如何求分段连续函数的统一解析式
分段函数问题求解策略
分段函数问题求解策略
分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
在求分段函数的值f(x
0)时，一定首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
比如：
一、求分段函数的定义域和值域
例1、求函数的定义域、值域。
解析：作图，由图可知的定义域为，值域为。
二、求分段函数的值
三、求分段函数的最值
四、求分段函数的解析式
五、作分段函数的图像
六、判断分段函数的奇偶性
七、判断分段函数的单调性
八、解分段函数的方程
九、解分段函数不等式
点评：求解分段函数问题，若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。
高中分段函数求解技巧口诀
高中分段函数求解技巧口诀分段函数是高中数学中比较重要的一个概念，它的解法是将整个自变量的定义域划分成不同的区间，并在每个区间内给出不同的函数表达式。
掌握分段函数的求解技巧可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
第一节：分段函数的图象一、定义函数体```plain定义域上，看函数体；画纵轴，分段写。
```二、取定义域```plain看矩阵的左右，找交集全等。
```三、划分区间```plain定义域中间横，取极限临。
```四、确定函数式```plain划竖线，命函数形；填函数，选函数式。
```第二节：分段函数的取值一、分析关系```plain找横线，有无交点；若有，找横，知关系；若无，找横，无关系。
```二、分情况```plain关系式，有两种；分情况，来讨论。
```第三节：分段函数的解析一、选择域```plain定义域，和问题域；选交集，作定义域。
```二、排除谬误```plain注意谬误，别两误；取定义，排多余。
```三、分情况```plain问题域，依关系；分情况，来解析。
```四、化简式```plain化简式，分三种；一元式，二元式。
```第四节：分段函数的性质一、分析定义```plain连续性，特殊点；关系性，分段式。
```二、求特征```plain极端值，极限值；奇偶性，有无解。
```三、确定趋势```plain左右极限，研判特性；分子分母，退特征。
```四、综合分析```plain总性质，综合观；切点图，带参看。
```第五节：分段函数的应用一、定义写```plain清醒明确，共理解。
```二、按需选```plain有条件，求最值；极限值，变介值。
```三、画图观```plain定义写，画线段；按条件，分区间。
```四、根据题意```plain找关系，写条件；设未知，代求解。
```以上是一些高中分段函数求解技巧的口诀，通过口诀的串联，可以帮助我们更加系统地理解和掌握分段函数的求解技巧。
但是，还需要多做题，多观察，多总结，才能真正掌握这些技巧，并能熟练地运用到解题过程中。
函数解析式的七种求法(讲解)
函 【2 】数解析式的七种求法一.待定系数法：在已知函数解析式的结构时,可用待定系数法.例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f解：设b ax x f +=)()0(≠a ,则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 二.配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式轻易配成()g x 的运算情势时,常用配凑法.但要留意所求函数()f x 的界说域不是原复合函数的界说域,而是()g x 的值域.例2已知221)1(x x x x f +=+)0(>x ,求()f x 的解析式. 解：2)1()1(2-+=+x x x x f , 21≥+x x2)(2-=∴x x f )2(≥x三.换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式.与配凑法一样,要留意所换元的界说域的变化. 例3已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 解：令1+=x t ,则1≥t ,2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴)0(≥x四.代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法. 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式.解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点,且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y x x ,解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64,点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='y y x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y整顿得672---=x x y∴67)(2---=x x x g五.结构方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法结构方程组,经由过程解方程组求得函数解析式.例5设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f解 x x f x f =-)1(2)(①显然,0≠x 将x 换成x 1,得：x x f x f 1)(2)1(=-②解①②联立的方程组,得：x x x f 323)(--=例6设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴又11)()(-=+x x g x f ① ,用x -调换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ②解①②联立的方程组,得11)(2-=x x f , x x x g -=21)(六.赋值法：当题中所给变量较多,且含有“随意率性”等前提时,往往可以对具有“随意率性性”的变量进行赋值,使问题具体化.简略化,从而求得解析式.例7已知：1)0(=f ,对于随意率性实数x .y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f 解对于随意率性实数x .y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,不妨令0x =,则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f 七.递推法：若题中所给前提含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后经由过程迭加.迭乘或者迭代等运算求得函数解析式.例8设)(x f 是界说在+N 上的函数,知足1)1(=f ,对随意率性的天然数b a ,都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，,∴不妨令1,==b x a ,得：x x f f x f -+=+)1()1()(,又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故①分离令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f n n -=-=--=将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(,2)1(321)(+=+++=∴n n n n f+∈+=∴N x x x x f ,2121)(2。
19.2.2分段函数的解析式的求法
元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该 月用了多少度电？
某市推出电脑上网包月制，每月收取费用 y(元)与上网时间
x(小时)的函数关系如图 4，其中 BA 是线段，且 BA∥x 轴，AC 是 射线．
图4
y＝3x－30
(1)当 x≥30 时，y 与 x 之间的函数解析式为______________；
复习： 用待定系数法求一次函数解析式的步骤是什么？
1.设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0) ; 2.根据已知条件列出关于k , b 的二元一次方程组 3.解这个方程组,求出k, b ;
4 .将已经求出的 k, b的值代入所设解析式.
Hale Waihona Puke 已知一次函数的图象经过点(3,4)与 （－4，－3）.求这个一次函数的解析式．
小明运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数 的解析式应该怎样怎么来求？
创设情境提出问题
思考：这个函数的图像有几段？怎样求函
数的解析式？
探索新知
“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克， 如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克 部分的种子的价格打8折。 （1）填写下表：
购买种子数量/千克
付款金额/元
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
把点（3，4）与（-4，-3）代入所设解析式得,
3k+b= 4 - 4k+b= - 3
解之得 k= 1
b= 1
∴这个一次函数的解析式为y= x+1
解分段函数方程的方法
解分段函数方程的方法分段函数方程是指由两个或多个表达式组成的函数定义，每个表达式的定义域不相交。
在解分段函数方程时，我们需要找到定义域的交集，并分别求解每个表达式的方程，最后将结果合并。
以下是解分段函数方程的一般步骤：步骤一：确定定义域的交集首先，我们需要确定各个表达式的定义域，并找出它们的交集作为整个函数的定义域。
定义域是指函数在哪些实数范围内有定义。
例如，对于一个分段函数f(x)，定义域可能包括x < -2和x ≥ -1两个区间，则整个函数的定义域为(-2, -1]。
步骤二：求解各个表达式的方程接下来，我们针对每个表达式分别解方程。
根据每个函数段的定义域，我们可以分开求解。
例如，对于上述定义域为(-2, -1]的分段函数f(x)，我们可以将其分为两个部分来求解。
部分一：x < -2区间内的方程求解在该区间内，f(x)可能由一个或多个表达式组成，我们需要根据具体情况进行分析。
例如，若在x < -2区间内，f(x)由表达式2x - 1组成，则我们可以将2x - 1 = 0，得到x = 0.5。
部分二：x ≥ -1区间内的方程求解在该区间内，f(x)可能由另一个或多个表达式组成，同样需要具体情况分析。
例如，若在x ≥ -1区间内，f(x)由表达式x^2 - 3x + 2组成，则我们可以将x^2 - 3x + 2 = 0，解得x = 1或x = 2。
步骤三：合并结果将步骤二中求解得到的结果合并起来，作为整个分段函数的解。
例如，根据步骤二的求解结果，在(-2, -1]区间内，f(x)的解为x = 0.5；在x < -2区间内，f(x)无解；在x ≥ -1区间内，f(x)的解为x = 1或x = 2。
因此，整个函数的解为x = 0.5，x = 1或x = 2。
总结：解分段函数方程的方法包括确定定义域的交集、分别求解每个表达式的方程，最后将结果合并。
通过有序的步骤，我们可以准确地找到分段函数方程的解。
分段函数常见题型的解法
分段函数常见题型的解法作者：文/凌苏建来源：《新课程·中旬》2014年第05期分段函数对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。
由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它的认识肤浅模糊，以致解题常常出错。
本文归类介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考.题型一：求函数值例1.（2012年山东高考卷8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012分析：本题为已知分段函数求值问题，此函数有两段表达式，利用函数的周期性将自变量化到已知段上来求值.解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函数周期为6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.答案应选B.例2.已知函数f（x）=■,若f(a)=8，求a.分析：本题为已知函数值求自变量，应分段求a值，将符合要求的a值并起来即可，a=±2。
题型二：求函数值域或最值例3.已知函数■的值域为分析：分段函数的值域为各段函数值域的并集，分别求出各段的值域即可，值域为［-8，1］例4.设a＞0，函数f（x）=x2+alnx-1，求函数f（x）在［1，+∞）的最小值.分析：去绝对值后可化为分段函数，然后分段求最小值，再比较各段的最小值确定函数的最小值。
解析：f（x）=■（1）当x≥e时，通过求导知f（x）在［e，+∞）上是增函数，所以ymin=f（e）=e2。
分段函数 、换元法求解析式
1. 函数表示法第二课时 例2 2. 化简函数
y | x 5 | x 2 x 1 y 解：由题 y = | x + 5 | + | x －1 | 当 x ≤－5 时， y = －( x + 5 ) －( x －1 ) =－2x－4
2
当 －5 ＜ x ≤ 1 时， y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6 当 x ＞1 时， y = ( x + 5 ) + ( x －1 ) = 2x + 4
解:函数解析式为
2, 0 x ≤ 5, 3, 5 x ≤ 10, y 4, 10 x ≤ 15, 5, 15 x ≤ 20.
y
5 4 3 2 1 O
5 10 15 20
x
有些函数在它的定义域中，对于自变量的 不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常 称为分段函数．
O 5 10
20
30 t
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s).
求下列函数的解析式
【高考热点、重点】
x －1 1. y=kx+b经过点(1,0),(0,－1),则y = _______;
2. 求满足下列条件的二次函数 f (x) 的解析式:
顶点坐标为( 2,3 ),且图象经过(3,1)点,
2 2
x
f ( t ) t t 1, ( t 1).
即 f ( x ) x x 1, ( x 1).
例3. 已知f ( x 1) x 2 x , 求f ( x ).
解:设t x 1, 则 t ≥ 1,
2
x ( t 1) .
f ( t ) ( t 1) 2( t 1) t 1.
分段函数的几个常见问题1
探究分段函数的几个常见问题河南正阳高级中学 吕玉光分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明.学生对此认识比较肤浅，理解上有些吃力，由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1.分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 2.分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x xx x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 3.分段函数的函数值例2．已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 解析：因为311222()|1|2f =--=-,所以312223214[()]()1()13f f f =-==+-. 4.分段函数的最值例3. 求函数23(0)3(01)5(1)x x y x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪-+>⎩的最小值解析：（方法1） 先求每个分段区间上的最值，后比较求值.当0x ≤时,()23,y f x x ==+此时显然有max (0)3;y f == 当01x <≤时，()3,y f x x ==+此时max (1)4;y f ==当1x >时，y =()5,y f x x ==-+此时y 无最大值.比较可得当x =1时,max 4.y =11o 322-1y x-1（方法2）利用函数的单调性由函数解析式可知，()f x 在(,0)x ∈-∞上是单调递增的，在(0,1)x ∈上也是递增的，而在(1,)x ∈+∞上是递减的，由()f x 的连续性可知()f x 当x =1时有最大值4 （方法3）利用图像，数形结合求得 作函数y =()f x 的图像（图1）， 显然当x =1时max 4y =.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得. 5．分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）222(10).()2(02)xx x A f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 222(10).()2(02)xx x B f x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 222(12).()1(24)xx x C f x x -≤≤⎧=⎨+<≤⎩ 226(12).()3(24)xx x D f x x -≤≤⎧=⎨-<≤⎩ 解析：当[2,0]x ∈-时,121y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式为1122(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-,当[0,1]x ∈时,21y x =+,将其图象沿x 轴向右平移2个单位,再沿y 轴向下平移1个单位,得解析式2(2)1124y x x =-+-=-,所以 12()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得Y4 3 2 10 1 2 3 4 5 x-12131o-2y x222(10)()2(02)xx x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A . 6．分段函数的奇偶性例5．判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.解析：当0x >时,0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,(0)(0)0f f -==当0x <,0x ->,22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+= 因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 7．分段函数的单调性例6．判断函数32(0)()(0)x x x f x xx ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.解析：显然()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是单调递增函数, 当0x <时, '()20f x x =->恒成立,()f x 也是单调递增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.例7．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.解析：121231()()3(2)31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪-≥⎩, 画图易知单调减区间为12(,]-∞-. 8．解分段函数的方程例8．设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足方程1()4f x =的x 的值为解析：若142x -=, 则222x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若1814log x =, 则1481x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求. yx52o -12529．解分段函数的不等式例9．设函数1221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 得取值范围是（ ）.(1,1)A - .(1,)B -+∞ .(,2)(0,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞解析1：首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知0()1f x >时, 所对应的0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.解析2：因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0211x -->, 解得01x <-, 当00x >时,1201x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.例10．设函数2(1)(1)()41(1)x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃解析：当1x <时, 2()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时, ()14111310f x x x x ≥⇔--≥⇔-≤⇔≤, 所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.点评： 以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.xy1-11。