第一讲一元一次方程
一元一次方程定义和概念
一元一次方程定义和概念一元一次方程定义和概念定义•一元一次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
一般形式为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
相关概念系数•在一元一次方程中，a称为方程的系数。
它表示未知数x的系数，决定了未知数x的变化对方程的影响程度。
常数项•在一元一次方程中，b称为方程的常数项。
它表示方程中未知数以外的已知数，不包含未知数x。
常数项决定了方程的平移和整体位置。
解•一元一次方程的解是能使方程成立的数值。
解可以有零个、一个或多个。
•如果方程没有解，则称为无解；如果方程有解，则称为有解。
•有解的时候，解是方程的根，也就是未知数所对应的数值。
解的求解方法•解一元一次方程的常用方法有倒数相消法、加减消元法和代入法。
•倒数相消法是通过操作等式的两边，使未知数的系数为1，然后得到解。
•加减消元法是通过加减操作等式的两边，消掉未知数的系数，最终得到解。
•代入法是通过将已知的数值代入方程中，然后求解得到未知数。
总结一元一次方程是数学中的基本概念之一，它可以用来描述物理、经济等领域中的问题。
掌握一元一次方程的定义、相关概念以及解的求解方法，对于解决实际问题和理解数学中的其他概念和方法都非常重要。
通过不断练习和实践，我们可以提升对一元一次方程的理解和运用能力。
例题现在我们来解决一个关于一元一次方程的例题：题目：若x + 3 = 10，求方程的解。
解析：根据方程的定义和概念，我们知道这是一个一元一次方程。
我们需要找到满足这个方程的解。
首先，我们可以通过倒数相消法来求解这个方程： 1. 将3移动到方程的右边，变成x = 10 - 3； 2. 计算得到x = 7。
所以，方程的解是x = 7。
这个例题简单地展示了如何利用倒数相消法来解一元一次方程。
在实践中，我们可以遇到更复杂的方程，利用代入法和加减消元法来解决。
掌握这些解法，可以更灵活地解决不同形式的一元一次方程。
专题讲座1一元一次方程
专题讲座（一） 一元一次方程 姓名：知识点精讲1.方程:含有未知数的等式叫做方程.2.一元一次方程:只含有 个未知数,并且未知数的次数是 的方程,叫做一元一次方程.3.方程的解:使方程左右两边相等的 的值叫做方程的解.4. 解方程:求方程的 的过程叫做解方程.解方程:168-=6. 一元一次方程ax b =的解由a b 、的值决定:⑴若0a ≠,则方程ax b =有唯一解bx a =;⑵若0a b ==,方程变形为00x ⋅=,则方程ax b =有无数多个解;⑶若0,0a b =≠,方程变为0x b ⋅=,则方程无解.典型例题分析1.解下列方程:⑴3211212223423x x ⎡⎤⎛⎫-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ⑵111246819753x ⎧⎫⎡-⎤⎛⎫+++=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭⑶0.50.70.30.110.30.2x x -+-= ⑷4336x x -=+2.解下列关于x 的方程:⑴()6313x m x +-= ⑵537(5)x nx n -=+≠3.如果 x ＝2 是关于x 的方程110742316191＝＋－＋＋⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a x 的解，求 a b 、的值.4.已知关于x 的方程323a x bx --=的解是x =2，其中a ≠0且b ≠0，求代数式a b b a-的值5.有理数111,25,8恰是下列三个方程的根:211012113124x x x -++-=-, 3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),112(1)(1)223z z z ⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦,则x z y x -的值为 ( ) A.-17140 B.-34780 C.71220 D.142556. 已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和3151128x a x +--=有相同的解, 求这个解.7.若k 为整数，则使得关于x 的方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有多少个?8.已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无数多个解,求a b 、的值.强化训练一、选择题：1．关于x 的方程()210x a --=的根是3，则a 的值为（ ）A ．4B ．4-C ．5D ．5-2．下列两个方程的解相同的是（ ）A ．方程536x +=和方程24x =B ．方程31x x =+和方程241x x =-C ．方程102x +=和方程102x += D ．方程()63525x x --=和方程6153x x -= 3．若关于x 的一元一次方程23132x k x k ---=的解是1x =-,则k 的值是（ ） A ． 27 B ．1 C ．1311- D ．0 4.如果1x =-是方程20x mx n ++=的一个根，那么m ，n 的大小关系是 ( )．A. m>n B ．m=n C. m<n D ．不确定的5.若关于x 的方程()3870a b x ++=无解,则ab 的值是（ ）A.正数B.非正数C.负数D.非负数二、填空题：1.若23x -的值与13-互为倒数,则x 的值为 . 2.若2a 与互为相反数，则a 等于____________.3.当x =___________时，代数式()1122x -与代数式1x +的值相等。
七年级上册第五章-第一讲 认识一元一次方程1
第一讲 认识一元一次方程一、方程的定义定义 ：含有未知数的等式叫做方程． (1)方程中包含两个要求：①必须是等式；②必须含有未知数；两者缺一不可． (2)方程一定是等式，但等式不一定是方程；(3)方程中的未知数可以用x 表示，也可以用其他字母表示； (4)方程中可含多个未知数．例1 下列式子：①8－7＝1＋0；② x －y ＝x 2；③a －b ；④6x ＋y ＋z ＝0；⑤x ＋2；⑥ － ＝3；⑦x ＝5；⑧x －2＞1.其中是方程的有( )个．A ．3B ．4C ．5D ．6例2 下列各式中：①2x －1＝5；②4＋8＝12；③5y －7；④2x ＋3y ＝0；⑤3x 2＋x ＝1；⑥2x 2－3x －1；⑦|x |＋1＝2；⑧ ＝6y －9，是方程的有( )A ．①②④⑤⑧B ．①②⑤⑦⑧C ．①④⑤⑦⑧D ．①③④⑤⑥⑦⑧ 二、列方程1. 列一元一次方程的一般步骤： (1)设出适当的未知数；(2)用含有未知数的式子表示题中的数量关系； (3)根据实际问题中的等量关系列出方程． 2. 列一元一次方程的基本流程：3.设未知数的方法：(1)题中问什么设什么(设直接未知数)；(2)找的等量关系需要什么设什么(设间接未知数)． 例3 根据下列条件列出方程．(1)x 的2倍与－9的差等于x 的 加上6；(2)某数比甲数的2倍少3，与甲数的差为9. 例4 根据下列条件能列出方程的是( )A ．a 与5的和的3倍B ．甲数的3倍与乙数的2倍的和C ．a 与b 的差的15%D ．一个数的5倍是18121x 1y 6y −−−−−−→设未知数，列方程建立数学模型实际问题一元一次方程152例5 (中考·杭州)某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把x 公顷旱地改为林地，则可列方程( ) A ．54－x ＝20%×108 B ．54－x ＝20%×(108＋x ) C ．54＋x ＝20%×162 D ．108－x ＝20%(54＋x ) 例6 根据题意列出方程：（1）在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及纸草书中，记载着一些数学问题.其中一个问题翻译过来是：“啊哈，它的全部，它的 其和等于19. ”你能求出问题中的“它”吗？（2）甲、乙两队开展足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，一共得 了 22分.甲队胜了多少场？平了多少场？三、一元一次方程定义 ：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程．1、只含有一个未知数2、未知数的最高次数是1次3、等号的两边都是整式例7 下列方程中是一元一次方程的是( )A ．x 2－4x ＋3＝0 B ．3x －4y ＝7 C ．3x ＋2＝0D.＝9例8 已知方程(a ＋3) ＋2＝a －3是关于x 的一元一次方程，求a 的值．例9 下列各式是一元一次方程的有( )① x ＝ ；②3x －2；③ y － ＝ －1；④1－7y 2＝2y ；⑤3(x －1)－3＝3x －6；⑥ ＋3＝2； ⑦4(t －1)＝2(3t ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例10 方程■x －2＝2(x －3)是一元一次方程．■是被污染了的x 的系数，下列关于被污染了的x 的系数的值，推断正确的是( )A ．不可能是－1B ．不可能是－2C ．不可能是0D ．不可能是2例11 若x a －2＋1＝3是关于x 的一元一次方程，y b ＋1＋5＝7是关于y 的一元一次方程，则a ＋b _____． 四、方程的解1.使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是这个方程的解．2.求方程的解的过程叫做解方程．17，2x 2a x －3412171523x 5y3.检验方程的解的步骤：第一步：将数值分别代入原方程的左、右两边进行计算； 第二步：比较方程左、右两边的值； 第三步：根据方程的解的意义下结论． 例12 下列说法中正确的是( )A ．y ＝4是方程y ＋4＝0的解B ．x ＝0.000 1是方程200x ＝2的解C ．t ＝3是方程|t |－3＝0的解D ．x ＝1是方程 ＝－2x ＋1的解例13写出一个一元一次方程，同时满足下列两个条件：①未知数的系数是2；②方程的解为3，则这个方程为_________________________． 例14(中考·咸宁)方程2x －1＝3的解是( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 五、课堂检测 1．下列各式：① 2x －1＝5；② 4＋8＝12；③ 5y ＋8；④ 2x ＋3y ＝0；⑤ x ；⑥ 2x 2－5x －1； ⑦ |x |＋1＝2；⑧ ＝6y －9. 其中是方程的有( )A ．①②④⑤B ．①②⑤⑦⑧C ．①④⑦⑧D ．8个都是2．(中考•阜新)在“爱护环境，建我家乡”的活动中，七(1)班学生回收饮料瓶共10 kg ，男生回收的质量是女生的4倍，设女生回收饮料瓶x kg ，根据题意可列方程为( )A ．4(10－x )＝xB ．x ＋ x ＝10C ．4x ＝10＋xD ．4x ＝10－x3．(中考•绥化)一个长方形的周长为30 cm ，若这个长方形的长减少1 cm ，宽增加2 cm 就可成为一个正方形，设长方形的长为x cm ，可列方程为( )A ．x ＋1＝(30－x )－2B ．x ＋1＝(15－x )－2C ．x －1＝(30－x )＋2D ．x －1＝(15－x )＋24．只含有____个未知数，未知数的指数都是____，等号两边都是_______的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的条件：(1)等号两边都是________；(2)是方程；(3)只含一个未知数且化简后未知数系数不为0；(4)未知数的指数都是________(化简后)． 5．下列各式中，是一元一次方程的有( ) ①x 2－4x ＝－3；②3x －1＝；③x ＋2y ＝1；④xy －3＝5；⑤5x －x ＝3.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6．下列方程中，方程的解为x ＝－2的是( )A ．3x －2＝2xB ．4x －1＝2x －3C ．5x ＋3＝6x －2D ．3x ＋1＝2x －12x6y 142x47．(中考·永州)x ＝1是关于x 的方程2x －a ＝0的解，则a 的值是( )A ．－2B ．2C ．－1D ．18．已知下列方程后面的大括号里有一个数是方程的解，请把它找出来： (1)4x －2x －3＝0 {4， } ； (2)4x －3＝2x ＋3 {－2，3}．9．若方程(m ＋3)x |m |－2＋9＝0是关于x 的一元一次方程． (1)求m 的值； (2)写出你所求的方程(不用化简)．10．若方程(︱m ︱－2)x 2－(m ＋2)x －6＝0是关于x 的一元一次方程．(1)求m 的值； (2)判断x ＝3，x ＝ ，x ＝ 是不是方程的解．11．已知y ＝1是关于y 的方程my ＝y ＋2的解，求m 2－3m ＋1的值．12．先列方程，再估算出方程的解．HB 型铅笔每支0.3元，2B 型铅笔每支0.5元，小芳有4元钱，买了两种铅笔共10支，还剩0.2元，问两种铅笔各买了多少支？解：设买HB 型铅笔x 支，则买2B 型铅笔________支，HB 型铅笔用了0.3x 元，2B 型铅笔用了0.5(10－x )元，依题意，得方程0.3x ＋0.5(10－x )＝________. 这里x >0且x 为整数，列表计算：从表中看出x ＝________是原方程的解．反思：估算问题一般针对未知数是____________的取值问题，如购买彩电台数、铅笔支数等．3232 32。
第1课 认识一元一次方程
认识一元一次方程2018.9【学习目标】理解一元一次方程的概念并能求解简单的一元一次方程知识点1 方程的有关概念1.定义：含有未知数的等式叫做方程．2.使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．3.求方程的解的过程叫做解方程．4.列一元一次方程的一般步骤：(1)设出适当的未知数；(2)用含有未知数的式子表示题中的数量关系；(3)根据实际问题中的等量关系列出方程．5.列一元一次方程的基本流程：−−−−−−→设未知数，列方程建立数学模型实际问题一元一次方程 【典型例题】例1 下列各式中：①2x －1＝5；②4＋8＝12；③5y －7；④2x ＋3y ＝0；⑤23x ＋x ＝1；⑥22x －3x －1；⑦|x|＋1＝2；⑧y6＝6y －9，是方程的有( ) A ．①②④⑤⑧ B ．①②⑤⑦⑧ C ．①④⑤⑦⑧ D ．①③④⑤⑥⑦⑧例2 检验下列各数是不是方程x x +=-423的解.(1) 3=x ; (2)2-=x .例3 王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息（本金+利息）33825元，设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ）.A. 33825%25.43=⨯+x xB.33825%25.4=+x xC.33825%25.43=⨯xD.33825%25.43=+）（x x知识点2 一元一次方程的概念定义：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．典型例题例 下列方程中是一元一次方程的是( )A ．2x －4x ＋3＝0B ．3x －4y ＝7C ．3x ＋2＝0 D.x 2＝9知识点3 等式的基本性质等式的性质1：等式两边同时加(或减)同一个代数式，所得结果仍是等式，用公式表示：如果a ＝b ，那么 a ±c ＝ b ±c.等式的性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式，用公式表示：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，()0a b c c c ≠＝．例1 根据等式的性质填空，并在后面的括号内填上变形的根据．(1)如果4x ＝x －2,那么4x －__＝－2( )；(2)如果2x ＋9＝1，那么2x ＝1－__ ( ).例2 下列各种变形中，不正确的是( )A ．从2＋x ＝5可得到x ＝5－2B ．从3x ＝2x －1可得到3x －2x ＝－1C ．从5x ＝4x ＋1可得到4x －5x ＝1D ．从6x －2x ＝－3可得到6x ＝2x －3例3 下列根据等式的性质变形正确的是( )A ．由－31x ＝32y ，得x ＝2y B ．由3x －2＝2x ＋2，得x ＝4 C ．由2x －3＝3x ，得x ＝3 D ．由3x －5＝7，得3x ＝7－5综合提升类型1 一元一次方程定义的综合运用例1 已知方程32)3(2-=++-a x a a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值．类型2 等式基本性质的应用例2 解下列方程：(1) －3x=15; (2)1023=--n .。
第一课一元一次方程
千才教育曾越个性化专用教案解一元一次方程及其应用【知识点梳理】一、 相关定义（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。
（2）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程二、注意：（1）一元一次方程的运算顺序与四则混合运算的顺序一致，有括号的要先去括号，有多个括号的要先去 再去中括号，去括号注意不要漏项。
（2）移项的时候，从等式的一端移到另一端要注意变号，每移动的项则保持不变。
（（3）化未知数系数为1的时候，等式两边所除部分不能为0.相关练习（)11(76)20(34y y y y --=--14126110312-+=---x x x4x －3(20－x)=6x －7(9－x)2233554--+=+-+x x x xx-3/2[2/3(x/4-1)-2]=-2. 2－2x 4x 7312－－＝－三、 一元一次方程的应用四、 列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案．五、注意：用方程解应用题要注意利用题中的倍数，百分比，多少的关系建立等量关系。
六、应用题常用关系式1.和差倍分问题增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量2.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝ r2h②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc3．数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．4．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．5．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．6．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝17．储蓄问题利润＝每个期数内的利息本金×100% 利息＝本金×利率×期数五、相关练习题1.有A、B两种原料，其中A种原料每千克50元，B种原料每千克40元，据最新消息，这两种原料过几天要调价，A种原料上涨10%，B种原料下降15%，这两种原料共重11000千克，经核算，调价削后两种原料的销售总收入不变，问A、B两种原料各需多少？2.小明买苹果和梨共5千克，用去17元，其中苹果每千克4元，梨每千克3元问苹果和梨各买了多少千克？3. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？4..一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？5.兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？6.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米， ≈3.14）．7.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．8．有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，•这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？9．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件．10.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的新数就比原数大63，求原来的两位数。
一元一次方程的概念
一元一次方程的概念一元一次方程是数学中最基本也是最常见的方程类型之一。
它是用来描述一个未知数和已知系数之间的关系的数学等式。
本文将介绍一元一次方程的定义、特征，以及解一元一次方程的常见方法。
一、一元一次方程的定义一元一次方程是指只含有一个未知数和一次项的方程。
其一般形式可以表示为：ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。
在一元一次方程中，a不等于0，否则方程将退化为一个常数等式。
在一元一次方程中，未知数x的一次项系数a代表了未知数x的系数，常数b代表了方程中的常数项。
通过对方程中的未知数和已知数进行运算，我们可以求解这个方程并找到未知数的值。
二、一元一次方程的特征一元一次方程具有一些特征，我们可以通过这些特征来判断一个方程是否为一元一次方程。
首先，一元一次方程只涉及一个未知数。
方程中只含有一个变量，其他字母和数字都是已知的常数。
其次，一元一次方程中的未知数只出现在一次项中，并且该项的次数为1。
这意味着未知数只进行一次乘法运算，不存在平方、立方或更高次的情况。
此外，一元一次方程中的系数是已知的常数，不随未知数的变化而变化。
系数通常用字母表示，但它们的值是确定的，不会随求解过程的进行而改变。
三、解一元一次方程的常见方法解一元一次方程的目标是找到未知数x的值，使得方程等式成立。
根据方程的特征，我们可以采用以下常见的方法来解一元一次方程。
1. 合并同类项和移项法通过合并同类项和移项法，将方程转化为ax = -b的形式，然后通过两边同除以a，得到x = -b/a的解。
2. 两边相等原则根据方程两边相等的原则，可以通过运算操作将方程转化为x = -b/a的形式，从而找到未知数的解。
3. 代数运算法通过代数运算法，可以通过一系列等式的变换，将方程简化为形如x = -b/a的解。
4. 图解法对于一元一次方程，可以将方程转化为一条直线的图像。
通过画出这条直线，并与横轴的交点来确定方程的解。
以上是解一元一次方程的常见方法，通过这些方法，我们可以求解一元一次方程并得到其解。
第一课：一元一次方程
第一章一元一次方程一、一元一次方程的概念1、定义：只含有__一个__未知数，并且含有未知数的式子都是整式_，未知数的次数都是__1__的方程．注意：一元一次方程必须同时满足以下三个条件：(1)在方程中“元”是指未知数，“一元”是指方程中有且只有一个未知数；(2)“未知数的次数是1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1；2、实际考试应用例1：下列方程是不是一元一次方程，对的打√错的打×，不是一元一次方程的请说明理由。
(1)x2＋x＝5(2)x＋x3＝4 (3）x＋y＝7 （4）5x－9＝2（5）xy+5=20 (6)7x+5x+2=11 （7)x＝0 （8）m+10=5例2：利用“一元”和“一次”解决问题1、关于x的方程(k－3)x|k|－2＋5＝k－4是一元一次方程，求这个方程的解．2、方程(2a－1)x2＋3x＋1＝4是一元一次方程，求a的值和方程的解。
二、一元一次方程的计算方法1、解方程的理论依据：等式的基本性质(1)等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是__等式__．符号表示为：如果a＝b，那么a＋c＝____，a－c＝___.(2)等式两边都乘(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是__等式__．符号表示为：如果a＝b，那么ac＝，ac＝(c≠0)．2、解一元一次方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 例3 解下列方程(1)6x＋7＝32＋x；(2)5x－7＝3x－5.(3)2(x－5)－x＝6 (4)(2x－1)＋3(4x－7)－5(3x＋2)＋5＝0.(5)2x＋14＝1－x－24(6)x＋24＋1＝13(7)x0.3－0.23－0.2x0.07＝1 (8)12x－3＝3（x－1）4；三、列方程解应用题1、行程问题。
路程=速度×时间相遇：速度之和×相遇时间=总路程追击：追击路程=速度之差×追击时间（或者：追击者的路程=被追者的路程）“五一”长假里，弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里了，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追．如果弟弟和妈妈每小时行2千米，哥哥追上弟弟和妈妈需要多少时间？若弟弟和妈妈从家里到外婆家需要1小时45分钟，问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗？2、工程问题。
一元一次方程讲解
（一）知识要点：1．一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为0的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，它的解是x=- 。
我们判断一个方程是不是一元一次方程要看它化简后的最简形式是不是标准形式ax+b=0 (a≠0)。
例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一个未知数x，且x的次数是一次，但化简后为0x=0，不是一元一次方程。
2．解一元一次方程的一般步骤：（1）方程含有分母时要先去分母，使过程简便，具体做法为：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
要注意不要漏掉不含分母的项，如方程 x+ =3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以6，造成错误。
（2）去括号：按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。
括号前有数字因数时要注意使用分配律。
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。
注意移项要变号。
（4）合并项：把方程化成最简形式ax=b (a≠0)。
（5）把未知数的系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x= 。
解方程时上述步骤有些可能用不到，并且也不一定按照上述顺序，要根据方程的具体形式灵活安排求解步骤。
（二）例题：例1．解方程 (x-5)=3- (x-5)分析：按常规此方程应先去分母，去括号，但发现方程左右两边都含有x-5项，所以可以把它们看作一个整体，移项，合并，使运算简便。
解：移项得： (x-5)+ (x-5)=3合并得：x-5=3∴ x=8。
例2．解方程2x- = -解：因为方程含有分母，应先去分母。
去分母：12x-3(x+1)=8-2(x+2) （注意每一项都要乘以6）去括号：12x-3x-3=8-2x-4 (注意分配律及去括号法则)移项：12x-3x+2x=8-4+3合并：11x=7系数化成1：x= 。
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汪博教育初中数学一对一VIP专用讲义第一讲：一元一次方程主讲人：王梦强教学内容：一元一次方程的概念,等式的性质，等式与一元一次方程的区别，解一元一次方程的一般步骤及简便方法，实际问题与一元一次方程,一元一次方程与其他知识要点的串联重点：一元一次方程的概念及性质，解一元一次方程，用一元一次方程解决实际问题难点：解一元一次方程，一元一次方程与其他知识的串联（例如圆，二元一次方程，三角函数等）一元一次方程组误区：解方程移项，设一元一次方程，解一元一次方程组方法：模拟法，发散思维法，性质法第一部分理论描述知识要点：（1）一元一次方程的概念：只含有一个未知数并且含未知数的式子都是整式，未知数的次数为1，系数不为零的方程叫做一元一次方程。
（2）等式的性质：等式的两边同时都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果不变；等式的两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，所得的结果不变；（3）：解一元一次方程的一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 。
（4）实际问题：1. 比例问题：一般思路为舍其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式. 常用等量关系各部分之和=总量2 .储蓄问题：利息=本金×利率×期数本息=本金+利息利息税=利息×利息税率3 .调配问题：4.行程问题（相向 追及 环形跑道 航行 飞行）顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度—水流速度 飞行亦然5 .销售问题 ：6.工程问题。
总结：实际问题中都是利用寻找到问题中的差 和 倍 分关系。
设未知数，列等式，解决问题。
第二部分 中考真题1.解方程及方程性质的应用例（1）213x +－516x -=1； 【解答】去分母，得2（2x+1）－（5x －1）=6，去括号，得4x+2－5x+1=6，移项，得－x=3，两边同乘以－1，得x=－3(2) （3x+1）/2-2=(3X-2)/10-(2x+3)/5解：去分母（方程两边同乘以各分母的最小公倍数10），得5（3x+1）-102=(3x-2)-2(2x+3) 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6 移项，得15x-3x+4x= -2-6-5+20合并同类项，得16x=7系数化为1，得 x=716例（3）（（2011山东滨州，20，7分）依据下列解方程0.30.5210.23x x +-=的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解： 原方程可变形为352123x x +-= ( ) 去分母，得3（3x +5）=2(2x －1). ( )去括号，得9x +15=4x －2. ( )( ), 得9x －4x =－15－2. ( )合并，得5x =－17. (合并同类项)( ),得x =175-. ( ) 【答案】解： 原方程可变形为352123x x +-= (分式的基本性质) 去分母，得3（3x +5）=2(2x －1). （等式性质2）去括号，得9x +15=4x －2. （去括号法则或乘法分配律）(移项), 得9x －4x =－15－2. (等式性质1)合并，得5x =－17. (合并同类项)（系数化为1）,得x =175-. （等式性质2） 例（4） （2004，黄冈市）关于x 的一元一次方程（k 2－1）x k －1+（k －1）x －8=0的解为_____．【分析】由一元一次方程的定义可知，原方程是一元一次方程，则有两种情况，•①当k －1=1，即k=2时，原方程3x+x －8=0，解之得x=2②当k 2－1=0且k －1≠0时，也就是当k=－1时，原方程化为－2x －8=0，解之得x=－4，所以原方程的解为x=2或x=－4，•故答案为x=2或x=－4．【解答】x=2或x=－4．例（5）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某段公路的一侧全部栽上树的，要求路的两端个栽一棵树，如果每个5米栽一棵树，则树苗缺21棵，如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，下列说法正确的是( A )A.5（x+21-1）=6(x-1)B.5(X+21)=6（x-1）C.5(x+21-1)=6xD.5(X+21)=6X例（6）对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊗，若1)1(1=+⊗x ，则x 的值为（D ）A ．23B ．31C ． 21D ． 21- 例（7）按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（c ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例（8）步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．【答案】4380例（9）从1999年11月1日起，全国储蓄存款需征收利息税，利息税的税率是20％，张老师于2003年5月1日在银行存入人民币4万元，定期一年，年利率为1.98％，存款到期后，张老师净得本息和共计______元。
例（10）图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是cm3．解：长方体的高为xcm，然后表示出其宽为30﹣4x，根据题意得：30﹣4x=2x解得：x=5故长方体的宽为10，长为20cm则长方体的体积为5×10×20=1000cm3．故答案为1000．一元一次方程的实际问题例（1）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1例：某工程队承包了某段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进.已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米. （1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？解：（1）设乙班组平均每天掘进x米，则甲班组平均每天掘进（x+0.6）米，根据题意，得5x+5（x+0.6）=45.解此方程，得x=4.2.则x+0.6=4.8.答：，乙班组平均每天掘进4.2米.（2）改进施工技术后，甲班组平均每天掘进：4.8+0.2=5（米）；乙班组平均每天掘进：4.2+0.3=4.5（米）.改进施工技术后，剩余的工程所用时间为：（1755－45）÷（5+4.5）=180（天）.按原来速度，剩余的工程所用时间为：（1755－45）÷（4.8+4.2）=190（天）.少用天数为：190－180=10（天）.答：能够比原来少用10天完成任务.例（2）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下:第一档电量第二档电量第三档电量月用电量210度以下月用电量210至350度月用电量350度以上每度价格0.52元每度比第一档提价0.05元每度电比第一档提价0.30元例：若某户月用电量400度则需缴电费为210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）+（400-350）×（0.52+0.03）=230元（1）如果按此方案计算小华家5月份电费为138.84元请你求出小华家5月份的用电量；（2）依此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元则小华家该月用电量属于第几档例（3）和差倍分问题增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量例：随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原价降低m元后，又降低20%，此时售价为n元，则该手机原价为错误！未找到引用源。
n + m 元．第一次降价后的价格为原价﹣m，第二次降价后的价格为第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分数），把相关数值代入即可．解：∵第一次降价后的价格为x﹣m，∴第二次降价后的价格为（x﹣m）（1﹣20%），∴根据第二次降价后的价格为n元可列方程为（x﹣m）（1﹣20%）=n，∴x=错误！未找到引用源。
n+m．故答案为：错误！未找到引用源。
n+m例( 4) 飞行问题（知识要点有解题思路）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时。
顺风飞行需要2又六分之五小时，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行距离答：例（5）某公司生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元，本季度销售了m 件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低生产成本经过市场调研预测下季度这种商品每件销售价降低4%销售量降提高10%要使销售利润（销售利润=销售价-成本价）保持不变该商品每件的成本应降低多少元例（6）4•20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200m 顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑1/2m 次，小货车每天比原计划多跑m 次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m 的值第三部分 课后练习例（1）34[43（12x －14）－8]=32x （2）213x +－516x -=1( 3 )1/6{1/4[1/3(1x/2-1))+3]-5}-1=0（4）．在①21x -；②213x x +=；③π3π3-=-；④13t +=中，等式有_____________，方程有_____________．（5）若423x =与3()5x a a x +=-有相同的解，那么1a -=_______． （6）若关于x 的方程a x x -=+332的解是2x =-，则代数式21a a -的值是_________． （7）轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时，若船速为26千米/小时，水速为2千米/时，则A 港和B 港相距______千米．例(8)某小学6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元．在这次游览活动中，教师有（） 人 ，学生有（）人例（9）已知关于x 的方程2[x-2(x- a 4 )]=3x 和 x+a 9 - 1-3x 12 =1有相同的解，求a 与方程的解．例（10）有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40m 2墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷30m 2的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；（2）张老板现有36个这样的房间需要粉刷，若请1名师傅带2名徒弟去，需要几天完成？（3）已知每名师傅，徒弟每天的工资分别是85元，65元，张老板要求在3天内完成，问如何在这8个人中雇用人员，才合算呢？（1）50平方米；（2）5天；（3）师傅2人，徒弟6人28．应付32440元，少付1460元例（11）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率=×100%）（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？。