江苏南京市鼓楼区高一下学期期中考试数学试题含答案

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鼓楼区高一下期中考试数学试卷

鼓楼区高一下期中考试数学试卷一．填空题：（每小题4分，共14小题，合计56分）1 已知=-⎩⎨⎧-=56,,12,1a a n n n a n 则为偶数为奇数____10__________.书P32 习题3改编2.已知等差数列}{n a 中1065=+a a ，则=10S ____50________.书P44 习题6改编3.已知等比数列}{n a 的通项公式132-⋅=n n a ，则=6S ____728_______.书P44 习题4改编4. 在等比数列}{n a 中，01>a ，252867564=++a a a a a a ，则75a a +=_____5________. 书P49 习题6改编5. 已知数列}{n a 中，322+-=n n S n ，则数列的通项公式n a =⎩⎨⎧∈≥-=*2,321,2N n n n n 且书P44 习题8改编6.若三条线段的长分别为2，3，4，则用这三条线段能组成__钝角__三角形.（填“直角”“锐角”或“钝角”）书P15 练习2改编7. 在ABC ∆中，若B a c cos 2=，则ABC ∆的形状为____等腰三角形______.书P10 练习28.在ABC ∆中，已知︒===30,32,2A b a ，则=c __ 2或4_____.书P7 例2 改编9.已知0<a ,一元二次方程x c bx ax 32=++的解集为}3,2{,则不等式x c bx ax 32>++的解集为}32|{<<x x书P94 习题10 改编10.已知函数)2lg(2++=kx kx y 的定义域为R ，则k 的取值范围为_____[0,8)___________ 书P49 习题6改编11.已知两点)3,3(),1,1(B A -，点),5(a C 在直线AB 上，则实数a 的值为______7________. 书P72 练习5改数字12.已知直线1+=x y l ：，则直线l 关于点)3,1(M 对称的直线方程是3+=x y书P97 17 改数字13.直线l 经过点)3,2(-M ，且原点到直线l 的距离等于2，则直线l 的方程为2026125-==-+x y x 或. 书P96 314.已知数列}{n a 满足*13221,3333N n n a a a a n n ∈=++++- ，则通项公式n a =n -3二．解答题：（每小题6分，共44分）15.（6分）已知ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，三角形的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+. （I ）求边c 的长；（II ）若ABC ∆的面积为C sin 61，求角C 的度数. 2007 浙江卷解答第一题【解】（I ）由题意及正弦定理，得12+=++c b a ，c b a 2=+，两式相减，得．1=c（II ）由ABC △的面积C C ab sin 61sin 21=，得31=ab ，由余弦定理，得abc b a C 2cos 222-+= 2122)(22=--+=ab c ab b a ，所以60C =．16. (6分)已知直线l 经过直线012082=+-=-+y x y x 和直线的交点，且垂直于直线0143=--y x ，求直线l 的方程书P87 3 改编【解】由直线l 垂直于直线0143=--y x ，设直线l 的方程为034=++m y x由⎩⎨⎧=+-=-+012082y x y x 得⎩⎨⎧==23y x ，即交点为)2,3( 代人直线l 的方程得20-=m直线l 的方程02034=-+y x17. （7分）在等差数列}{n a 中，6314,18a a a =-=（I ）求数列的通项公式n a（II ）当n 取何值时，n S 最小？书P38 习题3，4改编【解】（I ）由题意得)5(4211d a d a +=+，又181-=a ，得3=d所以，213)1(318-=-+-=n n a n（II ）法一. 8507)213(232)21318(2--=-+-=n n n S n 由*N n ∈得，当76或=n 时n S 取最小值法二. 0213=-=n a n 令,7=n 得由01<a ,0>d 知，数列}{n a 前6项为负，第7项为零，从第八项起为正所以，当76或=n 时n S 取最小值18. （8分）已知等差数列}{n a 的首项,11=a 且公差为0>d ，它的第2，5，14项依次构成一个等比数列，（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）令11+=n n n a a c ，求数列}{n c 的前n 项和n S 书P49 4【解】（I ）由题意得)13)(()4(1121d a d a d a ++=+整理得d a d 1263=，因为公差不为零，得221==a d所以， 122)1(1-=-+=n n a n（II ）由题意得，121)1211(21)]121121()7151()5131()311[(21)12)(12(1751531311+=+-=+--++-+-+-=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n n n S n19．（8分）过点)8,2(的直线l 与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，当ABC ∆的面积最小时，求直线l 的方程，并求出此时的最小面积.书P90 例3 改数字【解】设点)0,)(0,(),0,(>b a b B a A ，则直线l 的方程为1=+by a x 由题意，点)8,2(在此直线上，所以，182=+ba 由基本不等式，得64162821≥⇒≥+=ab ab b a 于是，3221≥=∆ab S ABC ，当且仅当,82ba =即16,4==b a 时，取“=” 因此，当ABC ∆的面积最小时，直线l 的方程为1164=+y x 即0164=-+y x20. (9分)在数列{}n a 与{}n b 中，4,111==b a ，数列{}n a 的前n 项和n S 满足()031=+-+n n S n nS , 12+n a 为n b 与1+n b 的等比中项，*N n ∈．（Ⅰ）求22,b a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（Ⅲ）设()()()*,1112121N n b b b T n a a a n n ∈-++-+-= ．证明3,22≥<n n T n 2008天津卷【解】（Ⅰ）解：由题设有12140a a a +-=，11a =，解得23a =．由题设又有22214a b b =，14b =，解得29b =．（Ⅱ）由题设1(3)n n nS n S +=+1(1)(2)n n n S n S --=+ ①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，2n ≥．所以 3224a a =，4335a a =，……1(1)(1)n n n a n a +-=+，3n ≥．将以上各式左右两端分别相乘，由（Ⅰ）并化简得 2(1)(1)62n n n n n a a ++==，3n ≥．止式对1,2n =也成立．由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即1221(1)(2)n n b b n n +⋅=++，*n N ∈．令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n nx x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以21(1)n b n =+，即2(1)n b n =+，1n ≥．（Ⅲ）证明：12(1)222122(1(1)23(1)(1))(1)n a a n n n a n b T b n b ++=-+-+-=--++-+．当4n k =，*k N ∈时， 22222222(42)2(41)(3454)(41)n k k k k T ----=--+++++-．注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故 (1)(12)4324322n T k k k k k +⨯+++-=⨯-= 224(44)4(4)343k k k k k n n ⨯==-++=+．当41n k =-，*k N ∈时，22224(41)(1)3(1)(2(4))3n k k k n n n T n =⨯-+=+++-+=+．当42n k =-，*k N ∈时， 222224(41)(4)(43(2)()3)333n k k k n n n k n T ⨯-+-=+=-=-+--+．当43n k =-，*k N ∈时，22224(41)(41)3(3)(4)(23)3n k k n n T k n n ⨯-++-=+-+++=--=．所以22*3,4333,42,,413,4n n n k n n n k T k n n k n n n N k--=-⎧⎪---=-⎪=⎨=-⎪⎪+=∈⎩．从而3n ≥时，有222132,5,9,13,3312,6,10,14,||12,3,7,11,312,4,8,12,n n n n n T n n n n n n n ⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩ 总之，当3n ≥时有2||2n T n <，即2||2n T n <．。

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知tan 2α=，tan 3β=-，则()tan αβ-的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【分析】利用两角差的正切公式计算可得.【详解】因为tan 2α=，tan 3β=-，所以()()()23tan tan tan 11tan tan 123αβαβαβ----===-++⨯-.故选：B2．在ABC 中，已知角A ，B 的对边分别为a ，b ，π4A =，π6B =，2a =，则b =（）A ．2B ．3C ．22D ．23【答案】A【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解作答.【详解】在ABC 中，π4A =，π6B =，2a =，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以2π6π12sin22n42si 2b ⨯===.故选：A3．在复平面内，向量OA ，OB分别与复数2i +，43i -对应，其中O 为坐标原点，i 为虚数单位，则AB = （）A ．23B ．4C ．32D ．25【答案】D【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．【详解】向量OA ，OB分别与复数2i +，43i -对应，则(2,1)OA = ，(4,3)OB =-，(2,4)AB OB OA =-=- ，即22||2(4)25AB =+-=．故选：D ．4．已知一个物体在三个力1(1,2)F = ，23(1,3),F F =--的作用下，处于静止状态，则3F = （）A ．()0,1B ．()1,0-C ．()0,1-D ．()1,1-【答案】A【分析】由题意可知1230F F F ++=，设3(,)F x y = ，代入求解即可.【详解】已知一个物体在三个力1(1,2)F = ，23(1,3),F F =--的作用下，处于静止状态，设3(,)F x y = ，则()123(1,2)(1,3)(,),10F F F x y x y ++=+--+=-=，即010x y =⎧⎨-=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以3(0,1)F = .故选：A5．已知a ，b 是单位向量，且满足()20b a b ⋅-= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B【分析】利用向量的夹角公式可求a 与b的夹角.【详解】由()20b a b ⋅-= 可得220a b b ⋅-= ，故21a b ⋅= ，故1cos ,2a b a b = 即1cos ,2a b = ，而[],0,πa b ∈ ，故π,3a b = ，故选：B.6．2tan 37.51tan 37.5︒=-︒（）A ．23+B ．23-C ．312+D ．312-【答案】C【分析】利用二倍角正切公式得到2tan 37.51tan 751tan 37.52︒=︒-︒()1tan 45302=︒+︒，利用两角和的正切公式计算可得.【详解】()22tan 37.512tan 37.511tan 237.5tan 751tan 37.521tan 37.522︒︒=⨯=⨯⨯︒=︒-︒-︒()1tan 45302=︒+︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒+︒=⨯-︒︒311323113312+==⨯+⨯-.故选：C7．在ABC 中，cos cos a A b B =，则ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理的边角互化可得sin 2sin 2A B =，进而可得22A B =或22A B π+=，即可求解.【详解】cos cos a A b B =，正弦定理可得2sin cos 2sin cos R A A R B B =，即sin 2sin 2A B =，()20,2A π∈，()20,2B π∈，∴22A B =或22A B π+=，∴A B =或2A B π+=，∴ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选：D8．在ABC 中，点M 是边BC 所在直线上的一点，且2BM BC =，点P 在直线AM 上，若向量()0,0BP BA BC λμλμ=+>> ，则12λμ+的最小值为（）A ．3B ．4C ．322+D ．9【答案】B【分析】由题意可得12BP BA BM λμ=+，又点A ，P ，M 三点共线，所以112λμ+=，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解即可．【详解】 2BM BC =，∴12BC BM =，∴12BP BA BC BA BM λμλμ=+=+，点A ，P ，M 三点共线，∴112λμ+=，又0λ> ，0μ>，∴12121222224222μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22μλλμ=，即12λ=，1μ=时，等号成立，∴12λμ+的最小值为4．故选：B ．二、多选题9．已知复数i z a b =+，(),R a b ∈，则下列选项中，正确的是（）A ．若()1i 5z -=，则i z =B ．若2R z ∈，则0b =C ．若z z =，则0b =D ．若12a =-，32b =，则210z z ++=【答案】CD【分析】将i z a b =+，(),R a b ∈逐个代入各选项中分析判断即可.【详解】对于A ，由()1i 5z -=，得()()i 1i 5a b +-=，()()i 5a b b a ++-=，因为,R a b ∈，所以50a b b a +=⎧⎨-=⎩，解得52b a ==，所以55i 22z =+，所以A 错误，对于B ，由i z a b =+，得()()()222222i 2i i 2i z a b a ab b a b ab =+=++=-+，因为2R z ∈，所以20ab =，所以0a =或0b =，所以B 错误，对于C ，由z z =，得i i a b a b =+-，则2i 0b =，所以0b =，所以C 正确，对于D ，因为13i 22z =-+，所以213131i i 2222⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭213133i i i 22422⎛⎫=++-+ ⎪⎪⎝⎭233i 044=+=，所以D 正确，故选：CD10．已知a ，b，c ，m ，n 是平面向量，则下列选项中，正确的是（）A ．若//a b r r ，//b c，则//a cr r B ．若()2,6a = ，(1,3)b =- ，则a ，b可以作为平面内的一组基底C ．若()0,3a =，()3,1b =，则a 在b上的投影向量为333,44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．若4m = ，3n = ，5m n ⋅=，则15m n -= 【答案】BC【分析】根据共线向量判断A 、B ，根据投影向量的定义判断C ，根据数量积的运算律判断D.【详解】对于A ：当0b = ，a 、c 不平行时，满足//a b r r ，//b c ，得不出//a c，故A 错误；对于B ： ()2,6a =，(1,3)b =-，所以a、b不共线，∴a、b可作为平面内的一组基底，故B 正确；对于C ：因为()0,3a =，()3,1b =，所以3a b ⋅=，()22312b =+= ，所以a 在b 上的投影向量为()33333,1,444a b b b b ⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ：||4m = ，||3n =r ，5m n ⋅=，∴()22221691015m n m n m n m n -=-=+-⋅=+-= ，故D 错误．故选：BC ．11．函数()ππsincos 44x xf x =+，则下列选项中正确的是（）A ．()f x 的最大值是2B ．()f x 的图象在直线1y =-的上方C ．点()1,0-是()f x 图象的一个对称中心D ．函数()11y f x x =-+在区间[]10,10-上的所有零点之和等于6-【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的值域可判断AB 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.【详解】对于A 选项，()ππππsincos 2sin 4444x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最大值为2，A 对；对于B 选项，由A 选项可知，()f x 的值域为2,2⎡⎤-⎣⎦，则函数()f x 的图象不恒在直线1y =-上，B 错；对于C 选项，因为()12sin 00f -==，所以，点()1,0-是()f x 图象的一个对称中心，C 对；对于D 选项，令()11g x x =+，其中1x ≠-，则()()112211g x g x x x --==-=---++，故函数()g x 的图象关于点()1,0-成中心对称，作出函数()f x 在区间[]10,10-的图象以及函数()g x 的图象，如下图所示：由图可知，函数()f x 在区间[]10,10-的图象以及函数()g x 的图象共有六个交点，分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，其中A 与F 、B 与E 、C 与D 均关于点()1,0-对称，因此，函数()11y f x x =-+在区间[]10,10-上的所有零点之和等于6-，D 对.故选：ACD.12．已知75A ∠= ，在A ∠的两条边上分别有B ，D 两个动点，13BD =+，在A ∠内部有一点C ，满足BCD A ∠=∠，且6=BC ，则下列选项中正确的是（）A ．AB AD>B ．45DBC ∠=C ．ABD △的面积有最大值D ．AC 的最大值为52+【答案】BC【分析】在BCD △中，由余弦定理求得2CD =，再由正弦定理求得BCD ∠，即可判定B ；根据题意得到点A 的运动轨迹为 BAD，故,AD AB 的大小不能确定，且ABD △的面积有最大值，可判定A 错误，C 正确；令ABD △的外接圆圆心为O ，求得CO 的长，进而求得AC 的最大值，可判定D 错误.【详解】在BCD △中，1756,3,BD BC C =+∠==︒，由余弦定理可得2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅∠，即2(33)2230CD CD --⋅+-=，解得2CD =或13CD =-（舍去），在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC DB DBC BCD =∠∠，即231sin sin 75DBC +=∠，解得2sin 2DBC ∠=，所以45DBC ∠= ，所以B 正确；在ABD △中，因为13BD =+，75A ∠= ，所以点A 的运动轨迹为 BAD，故,AD AB 的大小不能确定，所以A 错误；在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD A=+-⋅22cos (22cos )AB AD AB AD A AB AD A ≥⋅-⋅=⋅⋅-，当且仅当AB AD =时，等号成立，所以22322cos 1cos 75BD AB AD A +⋅≤=--,又由ABD △的面积为1sin 2ABD S AB AD A =⋅ ，所以ABD △的面积有最大值，故A 错误，C 正确；令ABD △的外接圆圆心为O ，取BD 的中点为M ，OM BD ⊥，则222sin BDOB A==，可得2OB =，又由312MB +=，所以62cos 4OBM +∠=，所以15OBM ∠= ，所以60OBC ∠= ，在OBC △中，由余弦定理可得222cos 60823CO BO BC BO BC =+-⋅=- ，所以AC 的最大值为8232-+，所以D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知复数z 满足2023i 1i z =+，其中i 是虚数单位，则z =．【答案】2【分析】利用虚数单位的性质结合复数的除法可求z ，再利用公式求出其模.【详解】因为202345053=⨯+，故20233i i i ==-.故i 1i z -=+即()1i1i i 1i iz +==+=-+-，故22112z =+=，故答案为：2.14．若π2sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+=⎪⎝⎭．【答案】19-【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为π2sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则22ππππcos 2cos 2πcos 22sin 13666αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2212139⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：19-.15．如图，在平面四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，2AC =，45BAC ∠=︒，则2CB CD +的最小值为．【答案】5【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设()(),0,0,B b D d ，利用垂直关系和模的坐标公式可得()22515CB CD d +=-+ ，故可求模的最小值.【详解】以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设()(),0,0,B b D d ，因为45BAC ∠=︒，且2AC =，故()1,1C ，故()1,1CD d =-- ，()1,1CB b =--，故()23,23CB CD b d +=-- ，而90BCD ∠=︒，故0CD CB ⋅=uuu r uur，故()()11110b d -⨯--⨯-=，即2b d +=，所以()()()()222223232323CB CD b d d d +=-+-=--+- ()2515d =-+，当1d =时，min25CB CD +=.故答案为：5四、双空题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos 3sin a b c B c B +=+，角C 的平分线交AB 于D 点，且354BD =，214AD =，则ACB =∠︒，ABC 的内切圆面积是．【答案】1203π【分析】由正弦定理结合三角变换可得()sin 301C -︒=，结合角C 的范围即可求解角C ；由角平分线的性质可得53BC BD CA AD ==，利用余弦定理可求得10,6BC AC ==，再利用等面积法求得内切圆的半径，从而可求解内切圆的面积.【详解】由正弦定理可得sin 2sin sin cos 3sin sin A B C B C B +=+，sin()2sin sin cos 3sin sin B C B C B C B ∴++=+，sin cos cos sin 2sin sin cos 3sin sin B C B C B C B C B ++=+∴，sin cos 2sin 3sin sin B C B C B ∴+=，sin 0,cos 23sin B C C ≠∴+= ，()3sin cos 2sin 302C C C ∴-=-︒=，()sin 301,0180,3090,120C C C C ∴-︒=︒<<︒∴-︒=︒∴=︒ .角C 的平分线交AB 于D 点，且354BD =，214AD =，53BC BD CA AD ∴==，在ABC 中，由余弦定理可得2222222cos120,14AB AC BC AC BC AC BC AC BC =+-⋅︒∴=++⋅，10,6BC AC ∴==，设ABC 内切圆的半径为r ，11()sin ,30303,322AB BC CA r AC BC BCA r r ∴++⋅=⋅⋅∠∴=∴=，ABC ∴ 的内切圆面积是2π3πr =.故答案为：120；3π.五、解答题17．已知向量()1,1a =-，()2,b λ= ，()3,1c = ．(1)若//a b，求实数λ的值；(2)若ka c + 与c垂直，求实数k 的值．【答案】(1)2-(2)5-【分析】（1）根据//a b，利用向量共线的坐标表示，即可求解；（2）根据ka c + 与c垂直，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为向量()1,1a =-，()2,b λ= ，因为//a b，可得112λ⨯=-⨯，解得2λ=-.（2）因为向量()1,1a =- ，()3,1c = ，可得()3,1ka c k k +=+-+，因为ka c + 与c垂直，所以()()3310k k ++-+=，解得5k =-．18．已知复数1i z m =+，1i2z +-是实数，其中i 是虚数单位，m ∈R ．(1)求m 的值；(2)若复数03i z z =--+是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值．【答案】(1)3m =-(2)4b =，20c =【分析】（1）化简23i 1i 1i z m ++=--33i 22m m -+=+，由1i2z +-是实数可得302m +=，求解即可；（2）由（1）可得024i z =--，由0z 方程20x bx c ++=的根可得()()212416i 0b c b -+-+-+=，再根据复数相等的条件可得21204160b c b -+-=⎧⎨-+=⎩，求解即可.【详解】（1）因为1i z m =+，所以23i 1i 1i z m ++=--()()()()3i 1i 1i 1i m ++=-+33i 22m m-+=+，因为1i2z +-是实数，所以302m +=，解得3m =-，故m 的值为3-.（2）由（1）可知13i z =-，所以03i 24i z z =--+=--，因为0z 方程20x bx c ++=的根，所以()()224i 24i 0b c --+--+=，即()()212416i 0b c b -+-+-+=，由21204160b c b -+-=⎧⎨-+=⎩，解得4b =，20c =．故实数b 和c 的值分别为4,20.19．在ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6a =，22223sin sin sin sin sin sin 3B C A A B C +=+，在下列条件中选择一个，判断ABC 是否存在．如果存在，那么求出ABC 的面积；如果不存在，那么请说明理由．①BC 边的中线AD 长为102；②23b c +=；③3cos 5B =-．【答案】条件选择见解析，答案见解析【分析】根据正弦定理结合余弦定理可求得π3A =，选①：根据余弦定理求得228b c +=，结合余弦定理求出b 、c 的值，说明ABC 存在，进而可求得ABC 的面积；选②：由已知条件结合余弦定理求得b 、c 的值，说明ABC 存在，进而可求得ABC 的面积；选③：根据余弦函数的单调性结合三角形的内角和定理说明ABC 不存在.【详解】解：因为22223sin sin sin sin sin sin 3B C A A B C +=+，由正弦定理可得22223sin 3b c a bc A +=+，即22223sin 3b c a bc A +-=，又由余弦定理得2222cos b c a bc A +-=，所以23sin 2cos 3bc A bc A =，即sin 3cos A A =，因为()0,πA ∈，所以，sin 3cos 0A A =>，所以tan 3A =，所以π3A =.选择①：BC 边的中线AD 长为102，在ABD △中，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，（i ）在ACD 中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，（ii ）因为πADB ADC ∠+∠=，所以，πADC ADB ∠=-∠，所以，()cos cos πcos ADC ADB ADB ∠=-∠=-∠，（i ）+（ii ）可得222222AB AC AD BD +=+，即228b c +=，因为226b c bc +-=，所以2bc =，解得3131b c ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或3131b c ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，所以ABC 存在，所以，ABC 的面积为1133sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；选择②：23b c +=，因为226b c bc +-=，所以2bc =，解得3131b c ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或3131b c ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，所以ABC 存在，所以，ABC 的面积为1133sin 22222ABC S bc A ==⨯⨯= ；选择③：3cos 5B =-，因为函数cos y x =在()0,π上是减函数，且3152-<-，即2πcos cos3B <，又因为()0,πB ∈，所以2ππ3B <<，因为π3A =，所以πAB +>，这与πA B +<矛盾，所以ABC 不存在．20．已知平面向量()sin ,cos a x x =- ，()3cos ,cos b x x =- ，()1,2cos 1c x =- ．设函数()2·f x a b = (1)求()f x 的最小正周期；(2)设()y f x a c =+⋅ ，①记sin cos t x x =+，试用t 表示sin cos x x ⋅，并写出t 的取值范围；②求y 的最小值．【答案】(1)π(2)①()21sin cos 12x x t ⋅=-，t 的取值范围是2,2⎡⎤-⎣⎦；②13312-【分析】（1）根据平面向量的数量积求出函数()f x 的解析式，再利用辅助角公式化为sin()A x ωϕ+的形式，即可求出最小正周期；（2）化函数()23sin cos sin cos y f x a c x x x x =+⋅=++，①记sin cos t x x =+，用2t 表示出sin cos x x ，再根据三角函数的有界性求出t 的取值范围；②根据二次函数的图象与性质，即可求出y 的最小值．【详解】（1）平面向量(sin ,cos )a x x =- ，(3cos b x = ，cos )x -，(1,2cos 1)c x =- ，所以函数231()223sin cos 2cos 3sin 2(1cos 2)2(sin 2cos 2)12s in(2)1226f x a b x x x x x x x x π=⋅=+=++=++=++ ，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；（2）函数22()(23sin cos 2cos )(sin 2cos cos )23sin cos sin cos y f x a c x x x x x x x x x x =+⋅=++-+=++ ，①记sin cos t x x =+，则222sin cos 2sin cos 12sin cos t x x x x x x =++=+，所以21sin cos (1)2x x t ⋅=-，因为πsin cos 2sin 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2t ∈-，2]；②22123(1)332y t t t t =⨯-+=+-，当123t =-时，y 取得最小值为1113333121223⨯--=-．21．在小岛N 的正北方向有一补给点P ，某巡逻艇从N 出发沿北偏西45︒方向航行，航行156海里后到达点M ，此时，巡逻艇接到了位于P 正北方向50海里的抛锚渔船Q 处发来的求救信号，同时观测到P 位于M 的北偏东60︒方向．已发现巡逻艇燃料不足，现有两种营救方案：方案一为节省燃油、确保能到达抛锚渔船Q 处，巡逻艇以35海里/小时的速度航行，以最短路程前往；方案二巡逻艇以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往补给点，在补充燃油后仍然以50海里/小时的速度航行，以最短路程前往，已知在到达补给点后补充燃油总共需要在补给点停留0.2小时；试判断哪种营救方案可以更快的达到抛锚渔船Q 处．（在实施两种方案时，均不考虑水流速度）【答案】采用方案二可以更快的达到抛锚渔船Q 处【分析】根据题意，在PMN 中，由正弦定理求得PM ，再在MPQ 中，由余弦定理求得MQ ，分别计算两个方案中的用时，即可求解.【详解】因为P 点在N 的正北方，且P 在M 的北偏东60︒的方向，所以60,45MPN MNP ∠=︒∠=︒，在PMN 中，由正弦定理得sin sin PM MN MNP MPN =∠∠，可得sin 30sin MN MNP PM MPN∠==∠海里，在MPQ 中，由余弦定理得2222cos MQ MP PQ MP PQ MPQ =+-⋅∠，可得70MQ =海里，若采用方案一，需要170352t =÷=小时，若采用方案二，需要()23050500.2 1.8t =+÷+=小时，所以采用方案二可以更快的达到抛锚渔船Q处．22．已知，在斜三角形．．．．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos A B =．(1)求A B -的大小；(2)若1a =，求AB AC ⋅uuu r uuu r 的最小值；(3)若3sin cos tan 2A B C ==，求,A B 的大小．【答案】(1)π2(2)223-(3)2π3A =，π6B =【分析】（1）由sin cos A B =，得到πcos cos 2A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而求得π2A B -=；（2）由正弦定理分别求得tan b B =，cos 2cos B c B=，结合向量的数量积的运算公式和三角恒等变换，得到2212cos 3cos AB AC B B⋅=+- ，结合基本不等式，即可求解.（3）因为3sin tan 2A C =，得到()21cos 2cos 2cos 302A A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，求得1cos 2A =-或17cos 2A -±=，结合题意，即可求解.【详解】（1）解：因为sin cos AB =，所以πcos cos 2A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π2π2A k B -=+或π2π2A kB -=-，Z k ∈，因为0π0π0πA B A B <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩且ππA B -<-<，所以π2A B +=或π2A B -=，由ABC 为斜三角形知，π2A B +=（舍），所以π2A B -=.（2）解：由正弦定理：11sin cos sin()π2b B B B ==+，所以tan b B =，又由11sin cos sin()π2c C B B ==+，可得11πcos 2sin sin(2)cos cos 2cos B c C B B B B =⋅=⋅-=，所以cos 2πcos tan cos cos 2B AB AC bc A B B B ⎛⎫⋅==⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 22cos 2sin cos B B B=-()()2222cos 11cos cos B B B --=-4222cos 2cos 1cos B B B-+=2212cos 3cos B B =+-223≥-，当且仅当22cos 2B =时，等号成立，所以AB AC ⋅uuu r uuu r 的最小值为223-.（3）解：因为3sin tan 2A C =，所以()33π3sin tan tan 22222tan 2A A B A A ⎛⎫=-+=--= ⎪⎝⎭，所以2sin sin 23cos 2A A A =，所以()224sin cos 32cos 1A A A =-，即()()2241cos cos 32cos 1A A A -=-，整理得324cos 6cos 4cos 30A A A +--=，所以()21cos 2cos 2cos 302A A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =-或17cos 2A -±=，因为A 是钝角，所以1cos 2A =-，所以23A π=，所以ππ26B A ===．。

江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)

南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+3.在△ABC中，角A､B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（）A.60°B.75°C.120°D.150°4.托勒密(C.Ptolemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.57365.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（）A.1B.1- D.7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（） A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c =+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（）A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（） A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（）A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =，12.在下列选项中正确的是（）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数122z =-+，则41122z ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .16.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF的面积为3-，则AB =________，sin△BEC =________.四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =___________，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =___________，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值.南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式【解析】由题意可知，()321sin105sin6045sin60cos45cos60sin4522224=+=+=⨯+⨯=，故答案选D2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知，()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-，故答案选B . 3.在△ABC 中，角A ､B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c =3：5：7，则其最大角的大小为（）A.60°B.75°C.120°D.150°【答案】C【考点】余弦定理的应用【解析】由题意可知，c 为最大边，且设3,5,7a b c ===，则在ABC 中，由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab+-= 22235712352+-==-⨯⨯，又()0,C π∈，所以23C π=，即最大角的大小为120，故答案选.C 4.托勒密(C.Ptolemy ，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.5736【答案】C【考点】新情景问题下的文化题：三角函数值求解【解析】由题意可知，查表可得3436︒'的正弦值为0.5678，故答案选C.5.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-【答案】A【考点】平面向量的基本定理应用：基底的选取与向量的表示【解析】由题意可知，平面向量的基底不共线，选项B 中，a //b ，所以排除；选项C 中，b =2a ，即a //b ，所以排除；选项D 中，a =-b ，即a //b ，所以排除；选项A 中，a 与b 不共线，则向量m =(-1，3)可以用a 与b 表示出来，所以选项A 正确，故答案选A.6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（）A.1B.1- D.【答案】B【考点】平面向量的数量积运算【解析】在ABC 中，由2AB a =，可得1a =，则()2224242AB AC a a b a a b a b ⋅=+=+⋅=+⋅，且AB AC ⋅=1cos602222AB AC ⋅=⨯⨯=∣，所以422a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，故答案选.B 7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（）A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【考点】三角恒等变换：二倍角公式､诱导公式的应用【解析】由题意可知，22222sin sin sin cos cos2cos 2cos 3633333πππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+--=+-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝2)sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故答案选.B 8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c=+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（） A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 【答案】A【考点】正余弦定理的综合应用：求周长的范围问题【解析】由题意可知，在ABC 中，因为22222222212sin 2sin 2sin ab C S ab C C a b c a b c a b c⋅===+-+-+-，因为()0,C π∈，所以sin 0C >，所以222ab a b c =+-，则由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又()0,C π∈，所以C 3π=，则23A B π+=，在ABC中，由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ====2,,3c a A b ==3B =，所以ABC 周长()434343432sin sin 2sin sin 2sin sin 33333l a b c A B A B A π⎡⎛=++=++=++=+- ⎢⎝⎣143)]2sin sin 2sin cos 24sin 23223226A A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=++=++ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A 5,666πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则ABC 周长(]4sin 24,66l a b c A π⎛⎫=++=++∈ ⎪⎝⎭，故答案选.A 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（）A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立【答案】BC【考点】两角和与差的公式应用【解析】由题意可知，对于选项A ，()1sin17cos13cos17sin13sin 1713sin302+=+==，所以选项A 错误；对于选项()1,cos75cos15sin75sin15cos 7515cos602B +=-==，所以选项B 正确；对于选项C ，当，,36ππαβ==时()1,sin sin sin 1,sin sin sin sin 1362362πππππαβαβ⎛⎫+=+==+=+=> ⎪⎝⎭，所以()sin sin αβα+<，所以sin()sin sin αβαβ+<+成立，所以选项C 正确；对于选项D ，当,22ππαβ==-时()cos cos 1,cos cos 22ππαβαβ⎛⎫+=-=+= ⎪⎝⎭2cos cos 02ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以选项D 错误；综上，答案选.BC 10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =【答案】CD【考点】平面向量的运算律应用【解析】由题意可知，对于选项A ，满足数量积的交换律，所以选项A 正确；对于选项B ，满足数量积的分配律，所以选项B 正确；对于选项C ，a ·b 与b ·c 的结果均为数，则(a ·b )·c 与a ·(b ·c )的方向不一定相同，大小不一定相等，所以选项C 错误；对于选项D ，若a =0，则b 与c 不一定相等，所以选项D 错误；综上，答案选C D. 11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（） A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =，【答案】BCD【考点】解三角形的综合应用【解析】由题意可知，对于选项AB ，因为3A B C =+，且A B C π++=，所以联立解得24,22B C A C ππ+=-=，则2,22B C A C ππ=-=+，又因为()()0,,0,B A ππ∈∈，所以()()()20,20,,20,C C C πππππ⎧-∈⎪⎪⎪+∈⎨⎪∈⎪⎪⎩解得0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以选项A 正确，选项B 错误；对于选项C ，由0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可得sin 0,2C ⎛∈ ⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，当6c b =时，由正弦定理可得，sin 6sin C B =，又22B C π=-，所以sin C ()26sin 6sin 26cos2612sin 2B C C C π⎛⎫==-==- ⎪⎝⎭，则解得2sin 3C =，所以选项D 正确；综上，答案选BCD .12.在下列选项中正确的是（）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数12z =-+，则4112z ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i【答案】ACD【考点】复数的综合应用【解析】由题意可知，对于选项A ，可设z a bi =+，则)222222222||,()2z b a b z a bi a abi b ==+=+=-+，若，22||z z =，则0b =，所以z a R =∈，所以选项A 正确；对于选项B ，设12,z a bi z c di =+=+，则12z z+12z z =-=1212z z z z +=-，则0ac bd +=，而()12(z z a bi c =++()1d ac bd ac bd i ac bd =-++=-，不一定得到120z z =，所以选项B 错误；对于选项C，若12z =-+，所以234111,22z z z =--==-+，所以41111222222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，若()()()()cos25sin25cos6565cos25sin25sin2525sin2525z i isin i icos cos =++=++=-()22sin25cos25sin 25cos 25i i ++=，所以选项D 正确；综上，答案选ACD 第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】17【考点】同角三角函数关系､两角和与差的正切公式【解析】由题意可知，α为锐角，且3cos 5α=，所以4sin 5α==，则sin 4tan cos 3ααα==，所以tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭41tan 11341tan 713αα--===++ 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.【答案】2+【考点】复数的运算以及综合应用【解析】由题意可设，z a bi =+，由122z i --=，可得()122a b i -+-=，2=，即22(1)(2)4a b -+-=，可令12cos ,22sin a b θθ-=-=，所以z ==ϕ=为任意角，且1tan )2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时取到最大值，所以z=2=15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .【考点】正余弦定理在物理上的应用【解析】由题意可知，三个力123,,F F F 平衡，则1F 与2F 的合力F 与3F 等大反向，所以在1OFF 中，由余弦定理可得，2245245cos12061F ==+-⨯⨯⋅=，即3.F =16.如图，在矩形ACD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF 的面积为3AB =________，sin△BEC =________.【答案】【考点】双空题：正余弦定理在平面几何中的应用【解析】由题意，因为120BFE ∠=，所以18012060CFE ∠=-=，则在CEF 中，可得12CEF SEF CF =⋅⋅sin 3CFE ∠=-2EF =，可解得2CF =，在CEF 中，可得132CEF S CF h =⋅⋅=，所以h =231AB -===又12BF CF =，所以1,3BF BC BF CF ==+=，在BEF 中，由余弦定理可得，)222222cos 1)2212cos1206BE BF EF BF EF BFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⋅=，解得BE 6=，在CEF 中，由余弦定理可得，()222222cos 2)222CE CF EF CF EF CFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯)222cos60241]⨯⋅=-==，解得CE =BCE 中，12BCE S BC h =⋅⋅=1sin 2BE CE BEC ∠⋅⋅，则3sin BC h BEC BE CE ∠⋅====⋅ 四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值. 【考点】平面向量的数量积的坐标运算､模的求解【解析】（1）由题意，因为(2,m =--，所以m =所以23cos ,43cos 6m n m n m n π⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=-；（2）由（1）知6m n ⋅=-，所以|2m +()2224441646949n m m n n =+⋅+=⨯+⨯-+=，所以|2m +7n =∣.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.【考点】复数的运算､几何意义【解析】（1）由题意可设z a bi =+，则(),333z a bi z i a bi i a b i =-+=-+=+-，又因为3z i +为实数，所以3b =，因为z =2245a b +=，解得6a =±，所以63;z i =±+（2）若z 和2()z mi +在复平面内对应的点都在第一象限，则()22263,()(63)36(3)123z i z mi i mi m m i =++=++=-+++，所以有236(3)0m -+>，且()1230m +>，解得一33m <<，则实数m 的取值范围为()3,3.- 19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】在ABC 中，因为()cos cos B A C C +-=，且A B C π++=，所以()()cos cos A C A C C -++-=，即2sin sin A C C =，又因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以sin 2A =，在ABC 中，由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3A π=，选△：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即214964162b b =+-⨯，解得3b =或5b =，所以1sin 2ABC S bc A ==或103；选△：sin 84c A ==≠，故该三角形不存在；选△：由512B π=可得，4C A B ππ=--=，则由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即sin sin c A a C ==且5sin sin sin sin cos cos sin 12464646B πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 824224ABC S ac B ==⨯⨯=+20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 【考点】三角函数的图像与性质､三角恒等变换给值求值问题【解析】（1）由题意，()1cos212cos212sin 2126f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为22;2T πππω=== （2）由（1）知()2sin 21,6f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以方程()52f x =可化为：3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由12,x x 为方程3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根可得，13sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭且23sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内122266x x πππ+++=，解得123x x π+=，即123x x π=-，所以()1222223cos cos cos 2sin 23364x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =①，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =②，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.【考点】开放性试题：两角和的正弦公式证明【解析】（1）由题意可知，在直角三角形PHM 中，sin cos sin ;PM PH βαβ=⋅=在直角三角形HQT 中，QT =()()sin sin HQ αβαβ⋅+=+（2）由题意可知，在ABE 中，cos cos ,sin sin BE AE AB AE ββββ=⋅==⋅=，且AB BE ⊥，所以11sin cos 22ABE S AB BE ββ=⋅⋅=，在ADE 中，()ADE ∠παβ=-+，所以()()11111sin sin 222ADE S AE DE παβαβ⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅⋅-+=+⎣⎦，在CDE 中，cos cos ,sin sin CE DE CD DE αααα=⋅==⋅=，所以11sin sin cos 22CDE S DE CE ααα=⋅⋅⋅=，又()()()()()111sin sin cos cos 222ABCD S AB CD BC AB CD BE CE βαβα=⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅+⋅+四边形，所以()()()12111sin sin cos cos sin cos sin sin cos 222βαβαββαβαα⋅+⋅+=+++，化简可得，()sin sin cos cos sin .αβαβαβ+=+得证.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值. 【考点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量共线的充要条件、基本不等式综合应用【解析】（1）当2,3a b ==时()(),2,3,3,0OB OC =-=-，所以()()()()()()2,31,41,1,3,01,44,4AB OB OA AC OC OA =-=---==-=---=-则()()()1,14,414140AB AC ⋅=⋅-=⨯-+⨯=，所以cos ,0AB AC AB AC AB AC ⋅==；（2）若,,A B C 三点共线，则//AB AC ，又因为()()()()()(),31,41,1,,01,41,4AB OB OA a a AC OC OA b b =-=---=-=-=---=--，则()()14110a b -⨯-⨯--=，解得43a b +=，则4133a b +=，因为0,0a b >>，所以130,0a b>>，所以131344474712333333a b a b a a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当43a b b a =，即b =时取等号，所以13a b +。

2023-2024学年江苏省南京市高一下学期期中联考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．在ABC 中，若2,a b c ===C ∠=（）A ．π3B ．5π12C ．π2D ．2π3【正确答案】D【分析】利用余弦定理可求答案.【详解】因为2,a b c ===22244121cos 22222a b c C ab +-+-===-⨯⨯；因为()0,πC ∈，所以2π3C =.故选：D.2．已知向量()()4,2,,3a b m =-= ，若a b ⊥，则m =（）A ．6B ．6-C ．32-D ．32【正确答案】D【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数m .【详解】由题设，460m -+=，可得32m =.故选：D3．tan5tan25tan25︒+︒+︒︒结果为（）A ．B ．3C D ．3-【正确答案】B【分析】由tan 30tan(525)︒=︒+︒及和角正切公式展开整理，即可得结果.【详解】由tan 5tan 25tan 30tan(525)1tan 5tan 253︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，所以tan 5tan 25tan 5tan 2533︒+︒+︒︒=.故选：B4．已知向量,a b 满足15a b ⋅= ，且()3,4b =- ，则a 在b 上的投影向量为（）A ．68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．912,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】向量a 在向量b上的投影向量的定义计算即可.【详解】解：因为向量()3,4b =- ，且15a b ⋅= ，那么5b = ，所以向量a 在向量b上的投影向量为()3,4912cos ,555b a b a a b bb-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭，，故选：C.5．已知5πcos 1225α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．13B ．13-C ．35D ．35-【正确答案】C【分析】应用诱导公式可得πsin()122α-=πcos 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭即可.【详解】由5ππππcos cos[()]sin()1222122122ααα⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭所以2ππ13cos 12sin ()12612255αα⎛⎫-=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：C6．已知向量,a b 均为单位向量，且a b ⊥，向量c 满足2c = ，则()()2c a c b -⋅- 的最大值为（）A ．B ．C ．4+D ．4+【正确答案】C【分析】设2a b e +=，由条件可知e= c e ⋅≥- .【详解】设2a b e +=，则易知e 0a b ⋅= ，所以()()()22224c a c b c a b a b c c e -⋅-=+⋅-+⋅=-⋅ ，因为cos c e c e c e ⋅=⋅⋅≥-()()24c a c b -⋅-≤+ 所以()()2·c a c b --最大值为4+故选：C.7．已知π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5cos23θ=，则tan θ=（）AB CD【正确答案】A【分析】由万能公式可得221tan cos 21tan θθθ-=+，根据已知得方程求tan θ即可.【详解】由222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan 3θθθθθθθ--===++，所以2233tan tan θθ-，则2tan θ=由π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3tan 2θ=.故选：A8．如图，四边形ABCD 四点共圆，其中BD 为直径，π5,4,3AB BC ABC ∠===，则ACD 的面积为（）A ．BC ．3D 【正确答案】B【分析】应用余弦定理求得AC BD =，最后由共圆、三角形面积公式求面积.【详解】由22212cos 2516220212AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯=，即AC =，所以题图圆的直径2sin AC r ABC==∠，故BD =π2BAD BCD ∠=∠=，所以AD ==，CD ==由四边形ABCD 四点共圆，故2ππ3ADC ABC ∠∠=-=，所以1sin 22ACD S AD CD ADC =创�.故选：B二、多选题9．已知,,a b c 是三个非零向量且,,a b c互不共线，则下列结论正确的是（）A ．若a c b c ⋅=⋅，则a b= B ．||||||a b a b -<-C ．||||a b a b +=- ，则a b⊥ D ．()2222||||2||||a b a b a b ++-=+ 【正确答案】BCD【分析】A 由||cos ,||cos ,a a c b b c =即可判断；B 、C 、D 应用向量数量积的运算律、向量垂直表示判断正误.【详解】A ：由a c b c ⋅=⋅ 知：||cos ,||cos ,a a c b b c = ，不一定有a b = ，错误；B ：222||2a b a a b b -=-⋅+ ，而222(||||)2||||a b a a b b -=-+ ，由于22||||cos ,2||||a b a b a b a b ⋅=< ，则22||||a b a b -⋅>-，所以2||a b -> 2(||||)a b - ，故||||||||a b a b -<-，正确；C ：由22||||a b a b +=-，则222222aa ab b a b b-= ，可得0a b ⋅= ，所以a b ⊥，正确；D ：()2222222222||||222()2||||a b a b a a b b a a b b a b a b ++-=+⋅++-⋅+=+=+，正确.故选：BCD10．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，222b c a +-且b =，则下列关系可能成立的是（）A ．a c =B ．b c =C ．b =D ．222a cb +=【正确答案】ACD【分析】利用条件直接得到a c =，从而可判断出选项C 和D 也正确，从而得出结果.【详解】因为222b c a +-，b =，将b =代入222bc a +-，得到2220a ac c -+=，所以a c =，故b ，22222a c c b +==，故选：ACD.11．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（）A ．每一个直角三角形的面积为54B ．3sin 3cos 2βα-=C ．3sin 3sin 2βα-=D ．()5cos 18αβ-=【正确答案】AC【分析】根据大小正方形的面积可得边长，由锐角三角函数以及边角关系可求cos si 23n αα-=，sin co 23s ββ-=，且cos sin αβ=，sin cos αβ=，进而利用两角差的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A ，4个直角三角形的面积之和为94=5-，故每个直角三角形的面积为54，故A 正确，对于BC,由题意可知大的正方形的边长为3，小正方形的边长为2，可得3sin 3cos 2ββ-=,由于αβ，互余，所以3sin 3sin 2βα-=，故B 错误，C 正确，对于D ，3cos 3sin 2αα-=，①，3sin 3cos 2ββ-=，②，且cos sin αβ=，sin cos αβ=，()()2249cos sin 9sin cos 9cos cos 9sin sin 9sin 9cos 9cos 99cos αβαβαβαβββαβαβ=+--=+--=--,故5cos()9αβ-=，故D 错误，故选：AC12．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在,R λμ∈使BM AB AC λμ=+，则,λμ的取值可能是（）A ．31,510λμ=-=B ．31,2λμ==-C ．92,105λμ=-=D ．73,105λμ=-=【正确答案】AC【分析】令BD mBC = 且[0,1]m ∈，根据向量对应线段的位置、数量关系用,AB AC 表示BM，进而得到m 与,λμ关系，最后求,λμ范围和数量关系，即可得答案.【详解】令BD mBC =且[0,1]m ∈，而11()()22BM BA BD BA mBC =+=+ ，又BC BA AC =+ ，则11[()]222BA AC m m BM BA m AB AC +=+=-++，所以122m mλμ+⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1[1,]2λ∈--，1[0,2μ∈且12λμ+=-，故A 、C 满足，B 、D 不满足.故选：AC关键点点睛：利用平面向量基本定理得到,AB AC 与BM的线性关系为关键.三、填空题13．已知锐角α，β满足sin α25，cos β1010α＋β＝_____.【正确答案】34π【分析】由已知求出cos ,sin αβ，再根据和的余弦公式求出()cos αβ+，即可求出.【详解】因为锐角α，β满足sin α255，cos β＝1010，25cos 1sin 5αα∴-2310sin 1cos 10ββ=-=，()510253102cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ∴+=-=⨯-⨯=-，,αβ 为锐角，0αβπ∴<+<，34παβ∴+=.故答案为.34π14．已知向量,,a b c 满足3250a b c ++=，且||2,||4,||2a b c === ，则a 与b 的夹角为__________.【正确答案】2π/90°【分析】利用向量数量积的运算律可得222912425a a b b c+⋅+= ，结合已知、向量数量积定义求夹角即可.【详解】由题设325a b c +=- ，则2222(32)912425a b a a b b c +=+⋅+= ，所以3696cos ,64100a b ++= ，则cos ,0a b =，又,],0π[a b ∈ ，则π,2a b = .故π215．已知()3cos 24cos 0αββ++=，则()tan tan αβα+=__________.【正确答案】7-【分析】由()cos 2cos[()]αβαβα+=++、cos cos[()]βαβα=+-，结合和差角余弦公式可得()()cos 2cos 2cos cos αββαβα++=+，从而得到()()7cos cos sin sin αβααβα+=-+，由此得解.【详解】()cos 2cos[()]cos()cos sin()sin αβαβααβααβα+=++=+-+，cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++，所以()()cos 2cos 2cos cos αββαβα++=+，由于()()()3cos 24cos 8cos cos cos 20αββαβααβ++=+-+=，所以()()()8cos cos cos cos sin sin αβααβααβα+=+-+，故()()7cos cos sin sin αβααβα+=-+，则()tan tan 7αβα+=-.故7-16．如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心，AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+的最小值为__________.【正确答案】3-【分析】连接,,,PD AP PC PB ，根据向量的线性关系及数量积的运算律可得()23322PA P PD PB PC A AB PA AD ⋅+=+⋅+⋅+ 2AD ，设BAP θ∠=得到()PD PB PC ⋅+ 关于θ的三角函数形式，求最小值.【详解】如下图，连接,,,PD AP PC PB ，则PB PA AB =+ ，12PC PD DC PD AB =+=+，PD PA AD =+，又AB AD ⊥，所以()23()(23322)2PA AD P PD P A AB AD PA PA AB PA AD B PC ⋅+=+++⋅=+⋅+⋅+ 2AD ，若BAP θ∠=，故()π33cos(π)3cos()33(cos sin )2PD PB PC θθθθ⋅+=+-++=-+ π332)4θ=-+，又π[0,]2θ∈，则ππ3π[,]444θ+∈，故π2sin()[,1]42θ+∈，所以()PD PB PC ⋅+ 的最小值为332-故332-四、解答题17．已知||4,||2,,a b a b ==的夹角为2π3，(1)求3a b + 的值；(2)当k 为何值时，()()2a b ka b +⊥- .【正确答案】(1)231(2)12【分析】（1）利用向量的数量积公式及向量的模公式即可求解；（2）根据（1）的结论及向量垂直的条件即可求解.【详解】（1）因为||4,||2,,a b a b ==的夹角为2π3，所以2π1cos42432a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.所以()222239694642231a b a a b b +=+⋅+⨯+⨯-+= .（2）由（1）知，4a b ⋅=- ，||4,||2a b ==，因为()()2a b ka b +⊥-，所以()()20a b ka b +⋅-= ，即22022a b k k a b b a ⋅+⋅--= ，所以081864k k --+=，解得12k =.所以当12k =时，()()2a b ka b +⊥- .18．已知函数()2sin sin 2πf x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期；(2)若π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的值域.【正确答案】(1)π(2)10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）将函数化简为()π1sin 262f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用周期公式求解；（2）由π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到ππ2π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）∵()21cos 2sin sin sin cos 22πf xx x x x x x -⎛⎫+--⎝⎪⎭1112cos 2sin 222262πx x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（2）∵π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ2π2,663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴π1sin 2,162x ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，∴()10,2f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.∴()f x 的值域为10,2⎛⎤⎥⎝⎦.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ABC 的面积为S 且221sin 2S a b C⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)证明：2a b =；(2)若3cos 2a Cb =，求cos A .【正确答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据三角形面积公式及已知可得222ab a b =-，即可证结论；（2）由（1）结论及余弦定理得2223cos 42a b c C ab+-==，求得c =，最后应用余弦定理求cos A .【详解】（1）由in 12s S ab C =，结合已知有221sin 21sin 2a b C ab C ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，而sin 0C >，所以222ab a b =-，则22(2)(2)0a a ab b b b a =-+-=-，故2a b =或a b =-（舍），所以2a b =，得证.（2）由题设及（1）结论，32cos 2b C b =，即2223cos 42a b c C ab+-==，所以222222234322c a b ab b b b b =+-=+-=，则c =，所以222cos 4A ==-.20．在ABC中，b =cos sin B b C =；条件②22cos a c b C -=，两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.(1)若2a =，求ABC 的面积；(2)若ABC 为锐角三角形，求a c +的取值范围.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)面积为(2)(6,【分析】（1）由所选条件，应用正弦边角关系、三角形内角性质及三角恒等变换求得π3B =，再应用正弦定理求角A ，最后求出三角形的面积；（2）由题设及（1）得2π4[sin sin()]3a c A A +=+-，应用三角恒等变换化简，注意求A 的范围，根据正弦型函数性质求范围即可.【详解】（1cos sin sin =C B B C ，又sin 0C >，则tan B =由(0,π)B ∈，故π3B =，根据4sin sin a b A B ==，而2a =，故1sin 2A =，(0,π)A ∈，所以π6A =或5π6A =（舍），综上，π2C =，则ABC的面积为12ab =选②：2sin sin 2sin()sin 2sin cos A C B C C B C -=+-=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C C B C +-=，则2cos sin sin B C C =，由sin 0C >，则1cos 2B =，(0,π)B ∈，可得π3B =，根据4sin sin 2a b A B ==，而2a =，故1sin 2A =，(0,π)A ∈，所以π6A =或5π6A =（舍），综上，π2C =，则ABC的面积为12ab =（2）由（1），4sin sin sin 2a cb A C B ===，则4sin ,4sin a Ac C ==，且2π3A C +=，所以2π14(sin sin )4[sin sin()](cos )322a c A C A A A A +=+=+-=+πsin()6A =+，又ABC 为锐角三角形，π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，故ππ2π(,633A +∈，所以πsin()6A +∈，则(6,a c +∈.21．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2224cos a c b AB CB B+-⋅= .(1)求B ；(2)若,3AC BC BC ⊥=，角B 的平分线交AC 于点D ，点E 满足BD DE = ，求sin AEC ∠.【正确答案】(1)π3B =(2)14【分析】（1）由数量积的定义及余弦定理可得2o 2cos c s B B =，即可求角大小；（2）根据（1）及已知可得6AB =，AC =CD =BD DE ==，π3AEB ∠=，最后应用余弦定理求cos CED ∠及其正弦值，再由sin sin()AEC AEB CED ∠=∠+∠即可求值.【详解】（1）由222|||4cos |cos cos a c b AB CB AB CB BB ac B +-⋅=== ，所以22222cos cos 2a c b B B ac+-==，故1cos 2B =或cos 0B =（舍），又(0,π)B ∈，故π3B =.（2）由题设，D 为BE 中点，而,3AC BC BC ⊥=，π3B =，则6AB =，AC =又角B 的平分线交AC 于点D ，则π6ABD CBD ∠=∠=，所以CD =BD DE ==，则AD =BD DE AD ==，所以△EAB 为直角三角形且EAB ∠为直角，故π3AEB ∠=，而222π2cos 48936216CE BE BC BE BC =+-⋅=+-=，所以222cos214CE DE CD CED CE DE +-∠==⋅，则sin 14CED ∠=，综上，sin sin()sin cos cos sin AEC AEB CED AEB CED AEB CED ∠=∠+∠=∠∠+∠∠121421414=⨯+=.22．如图所示的矩形ABCD 中，,E F 分别为线段,AB BC 上的动点.(1)若E 为靠近A 的三等分点，F 为BC 的中点，且2AB xEF yBD =+ ，求x y +的值；(2)若DEF 是边长为1的正三角形.（i ）令DCF 、ADE V 、FEB 的面积分别为1S ，2S ，3S ，证明：123S S S +=；（ii ）求矩形ABCD 面积的最大值.【正确答案】(1)914(2)（i ）证明见解析；（ii ）24【分析】（1）根据各向量对应线段的位置、数量关系用,EF BD 表示AB ，即可求x y +；（2）（i ）应用三角形面积公式，并设CDF θ∠=及已知可得1sin 24S θ=、2sin(602)4S θ︒-=、3sin(1202)4S θ︒-=，应用三角恒等变换、诱导公式求证123S S S +=；（ii ）根据（i ）得32ABCD DEF S S S =+ ，再由030θ︒<<︒及正弦型函数性质求范围.【详解】（1）由2AB AD DB BC DB BF DB =+=+=+ ，23BF BE EF BA EF =+=+，所以242()233AB BA EF DB AB EF BD =⨯++=-+- ，则6377AB EF BD =- ，结合已知：67327x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则67314x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故914x y +=.（2）（i ）由11sin 2S DC DF CDF =⋅∠，21sin 2S DA DE ADE =⋅∠，31sin 2S EF EB FEB =⋅∠，由DEF 是边长为1的正三角形，而30CDF ADE ∠+∠=︒，90ADE AED ∠+∠=︒，120FEB AED ∠+∠=︒，令CDF θ∠=，则30ADE θ∠=︒-，60FEB θ∠=︒-，所以cos cos DC DF θθ==，cos(30)cos(30)DA DE θθ=︒-=︒-，cos(60)cos(60)EB EF θθ=︒-=︒-，综上，11sin 2cos sin 24S θθθ==，21sin(602)cos(30)sin(30)24S θθθ︒-=︒-︒-=，31sin(1202)cos(60)sin(60)24S θθθ︒-=︒-︒-=，所以121111[sin 2sin(602)](sin 2cos 2)sin(260)44224S S θθθθθ+=+︒-=+=+︒，而311sin[180(260)]sin(260)44S θθ=︒-+︒=+︒，故123S S S +=，得证.（ii ）由（i ）知：312sin(260)42ABCD DEF S S S θ=+=++︒ ，而030θ︒<<︒，所以60260120θ︒<+︒<︒，则11sin(260)]22θ+︒∈，故ABCD S ∈.当15θ=︒时，矩形ABCD .关键点点睛：第二问，应用三角形面积公式并设CDF θ∠=，用θ表示1S ，2S ，3S ，结合三角恒等变换求证结论；利用三角函数性质求矩形面积范围.。

2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市高一下册期中考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则（）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．A＝B D．∁R A＝B2．复数z＝（i是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（）象限．A．一B．二C．三D．四3．下列函数中，在区间[，]上单调递增的函数是（）A．y＝cos（x﹣）B．y＝sin x﹣cos xC．y＝sin（x+）D．y＝|sin2x|4．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为（）（小数点后保留2位有效数字）α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A．﹣0.42B．﹣0.36C．0.36D．0.426．函数f（x）＝2cos x﹣cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为32D．偶函数，最大值为327．已知均为单位向量，且满足，则的值为（）A．B．C．D．8．锐角△ABC中，（a﹣b）（sin A+sin B）＝（c﹣b）sin C，若a=3，则b2+c2的取值范围是（）A．（9，18]B．（15，18）C．[9，18]D．[15，18]二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．已知复数z满足，则下列结论正确的是（）A ．复数z 的共轭复数为B ．z 的虚部为C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D ．10.已知n ∈N *，则以3，5，n 为边长的钝角三角形的边长，则n 的值可以是（）A 3B6C7D911．对于非零向量，下列命题正确的是（）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列命题正确的是（）A 若a+b =2c ，则C ＞；B 若a +b ＞2c ，则C ＜；C 若a 4+b 4＝c 4，则C ＜；D 若（a 2+b 2）c 2＜2a 2b 2，则C ＞．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量＝（4，﹣3），＝（x ，6），且∥，则实数x 的值为．14．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）（x 0＞0）成中心对称，则x 0的最小值为．15．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）成中心对称，，则x 0＝．16．设△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ．若b 2+3a 2＝c 2，则＝，tan A 的最大值是．四．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）设，已知向量＝),1α，＝()2,2cos α，且⊥．（1）求sin α的值；（2）求的值．．18．（12分）已知函数的最小正周期为π，且点是该函数图象上的一个最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）把函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得到函数g（x）的图象，g（x）在上是增函数，求θ的取值范围．19．（12分）如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．（1）若，用，表示，；（2）求的取值范围．20．（12分）某地为响应关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB 上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ．（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．21．（12分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b sin＝a sin B．（1）求sin A；（2）如图，点M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积．22．（12分）如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数y＝f（x）使得三个数f（a）、f（b）、f（c）仍为“三角形数”，则称y＝f（x）为“保三角形函数”．（1）对于“三角形数”α、2α、，其中，若f（x）＝tan x，判断函数y＝f（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由；（2）对于“三角形数”α、、，其中，若g（x）＝sin x，判断函数y＝g（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由．答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝sin x，x∈R}，则（）A．A∩B＝B B．A∪B＝B C．A＝B D．∁R A＝B解：B＝{y|﹣1≤y≤1}，A＝{﹣1，0，1}；∴A∩B＝A，A∪B＝B．故选：B．2．复数z＝（i是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（）象限．A．一B．二C．三D．四解：z＝＝＝的共轭复数为在复平面上对应的点位于第一象限．故选：A．3．下列函数中，在区间[，]上单调递增的函数是（）A．y＝cos（x﹣）B．y＝sin x﹣cos xC．y＝sin（x+）D．y＝|sin2x|解：结合余弦函数的单调性及函数图象的平移可知y＝cos（x﹣）在区间[，]上不单调，不符合题意；y＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），结合正弦函数的单调性及函数图象的平移可知，f（x）在区间[，]上单调递增，符合题意；y＝sin（x+），结合正弦函数的单调性及函数图象的平移可知在区间[，]上单调递减，不符合题意；结合正弦函数的图象变换可知y＝|sin2x|在区间[，]上单调递减，不符合题意．故选：B．4．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：法1：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为（）（小数点后保留2位有效数字）α10°20°30°40°50°60°70°80°sinα0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A．﹣0.42B．﹣0.36C．0.36D．0.42解：tan1600°＝tan（4×360°+160°）＝tan160°＝﹣tan20°＝﹣＝﹣＝﹣≈﹣0.36．故选：B．6．函数f（x）＝2cos x﹣cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为32D．偶函数，最大值为32解：由题意，f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣cos（﹣2x）＝cos x﹣cos2x＝f（x），所以该函数为偶函数，又f（x）＝2cos x﹣cos2x＝﹣2cos2x+2cos x+1＝﹣2（cos x﹣12）2+32，所以当cos x＝12时，f（x）取最大值32．故选：D．7．已知均为单位向量，且满足，则的值为（）A．B．C．D．解：由，则，同理，又＝1，则，＝＝，故选：B．8．锐角△ABC中，（a﹣b）（sin A+sin B）＝（c﹣b）sin C，若a=3，则b2+c2的取值范围是（）A．（9，18]B．（15，18）C．[9，18]D．[15，18]解：∵（a﹣b）（sin A+sin B）＝（c﹣b）sin C，由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2＝bc．由余弦定理可得：cos A＝＝＝，∴A为锐角，可得A＝，∵3，∴由正弦定理可得：∴可得：b2+c2＝（B）2（﹣B）]2＝3+2sin2B+sin2B＝1-2cos（2B﹣），∵B∈，可得：2B﹣∈，∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：b2+c2＝4+2sin（2B﹣）∈（15，18]．故选：D．二．多选题（共4小题）,z z满足z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i，则（）9．已知复数12A．z1=4+iB．|z2|C．2z1+z2为纯虚数-z1.zz12=-2+9i解：因为z1+z2=3-i,z1-z2=5+3i，，所以z1=4+i，z2=-1-2i故A正确；对于B，|z2|故B正确；对于D z1.zz2=（z1=4+i）（-1-2i）=-2-9i，，故D错误．故选：AB．10.已知n∈N*，则以3，5，n为边长的钝角三角形的边长，则n的值可以是（）A3B6C7D9解：钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，由题意，当5为钝角三角形的最大边时，有：32+n2＜52，解得：0＜n＜4，由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，所以2＜n＜4，由于n∈N*，此时，n＝3；当n为钝角三角形的最大边时，有：32+52＜n2，解得：＜n，由三角形三边关系可得，得2＜n＜8，所以，由于n∈N*，此时，n＝6，7；故BC．11．对于非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则解：对于A选项：若，则，故A选项错误；对于B选项：若，则，故0＝0满足，故B选项错误；对于C选项：若＝0，则不可说明，故C选项错误．对于D选项：若，则，化简得，故D选项正确；故选：BD．12．设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是（）A若a+b=2c，则C＞；B若a+b＞2c，则C＜；C若a4+b4＝c4，则C＜；D若（a2+b2）c2＜2a2b2，则C＞．解：对于A，若a+b=2c，根据余弦定理，可得cos C＝≥，结合C为三角形的内角，可得C>，故正确；对于B，若a+b＞2c，根据余弦定理，可得c2＝a2+b2﹣2ab cos C，∴4c2＝4（a+b）2﹣8ab（1+cos C）＜（a+b）2，可得3（a+b）2＜8ab（1+cos C），结合2≤a+b，得到12ab≤3（a+b）2，∴12ab＜8ab（1+cos C），解得cos C＞，结合C为三角形的内角，可得C＜，故正确；对于C，若a4+b4＝c4，则（a2+b2）2＝c4+2a2+b2＞c4，∴a2+b2＞c2，可得cos C＝＞0，得C＜，故正确；对于D，取a＝b＝2，c＝1，可得（a+b）c＜2ab、（a2+b2）c2＜2a2b2成立，但C为最小角，必定是锐角且小于，故C＞与C＞圴不正确，得D是错误故选ABC三．填空题（共4小题）13．已知向量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，则实数x的值为﹣8．解：∵量＝（4，﹣3），＝（x，6），且∥，则4×6﹣（﹣3）x＝0．解得：x＝﹣8．故﹣8．14．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）（x0＞0）成中心对称，则x0的最小值为．解：设函数f（x）的周期为T，由已知，故T＝π，所以ω＝2．因为该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，所以，又x0∈（0，+∞），所以．故答案是：．15．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x0，0）成中心对称，，则x0＝．解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴＝π，∴ω＝2∴f（x）＝sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）＝0，即sin（2x0+）＝0，∴2x0+＝kπ，∴x0＝﹣，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0＝．故．16．设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．若b2+3a2＝c2，则＝﹣2，tan A的最大值是．解：设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．b2+3a2＝c2，可得C为钝角，∴b2﹣c2＝﹣3a2，∴则＝＝＝＝＝﹣2．∴tan C＝﹣2tan B，∴tan A ＝tan[π﹣（B +C ）]＝﹣tan （B +C ）＝＝＝．∵tan B ＞0，可得≥2，当且仅当tan B ＝时等号成立，∴tan A ＝≤，当且仅当tan B ＝时等号成立，可得tan A 的最大值是，故﹣2，．四．解答题（共6小题）17．设，已知向量＝),1α，＝()2,2cos α，且⊥．（1）求sin α的值；（2）求的值．解：（1）∵＝),1α，＝()2,2cos α，且．∴1cos 022αα+=，∴22sin cos 1αα+=，1sin 2α=（2）由（1）得，，∵，∴，∴，则＝＝．18．已知函数的最小正周期为π，且点是该函数图象上的一个最高点．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）把函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得到函数g（x）的图象，g（x）在上是增函数，求θ的取值范围．解：（1）由已知得A＝2，，故f（x）＝2sin（2x+φ），所以2sin（）＝2，故sin（）＝1，得＝，k∈Z，又|φ|，故k＝0时，即为所求，故f（x）＝2sin（2x+）．（2）函数f（x）的图象向右平移θ个单位长度，得g（x）＝2sin[2（x ﹣θ）]，令t＝2x，则y＝g（x）化为y＝2sin t，因为，故t∈[，]，所以g（x）在上是增函数，即y＝2sin t在[，]上单调递增，又因为，所以t∈（，]，仅包含y＝sin t的单调递增区间[﹣]，故要使原函数在[0，]上单调递增，只需，解得，故所求θ的取值范围是[]．19．如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．（1）若，用，表示，；（2）求的取值范围．解：（1）由题知△BOC，△AOC均为等边三角形，所以四边形OACB为菱形．所以，所以，，（2）设，则，x∈[0，1]，∴，，∴，∵x∈[0，1]，∴当，上式最小值为；当x＝0或1时，上式最大值为2，∴的取值范围．20．某地为响应关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形OAB的半径为200米，圆心角∠AOB＝60°，点Q在OA上，点M，N在OB上，点P在弧AB上，设∠POB＝θ．（1）若矩形MNPQ是正方形，求tanθ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P点处向OA，OB修建两条观赏通道PS和PT（宽度不计），使PS⊥OA，PT⊥OB，其中PT依PN而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS+PT最长，试问：此时点P应在何处？说明你的理由．（本题满分为14分）解：（1）在Rt△PON中，PN＝200sinθ，ON＝200cosθ，在Rt△OQM中，QM＝PN＝200sinθ，…（2分）OM＝＝＝，所以MN＝0N﹣OM＝200cosθ﹣，…（4分）因为矩形MNPQ是正方形，∴MN＝PN，所以200cosθ﹣＝200sinθ，…（6分）所以（200+）sinθ＝200cosθ，所以tanθ＝＝＝．…（8分）（2）因为∠POM＝θ，所以∠POQ＝60°﹣θ，∴PS+PT＝200sinθ+200sin（60°﹣θ）＝200（sinθ+cosθsinθ）…（10分）＝200（sinθ+cosθ）＝200sin（θ+60°），0°＜θ＜60°．…（12分）所以θ+60°＝90°，即θ＝30°时，PS+PT最大，此时P是的中点．…（14分）21．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，b sin＝a sin B．（1）求sin A；（2）如图，点M为边AC上一点，MC＝MB，∠ABM＝，求△ABC的面积．解：（1）∵b sin＝a sin B，∴，∴，由正弦定理，可得，∵sin B≠0，∴，，∵，∴，则，∴＝．（2）cos A＝，∵MB＝MC，∴∠MBC＝∠MCB，∵，∴，则2C＝，∴sin2C＝＝，又sin∠ABC＝sin（π﹣C﹣A）＝sin（A+C）＝，∴在△ABC中，由正弦定理，可得，∴，c＝，∴＝×＝＝．22．如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数y＝f（x）使得三个数f（a）、f（b）、f（c）仍为“三角形数”，则称y＝f（x）为“保三角形函数”．（1）对于“三角形数”α、2α、，其中，若f（x）＝tan x，判断函数y＝f（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由；（2）对于“三角形数”α、、，其中，若g（x）＝sin x，判断函数y＝g（x）是否是“保三角形函数”，并说明理由．解：（1）设tanα＝p，因为，则，所以，＝，因为，则，因为1﹣p2＞0且，所以﹣p3﹣p2+p＞0，故f（α），f（2α），f（）能构成三角形，所以f（x）＝tan x是“保三角形函数”；（2），，当时，sin（）最大，且sinα＞cosα，故sinα+sin（）＝，当时，sin（）最大，sinα+sin（）＝，综上所述，f（α），f（），f（）能构成三角形，所以f（x）＝sin x是“保三角形函数”．。

(苏科版)南京市鼓楼区2018-2019学年高一下期中考试数学试题(附答案)

高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝．4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝．5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝．7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝．8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝．9．若关于x 的不等式1＋k x －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝． 10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1 a n＝5(n ∈N *)，则a 1＝． 11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b＝2，则a ＋b 的最小值是． 12．下列四个数中，正数的个数是．①b ＋m a ＋m －b a，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ； ④x 2＋3x 2＋2－2，x ∈R .13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan C tan B ＝1，则a 2＋b 2c 2＝．14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )．(1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在0＜x ≤π3的条件下，求f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12. (1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA ＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1 1＋a n， n ∈N *. (1)证明：若a n ＜5－12，则a n ＋1＞5－12； (2)回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N ，当n ≥N 时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0.001恒成立?高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 6 －24 2．12 3．－45 4． 2 5．－14 6．12 7．80 8．1 9．3 10．12 11．12(3＋22) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t ＝3时，不等式f (x )＞0与不等式x 2－4x ＋3＞0同解，得(x －1)(x －3)＞0， ……………………………………… ........................3分不等式f (x )＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分(2)不等式f (x )≥0对一切实数x 成立等价于△＝(t ＋1)2－4t ≤0，........................10分即(t －1)2≤0，即t ＝1． ........................14分16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1， …… ........................6分所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分 (2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6， …........................10分函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数， f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]． ........................14分 17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12， ........................4分 ∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3; ........................7分 (2) 由c 2＋42－2×c×4 cos π3＝52 及c ＞0得c ＝2＋13， ........................11分 △ABC 的面积S △ABC ＝12×4×(2＋13)×sin π3＝23＋39． .........................14分 18．(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1 (a 1＋4d )，∴d ＝0，或d ＝2 a 1， ........................4分当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30， ........................6分当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， .........................8分 ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ， ........................12分当n ≤5时，b n ＞0，当n ≥6时，b n ＜0，当n ＝5时，S n 最大，S n 最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3, 在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝2π3， 200sin 2π3＝MN sin θ＝OM sin(π3－θ)， ........................4分 ∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)， ........................8分 MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)] ＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)， ........................13分 ∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3， ∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大， MN ＋OM 最大，最大值是40033m ． ........................16分 20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12，则a n ＋1＝1 1＋a n ＞1 1＋5－12＝5－12; ........................4分 (2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12， ........................6分则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜1 1＋a n －1 1＋a n －1｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)， ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋a n＜1 ( n ∈N *)， ∴n ≥2时， a n ＝1 1＋a n －1＞12，又a 1＝12， ∴n ≥2时， (1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋1 1＋a n －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分 ∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜ ≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1， ........................12分数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001，只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，即｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0．001成立． ........................16分。

江苏省高一下学期期中数学试题(解析版)

离为（）
A. 3 海里
B. 4 海里
C. 6 海里
D. 7 海里
【答案】D
【解析】
【分析】由条件画出简图，得出 BCA 120 ，在 ABC 中，由余弦定理即可求出 AB 的长．
【详解】根据题意画出简图，如图所示，
可知 BCA 180 (40 20) 120 ，
在 ABC 中， AC 5 ， BC 3，
AB2 BC2 AC2 2 BC AC cos BCA 32 52 2 3 5 cos120 49 ，
解得 AB 7 ，故选：D．
2. 下列说法正确的是（） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有 2 个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台 C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
【答案】ACD 【解析】
【分析】根据复数的运算、复数的概念、复数模的几何意义判断各选项．
【详解】 z i3 i ，所以 z i ，A 正确； z 1 1 1 i ，虚部是 1，B 错误；
i z a ai, (a R) ，若 a 0 ，则 z 0 是实数，若 a 0 ，则 z a ai 是虚数，不是纯虚数，C 正确； z i 1 ，则复数 z 对应的点 Z 在以( 0, 1) 为圆心，1 为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值
因为 tan(B C) tan( A) tan A ，所以 tan B tan C tan A tan B tan C tan A ，
所以 tan A tan B tan C tan A tan B tan C ，D 正确.
g(x)
10
sin
π 3
x
π 2
10 cos π x ， 3
所以 g(0) 10 .

2017-2018学年度高一第二学期江苏省南京市鼓楼金陵中学数学期中试卷与解析

9.
若 sin

2
cos

2

2 2 ，则 cos 2 的值为 3
10. 已知数列 an 为等差数列，首项 a1 3 ，公差 d 2 ，设其前 n 项和为 S n ，若 Sk 5 ，则正整数 k 的值为．．
11. 若对任意的 x 0,3 ，不等式 x2 ax 4 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
m．
D
A
B
C
6. 7.
不等式 x 1 x 2 0 的解集为
．
a30 的值
在等差数列 an 中，设其前 n 项和为 S n ，若 S10 31 ， S20 122 ，则 a21 a22 为．
8.
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还． ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．经计算可得，该人第二天走了里．．
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12. 在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ．若 B
BA BC 的值为
π ， b 3 1 ，且 a, b, c 成等差数列，则 6
．
1 8 1 ，则 x y 的最小值为 x y x 2y
13. 若实数 x, y液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于 4(克/升)时，它才能有效． ⑴ 若只投放一次 4 个单位的营养液，则有效时间可能达几天？ ⑵ 若先投放 2 个单位的营养液，3 天后投放 b 个单位的营养液．要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效，试求 b 的最小值．

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高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝．4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝．5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝．6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝．7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝．8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝．9．若关于x 的不等式1＋k x －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝． 10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1 a n＝5(n ∈N *)，则a 1＝． 11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b＝2，则a ＋b 的最小值是． 12．下列四个数中，正数的个数是．①b ＋m a ＋m －b a，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ； ④x 2＋3x 2＋2－2，x ∈R . 13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan C tan B ＝1，则a 2＋b 2c2＝．14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )．(1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在0＜x ≤π3的条件下，求f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12. (1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA ＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1 1＋a n， n ∈N *. (1)证明：若a n ＜5－12，则a n ＋1＞5－12； (2)回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N ，当n ≥N 时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0.001恒成立?高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 6 －24 2．12 3．－45 4． 2 5．－14 6．12 7．80 8．1 9．3 10．12 11．12(3＋22) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋2 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t ＝3时，不等式f (x )＞0与不等式x 2－4x ＋3＞0同解，得(x －1)(x －3)＞0， ……………………………………… ........................3分不等式f (x )＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分(2)不等式f (x )≥0对一切实数x 成立等价于△＝(t ＋1)2－4t ≤0，........................10分即(t －1)2≤0，即t ＝1． ........................14分16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1， …… ........................6分所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分 (2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6， …........................10分函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数， f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]． ........................14分 17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12， ........................4分 ∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3; ........................7分 (2) 由c 2＋42－2×c×4 cos π3＝52 及c ＞0得c ＝2＋13， ........................11分 △ABC 的面积S △ABC ＝12×4×(2＋13)×sin π3＝23＋39． .........................14分 18．(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1 (a 1＋4d )，∴d ＝0，或d ＝2 a 1， ........................4分当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30， ........................6分当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， .........................8分 ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ， ........................12分当n ≤5时，b n ＞0，当n ≥6时，b n ＜0，当n ＝5时，S n 最大，S n 最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3, 在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝2π3， 200sin 2π3＝MN sin θ＝OM sin(π3－θ)， ........................4分 ∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)， ........................8分 MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)] ＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)， ........................13分 ∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3， ∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大， MN ＋OM 最大，最大值是40033m ． ........................16分 20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12，则a n ＋1＝1 1＋a n ＞1 1＋5－12＝5－12; ........................4分 (2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12， ........................6分则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜1 1＋a n －1 1＋a n －1｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)， ∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋a n＜1 ( n ∈N *)， ∴n ≥2时， a n ＝1 1＋a n －1＞12，又a 1＝12， ∴n ≥2时， (1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋1 1＋a n －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分 ∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜ ≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1， ........................12分数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001，只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，5－12｜＋｜a n＋1－5－12｜＜0．001成立．........................16分即｜a n－。