(江苏专版)2020年高考物理总复习 第15讲 圆周运动及其应用讲义

第15讲圆周运动及其应用考情剖析考查内容考纲要求考查年份考查详情能力要求圆周运动的描述、匀速圆周运动的向心力Ⅰ、Ⅱ14年T2—选择，考查圆周运动及其应用应用数学处理物理问题15年T14—计算，考查圆周运动中力与能的综合应用分析、推理、应用数学处理物理问题16年T21—计算，考查洛伦兹力充当向心力问题分析、推理17年T5—选择，考查圆周运动及应用理解、推理弱项清单,曲线运动是变速运动，运动状态改变必须有外力．知识整合第1课时圆周运动一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周________快慢的物理量．v＝ΔsΔt＝2πrT.2．角速度：描述物体绕圆心________快慢的物理量．ω＝ΔθΔt ＝2πT. 3．周期T 、频率f ，转速n ：匀速圆周运动中转一周的时间叫________，频率的含义是单位时间内转过的________，如果某圆周运动的转速为n ＝3000 r /min ，则T ＝________，ω＝________.4．v 、ω、T 的相互关系：v ＝________＝2πTr ＝________.ω＝______＝______＝______.T ＝______＝______.5．向心加速度：描述________________________________________________________________________变化快慢的物理量．a n ＝r ω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T2r.效果____________．6．向心力：(1)方向________．(2)大小F n ＝ma n ＝m v 2r ＝______＝mr 4π2T2＝______.(3)来源：________方向上的合力充当向心力．二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1．匀速圆周运动(1)定义：线速度____________的圆周运动．(2)性质：向心加速度大小________，方向总是________的变加速曲线运动． (3)质点做匀速圆周运动的条件合力________不变，方向始终与速度方向________且指向圆心．2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均________的圆周运动． (2)合力的作用①合力沿速度方向的分量F t 产生切向加速度，F t ＝ma t ，它只改变速度的________． ②合力沿半径方向的分量F n 产生向心加速度，F n ＝ma n ，它只改变速度的________．方法技巧考点1 圆周运动中的运动学分析1．对公式v ＝ωr 的理解当r 一定时，v 与ω成正比． 当ω一定时，v 与r 成正比． 当v 一定时，ω与r 成反比． 2．对a ＝v 2r＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比．特别提醒：在讨论v 、ω、r 之间的关系时，应运用控制变量法． 3．传动装置中各物理量的关系 (1)同轴转动各点共轴转动时，角速度相同，因此周期也相同．由于各点半径不一定相同，线速度、向心加速度大小一般不同．(2)皮带传动当皮带不打滑时，两轮边缘各点线速度大小相等．由于各点半径不同，角速度、周期、向心加速度等都不相同．(3)在传动装置中各物理量的关系在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：①同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比，向心加速度大小a ＝rω2与半径r 成正比．②当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝v r 、a ＝v2r确定．【典型例题1】 (多选)如图所示，有一皮带传动装置，A 、B 、C 三点到各自转轴的距离分别为R A 、R B 、R C ，已知R B ＝R C ＝R A2，若在传动过程中，皮带不打滑．则( )A ．A 点与C 点的角速度大小相等B ．A 点与C 点的线速度大小相等C ．B 点与C 点的角速度大小之比为2∶1D ．B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶41.(17年扬州模拟)如图所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为R B ∶R C ＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来．a 、b 、c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在转动过程中的( )A ．线速度大小之比为3∶2∶2B ．角速度之比为3∶3∶2C ．转速之比为2∶3∶2D ．向心加速度大小之比为9∶6∶4考点2 圆周运动中的动力学分析1．向心力的来源(1)向心力的方向沿半径指向圆心；(2)向心力来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．【典型例题2】 (多选)如图所示的圆锥摆中，摆球A 、B 在同一水平面上做匀速圆周运动，关于A 、B 球的运动情况和受力情况，下列说法中正确的是( )A ．摆球A 受重力、拉力和向心力的作用B．摆球A的向心力是由绳子拉力指向圆心的分力提供C．摆球A、B做匀速圆周运动的周期相等D．摆球A、B做匀速圆周运动的周期不相等2.如图所示，叠放在水平转台上的小物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是( )A ．B 对A 的摩擦力一定为3μmgB ．C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力C ．要使物体与转台不发生相对滑动，转台的角速度一定满足：ω≤2μg3r D ．要使物体与转台不发生相对滑动，转台的角速度一定满足：ω≤μg 3r考点3 竖直平面内圆周运动的临界问题(1)“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力．(2)有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况.物理情景 最高点无支撑最高点有支撑实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 力学方程 mg ＋F N ＝m v2Rmg ±F N ＝m v2R临界特征F N ＝0 mg ＝m v 2minR即v min ＝gRv ＝0即F 向＝0F N ＝mg 过最高点的条件在最高点的速度v ≥gRv≥0 【典型例题3】 长L ＝0.5 质量可忽略的细杆，其一端可绕O 点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A.A 的质量为m ＝2 kg ，当A 通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：(1)A 在最低点的速率为21 m /s ； (2)A 在最低点的速率为6 m /s .【典型例题4】(16年苏州模拟)(多选)如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足( )A．最小值为4gr B．最大值为6grC．最小值为5gr D．最大值为7gr3.(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2.则( )A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力F N B的大小是1 ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力F N B的大小是2 N当堂检测 1.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )A．速度的大小和方向都改变B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动D．向心加速度大小不变，方向时刻改变2．如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．第2题图表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝2gR的速度通过轨道最高点B，并以v2＝3v1的速度通过最低点A.则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差( ) A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg3．质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动，A为传送带的终端皮带轮．如图所示，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( )A .12πgr B .g r C .gr D .gr 2π第3题图第4题图4．如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r 1的大齿轮，Ⅱ是半径为r 2的小齿轮，Ⅲ是半径为r 3的后轮，假设脚踏板的转速为n ，则自行车前进的速度为( )A .πnr 1r 2r 3B .πnr 2r 3r 1C .2πnr 1r 3r 2D .2πnr 2r 3r 15．(多选)荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，第5题图如图为小孩荡秋千运动到最高点的示意图，(不计空气阻力)下列说法正确的是( ) A ．小孩运动到最高点时，小孩的合力为零B ．小孩从最高点运动到最低点过程中机械能守恒C ．小孩运动到最低点时处于失重状态D ．小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳子拉力提供圆周运动的向心力第2课时 圆周运动的实例分析一、水平面内的圆周运动研究水平面内物体的圆周运动时，要知道向心力是由物体所受的合力提供的，要能在具体的运动实例中分析物体向心力的来源．二、火车转弯问题在铁路的弯道处，让外轨高于内轨，使火车转弯时所需的向心力恰由重力和弹力的合力提供，如图所示(注意：火车转弯时的轨道平面是水平的)．这样，铁路建成后，火车转弯时的速率v与弯道圆弧半径r、铁轨平面与水平面间的夹角θ应满足的关系为：____________；当火车实际行驶速率大于或小于v时，外轨道或内轨道对轮缘有侧压力．三、汽车过拱桥问题设汽车质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车过桥面最高点时的速率为v，汽车受支持力为F N，则有mg－F N＝m v2r；当v≥gr时，F N＝0，汽车将脱离桥面，发生危险．汽车过凹形桥最低点时，其动力学方程为____________．可以看出F N____________．这种现象是____________．四、离心运动1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着__________飞出去的倾向．2．受力特点(如图所示)(1)当F＝________时，物体做匀速圆周运动；(2)当F＝0时，物体沿________飞出；(3)当F<________时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．(4)当F>mrω2时，物体逐渐向____________靠近，做____________运动．五、圆锥摆问题如图装置，小球在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆运动，如果摆角为θ、细线长为L，则圆周运动的半径为．运动的过程中受力和力的作用．因为小球在运动过程中没有力做功，所以动能不变，因此做匀速圆周运动，所以可以认为____________指向圆心充当向心力；也可以将拉力分解为水平方向和竖直方向两个分力，竖直方向静止不动，竖直方向上的合力为零，所以拉力水平方向上的分力就是________充当向心力．方法技巧考点1 水平面内的圆周运动【典型例题1】(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )A ．选择路线①，赛车经过的路程最短B ．选择路线②，赛车的速率最小C ．选择路线③，赛车所用时间最短D ．①②③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等考点2 火车转弯在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转变时所需向心力则由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏．设车轨间距为L ，两轨高度差为h ，车转弯半径为R ，两车轨所在平面与水平面的夹角为θ，火车的质量为M ，据三角形边角关系知sin θ＝h L ，对火车的受力情况分析得tan θ＝F Mg .因为θ角很小，所以sin θ≈tan θ，故h L ＝F Mg ，所以向心力F ＝h LMg.又因为F ＝Mv 2/R ，所以车速v ＝ghRL.由于铁轨建成后h 、L 、R 各量是确定的，因此火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：情况v 车＞ghRLv 车＜ghRL合力F 与F 向的关系F ＜F 向 F ＞F 向 不利影响 火车挤压外轨 火车挤压内轨结果 外轨对车轮的 弹力补充向心力 内轨对车轮的弹力抵消部分合力【典型例题2】 (16年徐州模拟)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C ．这时铁轨对火车的支持力等于mgcos θ D ．这时铁轨对火车的支持力大于mgcos θ如图一辆汽车行驶在半径为R ＝50 m 的水平弯道上，汽车质量m ＝103kg .汽车轮胎与干燥地面的动摩擦因数为μ1＝0.7，与湿滑路面的动摩擦因数μ2＝0.4.问：(1)分别求出在两种不同的水平弯道路面中，要使汽车不打滑，速率最大值v 1，v 2为多少？ (2)若设计成外高内低的弯道路面，如图所示，要求以v 0＝7 m /s 的速率行驶的情况下，汽车恰好与路面无侧向摩擦力．求路面的倾角正切值tan θ.考点3 汽车过拱桥问题【典型例题3】 一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m /s ，车对桥顶的压力为车重的34，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( )A ．15 m /sB ．20 m /sC ．25 m /sD ．30 m /s考点4 圆锥摆问题【典型例题4】 如图所示，摆线长L ，偏离竖直方向的夹角为θ，小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球运动的角速度、线速度、周期．当堂检测 1.水平台上有质量相等的A 、B 两小物块，两小物块间用沿半径方向的细线相连，两物块始终相对转台静止，其位置如图所示(俯视图)，两小物块与转台间的最大静摩擦力均为f 0，则两小物块所受摩擦力F A 、F B 随转台角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是( )第1题图A B C D2．(17年徐州模拟)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )第2题图A ．A 的速度比B 的大B ．A 与B 的向心加速度大小相等C ．悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D ．悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小3．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( )A ．arcsin v 2Rg B ．arctan v2RgC .12arcsin v 2Rg D ．arccot v2Rg4．(多选)铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速度v 有关．下列说法正确的是( )A ．速率v 一定时，r 越小，要求h 越大B ．速率v 一定时，r 越大，要求h 越大C ．半径r 一定时，v 越小，要求h 越大D ．半径r 一定时，v 越大，要求h 越大5．在一水平放置的圆盘上面放有一劲度系数为k 的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O 上，另一端挂一质量为m 的物体A ，物体与盘面间的动摩擦因数为μ.开始时弹簧未发生形变，长度为R ，设最大静摩擦等于滑动摩擦，求：(1)盘的转速n 0多大时，物体A 开始滑动？(2)当转速达到2n 0时，弹簧的伸长量Δx 是多少？第5题图第15讲 圆周运动及其应用第1课时 圆周运动知识整合 基础自测 一、1.运动 2．转动3．周期 圈数 0.02 s 100π rad/s4．s /t ωr θ/t 2π/T v /r 2πr /v 2π/ω 5．速度方向 改变速度的方向6．(1)指向圆心 (2)mω2r mωv (3)半径二、1.(1)大小不变 (2)不变 指向圆心 (3)大小 垂直 2．(1)发生变化 (2)①大小 ②方向 方法技巧·典型例题1·BD 【解析】 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然v A ＝v C ，ωA ＝ωB ，选项B 正确；根据v A ＝v C 及关系式v ＝ωR ，可得ωA R A ＝ωC R C ，又R C ＝R A 2，所以ωA ＝ωc 2，选项A 错误；根据ωA ＝ωB ，ωA ＝ωc 2，可得ωB ＝ωc2，即B 点与C 点的角速度大小之比为1∶2，选项C 错误；根据ωB ＝ωc 2及关系式a ＝ω2R ，可得a B ＝ac4，即B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D 正确．·变式训练1·D 【解析】 A 、B 轮摩擦传动，故v a ＝v b ，ωa R A ＝ωb R B ，ωa ∶ωb ＝3∶2；B 、C 同轴，故ωb ＝ωc ，v b R B ＝v c R C，v b ∶v c ＝3∶2，因此v a ∶v b ∶v c ＝3∶3∶2，ωa ∶ωb ∶ωc ＝3∶2∶2，故A 、B 错误；转速之比等于角速度之比，故C 错误；由a ＝ωv 得：a a ∶a b ∶a c ＝9∶6∶4，D 正确．·典型例题2·BC 【解析】 小球受重力和拉力，两个力的合力提供圆周运动的向心力，故A 错误，B 正确；设绳和竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可知，小球所受合力的大小F 合＝mg tan θ，根据向心力公式得：mg tan θ＝mL sin θω2，解得：ω＝g L cos θ，两小球L cos θ相等，所以角速度相等，根据T ＝2πω知周期相等，故C 正确，D 错误．·变式训练2·C 【解析】 A 、B 之间为静摩擦力，静摩擦力充当向心力，f ＝F 向＝3mω2r ，A 错；C 与转台间的摩擦力f ＝F 向＝1.5mω2r 小于A 与B 间的摩擦力，B 错；对于A 、B ，必满足μg ≥ω2r ，得ω≤ug r，对于C ，满足μg ≥32ω2r ，所以ω≤2ug3r，C 对，D 错，故答案选C. ·典型例题3·(1)16 N 方向向上 (2)44 N 方向向下【解析】 对小球A 由最低点到最高点过程，由动能定理得， －mg ·2L ＝12mv 2－12mv 20①在最高点，假设细杆对A 的弹力F 向下，则A 的受力图如图所示：以A 为研究对象，由牛顿第二定律得mg ＋F ＝m v 2L ②所以F ＝m (v 2L－g )③(1)当v 0＝21 m/s 时， 由①式得v ＝1 m/s ，④ F ＝－16 N ，⑤负值说明F 的实际方向与假设的向下的方向相反，即杆给A 向上的16 N 的支撑力． (2)当v 0＝6 m/s 时， 由①式得v ＝4 m/s ⑥ F ＝44 N ⑦正值说明杆对A 施加的是向下的44 N 的拉力．·典型例题4 ·CD 【解析】 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg ＝m v 20r，从最低点到最高点由机械能守恒得12mv 2min ＝mg ·2r ＋12mv 20，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为5gr ；为了不使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg ，满足3mg ＝m v 2r ，从最低点到最高点由机械能守恒得12mv 2max ＝mg ·2r ＋12mv 21，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为7gr . ·变式训练3·AC 【解析】 根据平抛运动的规律，小球在C 点的竖直分速度v y ＝gt ＝3 m/s ，水平分速度v x ＝v y tan 45°＝3 m/s ，则B 点与C 点的水平距离为x ＝v x t ＝0.9 m ，选项A 正确，B 错误；在B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有F N B ＋mg ＝m v 2BR，v B ＝v x ＝3 m/s ，解得F N B ＝－1 N ，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C 正确，D 错误．当堂检测1．CD 【解析】 匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A 错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B 错，D 对；由匀速圆周运动的条件可知，C 对．2．D 【解析】 由题意可知，在B 点，有F B ＋mg ＝m v 21R ，解之得F B ＝mg ，在A 点，有F A －mg ＝m v 22R ，解之得F A ＝7mg ，所以A 、B 两点轨道对车的压力大小相差6mg .故选项D 正确．3．A 【解析】 要使物体通过终端时能水平抛出，则有mg ＝mv 2r，物体飞出时速度至少为gr ，由v ＝ωr＝2πnr 可得皮带轮的转速至少为n ＝12πgr，选项A 正确． 4．C 【解析】 自行车前进的速度就是后轮边缘的线速度，由Ⅰ与Ⅱ的边缘线速度相等，Ⅱ与Ⅲ转动的角速度相等，易得2πnr 1＝2πn 2r 2，v ＝2πn 2r 3＝2πnr 1r 3r 2.5．BD 【解析】 小孩运动到最高点时，速度为零，受重力和拉力，合力不为零，方向沿着切线方向，故A 错误；小孩从最高点运动到最低点过程中，受重力和拉力，拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故B 正确；小孩运动到最低点时，具有向心加速度，方向竖直向上，故小孩处于超重状态，故C 错误；小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳子的拉力的合力提供圆周运动的向心力，故D 正确．第2课时 圆周运动的实例分析知识整合 基础自测二、g tan θ＝v 2r三、F N －mg ＝m v 2r大于mg 超重四、1.切线方向2．(1)mrω2 (2)切线方向 (3)mrω2(4)圆心 近心五、L sin θ 重 拉 重力与拉力的合力合力 方法技巧·典型例题1·ACD 【解析】 路线①的路程为s 1＝2r ＋12·2πr ＝2r ＋πr ，路线②的路程为s 2＝2r ＋12·2π·2r ＝2r ＋2πr ，路线③的路程为s 3＝2πr ，故选择路线①，赛车经过的路程最短，A 正确；因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，所以有F max ＝ma ，所以运动的向心加速度相同，根据公式F max ＝m v 2R 可得v ＝F max Rm即半径越大，速度越大，路线①的速率最小，B 错误，D 正确；因为s 1<s 3<s 2，v 1<v 3＝v 2，结合v ＝F max Rm，根据公式vt ＝s 可得选择路线③，赛车所用时间最短，C 正确． ·典型例题2·C 【解析】 由牛顿第二定律F 合＝m v 2R，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，F N cos θ＝mg ，则F N ＝mgcos θ，内、外轨道对火车均无侧压力，故C 正确；A 、B 、D 错误．·变式训练·(1)514 m/s 10 2 m/s(2)0.098 【解析】 (1)汽车转弯时做圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力恰好达到最大值，速度最大，则有：μ1mg ＝m v 21R解得v 1＝μ1gR ＝350＝514 m/s ，同理在湿滑路面转弯时的最大速度v 2＝μ2gR ＝10 2 m/s ；(2)若设计成外高内低的弯道路面，汽车恰好与路面无侧向摩擦力，由重力与支持力提供向心力，则有：mg tan θ＝m v 2R解得：tan θ＝49500＝0.098.·典型例题3·B 【解析】 当F N ＝34G 时，因为G －F N ＝m v 2r ，所以14G ＝m v 2r ；当F N ＝0时，G ＝m v ′2r ，所以v ′＝2v ＝20 m/s.·典型例题4g L cos θgL sin θ/cos θ 2πL cos θg【解析】 小球受力分析如图所示，F 合＝mg tan θ 由牛顿第二定律mg tan θ＝mv 2/r 得v ＝gL sin θ/cos θmg tan θ＝mω2r 得ω＝gL cos θmg tan θ＝m4π2T2r 得T ＝2πL cos θg.当堂检测1．B 【解析】 设A 、B 到圆心O 的距离分别为r 1、r 2，若细线不存在，则由f 0＝mω2r 及r 1<r 2可知A 、B 两物体相对转台滑动的临界角速度满足ωA >ωB ，即物体B 所受摩擦力先达到最大值，随后在一段时间内保持不变，C 、D 错；当ω>ωB 时，细线中出现拉力T ，对物体A ：T ＝0时，F A ＝mω2r 1，T >0后，F A －T ＝mω2r 1，而对物体B 满足T ＋f 0＝mω2r 2，联立得F A ＝mω2(r 1＋r 2)－f 0，所以T >0后直线斜率比T ＝0时大，当转台对A 的摩擦力达到最大静摩擦力后，若转台角速度再增大，则A 、B 相对转台将出现滑动，所以A 错，B 对．2．D 【解析】 A 、B 绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA ＝ωB ，但r A <r B ，根据v ＝ωr 得，A 的速度比B 的小，选项A 错误；根据a ＝ω2r 得，A 的向心加速度比B 的小，选项B 错误；A 、B 做圆周运动时的受力情况如图所示，根据F 向＝mω2r 及tan θ＝F 向mg ＝ω2rg知，悬挂A 的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C 错误；由图知F T ＝mgcos θ，所以悬挂A 的缆绳受到的拉力小，选项D 正确．第2题图3．B 【解析】 汽车拐弯时，受到支持力和重力作用而做匀速圆周运动，两个力的合力方向指向水平圆周的圆心，根据牛顿第二定律：mg tan θ＝m v 2R ，得θ＝arctan v 2Rg，B 正确．故选B.第3题图4．AD 【解析】 火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G 与轨道支持力F N 的合力来提供，如图所示，则有mg tan θ＝mv 2r ，且tan θ≈sin θ＝hL ，其中L 为轨间距，是定值，有mg h L ＝mv 2r，通过分析可知A 、D 正确．第4题图5．(1)12πμg R (2)3μmg R kR －4μmg【解析】 (1)若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．圆盘开始转动时，A 所受最大静摩擦力提供向心力，则有μmg ＝m (2πn0)2R得：n0＝12πμg R；(2)当转速达到2n0时，由牛顿第二定律得：μmg＋kΔx＝m(2π·2n0)2(R＋Δx)得：Δx＝3μmgRkR－4μmg.。