高中数学人教版必修2 3.2.2直线的两点式方程 教案1

3.2.2《直线的两点式方程》教案

【教学目标】

1.直线的两点式方程的推导过程；

2.直线的截距式方程的构成，了解直线方程截距式的形式特点及适用范围； 3 截距的含义。掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围。 【导入新课】 问题导入：

利用点斜式解答如下问题：

（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程。 （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121

y y x x ≠≠，求通过这两点的直

线方程。

新授课阶段

1.直线的两点式方程的推导过程

已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

（1）)1(2

3

2-=-x y

（2）)(11

21

21x x x x y y y y

---=

-

指出：当21y y ≠时，方程可以写成

),(21211

21

121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式。 思考：若点),(),,(222211y x P x x P 中有21

x x =，或21y y =，此时这两点的直线方

程是什么？

当21

x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y

轴垂直，直线方程为：1y y

=。

例1 已知直线l ：120kx y k -++= (1) 证明直线l 经过定点；

（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程；

（3） 若直线不经过第三象限，求k 的取值范围。 解：（1）（－2，1）；（2）由直线l 的方程得A （－12k

k

+，0），B （0，1＋2k)，由题知：－

12k

k

+＜0，且1＋2k ＞0，∴k ＞0 ∵S=12 |OA||OB|=11

(44)2k k

++≥4．

当且仅当k ＞0,4k=1k ,即k=1

2

时，面积取最小值4，此时直线的方程是：x －2y ＋4=0．

(3)由（2）知直线l 在坐标轴上的截距，直线不经过第四象限则－

12k

k

+≤0，且1＋2k≥0，∴k ＞0。

2.直线的截距式方程

设直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，此

时直线l 的方程为

1=+b

y

a x ，称此方程为直线的截距式方程。 例2一条直线经过点M （2，1），且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程。

解：设所求直线为x a +y

b =1（ab≠0），由已知得 ⎩

⎪⎨⎪⎧a+b=6，2a + 1b =1，

解得 ⎩

⎪⎨⎪⎧a=3，b =3，或⎩⎪⎨⎪

⎧a=4，b =2．

此时直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。

当a 、b 中有一个是0时，直线方程分别为x=2或y=1，它们均不满足题设的另一条件“在两坐标轴的的截距和是6 ，因而舍去。故所求的直线方程为x+y-3=0或x+2y-4=0。

课堂小结

1.直线的两点式方程的推导与应用；

2.直线的截距式方程的应用。 作业

见同步练习部分 拓展提升

1．过两点（－1，1）和（3，9）的直线在x 轴上的截距为 （ ）

A ．－32

B ．－23

C ．2

5

D ．2

2．已知两点A （3，0），B （0，4），动点P （x ，y ）在线段AB 上运动，则xy 的最大值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

3. 已知两直线：1170a x b y ++=,2270a x b y ++=,都经过点（3，5），则经过点（a 1,b 1),(a 2,b 2)的直线方程是 。

4. 直线l 上有两点A （2，0）、B （6，4），直线l 绕A 旋转90°后得l ′，同时B 点到达C 点，求C 点的坐标。

参考答案

1．A【解析】用两点式直线方程。

2．B【解析】用截距式方程，结合基本不等式。

3．3x＋5y＋7=0【解析】两点（a1,b1),(a2,b2)都适合方程3x＋5y＋7=0，而过这两点的直线是惟一的。

4．解：数形结合解三角形得：顺时针转90°时，C点的坐标为（6，－4）；逆时针转90°时，C点的坐标为（－2，4）。