离散数学论文
离散数学与计算机应用结合的若干实例论文
离散数学与计算机应用结合的若干实例论文摘要:挖掘离散数学在计算机中的应用实例,尝试教学中的理论与实践相结合,提高学习质量,激发学习兴趣。
关键词:离散数学计算机应用离散数学是计算机等信息类专业的核心专业基础课,离散数学的教学直接决定了后续课程的教学质量,因此如何更好的开展离散数学教学,提高离散数学教学质量意义重大。
在针对计算机科学与技术、信息与计算科学等专业的离散数学教学实践中,挖掘整理出若干有关离散数学在信息科学中的应用,在本文中基于这些应用,对如何提高离散数学的教学质量加以探讨和研究。
数理逻辑在计算机编程中的应用在不少软件公司的面试题目中都出现过这样一道题目:不借助第三方变量,请交换两个变量a和b的值。
方法1:任务可分为三个步骤1)a,a，b, 2)b,a,b, 3)a,a,b,经过这三步赋值操作后,即能实现题目所要求的操作。
但这种解法存在隐患,因为在步骤1中将a与b 的和赋值给a有可能因为数据类型的问题而产生溢出,从而导致在后续的步骤2)和3)中达不到预期的变量交换效果。
此时离散数学中数理逻辑章节所牵涉的逻辑运算异或(即不可兼析取,)运算符,1, 就能派上用场,的运算表如表1.1所示。
观察运算表的第一、三行能够发现对于任意x (x,0, 1),;观察最后两行能够发现当0与x (x,0, 1)做异或运算时,结果仍然为a。
基于这一特性,构造两个二进制数a和b的按位异或运算xor。
基于该运算,可实现问题要求且能避免产生溢出,如下所述方法2。
方法2:任务可分为三个步骤1)a1 , a xor b,2)b2 ,a1 xor b, a xor b xor b,由于xor运算可结合,b2 , a xor ( b xor b ) , a xor 0 , a,步骤2完成后b内存放的是原始a的值;3)a3 , a1 xor b2 , ( a xor b ) xor a,由于xor运算可交换并且可结合,a3 , b xor ( a xor a ) , b xor 0 , b,步骤3完成后a内存放的即为原始b的值。
离散数学中的数学定义和具体应用分析-离散数学论文-数学论文
离散数学中的数学定义和具体应用分析-离散数学论文-数学论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——摘要：针对离散数学课程的课时短、难度大导致的学生学习兴趣不足, 效率低下, 教学效果不理想的问题, 本文提出了一种理论结合科研实际的离散数学教学方法, 以达到培养学生自主学习动力, 激发学生学习兴趣的目的。
在理论授课的同时, 结合科研实际中离散数学的具体应用, 对离散数学中的数学定义和具体应用进行类比分析, 提高学生的感知认识, 实现教学质量的有效提升。
关键词：离散数学; 类比分析; 教学方法;Exploration on the Teaching Method of Discrete Mathematics inCombination with the Practice of Scientific ResearchLIU MingSchool of Computer Science, Shaanxi Normal UniversityAbstract：Focusing on the problem of short time and difficult to grasp of discrete mathematics curriculum, which results in lacking interest in learning of the students, inefficiency and unsatisfactory teaching effect, this paper puts forward a discrete mathematics teaching method based on scientific research combing the theory so as to cultivate the students autonomous learning power and achieve the final goal of stimulating students learning interest. Along with the theoretical teaching, the practical applications of discrete mathematics are introduced into the classes, the analogical analysis of mathematical definition and specific application in discrete mathematics are carried out to improve thestudents perception. Effective improvements of teaching quality can be obtained with satisfactory.Keyword：Discrete Mathematics; analogical analysis; teaching method;0 引言离散数学(Discrete Mathematics) 是计算机专业的一门专业基础课, 在计算机科学中有着重要而广泛的应用, 是计算机专业课数据结构、操作系统、编译原理、数据库和算法分析等课程的先导基础课程。
关于离散数学应用课程论文
关于离散数学应用课程论文第1篇:离散数学课程教学新思考离散数学课程对培养学生的抽象思维、逻辑思维和计算思维能力有着重要意义。
从该课程的实用性出发，在分析课程定位的基础上，以网络化的形式构建知识单元之间的联系，引入任务驱动的实践教学环节以改变传统的教学模式，充分调动学生的学习积极性，大大提高了教学质量。
引言离散数学是计算机科学与技术专业一门核心基础课程[1]，该课程不仅为数据结构、编译原理、操作系统、数据库原理、人工智能等专业课程提供必须的基础知识，而且对培养学生的抽象思维、逻辑思维和计算思维能力十分重要。
该课程有助于提高学生分析问题和解决问题的能力。
由于该课程具有内容多、概念多、理论性强、高度抽象等特点，很多高校教师常常采用“定义-定理-证明-习题”这样的传统数学理论课的教学模式讲授，而学生觉得枯燥、难学。
本文重新思考离散数学的课程定位；从知识的实用性出发，力求合理组织和安排教学内容；探讨任务驱动的实践教学模式以激发学生学习积极性，提高离散数学课程的教学效果，从而更好地培养学生的计算机专业能力。
1.从计算思维能力培养角度重新审视课程的定位计算思维是指对问题及其解决方案进行阐释，将解决方案表示成形式化的信息处理代理（information-processingagent）形式有效解决问题的思维过程，其本质是抽象和自动化[2-3]。
对于计算机专业学生而言，计算思维的能力具体体现为学生构建各种层次的计算环境以及在这种环境下进行问题求解的能力。
因此，从计算思维的角度重新审视离散数学课程定位十分必要。
在离散数学课程教学伊始就要明确告知学生：电子计算机本身是一个只能处理离散化了的数量关系的离散结构，计算机科学及其相关的科研领域，都面临着如何运用离散结构建立模型或者如何将已有连续数量关系建立起来的模型离散化，再由计算机处理和实现的问题[4]。
对计算思维能力的培养和训练是计算机专业教学的核心所在；学生在经过大学专业学习之后，不仅要掌握计算机专业的相关知识，更要能够应用这些知识构建出各种层次的计算环境实现问题求解，这也是对学生创新能力培养的一个重要途径。
当前离散数学的具体应用探析论文
当前离散数学的具体应用探析论文一、离散数学的概念离散数学作为现代数学的一个十分重要的分支，同时是计算机科学和相关技术的理论基础，所以又被人们戏称为计算机的数学[1 ].一般的，广义离散数学的概念包含了图论、数论、集合论、信息论、数理逻辑、关系理论、代数结构、组合数学等等概念，现代又加上了算法设计、组合分析、计算模型等应用方向，总的来说，离散数学是一门综合学科，而其应用则遍及现代科学与技术的诸多领域。
二、离散数学在高中数学中的体现离散数学的概念对于我们高中生来说可能相对陌生，但其实，我们高中数学中很多知识都常常涉及到离散数学。
相较于我们平时接触较多的连续性数学而言，离散数学侧重于思维方式和逻辑过程的应用于体现，可以说是数学中一个非常特别的分支，在应用的过程中主要是构建起一种专属的思维方式。
这种方式既有别于传统的对事物的理解与推论，还与常规的数学解题思维有着很大的不同。
而高中阶段像我们学习所涉及的数理逻辑、集合、数列等知识都是离散数学的基础概念。
以一个简单的高中数学命题的问题为例：高中数学的命题关系的讨论，其中常见的命题形式有：若 p 则 q,以及与其相关的原命题、逆命题、否命题、逆否命题的形式与真假关系，和“且、或、非”三种简单的逻辑连接词。
这是我们在高中数学中常常接触的一类问题，而延伸至离散数学的概念下，其实只是更深入的讨论和研究了这一问题，并建立起独特的逻辑概念，这种数理的’逻辑也是计算机编程的基础。
三、离散数学的应用（一）数学思维在计算机软件编程中的应用随着计算机科技的逐步发展，信息技术在日常生活中的应用目前越来越为广泛。
而软件程序作为各种技术问题的关键，其发展更是日新月异，而算法被称为软件编程的基础。
数学思维的运用贯穿软件与计算机科学的始终。
其实当我们对编程有了一定的了解后可以发现，需要通过编程实现的很多要求都可转化为数学逻辑的讨论与梳理。
当计算机需要解决一个具体的问题时，必须运用应用数据结构的知识。
离散数学论文
离散数学的应用10级3班cheng离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，作为一门重要的专业基础课，对于我们电子专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培养我们的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力。
离散数学在各学科领域，特别在计算机科学（计算机科学研究计算机及其周围各种现象和规律的科学，亦即研究计算机系统结构、程序系统（即软件）、人工智能以及计算本身的性质和问题的学科。
计算机科学是一门包含各种各样与计算和信息处理相关主题的系统学科，从抽象的算法分析、形式化语法等等，到更具体的主题如编程语言、程序设计、软件和硬件等）与技术领域有着广泛的应用。
同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。
1、数理逻辑在人工智能中的应用人工智能是计算机学科中一个非常重要的方向,离散数学在人工智能中的应用主要是数理逻辑部分在人工智能中的应用。
数理逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑,命题逻辑就是研究以命题为单位进行前提与结论之间的推理,而谓词逻辑就是研究句子内在的联系。
大家都知道,人工智能共有两个流派,连接主义流派和符号主义流派。
其中在符号主义流派里,他们认为现实世界的各种事物可以用符号的形式表示出来,其中最主要的就是人类的自然语言可以用符号进行表示。
语言的符号化就是数理逻辑研究的基本内容,计算机智能化的前提就是将人类的语言符号化成机器可以识别的符号,这样计算机才能进行推理,才能具有智能。
由此可见数理逻辑中重要的思想、方法及内容贯穿到人工智能的整个学科。
离散数学教学方法的研究论文
离散数学教学方法的研究论文摘要：高校在离散数学教学方法上主要是理论教学，忽略了实验教学。
学生觉得离散数学课很抽象、很枯燥，主要在于学生看不到离散数学课在计算机应用中的作用，也就对离散数学失去了学习的兴趣。
对离散数学教学方法和教学模式的探讨，是当代大学离散数学教学的重要任务之一。
根据近几年离散数学的教学经历，总结出几点关于离散数学的教学方法。
关键词：离散数学；教学方法；启发式教学离散数学是计算机科学与技术的根底理论之一。
作为高等学校计算机科学与技术专业的一门核心，主干课程。
离散数学课程设置的主要目的是培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，并为后继课程，如数据构造、编译原理、数据库、形式语言和自动机，人工智能以及操作系统等提供必要的数学根底。
离散数学是以研究离散量的构造和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。
计算机求解的根本模式是：实际问题→数学建模→算法设计→编程实现。
离散数学为数学建模打下知识根底，为算法设计提供了详细指导。
下面是教学方法的几点总结。
由于离散数学本身的课程特点，各知识点的概念很多，定义和定理很多，学生很难记住，并且有些难点学生很难理解和承受，所以需要多媒体课件和板书相结合。
定义和例题以多媒体形式呈现，但是定理的证明过程那么以板书的形式一步一步推导讲解，让学生知道每一步的来龙去脉，更好地体会离散数学的精华，从而培养学生的逻辑思维和概括能力。
引导学生学习，而不是灌输式地学习。
启发式教学是指老师在教学过程中充分调动学生的学习兴趣和积极性，使学生主动思考，积极学习，而不是被动承受，使学生从学会到会学，成为学习知识的主人。
采用举例子的教学方法学生更容易理解和承受。
离散数学里的定义、定理很多，并且很抽象。
在讲解定义、定理的时候，我们可以适当用举例子的方法，这样学生会更好理解。
知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
兴趣是最好的老师。
特别是讲到图论那一章，有很多例子和我们日常生活贴近，如，欧拉图、格尼斯堡七桥。
离散数学课程论文
离散数学的学习体会及趣味所在学习了一学期的离散数学了，刚学的时候就觉得它挺有意思的，可以对一些实际问题进行描述后便可证明，实际应用性很强。
譬如书上的第三章里的一道习题，要我们用自然推理系统证明一个人是否为嫌疑犯的问题，当时就觉得挺有意思的，感觉像个侦探，运用理性思维破案一样，要知道，我是一个福尔摩斯迷。
后来，学习更多之后，逐渐了解到它在我以后学习生涯中的重大用处，它作为计算机科学学科中的一门重要的基础课，通过学习离散数学，不仅能为以后计算机专业后续课程奠定理论基础，而且能培养抽象思维能力、严格的逻辑推理和创新能力，为将来从事的软、硬件应用开发和理论研究打下坚实的基础。
作为一门专业课，以后的数据结构和算法都以之为基础，尤其是开始学的集合论、关系和后来学的图论和树在数据结构中的大量应用。
我们都知道，计算机要解决一个问题，必须运用数据结构的知识。
对于问题中所处理的数据，必须首先从具体问题中抽象处一个适当的数学模型，然后设计一个解此数学模型的算法，最后编出程序，进行测试，调整知道得到问题最终的解答。
而寻求数学模型就是数据结构研究的问题。
寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间含有的关系，然后用数学的语言加以描述。
数据结构中的逻辑结构和基本运算操作就是源于离散数学中离散结构和算法思考。
离散中的集合论、关系、图论、树等内容反映了出数据结构中的四大结构的认识。
只有学好离散，才能继续学习以后的相继课程。
在这学期的学习过程中，我发觉学习离散需要很强的逻辑性，和抽象能力，有时候那里面一些显而易见，一看就懂的东西，它却要你证明。
有时很头疼，但是经过锻炼之后感觉自己的逻辑思考能力的却加强了。
离散数学里面的一些经典悖论也是挺有意思的。
一、理发师悖论在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。
”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。
离散数学论文5篇
离散数学论文5篇第一篇：离散数学论文首先要明确的是，由于《离散数学》是一门数学课，且是由几个数学分支综合在一起的，内容繁多，非常抽象，因此即使是数学系的学生学起来都会倍感困难，对计算科学专业的学生来说就更是如此。
大家普遍反映这是大学四年最难学的一门课之一。
但鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。
既然如此，在学习《离散数学》时，大家最应该牢记的是唐诗“熟读唐诗三百首，不会做诗也会吟。
”学习过程是一个扎扎实实积累的过程，不能打马虎眼。
离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。
《离散数学》的特点是：1、知识点集中，概念和定理多：《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。
不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。
掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。
要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。
2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。
通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。
《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法、构造性证明法），同一个题也可能有几种方法。
但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。
因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法。
同时要善于总结，在学习《离散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。
一般来说，由于这些概念（定义）非常抽象（学习《线性代数》时会有这样的经历），初学者往往不能在脑海中建立起它们与现实世界中客观事物的联系。
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浅论离散数学的实际应用摘要：
离散数学是现代数学的重要分支，是研究离散量的结构及相互关系的学科，它在计算机理论研究及软、硬件开发的各个领域都有着广泛的应用。
作为一门重要的专业基础课，对于我们电子专业的同学来说，学习离散数学史有其重要现实意义：它不仅能为我们的专业课学习打下基础，也为我们今后将要从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也有助于培养我们的抽象思维、严格的逻辑推理和创新能力。
离散数学的应用非常广泛，本文主要研究其在我们所学的重要课程中的应用：数字电路中的门电路设计、软件技术基础中的一些技术以及解决现实生活中的一些问题的应用。
关键字：离散数学、电路设计、软件技术、应用
1.什么是离散数学
简介
离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。
它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。
离散数学的内容
离散数学是传统的逻辑学，集合论（包括函数），数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数（包括代数系统，群、环、域等），布尔代数，计算模型（语言与自动机）等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域，它通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、代数结构、关系论、函数论、图论、组合学、数论等。
2.离散数学在门电路设计中的应用
逻辑门的概念
逻辑门是集成电路中的基本组件。
简单的逻辑门可由晶体管组成。
这些晶体管的组合可以使代表两种信号的高低电平在通过它们之后产生高电平或者低电平的
信号。
高、低电平可以分别代表逻辑上的“真”与“假”或二进制当中的1和0，从而实现逻辑运算。
常见的逻辑门包括“与”门，“或”门，“非”门，“异或”门（也称：互斥或）等等。
逻辑门可以组合使用实现更为复杂的逻辑运算。
2.2在门电路设计中的应用
在数字电路中，离散数学的应用主要体现在数理逻辑部分的使用。
在数字电路中广于使用的逻辑代数即为布尔代数。
逻辑代数中的逻辑运算与、或、非、异或与离散数学中的合取，析取、否定、异或（排斥或）相对应。
数字电路的学习重点在于掌握电路设计技术，在设计门电路时，要求设计者根据给出的具体逻辑问题，求出实现这一逻辑功能的逻辑电路。
一般的设计过程为如下：
首先，进行逻辑抽象.分析给定的逻辑问题，确定输入、输出变量,一般把引起事件的原因作为输入变量，把事件的结果作为输出变量。
再以二值逻辑的0、1两种状态分别代表变量的两种不同状态，并根据给定的因果关系列出逻辑真值表。
于是，这个实际的逻辑问题被抽象成一个逻辑函数了，而且这个逻辑函数是以真值表形式给出的。
然后根据真值表写出逻辑函数式。
在这一步的主要工作为对逻辑函数进行化简和变换，此时采用的方法一般为使用逻辑代数公式，即离散数学中的命题演算公式将命题公式直接进行化简；或者用卡诺图法进行化简；或者同时采用两种方法，互相验证结果是否最简。
但在一般情况下，在真值表中变量较多，逻辑函数式较为复杂时，我们采用卡诺图法更为方便快捷，且出错率更低。
在得到最简逻辑函数式后，选定器件类型，开始构建实际电路。
在对所用器件种类有所限制或使用中规模集成电路构建设计好的电路时，需要把函数式变换为适当的形式。
此时，我们将采用命题等值演算对函数式进行变换，变换的结果通常为合取范式和析取范式，以便使用最少的器件和最简单的连线。
3.离散数学在软件技术中的应用
离散数学作为计算机科学技术的支撑学科之一，它在计算机程序中有着极其重要和广泛的应用。
在软件技术基础中，我们所学习的数据结构极其运算，查找与排序技术，数据库技术，无一不是建立在离散数学的基础上的。
数据存储结构分为顺序存储和链式存储两大类，无论是哪种存储结构，我们都必须存储数据元素和元素之间的前后件关系这两方面的内容。
通过数据元素间的特定关系，我们可以得出数据结构的集合，写出关系矩阵，画出关系图。
对于线性结构的数据，我们构造顺序表或链表对数据进行存储处理和分析，对于非线性结构的数据，我们则经常使用树和图来表示。
树和图的概念对于非线性结构数据非常重要，例如一个学校的行政层次结构，我们可以用树来表示，一个城市中的交通路线可以用图来描述。
在查找和排序技术中，树显得尤为重要。
在多种排序技术中，树概念的使用在堆排序技术中直观可见。
堆排序的基本思想是，先将所需要排序的元素用完全二叉树表示成堆，堆定义为：具有n个元素的序列（h1,h2,…h n）,当且仅当满足h i≥h2i,h i≥h2i+1或hi≤h2i,hi≤h2i+1时称为堆。
然后在调整建堆的过程中，总是将根结点值与左右子树的根结点值进行比较，若不满足堆的条件，则将左右子树根结点
值中的大者（或小者）与根结点值进行交换。
这个调整过程一直做到所有子树均为堆为止。
查找技术史建立在树的基础之上的，首先要构建二叉排序树，然后在其中进行查找。
为提高查找数据的效率，一般采用多层索引树进行查找。
主要的查找方法建立在树的遍历基础上。
遍历一棵树有3种方法：前序遍历、中序遍历和后序遍历。
具体采用哪种遍历方法由所选择的查找方法所决定。
数据库技术主要是实现对数据的加工和管理。
在关系模型数据库中，对数据的操作归结为各种集合运算。
在关系模型的数据语言中，我们除了要运用常规的集合运算（并、交、差、笛卡尔积等）外，还定义了一些专门的关系运算，如投影、选择、连接等运算。
前者是将关系（即二维表）看成元素组的集合，这些运算主要是从二维表中行的方向来进行的；后者主要是从二维表中列的方向来进行运算的。
两者统称为关系代数。
由于这方面的内容在离散数学和软件技术基础两门课程中都刚开始进入学习，所以在此不做进一步的研究。
4.离散数学在现实生活中的应用
离散数学不仅在于软硬件设计和计算机科学中有着广泛的应用，同时它也能解决一些生活中的问题，实用而且有趣，以下仅举一些例子作为说明。
图是由一些顶点和连接这些顶点的一些边所组成的离散结构。
存在多种不同类型的图，其间的区别在于连接顶点对的边的种类和数目。
在实际应用中，有值图广为使用。
例如计算航线网络里两个城市之间航班的不同组合的数目，确定是否可能走遍城市里所有街道而不重复经过街道，以及求地图区域着色所需要的颜色数等等。
树在生活中的最常见的应用则是描述一个家族的家谱，同时这种家谱树在生物遗传学中对于某个家族的遗传病史的研究也有很大作用。
组合数学这一研究个体安排的学科，是离散数学的重要组成部分，它可以用来求解各种各样的问题，计算事件的概率，可以用来分析赌博游戏，如扑克，抽奖，计算及系统中的密码等等。
离散数学可以解决的问题甚多，它包括：
有多少种方式可以在一个计算机系统上选择一个合法口令
赢彩票的概率是多少
网络上两台计算机之间是否有通路
使用某一运输系统的两个城市之间的最短路径是什么
怎样把整数列表按增序排列
完成上述排列需要多少步骤
怎样设计两个整数相加的电路
有多少合法的因特网地址
如果知道了学习离散数学能解决上述这类问题，你会突然对离散数学产生极大的兴趣，你会迫不及待地想学好它，至少我就是这样的。
参考文献：
【1】离散数学耿素云、屈婉玲、张立昂编着清华大学出版社
【2】离散数学及其应用（美）Kenneth 着袁崇义屈婉玲王扞贫刘田译
【3】百度百科词条。