Z → Z，f(x) = x + 18. 给定两个群G和H，求出G和H的同态。
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《群论基础》习题
1．讨论以下集合是否构成群：
（1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法；
（2）1的任何次根（n k i n e π
21=，k ＝0，1，…，n-1）的全体复数集合对于乘法；
（3）绝对值等于1的全体复数集合（θi e ，πθ20≤≤）对于乘法；
（4）m ⨯n 矩阵的集合对于矩阵加法（m ≠n ）；
2．回答问题：
（1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。
（2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。
（3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。
（4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？
（5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有
何特点？
3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？
(1) C 3加i (2) C 3加S 6 (3) C 5v 加σh (4) S 6减i
(5)S 4加i (6) D 3d 减S 6 (7)C 3v 加i (8)T d 加i
4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于
哪一个点群。
5．确定以下分子所属点群：
（1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇
（3）8-羟基喹啉 （4）肼
（5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯
（7）六氯代苯（相邻的C-Cl 上下交错地偏离苯环平面12°）
（8）环戊二烯 （9）环丁烷
（10）六氯乙烷 （11）丁二烯
6．构成点群C 2h 的乘法表，并将群元素分类。
7．构成点群C 2h 的特征标表，并标出它的不可约表示。
8．利用C 2h 的特征标表说明：
（1） 将C 2轴看做是Z 轴，σh 为xy 平面，在C 2h 点群中x 、y 和z 属于哪一种表示。
（2） d xy ，d xz 和d yz 属于哪一种表示。
9．试对H 2O 分子中氧原子的d 轨道进行对称性分类。
11．对D 6h 群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示：
A 1g ⊗
B 1g A 1u ⊗ A 1u B 2u ⊗ E 1g
E 1g ⊗ E 2u E 1g ⊗ B 2g A 2u ⊗ E 1u
12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。
（D 2点群）。