2003年全国初中数学联赛试题及解答

D
B
F MN
P
因为 DE＝DF，则△DEM≌△FDN
故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF
而△AME、△BNF 均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF
三、(1)如图，记 AB＝a，CD＝b，AC＝ l ，并设△ABC
A
的边 AB 上的高为 h1 ，△ADC 的边 DC 上的高为 h2 。
则 S四边形ABCD
2. 设 m 是 整 数 ， 且 方 程 3x2 + mx − 2 = 0 的 两 根 都 大 于 − 9 而 小 于 3 ， 则
5
7
B'
m=____________．
C EA
3.如图， AA' ， BB' 分别是∠EAB，∠DBC 的平分线．
BD
若 AA' = BB' = AB ，则∠BAC 的度数为_____________．
=1−
x 。 SΔADE
= 1− x 3
=
1,x 4
=
1 4
。故
CE EA
=
1 3
B
C
6、(D)； 如图，连结 AC、CE。
D C
由 AE∥BC，知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 AC＝BE＝5。 E
又因为 DC∥AB，DC 与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝
∠ABC。 则 AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4
E
且与 CD 相切．若 AB=4，BE=5，则 DE 的长为（ ）
A.3 B.4 C. 15
4
D. 16
5
A
B
二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）
1.抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．若△ABC 是直角
三角形，则 ac=__________．
x−a + − ax −1
1 d
=
x
即 dx3 − (ad +1)x2 − (2d − a)x + ad +1 = 0 ⑦
由式④得 ad + 1 = ax ，代入式⑦得 (d − a)(x3 − 2x) = 0
由已知 d − a ≠ 0 ，故 x3 − 2x = 0
若 x = 0 ，则由式⑥可得 a = c ，矛盾。故有 x2 = 2, x = ± 2
即 2500 − 99 y ≥ 0 ，则 y ≤ 25 时，方程有实数解 x = 50 − y ± 2500 − 99 y
由于 2500－y 必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为 0，1，4，
5，6，9，故 y 仅可取 25；此时， x = 30 或 = 20 故所求四位数为 2025 或 3025
∠BNF, 而△AME、△BNF 均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF.
三、解：由已知有
a + 1 = x ①； b + 1 = x ②； c + 1 = x ③； d + 1 = x ④
b
c
d
a
由式①解出 b = 1 ⑤ x−a
式⑤代入式②得 c
=
x2
x−a − ax −1
⑥
将式⑥代入③得
x2
而 x + y + 2003 > 0 ，所以， xy − 2003 = 0 。故 xy = 2003
又因为
2003
为质数，必有
⎧ ⎨ ⎩
x y
=1 = 2003
或
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
2003 1
5、(B)；
如图，连结
BE ，
SΔADE
=1− 3 = 1 44
，设
CE AC
=x
，则
A D
E
SΔABE
2a2 + 2(8 − a)2 +128 = 4(a − 4)2 +192
故当 a = b = 4 时，平方和最小，且为 192。
P
F M
N
C
E
A
D
B
第二试(C 卷)
一、同(A 卷)第三题的解答。 二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B 卷)第二题 三、同(B 卷)第三题解答。
2、4；
由题设可知，
⎧ ⎪3 ⎪ ⎨ ⎪⎪⎩3
× ×
⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝
−
3 7
9 ⎞2 5 ⎠⎟
⎞2 ⎟⎠
+
+m m×
× ⎛ ⎜⎝
⎛ ⎝⎜ 3 7
− ⎞ ⎟⎠
9 5
−
⎞ ⎠⎟ 2
− >
2 0
>
0
,
解得 3 8 < m < 4 13 。故 m = 4
21
45
3、12º；
设∠BAC 的度数为 x ,因 AB = BB ' ，故∠ B ' BD = 2x, ∠CBD = 4x 又 AB = AA' ，
第一试
一、选择题
1、(D)； 2、(C)； 由于任何凸多边形的外角之和都是 360º，故外角中钝角的个数不超过 3 个，即 内角中锐角最多不超过 3 个。 3、(A)；
设
A(
x,
y
)，则
xy
=
1 ，故
SΔABO
=
1 2
xy
=
1 2
。又因为△ABO
与△CBO
同底等高，
因此， SΔABC = 2 × SΔABO = 1 4、(B)； 由已知等式可得 ( xy − 2003)( x + y + 2003) = 0
于是， l = 8, a + b = 8 ，且这时 AC⊥AB，AC⊥CD 因此，这样的四边形有如下 4 个： a = 1,b = 7 ， l = 8; a = 2,b = 6,l = 8
a = 3,b = 5,l = 8; a = b = 4,l = 8
它们都是以 AC 为高的梯形或平行四边形。 (2)又由 AB＝ a ，CD＝ 8 − a ，则 BC2 = 82 + a2, AD2 = 82 + (8 − a)2 因此，这样的四边形的边长的平方和为
则∠ AA' B = ∠ABA' ＝∠CBD＝ 4x 。因为∠ A' AB = 1 (180° − x) 2
故 1 (180° − x) + 4x + 4x = 180° ，解得 x = 12 º 2
4、225； 设( a,b )＝ d ，且 a = md ，b = nd ，其中 m > n ，m 与 n 互质。于是 a,b 的最
根据式(1)，只能取
⎧m = 15 ⎨⎩n = 7
，可求得
d
=
15
故两个数中较大的数是 md = 225 。
第二试(A 卷)
一、解：设前后两个二位数分别为 x, y ，10 ≤ x, y ≤ 99 有 (x + y)2 = 100x + y ；即 x2 + 2( y − 50)x + ( y2 − y) = 0 当△＝ 4( y − 50)2 − 4( y2 − y) = 4(2500 − 99 y) ≥ 0
A.1 B.2 C.3 D.4 5.设△ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 AD = 1 ．若在边 AC 上取一点 E，
AB 3
使四边形 DECB 的面积为 3 ，则 CE 的值为（ ）
4
EA
A.
1 2
B.
1 3
C.
1 4
D.
1 5
D
C
6.如图，在□ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E，
F，使 DE=DF；过 E，F 分别作 AC，BC 的垂线，相交于 P．求证：∠PAE=∠PBF．
三、（本题满分 25 分）已知四边形 ABCD 的面积为 32，AB，CD，AC 的长都是
整数，且它们的和为 16．
⑴这样的四边形有几个？
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．
2003 年全国初中数学联赛试卷答案
2003 年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试（4 月 13 日上午 8:30—9:30） 一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1. 2 3 − 2 2 + 17 −12 2 等于（ ）
A. 5 − 4 2 B. 4 2 −1 C.5 D.1 2.在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）
A'
4.已知正整数 a，b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那
么 a，b 中较大的数是_________．
第二试（A） 一、（本题满分 20 分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别
组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．
二、（本题满分 25 分）在△ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA，CB 到点 E，
小公倍数为
mnd
。依题意有
⎧⎪md − ⎨ mnd
⎪⎩ d
nd = 120 ，即 (m − n)d = 23
= 105
mn = 3× 5× 7
×3×5
(1) (2)
又
m
>
n
，据式(2)可得
⎧m = 105 ⎨⎩n = 1
⎧m = 35 ⎨⎩n = 3
⎧m = 21 ⎨⎩n = 5
⎧m = 15 ⎨⎩n = 7
F，使 DE=DF；过 E，F 分别作 CA，CB 的垂线，相交于 P．设线段 PA，PB 的
中点分别为 M，N．