-初中数学竞赛——比例与相似综合(一)
初二数学下册综合算式专项练习题形的相似性质与比例计算
初二数学下册综合算式专项练习题形的相似性质与比例计算在初二数学下册综合算式专项练习中，我们将会遇到一些与相似性质和比例计算相关的题目。
理解和掌握这些概念非常关键，因为它们在解决实际问题和日常生活中的计算中起到了重要作用。
本文将详细介绍相似性质和比例计算的相关知识点，并通过实例进行说明。
一、相似性质1. 相似图形相似图形是指形状相同但尺寸不同的图形。
当两个图形相似时，它们的对应边的比例相等。
例如，如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们就是相似的。
假设有两个三角形ABC和DEF，且它们的对应边分别为AB和DE、BC和EF、AC和DF。
如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. 相似性质的应用相似性质在实际问题中有很多应用。
比如，当我们需要计算某个物体的高度却无法直接测量时，可以利用相似性质来求解。
假设一根高塔的阴影长度为10米，而同时一个人的阴影长度为1.6米。
如果我们知道高塔的实际高度为x米，那么我们可以建立一个相似三角形的比例关系：高塔的高度x与阴影长度10的比例等于人的身高h与阴影长度1.6的比例。
即x/10=h/1.6。
通过这个比例关系，我们可以求得高塔的实际高度为x = (10 * h) /1.6。
二、比例计算1. 比例概念比例是指两个或多个量之间的大小关系。
两个量之间的比例可以用等式表示，例如a:b，读作"a与b的比例为a比b"。
在比例中，a与b 称为比例的两个项。
2. 比例的性质比例具有以下性质：- 两个比例相等的充分必要条件是其四个项成比例。
- 若两个比例的两个项分别相等，则它们成反比。
例如，对于比例a:b和c:d，如果a/b = c/d，则可以得出(a+c)/(b+d)也等于a/b = c/d。
3. 比例的应用比例在日常生活中有广泛的应用。
比如，在购物时我们常常会遇到折扣和打折率的问题。
如果一件商品原价为x元，进行m%的折扣后，我们可以根据比例计算打折后的价格。
初中比例与相似解题技巧与实例分析
初中比例与相似解题技巧与实例分析比例和相似是初中数学中重要的内容之一，对于学习和理解它们的解题技巧至关重要。
本文将介绍初中比例与相似解题的一些技巧，并通过实例进行分析，帮助读者更好地掌握这方面知识。
一、比例解题技巧比例是指两个或多个具有相同或相似性质的量之间的等量关系。
比例解题主要包括比例的计算和应用。
1. 比例的计算比例的计算通常包括已知部分求未知部分和已知整体求部分的情况。
对于已知部分求未知部分的情况，可以使用“已知部分与未知部分的比例=已知数量与未知数量的比例”来进行计算。
如果已知整体求部分，可以通过“已知整体与已知部分的比例=未知整体与未知部分的比例”来计算。
2. 比例的应用比例的应用主要包括三类问题：物品的分配问题、几何图形的相似问题和比例的综合应用问题。
对于物品的分配问题，可以使用已知总数求每份数量或者已知每份数量求总数的方法来解决。
几何图形的相似问题中，可以使用相似三角形的性质来解决。
比例的综合应用问题包括速度、价格、时间等多个方面的综合应用，可以通过列方程式解决。
二、相似解题技巧相似是指两个几何图形的形状和内部角度大小完全相同或者成比例的性质。
相似解题主要包括相似比例、相似关系的判断和相似图形间的性质比较。
1. 相似比例相似比例是指相似图形中相应边的长度之比。
利用相似比例可以解决求长度、比例和面积等问题。
2. 相似关系的判断判断两个三角形是否相似的方法主要包括SAS相似判据、AAA相似判据和SSS相似判据。
利用这些相似判据可以判断两个三角形是否相似。
3. 相似图形间的性质比较相似图形具有许多相同的性质，例如对应角相等、对应边成比例等。
利用这些性质可以解决有关相似图形的问题。
三、实例分析下面通过实例来分析比例与相似的解题技巧：例一：已知矩形ABCD和矩形EFGH的长分别为6cm和8cm，它们的宽分别为4cm和6cm。
问矩形EFGH与矩形ABCD的长的比例和宽的比例是否相等？解：我们可以通过计算两个矩形的长和宽的比例来判断是否相等。
初中数学比例与相似知识点归纳
初中数学比例与相似知识点归纳比例与相似是初中数学中非常重要的概念，它们在解决各种实际问题中起着重要的作用。
在本文中，我将对比例与相似的知识点进行归纳和总结，帮助大家更好地理解和应用这些概念。
一、比例的基本概念比例是指两个或两个以上的量之间的比较关系。
其中，被比较的两个量叫做比，用冒号（:）表示。
比例的两个特点是比的顺序不能颠倒，比的两个数值要有比例关系。
1.1 直接比例直接比例是指当两个量分别成比例的增大或减小，它们的比的值保持不变。
直接比例常常用来表示两个量的倍数关系。
1.2 反比例反比例是指当一个量增大时，另一个量减小，它们的比的值保持不变。
反比例常常用来表示两个量的倒数关系。
二、比例的性质和应用比例具有一些重要的性质，这些性质是我们在解决实际问题时常常会用到的。
2.1 比例的传递性如果a:b=b:c，那么a:c也成比例。
这是比例的传递性，可以简化比例的计算过程。
2.2 分项定理和合项定理分项定理：如果a:b=c:d，那么a±c:b±d也成比例。
合项定理：如果a:b=c:d，那么a±b:c±d也成比例。
这两个定理可以在解决实际问题时，根据给出的条件灵活运用，简化计算过程。
2.3 规定中项的大小当a:b=c:d时，如果ad<bc，那么b:a<c:d；如果ad>bc，那么b:a>c:d。
这一性质在判断给定比例中两个未知量的大小关系时非常有用。
2.4 比例与倍数关系如果两个量成比例，那么它们的任意一个倍数也成比例。
这个性质可以帮助我们求解一些需要比例关系的问题。
三、相似的基本概念相似是指两个或两个以上的图形在形状上的相似性。
相似的图形边长之间的比例关系叫做相似比。
3.1 相似的判定条件相似的判定条件有以下两种：（1）对应角相等：两个图形中相等的角互相对应相等。
（2）对应边成比例：两个图形中对应的边的长度成比例。
3.2 两个相似图形的比例关系如果两个图形相似，那么它们的相似比等于它们对应边的长度之比。
九年级数学下册综合算式专项练习题比例与相似的综合考察
九年级数学下册综合算式专项练习题比例与相似的综合考察在九年级数学下册的学习中，深入理解和熟练运用比例与相似的概念和性质是十分重要的。
为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，本文将结合综合算式专项练习题，对比例与相似进行综合考察，以巩固所学内容。
一、比例的基本概念与性质比例是数学中常见的一种关系，它指的是两个具有对应关系的量之间的相对大小关系。
在比例中，我们通常会遇到比例的增大、减小、倒数比以及相等等性质。
1. 比例的增大与减小在比例中，若两个量成正比例关系，那么当一个量增大时，另一个量也会增大；反之，当一个量减小时，另一个量也会减小。
这是因为两个量成比例，它们之间的相对关系始终保持一致。
2. 比例的倒数关系若两个量成比例，称它们的倒数也成比例。
比如，如果a∶b成比例，那么b∶a也成比例。
这是因为两个量的倒数之间的相对大小关系与原比例相一致。
3. 比例的相等关系若两个比例之间的对应项相等，那么它们是相等比例。
比如，如果a∶b=c∶d，则称a∶b和c∶d是相等比例，或者称两个比例相等。
这时，我们可以利用相等比例中的任意一个比例求解未知量。
二、比例与相似的综合应用在实际生活和问题解决中，比例与相似的概念与性质经常被运用。
下面我们通过一些综合题目，来考察大家对比例与相似的理解与应用：题目一：若某线段在放大时的比例因子为2，放大后的长度为8cm，则原线段的长度是多少？解答一：设原线段的长度为x cm。
根据题意，放大后的线段长度为8cm，即x × 2 = 8。
解方程可得x = 4，所以原线段的长度为4cm。
题目二：两个圆的直径之比为3∶5，求两个圆的面积之比。
解答二：设两个圆的直径分别为3x和5x，那么它们的半径分别为3x÷2和5x÷2。
根据面积公式，面积之比为(3x÷2)²∶(5x÷2)² = 9x²∶25x² = 9∶25。
八年级数学竞赛讲座 相似形(1)
八年级数学竞赛讲座 相似形（1）一、知识要点：1、比例的性质；2、平行线分线段成比例的定理及逆定理；二、典型例题：1、△ABC 中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中线，AE 、AF 分BM 为x 、y 、z 三部分(x>y>z)，求x:y:z ；2、△ABC 的周长为1998cm ，一只小松鼠位于AB 边上（点A 、B 除外）的点P 处，它首先由点P 沿平行于BC 的方向跑到AC 边上的点1P 后，立即改变方向，再沿着平行于AB 的方向奔跑，当跑到BC 边上的点2P 后，又立即改变方向，沿平行于CA 边的方向奔跑，当跑到AB 边上的点3P 后，又立即改变方向，沿平等于BC 的方向奔跑，此后，按上述规律一直跑下去。
问小松鼠能否再返回到点P ？如果能再回到点P ，那么至少要跑多少路程？3、如图：在直角△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于F ，且分别交对边于D 、E ， 求：BFC BCDE S S ∆:四边形；4、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，E 是AB 上一点，CF ⊥BC 交ED 的延长线于F ，M 、N 分别是DE 、DF 的中点，求证：∠MAD=∠NAD5、△ABC 中，AD 是角平分线，且∠BAC=120°，求证：AC AB AD 111+=6、如图：△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，DM 、DN 分别是∠CDB 和∠CDA 的角平分线，MN 交CD 于O ，EO 、FO 的延长线分别交AC 、BC 于Q 、P ， 求证：PQ=CD ；7、如图：△ABC 中，AD 与CF 交于E ，D 在BC 上，F 在AB 上，且AE ·BF=2AF ·DE ，试判断AD 是△ABC 的中线、高或角平分线，并说明理由。
8、若z y x t y x t z x t z y t z y x ++=++=++=++，记z y x t y x t z x t z y t z y x f +++++++++++=，证明：f 是一个整数；9、如图：△ABC 中，D 、E 为AC 、AB 上的点，BD 、CE 相交于O ，取AB 的中点F ，连结OF ，若CD AD 21=，AE BE 21=，求证：OF ∥BC 10、如图：在梯形ABCD 中，N 、P 和Q 、M 分别是底AD 、BC 上的点，有CP ∥AM ，BN ∥DQ ，AM 、BN 相交于E ，CP 、DQ 相交于F ，过E 、F 分别作AD 的平行线交CD 、AB 于G 、H ，求证：EG=FH 11、在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线的充AM B E F C CD F AE B AE M B D CN F CF E N O M A D B Q H P A F E B D C AE DF OB CAFEB C D要条件是1=⋅⋅FBAF EA CE DC BD 12、如图：四边形ABCD 既不是平行四边形又不是梯形，O 是对角线AC 、BD 的交点，OP ∥AD 交CB 的延长线盱P ，OQ ∥CD 交BA 的延长线于Q ，OR ∥BC 交DA 的延长线于R ，OS ∥AB 交CD 的延长线于S ，求证：P 、Q 、R 、S 四点共线；作业题：1、已知32===f e d c b a ，则求2423222242322234322432--------------⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+f d b e c a ？ 2、如图：P 是△ABC 内的一点，等长的三条线段DE 、FG 、HI 分别平行于AB 、BC 和CA ，并且都过P 点，已知AB=12，BC=8，CA=6，求AI ：IF ：FB 的值；3、如图：在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别交于M 、N 、R 、S 及P ，求证：PM ·PN=PR ·PS ；4、在△ABC 中，AB ＞AC ，过BC 的中点D 作直线垂直于∠A 的平分线，交AB 于E ，交AC 的延长线于F ，求证：BE=CF=21（AB －AC ）； 5、如图：△ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，∠B 的平分线分别与AD 、AC 交于E 、F ，H 为EF 的中点，（1）求证：AH ⊥EF ；（2）设△AHF ，△BDE ，△BAF 的周长分别为321,,C C C ，证明：89321≤+C C C ，并求出当等号成立时BF AF 的值； 6、如图，在等腰△ABC ，已知AB=AC=k ·BC ，这里k 是大于1的自然数，点D 、E 依次在AB 、AC 上，且DB=BC=CE ，CD 与BE 相交于O ，求使BC OC 为有理数的最小自然数k ； B DE H AF C AD O EB C。
解决初中数学中的比例与相似题的技巧有哪些
解决初中数学中的比例与相似题的技巧有哪些数学中的比例与相似是初中数学中的重点内容，它们不仅在学科里占据重要地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
解决这类题目需要掌握一些基本的技巧和方法。
在本文中，我将为大家总结一些解决初中数学中的比例与相似题的技巧。
一、比例问题的解决技巧1. 理解比例关系：在解决比例问题时，首先要理解比例的概念和性质。
比例是指两个数或两个量之间的等比关系。
在解题时要注意比例的单位和意义，确保比例量的一致性。
2. 利用比例的性质解题：比例具有对称性和传递性的特点。
在解决比例问题时，可以利用这些性质来简化解题过程。
例如，如果题目中已知a:b=c:d，可以根据对称性得出b:a=d:c的结论，从而简化计算。
3. 代入和消元法：有时候，为了解决比例问题，可以选择适当的数值代入已知条件，从而简化问题的计算。
另外，当两个比例式中含有相同的未知数时，可以通过消元法将它们相减或相除，得到新的比例关系。
二、相似问题的解决技巧1. 判断相似图形：在解决相似问题时，要先判断出两个或多个图形是否相似。
首先要看它们是否具有相同的形状，然后观察它们的边长比例是否相等。
通常，如果两个三角形的对应边成比例，即各边的长度比相等，那么这两个三角形就是相似的。
2. 使用相似三角形的性质：相似三角形有很多重要的性质，利用这些性质可以解决相似三角形问题。
例如，相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
通过利用这些性质，我们可以求解未知的边长或角度。
3. 利用比例关系解题：相似问题往往涉及到比例关系。
在解决这类问题时，可以通过建立比例关系来求解未知量。
例如，如果两个三角形的边长成比例，可以利用这个比例关系求解未知边长。
综上所述，初中数学中解决比例与相似题的技巧主要包括理解比例关系、利用比例的性质解题、代入和消元法、判断相似图形、使用相似三角形的性质以及利用比例关系解题等。
通过熟练掌握这些技巧和方法，我们能够更好地解决比例与相似题，提高解题的速度和准确性。
数学综合算式专项练习比例与相似
数学综合算式专项练习比例与相似比例和相似是数学中重要的概念和工具。
在数学综合算式中，这两个概念经常出现，对于学生来说需要进行专项练习来掌握。
本文将从理论基础、常见题型和解题技巧三个方面介绍如何进行比例与相似的专项练习。
一、理论基础比例是指两个或多个具有相同单位的数之间的关系。
通常用两个冒号“:”或者分数线“/”表示。
如果比例两边的值成正比，且成比例公式成立，则称其为正比例关系。
比如：a:b = c:d，可以表示为ad=bc。
相似是指两个或多个图形具有相同的形状但是尺寸不同。
相似关系可以通过比较两个图形边长的比例来确定。
如果两个图形的对应边长比例相同，则称这两个图形相似。
常用的表示相似关系的符号是“∽”。
二、常见题型1. 比例题型（1）已知a:b = c:d，求未知量。
在此类题型中，已知比例关系需要根据已知条件来求解未知量。
通常可以通过求解一个方程来得到结果。
（2）已知比例关系，求新比例。
在此类题型中，需要根据给定的比例关系来求解新的比例关系。
可以通过将已知比例关系中的数值进行合理的变化来得到新的比例。
2. 相似题型（1）已知两个相似图形的边长比例，求其他量。
在此类题型中，已知相似图形的边长比例，需要求其他未知量，如面积、周长等。
可以利用相似图形的性质进行求解。
（2）已知一个相似图形，求另一个相似图形的边长比例。
在此类题型中，已知一个相似图形的具体信息，需要求解另一个相似图形的边长比例。
可以通过构造合理的比例等式进行求解。
三、解题技巧1. 比例题的解题技巧（1）根据已知条件列方程。
根据已知的比例关系列出方程，将问题转化为求解方程的问题。
（2）合理运用代数运算。
利用求解方程的技巧，可以通过化简、消元等代数运算方法来求解未知量。
2. 相似题的解题技巧（1）利用相似图形的性质。
相似图形的对应边长比例相等，可以通过已知条件的比例关系来推导其他未知量的比例关系。
（2）运用图形构造方法。
对于相似题，可以通过构造相似图形来辅助求解。
初中数学知识归纳相似比和比例的性质和计算
初中数学知识归纳相似比和比例的性质和计算相似比和比例是初中数学中重要的概念，它们在解决实际问题以及解题过程中起着关键的作用。
本文将对相似比和比例的性质和计算进行归纳总结。
一、相似比的性质相似比是指在两个或多个比中，各自相同位置上的两个对应项的值之比相等。
相似比具有以下性质：1. 相似比的交换律：若a:b=c:d，则b:a=d:c。
换句话说，相似比的两个比值对调位置后仍然相等。
2. 相似比的放缩性：若a:b=c:d，则na:nb=nc:nd (其中n为非零实数)。
也就是说，相似比中每个项都乘以同一个非零实数，所得到的新比仍然相似。
3. 相似比的合并性：若a:b=c:d，c:d=e:f，则a:b=e:f。
也就是说，相似比能够进行合并，从而得到一个更简洁的比。
二、比例的性质比例是比的一种特殊形式，它是两个相等的比。
比例具有以下性质：1. 比例的乘法性质：如果a:b=c:d，则a*c:b*d。
换句话说，比例中的连乘性成立。
2. 比例的除法性质：如果a:b=c:d，则a/b=c/d。
也就是说，比例中的连除性成立。
3. 比例的逆比例性质：如果a:b=c:d，则b:a=d:c。
也就是说，比例中的逆比关系成立。
三、相似比和比例的计算方法在进行相似比和比例的计算时，我们常常使用以下几种方法：1. 已知相似比求解：根据已知的相似比和其中一个比值，通过代入求解的方法，可以确定其他比值的值。
2. 已知比例求解：根据已知的比例和其中三个值，可以通过等比例的性质来求解第四个值。
3. 比值的转换：当给定一个比例，但是需要计算一个与之相似的比例时，我们可以利用比值的放缩性质进行转换。
4. 比例的合并：当给定多个比例时，我们可以利用比例的合并性质将其合并为一个更简洁的比例。
综上所述，相似比和比例的性质和计算方法在初中数学中起着重要的作用。
掌握了这些知识，我们就能够更加灵活地运用它们解决实际问题和完成数学题目。
希望通过本文的归纳总结，能够帮助您更好地理解和应用相似比和比例。
中学初三数学复习比例与相似问题的解答技巧
中学初三数学复习比例与相似问题的解答技巧在中学数学学科中，比例与相似一直是一个重要的概念和问题领域。
掌握好比例与相似的解答技巧对于初三数学的学习非常关键。
本文将为您介绍一些解答比例与相似问题的技巧，并提供一些例题进行解析。
一、比例问题的解答技巧比例问题是中学数学中常见的题型，掌握比例问题的解答技巧可以帮助我们更好地理解和应用比例概念。
1. 比例的基本性质比例的基本性质是指当两个比例相等时，其对应的比值也相等。
例如，如果a:b = c:d，那么a/c = b/d。
我们可以利用这个性质来解决一些比例问题。
2. 比例的四则运算在比例问题中，我们经常需要进行比例的加减乘除运算。
例如，如果a:b = 2:3，b:c = 4:5，我们可以通过将两个比例相乘得到新的比例。
即(a:b) × (b:c) = a:c = (2/3) × (4/5) = 8/15。
通过比例的四则运算，我们可以得到所需的结果。
3. 初始量和变化量的关系在一些实际问题中，我们需要根据已知条件来确定未知量。
比例问题中，我们可以根据已知的初始量和变化量的关系来解答问题。
例如，某商品原价为x元，打折后降价了20%，我们可以通过原价和折扣求得打折后的价格为0.8x元。
使用以上的解答技巧，我们可以更加灵活地解决各种比例问题。
二、相似问题的解答技巧相似是一个常见的几何概念，涉及到图形的形状、大小和位置关系。
解答相似问题需要通过观察和运用相似的性质来分析和推理。
1. 相似三角形的判定在相似问题中，判断两个三角形是否相似是关键的一步。
两个三角形相似的条件是三对对应角相等或者三个对应角的比值相等。
利用这个条件，我们可以判定两个三角形是否相似。
2. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质，我们可以运用这些性质来解答相似问题。
其中一些性质包括：对应边的比值等于对应角的比值，对应角的对边比值相等。
3. 利用比例关系解答相似问题在相似问题中，我们可以通过建立各种比例关系来解答问题。
初中数学竞赛专题：比例与相似(1)
初中数学竞赛专题:比例与相似(1)§11.1比例线段11.1.1★在ABC △中,角平分线AD 与BC 交于D ,AB c =,BC a =,CA b =,求BD 、CD 之长度(用a 、b 、f 表示)．解析 如图,易知有BD CD a +=,BD AB c CD AC b ==,故ac BD b c =+,abCD b c=+． AB D C11．1．2★已知:等腰梯形ABCD 中,M 、N 分别是腰AB 、CD 的中点,BD BC =,BD CA ⊥且交于E ,求证:CE MN =．解析 如图,不妨设1BE CE ==,则BC BD AC =,1AE ED =,故2AD =,()112MN AD BC CE =+==． ADEMN BC11．1．3★在ABC △中,2AC AB =,A ∠的平分线交BC 于D ,过D 分别作AB 、AC 的平行线交AC 、AB 于F 、E ,FE 和CB 的延长线交于G ,求证:EF EG =．解析 如图,由ED AC ∥,及AD 平分BAC ∠,知12GE BE BE BD AB GF DF AE CD AC =====,故2GF GE =,因此EF EG =．AEFGBDC11．1．4★设D 为ABC △的边BC 的中点,过D 作一直线,交AB 、AC 或其延长线于E 、F ,又过A 作AG BC ∥,交FE 的延长线于G ,则EG FD GF DE ⋅=⋅．GAE BDCF解析 由平行知GE AG AG GFDE BD CD DF===． 于是由第一式与最后一式,转化为乘法,即可得结论．11．1．5★已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点,过点O 作EF AB ∥,分别交AD 、BC 于E 、F ,又过O 作GH BC ∥,分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ,交GH 于P ；连结DG ,交EF 于Q ．如果OP OQ =,求证:平行四边形ABCD 是菱形． 解析 如图,易知OP EO GA BF EF AB ==,OQ GO AEDH GH AD==． 由于AE BF =,GA DH =,故OP AB GA BF AE DH OQ AD ⋅=⋅=⋅=⋅,于是AB AD =,四边形ABCD 是菱形．A E DQGH POB F C11．1．6★ABC △中,AB AC >．AD 是BAC ∠的角平分线．G 是BC 的中点,过G 作直线平行于AD 交AB 、AC 或延长线于E 和F ．求证:2AB ACBE CF +==． 解析 如图,易知G 比D 靠近B ,E 在AB 上,而F 在CA 延长线上．易知12BG BC =,而AB BCBD AB AC⋅=+,故2BE BG AB ACAB BD AB+==,同理,CF 也是此值．F AEB G D C评注 不用比例线段的方法是:延长EG 一倍至P ,则CP BE =,再证AEF △和FCP △均为等腰三角形．11．1．7★凸四边形ABCD 中,ADC ∠,90BCD ∠>︒,BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ,AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ,连结E 、F ,证明:EF CD ∥．解析 如图,设AC 、BD 交于O ,则由平行线性质,知FO AO BO CO =,AO FO BO CO =⋅,同理,BOEO AO DO=⋅,故FO DOEO CO=,故EF CD ∥． AF DOB CE11．1．8★★如图,在ABC △中．AB AC =,BP 、BQ 为B ∠的三等分角线,交A ∠的平分线AD 于P 、Q ,连结CQ 并延长交AB 于R ,求证:PR QB ∥．ARP Q BDC解析 易知ABC △关于AD 对称．又设QBC QCB θ∠=∠=,则2ABQ RQB θ∠==∠,故RQ RB =,于是由角平分线之性质,知AR AR AC AB APBR RQ CQ BQ PQ====,于是PR QB ∥． 11．1．9★★梯形ABCD 中,AD BC ∥(AD BC <),AC 和BD 交于M ,过M 作EF AD ∥,交AB 、CD 于E 、F ,EC 和FB 交于N ,过N 作GH AD ∥,交AB 、CD 于G 、H ．求证:1212AD BC EF GH+=+． ADE MF GNHBC解析11EM AM DM BM EM BC AC DB DB AD ===-=-,故111EM AD BC =+,同理111FM AD BC=+,故11112EF AD BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,同理11112GH EF BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,两式相加并整理即得结论．11．1．10★设a 、b 、c 分别是ABC △的三边的长,且a a bba b c +=++,求它的内角A ∠、B ∠．解析 由条件,得22a ab ac ab b -+=+,即()2b a a c =+,所以ba ca b+=． 如图,延长CB 至D ,使BD AB =,于是CD a c =+．因此在ABC △与DAC △,AC DCBC AC=,且C ∠为公共角,所以ABC △∽DAC △,BAC D ∠=∠．而BAD D ∠=∠,故22ABC D BAD D BAC ∠=∠+∠=∠=∠．CABbca D11．1．11★设凸四边形ABCD ,对角线交于E ,过E 作直线与BC 平行,交AB 、CD 及DA 延长线于G 、H 、F ．若1GE =,2EH =,求EF ．DA FGEHBC K解析 延长DF 与CB 延长线交于K ,则有FG GE KB FEBC EH==． 设EF x =,则1FG x =-,代人上式,便得12x x -=．故2EF x ==．11．1．12★★AP 为等腰三角形ABC 底边BC 上的高,CD 为ACB ∠的平分线,作DE BC ⊥于E ,又作DF DC ⊥与直线BC 交于F ,求证:4CFPE =． 解析 如图,设AB AC m ==,BC n =,则由角平分线性质知PE AD ACBP AB AC BC==+, 故()2mnPE m n =+．又取FC 中点G ,连结DG ,1902F C ∠=︒-∠,DG FG =,故1902FDG C ∠=︒-∠,DGF C ∠=∠,故DG AC ∥,从而DG BD BC AC AB AC BC ==+,故mnDG m n=+．于是224FC FG DG PE ===． ADF B EG P C11.1.13★★足球场四周有四盏很高的灯,在长方形的四角,且一样高,求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员P 在矩形球场ABCD 内,如图(a),过P 作MPN BC ∥,M 在AB 上,N 在CD 上,则22222222AP BP AM BM DN CN PD PC -=-=-=-,或2222AP CP BP DP +=+．A MBCND P图(a)又设灯高为H ,运动员身高为h ,点A 处的灯造成的影子长为PA ′,如图(b),则A P hAA H'=',得A P h PA H h '=-,同理B P C P D P hPB PC PD H h'''===-,故四个影子的关系是2222A P C P B P D P '+'='+'． 图(b)图(c)A'hHAPA'AA''P lh H跳起来时,不妨设脚底离地l ,此时点A 处的灯造成的影子长度为A ′A ″,如图(c),则h l A P PA H h l +'=--,lA P PA H l"=-,于是A A A P A P '"='-"h ll PA H h l H l +⎛⎫=- ⎪---⎝⎭()()Hh PA H h l H l =---, 同理B BC CD D PB PC PD'"'"'"==()()Hh H h l H l =---,所以A ′2A "+2C C '"=22B B D D '"+'"仍旧成立． 11．1.14★★求日高公式． 解析如图所示,设太阳高度为RD x =,杆AB =A ′B =h 直立在地上,影子的长度分别为BC a =,B ′C ′b =,两杆距离为d ．所谓日高公式就是用a 、b 、d 、h 表示x ,这里假定大地为平面,且AB 、A ′B ′与R 在同一平面上．RxDB'A A'hhCB易知CB AB CD RD =,代入得a h a BD x =+,故1x BD a h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；同理,B ′1x D b h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由BD B -′D B =B ′d =,代入得()1x a b d h ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,由此解得1d x h a b ⎛⎫=+⎪-⎝⎭． 11.1.15★★设梯形ABCD,E 、F 分别在AB 、CD 上,且AD EF BC ∥∥,若3AD =,7BC =,5AB =,6CD =,梯形AEFD 和梯形EBCF 的周长相等,求EF ．解析 如图,作平行四边形DABH ,H 在BC 上,则5DH AB ==,4CH =．设DH 与EF 交于G ．ADEG FB HC易知梯形AEFD 的周长为DGF △的周长加上6,梯形EBCF 的周长为梯形FGHC 的周长加6,故DGF △的周长=梯形GHCF 的周长,也即DG DF DHC +=△周长的一半即152． 又56DG DH DF CD ==,故6154511211DF =⨯=．453046611DF GF CH CD =⋅=⨯=,306331111EF =+=． 11．1．16★★如图,已知ABC △中,AD 、CE 交于F ,BF 、ED 交于G ,过G 作GMN BC ∥,交CE 于M ,交AC 于N ,求证:GM MN =．AEP BDCG K MNF解析 设AD 与GM 交于K ,AB 与直线NG 交于P ,则KN CD KMPK BD GK==． 于是1PK PG CD GM MN KN KM KM KM PG PG GM GK GK BD PG ⎛⎫=-=-=⋅=⋅=⋅=⎪⎝⎭．11.1.17★四边形ABCD 为正方形,E 、F 在BC 延长线上,CE CD =,CF CA =,H 、G 分别是CD 、DE 与AF 的交点．求证:CHG △为等腰三角形．解析 如图,不妨设正方形边长为1,则CF ,1CE =,1EF =．ADHJBCEFG作GJ CF ∥,交CD 于J．则JG DG AD CE DE AD EF ==+于是12HG JG HF CF ==,即G 为直角三角形斜边HF 之中点,于是GH GC =． 11.1.18★★在ABC △中,4AB =,2BC =,3CA =,P 是ABC △内一点,D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 上,且PD BC ∥,PE AC ∥,PF AB ∥．若PD PE PF ==,求PD ．解析 如图,延长CP 交AB 于C ′(同理定义A ′、B ′,图中未画出),设PD PE PF x ===,则2x C P CC '=',同理,4x B P BB '=',3x PA AA '=',由于1PA PB PC AA BB CC '''++=''',故1234x x x ++=,1213x =．AC'FPDE B C11.1.19★ABC △内有一点O ,AO 的延长线交边BC 于点A ′,BO 的延长线交边AC 于点B ′,CO 的延长线交边AB 于点C ′．若AO BO CO k OA OB OC ++=''',求AO BO COOA OB OC ⋅⋅'⋅'⋅'的值(用k 表示)． 解析 如图,设AO x OA =',BO y OB =',CO z OC =',则x y z k ++=,而1OA OB OCAA BB CC ''++=''',即1111111x y z ++=+++,展开得()32x y z xy yz zx ++++++()1x y z xy yz zx xyz =+++++++,故22xyz x y z k =+++=+．AC'B'B A'CO11.1.20★已知ABC △的三边长分别为a 、b 、c ,三角形中有一点P ,过P 作三边的平行线,长度均为x ,试用a 、b 、c 来表示x ．解析 设AP 延长后与BC 交于A ′(同理定义B ′与C ′),则1xAP PA a AA AA '==-'',同理1x PB b BB '=-', 1x PC b CC '=-',三式相加,得11132PA PB PC x a b c AA BB CC '''⎛⎫⎛⎫++=-++= ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭, 所以2abcx ab bc ca=++．ABCPA'评注 P 存在的条件是x a <,b ,c ,代人得:1a 、1b、1c可组成三角形三边之长．11.1.21★已知D 、E 、F 分别是锐角三角形ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且AD 、BE 、CF 相交于点P ,6AP BP CP ===．设PD x =,PE y =,PF z =,28xy yz zx ++=,求xyz 的大小． 解析 由熟知结论1PD PE PFAD BE CF++=,得1666x y z x y z ++=+++,因此(6)(6)(6)(6)(6)(6)x x z y x z z x y ++++++++=(6)(6)(6)x y z +++,即 1083()xyz xy yz zx =-++=24．11.1.22★如图,正方形ABCD 边长为1,Q 为BC 延长线上一点,QA 与CD 、BD 分别交于点P 、E ,QO (点O 是AC 与BD 交点)与CD 交于点F ,若EF AC ∥,求AP 的长．ADEPFOCBQ解析 连结DQ ,则由EF AC ∥,得EQ EF EF DEQA AO CO DO===,于是DQ AC ∥,CQ AD =,P 为CD 中点,所以AP =． 11.1.23★★如图,已知EF BC <,G 、D 分别在EF 、BC 上,则下面任两条可推出第三条: (1)BE 、DG 、CF 共点；（2）EF BC ∥；（3）EG BDFG CD=．AA'E'EGF F'B D解析 (1),(2)⇒(3):EF BC ∥,则EG AG GF BD AD CD ==,故EG BDGF CD=． （2）,（3）⇒（1）:EG BD FG CD =⇒1EG FG EF BD CD BC==<,故可设BE 、DG 延长后交于A ,DG 、CF 延长后交于AG EG GF AD BD CD ===A G A D '',AG A GGD GD'=,A 与A '重合． (1),(3)⇒(2):若EF 与BC 不平行,作E 'GF 'BC ∥,E '在AB 上,F '在AC 上,则有E G BD EGF G CD FG'==',得EE 'FF ∥',即AB AC ∥,矛盾．11.1.24★ABC △中,AK 为A ∠的平分线,在BA 、CA 上取BD CE =,G 、F 分别为DE 、BC 的中点,则GF AK ∥．解析 如图,连结BE ,设BE 中点为M ,连结CM 、FM ,则12GM BD =∥12CE MF ∥,所以GM FM =,且GMF GME EMF ABE ∠=∠+∠=∠+180180BEC BAC ︒-∠=︒-∠．取AC 上的点S ,使KS AB ∥,则等腰GMF △∽等腰AKS △,且对应边KS GM ∥,AS MF ∥,故第三边也平行,即GF AK ∥．AE SGD MBFKC11.1.25★★★已知:ABC 中,90A ∠=︒,D 为BC 上一点,且非BC 中点,211AD BD CD=+,P 为AD 中点,求证:2BDA BAD ∠=∠,PD 平分BPC ∠．解析 如图,作BR AD ∥,与CA 延长线交于R ,延长CP 交BR 于Q ,则由AP PD =,AD RB ∥,有RQ BQ =．又90RAB ∠=︒,故AQ BQ =．由条件,知111BCPD BD CD BD CD++=⋅,于是PD CD PD BD BC BQ ==,BD BQ AQ ==,四边形AQBD 乃等腰梯形(若四边形AQBD 是菱形,则C ∠=QAR R DAC ∠=∠=∠,D 为BC 中点,与题设矛盾),12BAD QBA QAD ∠=∠=∠12BDA =∠．又P 为AD 中点,显然(比如由全等)有BPD APQ DPC ∠=∠=∠．RQBDCAP11．1．26★★★已知M 、N 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点,CD 延长线上有一点P ,PM 延长后与AC 交于Q ．求证．NM 平分PNQ ∠．解析 如图,设AC 与MN 交于O ,则MO NO =,过O 作OR MN ⊥,交QN 于R ,则MR NR =．AMDPROB N C又OR BC ∥,MO PC ∥,故QM QO QRMP OC RN==,于是MR PN ∥,由于OR 将MN 垂直平分,于是RNO RMO PNM ∠=∠=∠．11.1.27★★在ABC △中,3A B ∠=∠,求证:2a b b c a b -⎛⎫=⎪+⎝⎭,a 、b 、c 为ABC △的对应边长． 解析 如图,延长CA 至D ,使223D BAC ABC ∠=∠=∠,于是DBA ABC ∠=∠,故CD BC =,AD a b =-．ABD △中,2D DBA ∠=∠,则2()AB AD AD BD =+．又由角平分线性质BD ADBC AC=,得()a a b BD b-=,22a b AD BD b -+=,代人前式,得222()()a b a b c b --=,即得结论．ACB评注 ABC △中,22()A B BC AC AC AB ∠=∠⇔=+,证明如下:延长CA 至D ,使AD AB =,于是2()D ABC BC AC AC AD ∠=∠⇔=+或()AC AC AB +．11．1.28★★已知AB CD ∥,E 、F 分别是AB 、CD 上任两点,DE 、FB 延长后交于M ,AF 、EC 延长后交于N ,求证:若AB CD ≠,则AD 、BC 、MN 共点；若AB CD =,则AD BC MN ∥∥．解析 如图,设AE a =,BE b =,CF c =,DF d =,延长AB 、DC 分别与MN 交于P 、Q ,设BP x =,CQ y =．由AP FQ ∥知a cb x y =+,同理d bc y x=+,即ay bc cx =+,dx bc by =+,于是ay cc dx by -=-,a b c d x y ++=,或AB CD BP CQ=．若AB CD =,则BP CQ =,又BP CQ ∥,做AD BC PQ ∥∥；AB CD ≠,由AB ∥CD ,得AD 、BC 、MN 共点（见题11.1.23）． ADE FB C MPQN11.1.29★★正三角形ABC ,D 、E 、F 是BC 、CA 、AB 的中点,P 、Q 、R 分别在EF 、FD 、DE 上,A 、P 、Q 共线,B 、Q 、R 共线,C 、R 、P 共线,求FPPE． 解析 如图,不妨设ABC △边长为2,PF x =,QD y =,ER z =,则1PE x =-,1FQ y =-,1DR z =-．E PQRBDCF由PE ER CD RD =,得11z x z -=-,同理11y z y -=-,11xy x-=-,于是121x y x -=-,121y x y x -=-,13111111212x x x z x x--=-=-=---,x y z ===．所以1x -1FP x PE x ===-． 11．1．30★★任给锐角ABC △,问在BC 、CA 、AB 上是否各存在一点D 、E 、F ,使FD BC ⊥,DE AC ⊥,EF AB ⊥?解析 这样的DEF △是存在的．作法如下:在BC 上任取一点D ′,作D ′E ′AC ⊥于E ′,分别过D ′、E ′作BC 、AB 的垂直线交于点F ′．A RF SB D'D CEE'F'若F ′恰在AB 上,则D ′、E ′、F ′,即为满足条件的三点D 、E 、F ；若,F ′不在AB 上,设C 、F ′,所在直线与AB 交点为F (因为ABC △是锐角三角形,所以交点必在AB 上),过F 分别作BC 、AB 的垂线交BC 、AC 于D 、E ,则FD BC ⊥,EF AB ⊥,连结DE ,易知CD CF CECD CF CE ==''',得DE ∥D ′E ′,由作法D ′E ′AC ⊥,所以DE AC ⊥,D 、E 、F 满足条件．11.1.31★★★已知凸四边形内有一点P ,APB ∠、BPC ∠、CPD ∠、DPA ∠的平分线分别交AB 、BC 、 CD 、DA 于K 、L 、M 、N ,求证:四边形KLMN 为平行四边形的充要条件是P 为AC 、BD 的中垂线的交点．解析 若P 为AC 、BD 的中垂线之交点,则AP CP =,BP DP =,于是AK AP AP ANBK BP DP ND===,于是KN BD ∥,同理ML ∥BD ,又同理MN AC KL ∥∥,故四边形KLMN 为平行四边形．D反之,若四边形KLMN 为平行四边形,由于AN DM AP AK BLND MC CP KB LC⋅==⋅,故由梅氏定理,若MN 、KL 不与AC 平行,它们将与AC 交于同一点,这与NM KL ∥矛盾,因此NM AC ∥,AP CP =,同理BP DP =,故P 在AC 、BD 的中垂线上．11．1．32★★★已知梯形ABCD 中,AD ∥BC ,E 、F 分别在AB 、CD 上,求证:若ED BF ∥,则AF CE ∥．又此时若ED 、AF 交于M ,CE 、BF 交于N ,问三直线AB 、MN 、CD 共点的条件．解析 如图(a),不妨议BA 、CD 延长后交于P ,于是有PQ PD BP PC =,PE PDPB PF=． PA D M EFN BC图(a)于是PA PC PB PD PE PF ⋅=⋅=⋅,由此可得PA PFPE PC=,故AF CE ∥． 因为四边形MENF 为平行四边形,MN 过EF 的中点,若P 、M 、N 共线,则由塞瓦定理,有AD EF ∥BC ∥．下面刻画E 或F 的位置,如图(b),设BD 与EF 交于Q ,AEk EB=,则由ED BF ∥,DF DQ EQ k FC BQ FQ ===,而111EQ AD K =++,1QF k BC k =+,故1ADk k BC=⋅,此即AE BE =A DEFQBC图(b)11.1.33★★如图,已知ABC △中,AD 、BE 、CF 交于G ,FH AD ∥,FH 延长后与ED 的延长线交于K ,求证:FH HK =．AFEMG N BH DJ CK解析 作EJ AD ∥,EJ 与CF 交于N ,FK 与BE 交于M ,则由平行,知FH AD EJFM AG EN==,故FH FM FG HD HKEJ EN GN DJ EJ====,于是FH HK =． 11.1.34★★★已知ABC △,AD 、BE 、CF 是角平分线,M 、N 在BC 上,且FM AD EN ∥∥,求证:AD 平分MAN ∠．AF EPI TSBMDN C解析1 设ABC △内心为I ,FM 与BE 交于S ,EN 与CF 交于T ,连结EF ,交AD 于P ．由角平分线及平行性质,有FM AD EN FS AI ET ==,故有FM FS SI FP AF EN ET IE PE AE ====,又11802AFM BAC ∠=︒-∠∠AEN =∠,故AFM △∽AEN △,于是FAM EAN ∠=∠,于是AD 平分MAN ∠． 解析2 由角平分线性质,知AE AB EC BC =,AF AC BF BC =,于是AE AB CE AF AC BF =⋅．又易见FM BF AD AB =,EN CEAD AC=,故EN CE AB FM BF AC ⋅=⋅,于是AE ENAF FM=,以下同解析1．评注 注意解析1更好些,因为只要求AD 平分BAC ∠．不要求I 是内心,本题结论也成立．于是本题的逆命题是,由AD 平分MAN ∠得出AD 平分BAC ∠,而不能证明I 是内心．这个逆命题也是正确的,读诗者不妨一试．11．1．35★★P 为XOY ∠内一点,A 、B 在OX 上,C 、D 在OY 上,线段AD 、BC 交于P ．若1111OA OD OB OC+=+,则OP 平分XOY ∠,反之亦然． 解析 如图,作平行四边形PQOR ,Q 、R 分别在OX 、OY 上．设QP OR a ==,OQ PR b ==． 此时易得1a b a b OD OA OC OB +=-+,因此1111a b a b b b OD OD OA OC OC OB --⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,于是a b a b OD OC --=．但OD OC >,故a b =．所以平行四边形PQOR 是菱形,OP 为XOY ∠之平分线．XYBA Q POR C反之,可设所作平行四边形PQOR 为菱形．设菱形边长为n ,则1a PR RD aOA OA OD OD===-,即得111OA OD a +=．同理,111OB OC a+=,于是命题得证． 11．1．36★★已知ABC △,三边分别为a 、b 、c ,AD 是角平分线．求AD 之长(用a 、b ,c 表示) 解析 如图,延长AD 至E ,使E B ∠=∠,于是A 、B 、E 、C 共圆,又ABD △∽AEC △,故AB AC ⋅=()AD AE AD AD DE ⋅=+=22AD AD DE AD BD CD +⋅=+⋅．ABDCE设AB c =,AC b =,则ac BD b c =+,abCD b c=+,故AD ===11．1．37★★在ABC △中,AD 、AE 三等分BAC ∠,且BD =2,DE =3,EC =6,求AB 的长． 解析 如图,设AB x =,AD y =,则由角平分线性质知32AE x =,2AC y =．AB D E由于2AB AE AD BD DE ⋅-=⋅,即22362x y -=,同理2292184y x -=, 消去y ,得AB x ==11．1．38★★★已知平行四边形ABCD ,点E 是点B 在AD 上的垂足,点F 在CD上,90AFB ∠=︒,EG AB ∥,点G 在BF 上,点H 是AF 与BE 的交点,又DH 延长后与CB 的延长线交于点I ,求证:FI GH ⊥．解析 如图,作IK HF ⊥．对OKF △与HFG △来说,KF FG ⊥,IK HF ⊥,而90HFG IKF ∠=︒=∠,如果能证明两三角形(顺向)相似,那么第三组对应边OF 与HG 就垂直了,于是只需证明KF IKFG HF=或KF FGIK HF=．事实上设AF 、BC 延长后交于点J ,且设J θ∠=∠,则易知cos KF BO θ=,sin KI IJ θ=,于是cot cot cot KF BI DE FGIK IJ AD FBθθθ===,又HB BJ ⊥,故HBF θ∠=,于是tan FB HF θ=,代人上式,即得KF FGKI HF=． θθθCJ IB G KF HAE D§11.2相似三角形11．2．1★已知,B 是AC 中点,D 、E 在AC 的同侧,且ADB EBC ∠=∠,DAB BCE ∠=∠,证明:BDE ADB ∠=∠．解析 如图,易知DBE DBC EBC A ADB EBC A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠． 又ABD △∽BDE △,故BD AD ADBE BC AB==,于是ADB △∽BDE △,故BDE ADB ∠=∠． DEA B C11．2．2★已知αβ+=α′+β′<180︒,sin sin αβ=sin sin αβ'',则αα=′,ββ='． 解析 如图,作ABC △与A △′B ′C ′,使B α∠=,B ∠′α=′,C β∠=,C ∠′β=',则由条件A A ∠=∠′,且sin sin sin sin AB A B AC A C ββαα'''===''',故ABC △∽A △′B ′C ′,从而B B ∠=∠′,C C ∠=∠′．此即αα=′,ββ=′．AB C A'B'C'评注 这个结果用途极广．11．2．3★线段BE 分ABC △为两个相似的三角形,求ABC △的各内角． 解析 如图,不妨设BCE △∽ABE △,BCE △比较“大”．BA EC由于BEA ∠>EBC ∠及C ∠,故只能有BEA CEB ∠=∠,于是BE AC ⊥．ABE CBE ∠=∠不可能(否则ABE △≌BCE △),故ABE C ∠=∠,CBE A ∠=∠,90ABC ∠=︒,BCAB=,因此ABC △三内角为:30︒、60︒、90︒．11．2．4★★设ABC △中,D 在BC 在上,且22BD AD BC AC =,求证:ABD △∽CBA △． AEB D C解析 过D 作DE AC ∥,E 是AB 是一点．于是BD ED BC AC =,代入条件并整理,即得ED ADAD AC=． 又EDA DAC ∠=∠,于是EDA ∠∽DAC △,于是BAD C ∠=∠,故ABD △∽CBA △．。
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第6讲 比例与相似综合（一）
典型例题
一. 常见辅助线
【例1】 如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线与P ，若
2AD DE =，求证：3AP AB =．
【例2】 如图，点D 在ABC △的AC 边上，E 在CB 的延长线上，
且AD BE =，求证：EF BC AC FD ⋅=⋅．
【例3】 如图，已知ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交
AC 于F ．求证：AF EF =．
F
E
D C
B
A
D
E
B
C
P
A F
D
E
C
B
A
【例4】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，EF 与对角线AC 交
于点P ．若
AE a EB b =，AF m FD n =（a 、b 、m 、n 均为正数）
，求AP
PC
的值．
【例5】 如图，在ABC △的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使A D A E =，直线DE 和BC 的延长
线相交于P ，求证：
BP BD
CP CE
=
P
E
D
C
B
A
【例6】 如图，已知ABC △中，E 、F 为BC 的三等分点，M 为AC 中点，BM 与AE 、AF 分别交
于G 、H ，求::BG GH HM 的值．
C
B
H G
F
C
A
M
【例7】 如图，等腰Rt ABC △中，90B ︒∠=，AD 是BC 边的中线，BE AD ⊥交AC 于E ，EF BC ⊥．若
AB BC a ==，求EF ．
【例8】 如图，在等腰Rt ABC △中，D 在斜边BC 上，2BD DC =，F 点在AC 上，BF AD ⊥，垂足
为E ，求证：AF FC =．
【例9】 已知等腰直角ABC △中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且CE CD =，过C 、D 分
别作AE 的垂线，交斜边AB 于L ，K ．求证：BL LK =．
L K
E
D
C B
A
【例10】 在ABC △中，4AB =，2BC =，3CA =，P 是ABC △内一点，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、
CA 上，且PD BC ∥，PE AC ∥，PF AB ∥．若PD PE PF ==，求PD ．
二. 三角形的重心
【例11】 （重心的性质）求证：任意三角形的三条中线交于一点，并且这个交点三等分这三条中线．
【例12】 已知BD 、CE 是ABC △的中线，相交于GH AC ∥点G ，GF AB ∥，，分别交BC 于点F 、H ，
求证：13GH AC =，1
3
GF AB =．
P
F
D
C
B
A
E
G
D
C
B
A
F E
【例13】 如图，E 、F 分别是ABC △中AC 、AB 的中点，D 是BC 上一点，且DP CF ∥，DQ BE ∥，
交AB 、AC 于P 、Q ，PQ 交BE 于点R ，交CF 于点S ．求证：1
3RS PQ =．
【例14】 已知G 为ABC △的重心，MN 为过G 点的任一直线，BM MN ⊥于M ，CN MN ⊥于N ，
AD MN ⊥于D ，求证：AD BM CN =+．
思维飞跃
【例15】 如图，AM 为ABC △的中线，任作一直线分别交AB 、AC 、AM 于点P 、Q 、N ．求证：
2PB QC MN
PA QA NA
+=．
C
B
A
Q N
P
⋅
D
N M C
B
A
G
S
R C
B
A
Q
E F P H
G
作业
1. 如图，D 为ABC △的BC 边的中点，E 为AC 边上的点，且3AC CE =，BE 与AD 交于O 点，求
AO
OD
的值．
2. 如图，在ABC △中，AB AC =，90BAC ∠= ,BD 是中线，AE BD ⊥，
交BC 于点E ．求证：2BE EC =．
3. 在ABC △中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，求证：AD BP AE CP ⋅=⋅．
P
E D
C
B A
O
E
C
B
A
4. 四边形ABCD 为正方形，E 、F 在BC 延长线上，CE CD =，CF CA =，H 、G 分
别是CD 、DE 与AF 的交点．求证：CHG △为等腰三角形．
5.
如图，已知点O 是ABC △内部的一点，P 、Q 、R 是边AB 、BC 、CA 上的点，且
OP BC ∥、OQ CA ∥、OR AB ∥，OP OQ OR x ===．记BC a =，CA b =，AB c =．求x ．
6. 如图，在ABC △中，设P 是边BC 的中点，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，MN BC ∥，MP 交
BN 于点Q ，QR AC ⊥于点R ，BT AC ∥交RQ 的延长线于T ，求证：
（1）TP MR ∥； （2）MRQ PRQ ∠=∠．
O R Q
P
C
B
A
R M
C
P
T B A
Q
N。