(完整word版)高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ⋅=r r r r 规定00a ⋅=r r ， 22||a a a a ⋅==r r r r （2）、向量夹角公式：a r 与b r 的夹角为θ，则cos ||||a b a b θ⋅=r r r r （3）、向量共线的充要条件：b r 与非零向量a r 共线⇔存在惟一的R λ∈，使b a λ=r r 。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r 平行⇔12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥r r 0a b ⇔⋅=r r ⇔12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+r r r r ，||||||a b a b ≥⋅r r r r （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =r ,22(,)b x y =r ，则a b ⋅=r r 1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b r ︱cos θ=||

a b a ⋅r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影

（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等

向量：长度相等且方向相同的向量。

（10）、零向量：长度为0的向量，记为0ρ，其方向是任意的，0ρ与任意向量平行零向量a ρ＝0ϖ⇔｜a ρ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，

且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a ρ为单位向量⇔｜0a ρ｜＝1

（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ρ∥b ρ(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1=ρ或()n m u ,=ρ，要会求出直线的斜率；

（2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0ρ=+,等于已知P 是MN 的中点;

（4）给出()

+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;

（5）给出以下情形之一：①//；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线.

（6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=⋅,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m ,等于已知AMB ∠是锐角。

（8）给出MP MB MA =⎪⎫ ⎛λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+，等于已知ABCD 是菱形;

（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，等于已知ABCD 是矩形;

（11）在ABC ∆中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（12） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在ABC ∆中，给出+=OA OP ()||||

AB AC AB AC λ+u u u r u u u r u u u r u u u r )(+∈R λ等于已知通过ABC ∆的内心； （15）在ABC ∆中，给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在ABC ∆中，给出()

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AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线。 （17）如果21,e e ρρ是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a ρρρλλ+=，其中不共线的向量21,e e ρρ叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况

（19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关

（20）1.结合律不成立：()()

a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅r r r r r r ； 2.消去律不成立a b a c ⋅=⋅r r r r 不能得到b c =⋅r r

3.a b ⋅r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r

题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =u u u r u u u r 。

（5）若AB CD =u u u r u u u r ，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r 共线。

（8）若ma mb =r r ，则a b =r r 。