2012届中考数学专项复习训练题_相似三角形

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2012中考数学压轴题相似三角形

2012中考数学压轴题:函数相似三角形问题例1直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM 运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q 两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．例4 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．例5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,例6 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝3．D为射线BA上的点（点10D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1例1满分解答（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么BQ =． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =13=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3例2满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数ky x=的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ．（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)．已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．因为点D （4，1）在反比例函数ky x=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,22.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得12k =，1b =．因此直线AB 的函数解析式为112y x =+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当EA EF AO FP =时，2FP=．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）． ②如图4，当EA FP AO EF =时，2=．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）．例3满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2）梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ tPQD QP t∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4例4满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A =，即28=．解得'B C =AC =ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D ==，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B D AC B C ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4例5满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意．如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6例6满分解答（1）如图2，作BH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，cosA ＝310AH AB =，所以AH ＝32＝12AC ．所以BH 垂直平分AC ，△ABC 为等腰三角形，AB ＝CB ＝5．因为DE //BC ，所以AB AC DB EC =，即53y x=．于是得到53y x =，（0x >）．（2）如图3，图4，因为DE //BC ，所以DE AE BC AC =，MN ANBC AC =，即|3|53DE x -=，1|3|253x MN -=．因此5|3|3x DE -=，圆心距5|6|6x MN -=．图2 图3 图4在⊙M 中，115226M r BD y x ===，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-．如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=．当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==；当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11例 7满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5。

2012相似三角形中考题真题汇集

2012相似三角形中考题真题汇集1、（2012江苏徐州）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC=14BC 。

图中相似三角形共有【】A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2、（2012陕西省）如图，在BE AD ABC ,中，∆是两条中线，则=∆∆ABC EDC S S :（） A ．1∶2 B ．2∶3 C ．1∶3 D ．1∶4 3、（2012黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．13B ．12C ．23D ．不能确定4、（2012南京）如图，菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A ’、D ’处，且A ’D ’经过B ，EF 为折痕，当D ’F ⊥CD 时，CFFD的值为 A. 312- B.36C.2316- D.318+FED'A'DCB A5、（2012陕西省）如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光（从点A 到点B 所经过路径的长为．6、（2012黄冈）如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是____________cm.7、（2012陕西省）如图，在ABCD 中，ABC ∠的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点E 、F ．（1）求证：AB AF =；（2）当35AB BC ==，时，求AEAC的值．8、如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长线上有一点E ，满足AD 2＝AB ·AE ，求证：DE 是⊙O 的切线.9、（2012潜江市）如图，BD 是⊙O 的直径， A 、C 是⊙O 上的两点，且AB =AC ，AD 与BC 的延长线交于点E .（1）求证：△ABD ∽△AEB ；（2）若AD =1，DE =3，求BD 的长A BEO •CD10、（2012陕西省）如图，正三角形ABC 的边长为3+3．（1）如图①，正方形EFPN 的顶点E F 、在边AB 上，顶点N 在边AC 上．在正三角形ABC 及其内部，以A 为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形''''EFPN ，且使正方形''''EFPN 的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形''''EFPN 的边长；（3）如图②，在正三角形ABC 中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得DE EF 、在边AB 上，点P N 、分别在边CB CA 、上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由11、（2012义乌）在锐角△ABC 中,AB =4,BC =5,∠ACB =45°,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,得到△A 1BC 1．（1）如图1,当点C 1在线段CA 的延长线上时,求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2,连结AA 1,CC 1.若△ABA 1的面积为4,求△CBC 1的面积；（3）如图3,点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的动点,在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中,点P 的对应点是点P 1,求线段EP 1长度的最大值与最小值.12、（2012南通）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，点D 是BC 边的中点．点P 从点B 出发，以acm /s (a ＞0)的速度沿BA 匀速向点A 运动；点Q 同时以1cm /s 的速度从点D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts ． (1)若a ＝2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；(2)设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．①若a ＝ 52，求PQ 的长；②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不ABCC 1 A 1图2BA C A 1C 1 图1BA CA 1C 1 E P 1 图3P存在，请说明理由．13、（2012江苏苏州，28，9分）如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD .已知正方形ABCD 的边长为1cm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm.设正方形移动时间为x （s ），线段GP 的长为y （cm ），其中.⑴试求出y 关于x 的函数关系式，并求出y =3时相应x 的值；⑵记△DGP 的面积为，△CDG 的面积为，试说明是常数；⑶当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长.P HG FEDCB A14、（2012宿迁）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠ABC=90°，CD 与以AB 为直径的半圆相切于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EF 交BD 于点G ，设AD=a ，BC=b ．（1）求CD 的长度（用a ，b 表示）；（2）求EG 的长度（用a ，b 表示）；（3）试判断EG 与FG 是否相等，并说明理由．15、（2012湖北鄂州）如图，梯形ABCD 是等腰梯形，且AD ∥BC ，O 是腰CD 的中点，以CD 长为直径作圆，交BC 于E ，过E 作EH ⊥AB 于H 。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题46：相似和位似

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题46：相似和位似一、选择题1. （2012海南省3分）如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不．正确．．的是【】A ．∠【答案】【考点】【分析】得△ADB 与△ABC 2. （【答案】D 。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE =12AB 。

∴△EDC ∽△ABC 。

∴()2EDC ABC S :S ED :AB =1:4∆∆=。

故选D 。

3. （2012浙江湖州3分）△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ，则△ABC 的周长为【】A．60cmB．45cmC．30cmD．152cm【答案】C。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的性质。

【分析】∵三角形的中位线平行且等于底边的一半，∴△ABC三条中位线围成的三角形与△ABC相似，且相似比是12。

∵△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，4. （20121∶2，点A，2) 【答案】【考点】【分析】5. （则与△A．B．C．D．【答案】B。

【考点】网格问题，勾股定理，相似三角形的判定。

【分析】根据勾股定理，AB=BC，AC，∴△ABCA 、三角形的三边分别为2，故本选项错误；B 、三角形的三边分别为2，4，1:2C 、三角形的三边分别为2，3，三边之比为2：3，故本选项错误；D ，4：4，故本选项错误．故选B 。

6. （2012贵州毕节3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位中心，将△ABO 扩大到原来的2倍，得到△A ′B ′O .若点A 的坐标是（1，2），则点A ′的坐标是【】A .（2，4）B .(1- ,2-)C .(2-,4-)D .( 2-,1-)【答案】C 。

【考点】位似变换，坐标与图形性质。

中考相似三角形经典练习题(附答案)

中考相似三角形经典练习题（附答案）一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA 所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。

中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)

中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．两个相似三角形的相似比是1:2，则其对应中线之比是( )A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:42．如图，在ABC 中2AC =，BC=4，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC △的面积为2，则ABD △的面积为（）A ．4B ．5C ．6D ．73．若35a b =，则下列各式一定成立的是（）A ．53a b =B ．35a b =C ．65a b a +=D ．145a b += 4．如图，在ABC 中DE BC ∥，AD=1，BD=2，AC=6，则CE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别是BC AC ，上的点72AB CD ==，，60ADE ∠=︒则AE 等于（）A ．5B ．397C ．6D ．4176．下列命题正确的是（）A ．方程210x x --=没有实数根B ．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似C ．平分弦的直径垂直于弦D ．反比函数的图像不会与坐标轴相交7．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（） A ．3 B ．6 C ．12 D ．248．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()0,0,1,2,0,3O A B ．若OA B ''△与OAB 是原点O 为位似中心的位似图形，且点B 的对应点为()0,9B '-，则点A 的对应点A '坐标为（） A ．()3,6 B ．()3,6-- C ．()3,6- D ．()3,6- 9．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（）A ．ACDB ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AB AD AC = 10．如图，已知ABC DAC △∽△，37B ∠=︒和116∠=︒D ，则BAD ∠的度数为（）A ．37︒B ．116︒C ．153︒D ．143︒二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =和4BC =，连接AC ，EF AC ⊥于点O ，分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接AF 、CE ，则AF CE +的最小值为．12．如图，在ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，点F 为DE 中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，则:AG GE = ．13．如图AC ，AD 和CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：（1）CA 平分BCF ∠；（2）2CF EF =；（3）四边形ABCF 是菱形；（4）2AB AD EF =⋅．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）14．如图AC 、BD 交于点O ，连接AB 和CD ，若要使AOB COD ∽，可以添加条件．(只需写出一个条件即可)15．如图，在ABC 中4AC AB ==和30C ∠=︒，D 为边BC 上一点，且3CD =，E 为AB 上一点，若30ADE ∠=︒，则BE 的长为．16．在ABC 中，6810AC BC AB D ===，，，是AB 的中点，P 是CD 上的动点，若点P 到ABC 的一边的距离为2，则CP 的长为．17．如图，M 是Rt ABC △斜边AB 上的中点，将Rt ABC △绕点B 旋转，使得点C 落在射线CM 上的点D 处，点A 落在点E 处，边ED 的延长线交边AC 于点F ．如果3BC =．4AC =那么BE 的长为；CF 的长为．18．如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若:3:1BF FD =，8BC =则CE 的长为．三、解答题19．已知O 为ABCD 两对角线的交点，直线l 过顶点D ，且绕点D 顺时针旋转，过点A ，C 分别作直线l 的垂线，垂足为点E ，F ．(1)如图1，若直线l 过点B ，求证：OE OF =；(2)如图2，若EFO FCA ∠=∠，2FC AE =求CFO ∠的度数；(3)如图3，若ABCD 为菱形4AE =，6AO =和8EO =直接写出CF 的长． 20．如图，在ABC 中2BAC C ∠=∠，利用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得ABDCBA ．（不写作法，保留作图痕迹）21．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点E 作EF CB ∥交BD 于点F ．(1)求证：ACE BAC ∽△△；(2)若5AC =，5AB =求CE 及EF 的长．22．如图，在直角梯形OABC 中BC AO ∥，=90AOC ︒∠点A 、B 的坐标分别为()5,0、()2,6点D 为AB 上一点，且2BD AD =．双曲线()0k y x x=>经过点D ，交BC 于点E ．求点E 的坐标．23．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．求证：APE FPA △∽△．24．如图1，菱形AGBD 边长为3，延长DB 至点C ，使得5BC =．连接AB ，AB AD =点E ，F 分别在线段AD 和AB 上，且满足DE AF =，连接BE ，DF 交于点O ，过点B 作BM BE ⊥，交DF 延长线于点M ，连接CM ．图1 图2(1)求OB 与BM 之间的数量关系；(2)当DMB DCM △∽△时，求DO 的长度；(3)如图2，过点M 作MN CD ⊥交CD 于N ，求MN MC的最大值． 1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．C8．B9．C10．C11．1012．2:113．①①①14．A C ∠=∠(答案不唯一)15．9416．103或52或3512 17． 59418．16519．(2)60CFO ∠=︒(3)CF 的长为7 21．(2)1CE = 655EF =． 22．4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭/11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 24．(1)3BM OB =(2)1OD =(3)1014101911316206517MN CN ++=。

中考数学压轴题分析：2012年天津中考数学第25题：勾股定理与三垂直型三角形相似

2012年天津中考数学第25题:勾股定理与三垂直型三角形相似25．已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B ′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB ′上，得点C ′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C ′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP =90°，OB =6。

在Rt △OBP 中，由∠BOP =30°，BP =t ，得OP =2t 。

∵OP 2=OB 2+BP 2，即（2t ）2=62+t 2，解得：t 1=，t 2=－（舍去）．∴点P 的坐标为（，6）。

（Ⅱ）∵△OB ′P 、△QC ′P 分别是由△OBP 、△QCP 折叠得到的，∴△OB ′P ≌△OBP ，△QC ′P ≌△QCP 。

∴∠OPB ′=∠OPB ，∠QPC ′=∠QPC 。

∵∠OPB ′+∠OPB +∠QPC ′+∠QPC =180°，∴∠OPB +∠QPC =90°。

∵∠BOP +∠OPB =90°，∴∠BOP =∠CPQ 。

又∵∠OBP =∠C =90°，∴△OBP ∽△PCQ 。

∴OB BP PC CQ=。

由题意设BP =t ，AQ =m ，BC =11，AC =6，则PC =11－t ，CQ =6－m ． ∴6t 11t 6m =--。

∴2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）。

（Ⅲ）首先过点P 作PE ⊥OA 于E ，易证得△PC ′E ∽△C ′QA ，由勾股定理可求得C ′Q 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666=-+，即可求得t 的值：过点P 作PE ⊥OA 于E ，∴∠PEA =∠QAC ′=90°。

中考数学压轴题函数相似三角形问题二

2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2）梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ．因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝45．如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A=，即2'845B C =．解得'5B C =．所以35AC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D =时，55'35B D=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B D AC B C =时，5'355B D =，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B ′CD 与△AB B ′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B ′CD 与△C B B ′相似，这两个三角形有一组公共角∠B ，根据对应边成比例，分两种情况计算．。

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案)

中考数学总复习《相似三角形综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题．【证明体验】如图1，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点90DPC A B ∠=∠=∠=︒，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．【思考探究】（2）如图2，在四边形ABCD 中点P 为AB 上一点，当DPC A B β∠=∠=∠=时，上述结论是否依然成立？说明理由．【拓展延伸】（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABC 中22AB =45B ∠=︒以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △，点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若5CE =CD 的长．2．综合实践问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在ABC 中90,4B AB BC ∠=︒==分别取AB ，AC 的中点D ，E ，作ADE ．如图2所示，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连接BD ，CE ．(1)探究发现旋转过程中线段BD 和CE 的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用如图3，当DE 所在直线首次经过点B 时，求CE 的长． (3)延伸思考如图4，在Rt ABC △中90,8,6ABC AB BC ∠=︒==，分别取AB ，BC 的中点D ，E ．作BDE ，将BDE 绕点B 逆时针旋转，连接AD ，CE ．当边AB 平分线段DE 时，求tan ECB ∠的值．3．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．(1)写出图中两对相似三角形；(2)连接FG ，如果45α=︒，42AB =3AF =，求FG 的长．4．如图，在ABC 中6cm AB =，12cm BC =和90B ．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设移动时间为()s t ．(1)当2t =时，求PBQ 的面积； (2)当t 为多少时，PBQ 的面积是28cm ？ (3)当t 为多少时，PBQ 与ABC 是相似三角形？5．下面是小新同学在“矩形折叠中的相似三角形”主题下设计的问题，请你解答．如图，已知在矩形ABCD 中点E 为边AB 上一点（不与点A 、点B 重合），先将矩形ABCD 沿CE 折叠，使点B 落在点F 处，CF 交AD 于点H ．(1)观察发现：写出图1中一个与AEG △相似的三角形：______．（写出一个即可）(2)迁移探究：如图2，若4AB =，6BC =当CF 与AD 的交点H 恰好是AD 的中点时，求阴影部分的面积． (3)如图③，当点F 落在边AD 上时，延长EF ，与FCD ∠的角平分线交于点M ，CM 交AD 于点N ，当FN AF ND =+时，请直接写出ABBC的值．6．【阅读】如图1，若ABD ACE ∽，且点B 、D 、C 在同一直线上，则我们把ABD △与ACE △称为旋转相似三角形．(1)【理解】如图2，ABC 和ADE 是等边三角形，点D 在边BC 上，连接CE ．求证：ABD △与ACE △是旋转相似三角形．(2)【应用】如图3，ABD △与ACE △是旋转相似三角形AD CE ，求证：③ABC ADE △△∽；③AC DE =；(3)【拓展】如图4，AC 是四边形ABCD 的对角线90,D B ACD ∠=︒∠=∠，25,20BC AC ==和16AD =，试在边BC 上确定一点E ，使得四边形AECD 是矩形，并说明理由．7．综合与实践如图1，已知纸片Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AD 为斜边BC 上的高（AD BC ⊥于点D ）．观察发现（1）请直接写出图中的一组相似三角形．（写出一组即可）实践操作第一步：如图2，将图1中的三角形纸片沿BE 折叠（点E 为AC 上一点），使点A 落在BC 边上的点F 处；第二步：BE 与AD 交于点G 连接GF ，然后将纸片展平．猜想探究（2）猜想四边形AEFG 是哪种特殊的四边形，并证明猜想．（3）探究线段GF ，BE ，GE 之间的数量关系，并说明理由．8．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=．证明思路是如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明AB BDAC CD=．(1)利用图2证明AB BDAC CD=； (2)如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，AB=2，求DE 的长．9．【教材原题】如图③，在ABC 中DE BC ∥，且3AD =，2DB =图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；【改编】将图③中的ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到如图③所示的位置，连接BD 、CE ．求证：ABD ACE ∽△△；【应用】如图③，在ABC 和ADE 中90BAC DAE ∠=∠=︒，30ABC ADE ∠=∠=︒点D 在边BC 上，连接CE ，则ACE △与ABD △的面积比为__________．10．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是ABC 的角平分线，可证AB BDAC CD=小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明．(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明AB BDAC CD=； (2)基础训练：如图3，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，D 是边BC 上一点．连接AD ，将ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处．若1AC =，2AB =求DE 的长；(3)拓展升华：如图4，ABC 中6AB = ，AC=4，AD 为BAC ∠的角平分线，AD 的中垂线EF 交BC 延长线于F ，当3BD =时，求AF 的长．11．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在ABC 与AED △中ABC AED ∽△△．所以称ABC 与AED △为“阳似三角形”，连接EB DC ，，则DCEB为“阳似比”．(1)如图1，已知R ABC 与Rt AED △为“阳似三角形”，其中90CBA DEA ∠=∠=︒，当30BAC ∠=︒时，“阳似比”DCEB=______； (2)如图2，二次函数234y x x =-++交x 轴于点A 和B 两点，交y 轴于点C ．点M 为直线12y x =在第一象限上的一个动点，且OMB △与CNB 为“阳似三角形”，连接CM ③当点N 落在二次函数图象上时，求出线段OM 的长度； ③若32CN =34BM MC +的最小值．12．已知在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ．(1)在图1中写出其中的两对相似三角形．(2)已知1BD =，DC=2，将CBD △绕着点D 按顺时针方向进行旋转得到C BD '，连接AC '，BC ． ③如图2，判断AC '与BC 之间的位置及数量关系，并证明； ③在旋转过程中当点A ，B ，C '在同一直线上时，求BC 的长．13．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“和谐四边形”，这条对角线叫“和谐线”．(1)如图1，在44⨯的正方形网格中有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“和谐四边形”的是______．(2)如图2，BD 平分ABC ∠，43BD =10BC =，四边形ABCD 是被BD 分割成的“和谐四边形”，求AB 长； (3)如图3，A 为抛物线24y x =-+的顶点，抛物线与x 轴交于点B ，C ．在线段AB 上有一个点P ，在射线BC 上有一个点Q ．P 、Q 5/秒，5个单位/秒的速度同时从B 出发分别沿BA ，BC 方向运动，设运动时间为t ，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在第一象限的抛物线上是否存在点M ，使得四边形BQMP 是以PQ 为和谐线分割的“和谐四边形”，若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．14．【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：ABC 中D 是BC 的中点，E 是AB 上一点，延长DE 、CA 交于点F ，DE=EF ，AB=5，求AE 的长．小白的想法是：过点E 作EH BC ∥交AC 于H ，再通过相似三角形的性质得到AE 、BE 的比，从而得出AE 的长．请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：ABC 中AD 平分BAC ∠交BC 于D ，E 为AB 边上一点，AE=AD ，H 、Q 为BC 上两点，CQ DH =和DQ mDH =，G 为AC 上一点，连接EQ 交HG 、AD 于F 、P ，180EFG EAD ∠+∠=︒猜想并验证EP 与GH的数量关系．15．【温故知新】（1）九（1）班数学兴趣小组认真探究了课本P 91第13题：如图1，在正方形ABCD 中E 是AD 的中点，F 是CD 上一点，且3CF DF =，图中有哪几对相似三角形?把它们表示出来，并说明理由．③小华很快找出ABE DEF △△∽，他的思路为：设正方形的边长4AB a =，则2,AE DE a DF a ===，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可证明，请你结合小华的思路写出证明过程； ③小丽发现图中的相似三角形共有三对，而且可以借助于ABE 与DEF 中的比例线段来证明EBF △与它们都相似．请你根据小丽的发现证明其中的另一对三角形相似；【拓展创新】（2）如图2，在矩形ABCD 中E 为AD 的中点，EF EC ⊥交AB 于F ，连结FC ．()AB AE > ③求证：AEF ECF ∽△△；③设2,BC AB a ==，是否存在a 值，使得AEF △与BFC △相似．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（3）52．(1)2BD CE =(2)6CE =(3)1tan 2ECB ∠=3．(1)DMG ③DBM △，EMF ③EAM △ (2)53FG =4．(1)8(2)2秒或4秒(3)当t 为3或1.2秒钟，使PBQ 与ABC 相似．5．(1)FHG △或DHC （写出一个即可）(2)阴影部分的面积是23 (3)AB BC 的值为357．（1）ABC DBA ∽ ABC CAD ∽ DBA DAC ∽（其中一个即可，答案不唯一）；（2）四边形AEFG是菱形，（3）212GF GE BE =⋅ 8． 5 9．【教材原题】ADE ABC △△∽，35【应用】13 10．5(3)611．23105337 12．(1)BCD ACD ∽ BCD BAC ∽△△ CAD BAC △∽△（任写两对即可）(2)③2AC BC '= AC BC '⊥ ③BC 2595+2595-+13．(1)四边形ABCE ；(2)10AB =或245； (3)1118t = 2881t = 1825t = 180169t =．14．阅读理解 54AE =；解决问题，猜想：12EP m GH m +=+． 15．③存在 3。

中考数学总复习《相似三角形与圆结合综合问题》专项提升练习题及答案(人教版)

中考数学总复习《相似三角形与圆结合综合问题》专项提升练习题及答案（人教版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且∠=∠AOD EOD．(1)求证：AB是O的切线；(2)若10BC=，AC=8，求O的半径．2．如图，AB是O的直径，点F在O上，BAF∠的平分线AE交O于点E，过点E作ED AF⊥，交AF 的延长线于点D，延长DE AB、相交于点C．(1)判断CD与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为5，1tan2EAD∠=求BC的长．3．如图，ABC 中，AB=BC ，点A 在O 外，BC 是O 的弦DO BC ⊥，连接OD ．若AC 交OD 于点E ，交OB 于点F ，满足OE OF =．(1)求证：AB 与O 相切；(2)若5OB =，3CD DE =求AF 的长．4．如图1，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是AC 上一点，延长AG ，DC 交于点F ，连结AD ，GD ，GD 与AB 交于点H ．(1)若BAD ∠=α，用含α的代数式表示AGD ∠．(2)如图2，连结AC ，CG 若AC GD ⊥，求证：DH CG =．(3)如图3，在（2）的条件下，作DM AF ⊥于点M ，DM 与AB 交于点N ，EN OB =，2CG =求AF 的长．5．如图 ABC 中以AB 为直径的O 交BC 于点D DE 是O 的切线且DE AC ⊥ 垂足为E 延长CA 交O 于点F ．(1)求证：AB AC =；(2)若3AE = 5DE = 求AF 的长．6．如图在ABC 中 AB AC = AD 平分BAC ∠ 交BC 于点D 以AD 为直径作O 交AB 于点E 交AC 于点F 连接EF 交AD 于点G 连接OB 交EF 于点P 连接DF ．(1)求证：BC 是O 的切线；(2)若3OG = 4EG = 求：①tan DFE 的值；①线段PG 的长．7．如图 ABC 内接于O BC 是O 的直径 tan 2ACB ∠= 过点A 作AD BC ⊥ 交O 于点E 点F 是AB 上一点连接EF 交BC 于点G 连接CF 交AD 于点H ．(1)求证：AFC HFE ∽△△．(2)若10BC = 8=CF 求EF 的长．(3)设OG x OC = AHy AD = 求y 关于x 的函数表达式．8．如图 AB 是O 的直径点D 在O 上连接AD 过点O 作OE AD ∥ 交O 于点E连接BE 并延长交AD 的延长线于点C 过点B 作O 的切线交OE 的延长线于点F ．(1)求证：AC AB =；(2)若10AB = 6AD = 求BF 的长的长．9．已知O 的半径为2cm P 是O 外一点 4m PO = 点A B 在O 上在PAB 中 BP BA =．(1)如图① PB 是O 的切线当PA PB =时求证：PA 是O 的切线；(2)如图① PA PB 分别交O 于点C D 当点C 为PA 中点时求PD 的长；(3)线段PA 的取值范围是______．10．如图在O 的内接四边形ABCD 中 AB BC = 直径AE CD ⊥ 垂足为点F ．(1)当BC CD =时求D ∠的度数；(2)当5AB = 8AD =时求CD 的长．11．如图以AB 为直径的O 经过点C 过点C 作O 的切线DE 交AB 的延长线于点D EF AB ⊥ 垂足为F 交AC 于点G ．(1)求证：ECG 为等腰三角形；(2)若16BD AD ⋅= 求CD 的值．12．如图在ABC 中 AB AC = 以AC 为直径的O 交AB 于点D 交BC 于点E ．(1)求证：DE CE =；(2)若23BD BE ==，求AD 的长．13．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1）其原理是利用流动的河水推动水车转动水斗舀满河水将水提升等水斗转至顶空后再倾入接水槽水流源源不断流入田地以利灌溉．如图（2）筒车圆O 与水面分别交于点A B 筒车上均匀分布着若干盛水筒 P 表示筒车的一个盛水筒接水槽MN 所在的直线是圆O 的切线且与直线AB 交于点M 当点P 恰好在MN 所在的直线上 P O C 三点共线 PC 是圆O 的直径时解决下面的问题：(1)求证：BAP MPB ∠=∠；(2)求证：2MP MA MB =⋅；(3)若AB AP = 8MB = 12MP = 求BP 的长．14．已知AB CD 是圆O 的直径 BE CD ⊥于E 连接BD ．(1)如图1 求证：2AOC DBE ∠∠=．(2)如图2 F 是OC 上一点 2DF CE = 求证：CAF ABE ∠=∠．(3)如图3 在（2）的条件下连接BC AF 的延长线交BC 于H 若2CF = 210BC =．求HF 的长．15．如图1 O 是ABC 的外接圆且满足AB AC = CE 平分ACB ∠交AB 于点D 交O 于点E ．(1)求证：ACD ECB ∽；(2)如图2 若点B 是CE 的中点求ADE ∠的度数；(3)如图3 连接AE 若2AD BD = ①求ADE BDC S S ∶的值；①若O 半径为r 则ACD S=_______．（用含r 的代数式表示）参考答案： 1．（1）证明：在AOB 和EOB 中AO EO AOB EOB OB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()SAS AOB EOB ≌①OAF OEF ∠=∠①BC 与O 相切①OE BC ⊥①90OAB OEB ∠=∠=︒即OA AF ⊥①OA 是O 的半径①AB 是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，， ①22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==①8OC r =-①,AOB EOB ≌①6BE AB ==①10,BC =①1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=①()22248r r +=-解得3r =．①O 的半径为3．2．（1）解：连接OE①OA OE =①OAE OEA ∠=∠①AE 平分BAF ∠是O的切线．是O的直径90=︒=∠=∠DAE BAE∽△ADE AEBAE DE=AB BE解得25BE =则45AE =①45104525ADDE==解得8AD = 4DE =．①OE AD ∥①COE CAD ∽①CO OECA AD =设BC x =①55108x x +=+ 解得：103x =经检验：103x =是原方程的解故BC 的长为103．3．1）证明：OE OF =OEF OFE ∴∠=∠OEF CED ∠=∠ OFE AFB∠=∠ ∴∠=∠CED AFBAB BC =C A ∴∠=∠DO BC ⊥90ODC ∴∠=︒90A AFB C CED ∴∠+∠=∠+∠=︒()18090ABO A AFB ∴∠=︒-∠+∠=︒OB 是O 的半径且AB OB ⊥AB ∴与O 相切．（2）解：DO BC ⊥ 3CD DE =5OB =90ODB ∴∠=︒ 3BD CD DE ==26AB BC BD DE ∴===ABF ∠=ABF ∴①CDEAB BF CD DE ∴= 3AB CD BF DE∴== 36AB BF DE ∴==2BF DE ∴=2BF = AF ∴=AF ∴的长是4．（1）解：CD AB ⊥AC AD ∴=ADC ∠BAD ∠=90AGD ADC ∴∠∠=（2）AC GD ⊥GAC α∠=AC AD =AC AD ∴=ACG ADH ∠=∠AGC ∴△≌DH CG ∴=（3）如图GAC BAD α∠=∠=CG BD ∴=CG BD DH ∴==CD AB ⊥EH EB ∴=222()AB OB EN NH EH ===+22AH BH NH EH ∴+=+2AH NH ∴=DM AF ⊥90HDN AGD α∴∠=︒-∠=HDN HAD ∴∠=∠ DHN AHD ∠=∠ HDN HAD ∴△∽△HNHDHD HA ∴=设HN x = 2HA x =2DH CG ==可得：2xHDHD x =解得：1x =AGC AHD △≌△2AG AH ∴==GAC GDC α∠=∠=EDH EAD ∴△∽△EH EDED EA ∴=222ED EH EA DH EH ∴=⋅=-AGD∠=∴△∽△GADAD∴=AFAG5．（1）如图所示①以AB为直径的O交BC是O的切线①1CE CD EF BD== ①253EF EC == ①2516333AF EF AE =-=-= 6．（1）证明：①AB AC = AD 平分BAC ∠ ①AD BC ⊥①OD 是O 的半径 ①BC 是O 的切线；（2）解：①连接DE DF OE①AD 为O 的直径 ①90AED AFD ∠=∠=︒ ①AD 平分BAC ∠①∠∠EAD FAD =①ADE ADF ∠=∠①AE AF =①AG EF ⊥①3OG = 4EG = ①22345OE =+= ①8AG = 10AD = ①2DG =由垂径定理可得4GF EG ==①OPG是等腰直角三角形=PG OG．（1）BC是O的直径CA CE=∴∠=∠AFC CFE∠和AEFACF∠是AF所对圆周角∴∠=∠ACF AEF△AFC∴∽（2）如图BC是O的直径90BAC ∴∠=︒tan 2ACB ∠=2AB AC ∴=222AB AC BC += 10BC = 25AC ∴=AD BC ⊥90ADC ∴∠=︒tan 2ACB ∠=2∴=AD CD222AD CD AC +=2CD ∴=4AD ∴=4ED AD ∴==BC 是O 的直径90BFC ∴∠=︒10BC = 8=CF6BF ∴=90BFC HDC ∠=∠=︒ FCB DCH ∠=∠ BFC HDC ∴∽△△BF CF HD CD∴= 1.5HD ∴=5.5HE ED HD ∴=+= AFC HFE ∽△△AC CF HE EF∴= 2255EF ∴=．（3）设OC r = 则2BC r = tan 2ACB ∠=2∴=AD CD 2BD AD =OG x OC= OG xr ∴=过点G 作∠GMC ∠=GM BF ∴∥CG CM GB MF ∴=2CG CM GB ∴=又CM CD GM HD =2CD CG HD GB=(15(1HD +=-AH AD =①如图当点G 在线段OB 上时同理可求得3544x y x +=+． 8．（1）解：OB OE =∴OBE OEB ∠=∠OE AC ∥∴C OEB ∠=∠∴ABC C ∠=∠∴AC AB =．（2）解：如图连接BD 则90ADB ∠=︒10AB = 6AD =∴5BO = 22BD AB AD 8=-=．BF 是O 的切线∴90OBF ADB ∠=∠=︒OE AC ∥∴BOF A ∠=∠∴BOF DAB ∽△△∴BO BF DA BD=是O的切线90PBO=︒在PBO与PAO中, PB PAOB OAPO PO===()SSS PBO PAO∴≌90 PAO PBO∴∠=∠=①OA是O的半径①OA是O的切线；（2）连接,,BC AD OD BA BP=BC AP⊥①AB是O的直径设圆心为O连接OP①O的半径为2cm4cm BA BP ∴==,OB OD PO PB ==,OBD ODB OBP POB ∴∠=∠∠=∠OBD POB ∴∽OD BD PO BO ∴= 即 242BD = ①1BD =413cm PD PB BD ∴=-=-=；（3）4cm OP =①P 的运动轨迹为以O 为圆心半径为4cm 的圆如图:①,,P O A 三点共线时 PA 最大, 此时426cm PA PO OA =+=+= ,,BP AB PA BP AP =<+即 2PA BP <①当BP 最小时 PA 最小如图:此时,,P B O 共线 422PB PO OB =-=-= 2cm PB AB OA OB ∴====作AH OB ⊥于H 则 112BH OB == 222221AH AB BH ∴=-=- 3= 3cm PH PB BH =+= ()22223323cm PA PH AH ∴=+=+=236PA ∴≤≤25①AHO AFC ∽ ①AO OH AC CF = 即5625AC OH CF AO ⋅== ①112225CD CF ==．11．（1）证明：连接OCOA OC =A ACO ∴∠=∠2COD A ACO A ∠∠∠∠∴=+=DE 是O 的切线90OCD ∴∠=︒90902D COD A ∴∠=︒-∠=︒-∠90GCE A D A ∴∠=∠+∠=︒-∠EF AB ⊥90A AGF ∴∠+∠=︒①90AGF A ∠=︒-∠90EGC AGF A ∴∠=∠=︒-∠EGC GCE ∴∠=∠ECG ∴为等腰三角形；（2）解：连接BCAB 是O 的直径90ACB ∴∠=︒OCD∠=∴∠+∠OCB=OC OB∴∠=OCB∴∠=∠A BCD∠=BDC∴∽BCD CADCD BD∴=AD CD216∴=⋅=CD BD ADCD∴=．412．（1）证明：①AC为O的直径∽①BED BAC①BE BA =BD BC 即326BA = ①9BA =①927AD =-=．13．（1）证明：①PC 是O 的直径,①90PBC ∠=︒①90BPC BCP ∠+∠=︒①MN 所在的直线是O 的切线点P 恰好在NM 所在的直线上 ①MP PC ⊥①90MPC ∠=︒①90MPB BPC ∠+∠=︒①MPB BCP ∠=∠①BCP BAP ∠=∠①BAP MPB ∠=∠．（2）证明：①MAP MPB ∠=∠ M M ∠=∠, ①∽MPA MBP .①MA MP MP MB= 即2MP MA MB =⋅．（3）解：由（2）可知MA MP AP MP MB PB== ①812AB AP MB MP ===，，，2212188MP MA MB ∴=== ①18810AP AB MA MB ==-=-=121020183MP AP BP MA ⨯⨯===∴． 14．（1）证明：如图1 连接ADAB 是O 的直径 90ADB ∴∠=︒90ADC CDB ∴∠+∠=︒BE DC ⊥90BED ∴∠=︒90DBE CDB ∴∠+∠=︒DBE ADC ∴∠=∠2AOC ADC ∠=∠2ADC DBE ∴∠=∠；（2）证明：如图2 延长BE 交O 于G 连接AG AD DGOE BG ⊥①BE EG = DC 是BG 的中垂线①BD DG =AO BO =2AG OE ∴=①OA OB OC OD ===①四边形ADBC 是矩形①BD AC =①DG AC =①2DF CE =①()222DF DO OF OC OF OC OE OC OE =+=+=-=- ①2OE OC OF CF =-=①CF AG =①AD AD =①ACF DGA ∠=∠①()SAS ACF DGA ≌ ①CAF GDA ∠=∠ AF AD = ①GBA GDA ∠=∠①CAF ABE ∠=∠；（3）解：如图3 连接AD 设EF x =①2CF =①1OE =①3OB OC OE EF CF x ==++=+ ①BE CD ⊥①2222OB OE BC CE -=+ 即()()()2222312102x x +-=-+ 整理得25140x x +-=解得7x =-（舍去）或2x = ①2EF =①235OB OC ==+= 5128DF =++= AOD BOC ∠=∠210AD BC AF ∴===DAO OBC ∠=∠①AD CH ∥ADF HCF ∴∽∴AF DF FH FC= ∴210842FH ==102FH ∴=． 15．（1）证明：如图CE 平分ACB ∠ ACD ECB ∴∠=∠ BC BC = A E ∴∠=∠ ACD ECB ∴；（2）解：如图CE 平分ACB ∠ AE BE ∴= 点B 是CE 的中点 CB BE ∴=AE BE BC ∴== 设A α∠= 则E ABE ECB ACE α∠=∠=∠=∠= ①2ACB ACE ECB α∠=∠+∠=； AB AC =①2ABC ACB α∠=∠=；在ABC 中则有180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒ 即22180ααα++=︒ ①36α=︒, ①272ADE ABE E α∠=∠+∠==︒；（3）解：①如图设BD x =2AD BD =①2AD x = 3AB AC x ==①CAD BED ∠=∠ ADC EDB ∠=∠①ACD EBD △△∽①AC AD CD BE DE BD == 即32x x CD BE DE x == ①2223DE CD DE x BE =⋅=，；设DE a = 则32BE a =①ACE BCE ∠=∠①32AE BE a ==； ①ACE BCE DAE ∠=∠=∠ AED CEA ∠=∠ ①ACE DAE ∽①3322CE AC x AE AD x === ①3924CE AE a == ①9544CD CE DE a a a =-=-=； ①22CD DE x ⋅=①22524a x = ①285a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 即285DE DB ⎛⎫= ⎪⎝⎭；①ADE CDB ∽285ADEBDC S DE S DB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭．②如图连接AO 并延长交AB AC OB OC ==，AF 是线段BC 的垂直平分线ACD BCD SS=ACDBCDSS =2AC =①知 Rt AFB 中 OF AF OA =-Rt OFB △中解得：41727x =ACDBCD S S =ACD =△ABC S =ACD S =217 9r．故答案为：2。

中考数学专题训练-利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系(含答案)

- 1 - 中考数学专题训练-利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．
证明两线段的数量关系
类型1 证明两线段的相等关系
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 交于点O ，直线AO 与BC 边交于点M ，与DE 交于点N .
求证：BM ＝MC
.
类型2 证明两线段的倍分关系
2．如图，AM 为△ABC 的角平分线，D 为AB 的中点，CE ∥AB ，CE 交DM 的延长线于E . 求证：AC ＝2CE
.。

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2012届中考数学专项复习训练题相似三角形
一、选择题：
1、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k (k ≠1)，则k 的值是（）
A ．∠A ：∠A ′
B ．A ′B ′：AB
C ．∠B ：∠B ′
D ．BC ：B ′C ′ 2、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B ′等于（） A ．30° B ．50° C ．40° D ．70 3、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之和是（）A ．15cm B ．18cm C ．21cm D ．24cm 4、如图AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对
5、△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为2：3，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为5：4，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为（） A ．
B ．
C ．
D ．
6、已知△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（） A ．
B ．
C ．
D ．
7、下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2；⑤两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81.”中,正确的个数有（
）个 A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
8、如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN ，
CM
BM
AN AM =
，下列结论正确的是（） A ．∆ABM ∽∆ACB B ．∆ANC ∽∆AMB C ．∆ANC ∽∆ACM D ． ∆CMN ∽∆BCA
9、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，
∠1＝∠B ，AE ＝EC ＝4，BC ＝10，AB ＝12，则△ADE 和△ACB 的周长之比为（） A 、12 B 、13 C 、14 D 、16
A
B
C
N
二、填空题：
1、如图，已知 AB ∶DB = AC ∶EC ，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28
cm , 则 AE = ；
2、若 ΔABC 的三内角之比为1∶2∶3，则三边之比是；
3、如图，已知，D 是 BC 的中点，E 是
AD
的中点，则 AF
∶FC = ；
4、如图，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC 的周长之比为；面积之比为；
5、两个相似三角形对应高的比为 1∶
3，则它们的相似比
为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；
6、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；
③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上).
7、如图，要使∆AEF 和∆ACB 相似，已具备条件__________________，还需补充的条件是_________，或_________，或_________。

8、平行四边形ABCD 中，AB=28，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=EF=FC ，DE 交AB 于点M ，MF 交CD 于点N ，则CN=_________。

9、RT ∆ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，AC=8，BC=6，则AD=_________。

10、已知：AM ：MD=4：1，BD ：DC=2：3，则AE ：EC=_________。

11、如图，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，若AC ＝3，BC ＝2，则△MCD 与△BND 的面积比为。

12、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB ＝1:9，则S △DOC :S △BOC ＝ 13、如图，四边形EFGH 是∆ABC 内接正方形，BC=21cm ，高AD=15cm ，则内接正方形边长EF=____________。

A C D
B E
A C
D
B
E
F A
C
D
B
E
三、解答题：
1. 如图，已知，ΔABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：BF
DE
DF AE DB AD =
=
2.在等边△ABC 中，P 是BC 上一点，AP 的垂直平分线分别交AB 、 AC 于M 、N ，求证：△MBP ∽△PCN.
3.已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ，求证：EF GF CF ⋅=2。

4.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且S △ADE :S 四边形BCED ＝1:2，BC ＝26。

求DE
的长。

A
C
D
B
E F
A
B
C
D
E
5、已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，求证：ED＝3EF。

6、矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足。

①求△ABM的面积；②求DE的长；③求△ADE的面积。

7如图：△PQR是等边三角形，∠APB＝120°（1）求证：QR2
＝AQ·RB（2）若AP＝7
2，AQ＝2，PB＝14。

求RQ的长
和△PRB的面积。

R
Q
P
B A
E
M
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F。