高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案
高中数学 2.5简单的幂函数教案 北师大版必修1
5.简单的幂函数一、教材的地位和作用：《简单的幂函数》北师大版必修1第2章第5节的内容。
是对学生学习了正、反比例函y 及其他们的图像和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析数和二次函数2x式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。
二、教学目标：（1）知识与技能目标：①理解幂函数的概念②通过几个幂函数的图象，理解函数奇偶性的概念③会利用定义判定、证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像的方法（2）过程与方法目标：①通过幂函数解析式共性的观察、培养学生抽象概括和画图与识图能力。
②使学生进一步体会数形结合、转化的思想。
③培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。
（3）情感态度与价值观①通过熟悉的例子消除陌生感引出幂函数的概念，从而引起学生注意，激发学生的学习兴趣。
②利用多媒体，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
三、教学重难点教学重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法教学难点：简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性四、教法学法与教具本节主要采用“发现法”教学。
通过观察函数解析式及函数图像，借助多媒体全方位的审视，由特殊到一般、直观到抽象进行教学，同时也解决时间上的矛盾,突破了难点。
辅助以启发式、演示法教学，通过优化组合，以期达到最佳教学效果。
教具：多媒体 五、教学过程教学程序主要分为五个环节：1、温故知新，引入新课:x y =,xy 1=,2x y = 开门见山 问题：这三个函数解析式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，教师提示，可以改变形式，上述函数式变成：1211y x y x y x x-====，，，（这个教师可直接给出，说明一下，在后面指数函数将详尽讲解）设计意图： 就近区域的理论，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，易保持，且易于迁移到陌生的问题情境中。
高中数学第二章函数2.5简单的幂函数学案北师大版必修107182118
高中数学第二章函数2.5简单的幂函数学案北师大版必修1071821181．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 12的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)[基础·初探]教材整理 1 幂函数阅读教材P49～“例1”结束之间的内容，完成下列问题．1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质图251函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图251所示：从图中可以观察得到：y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)单调性增函数在(－∞，0]上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数增函数增函数在(－∞，0)和…(0，＋∞)上均为减函数定点函数图像均过点(1,1) 下列函数中是幂函数的是( )①y＝1x3；②y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝x15＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥ D．②④⑦【解析】由幂函数的定义：形如y＝x a(a∈R)的函数才是幂函数，则y＝1x3＝x－3，y＝x n是幂函数．【答案】 B教材整理 2 函数的奇偶性阅读教材P49从“可以看出”～P50“练习”以上的有关内容，完成下列问题．1．(1)图像奇函数的图像偶函数．(2)解析式奇函数f(－x)＝－f(x)．偶函数f(－x)＝f(x)．2．奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．( )(2)定义在R上的函数f(x)，若存在x0，使f(－x0)＝f(x0)，则函数f(x)为偶函数．( )(3)函数y＝x2，x∈(－1,1]是偶函数．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]幂函数的概念函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增加的，求f (x )的解析式．【精彩点拨】 先由m 2－m －1＝1求出m 的值，再代入到m 2＋m －3中，找到满足x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增加的m 的值．【尝试解答】 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)是增加的，符合要求；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减少的，不符合要求．因此，f (x )＝x 3.1．形如y ＝x a的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．[再练一题]1．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1是幂函数，且是偶函数，求f (x )的解析式. 【导学号：04100033】【解】 由题意知m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －1＝－1， 函数f (x )＝x －1，不是偶函数； 当m ＝－1时，m 2－2m －1＝2， 函数f (x )＝x 2，是偶函数． 因此，f (x )＝x 2.幂函数的图像和性质点(2，2)与点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－2分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?【精彩点拨】 用待定系数法求出两个函数的解析式，画出两个幂函数的图像，根据数形结合法写出不等式的解集．【尝试解答】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β，则(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图像如图，由图像可知， 当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )＞g (x )； 当x ＝1时，f (x )＝g (x )； 当x ∈(0,1)时，f (x )＜g (x )．研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题.[再练一题]2.已知函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c的图像如图252所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )图252A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】 由幂函数的图像特征知，c ＜0，a ＞0，b ＞0.由幂函数的性质知，当x ＞1时，指数大的幂函数的函数值就大，则a ＞b . 综上所述，可知c ＜b ＜a . 【答案】 A函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝13x 5；(2)f (x )＝3x 2；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.【精彩点拨】 首先要看定义域是否关于原点对称，然后通过f (－x )与f (x )的关系得出结论．对于(4)，要分别在x ＞0和x ＜0的情况下考察f (－x )与f (x )的关系．【尝试解答】 (1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又∵f (－x )＝13－x5＝13－x5＝－13x 5＝－f (x )，∴函数f (x )＝13x 5是奇函数．(2)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝3－x2＝3x 2＝f (x )，∴f (x )＝3x 2是偶函数．(3)易知定义域为{－2,2}，关于原点对称．f (x )＝0，所以满足f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )，所以f (x )既是奇函数又是偶函数．(4)当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )． 综上可知，f (x )为奇函数．利用定义判断函数奇偶性的步骤：1先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.2若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶；若定义域关于原点对称，看f －x 与f x 的关系.3若f －x ＝－f x，则函数是奇函数；若f －x＝f x ，则函数是偶函数；若f －x ＝－f x 且f －x＝f x ，则函数既是奇函数又是偶函数.[再练一题]3．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x －1x；(2)f (x )＝x 4－2x 2； (3)f (x )＝0，x ∈[－2,2)．【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 又f (－x )＝－x －1－x ＝－x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数． (2)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝(－x )4－2(－x )2＝x 4－2x 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)∵f (x )的定义域为[－2,2)，不关于原点对称，故f (x )是非奇非偶函数． [探究共研型]函数奇偶性的应用探究 1 如图y f x f 4)的值．图253【提示】 f (－4)＝－f (4)＝－2.探究 2 定义在R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝x ，求x ＜0时，f (x )的值． 【提示】 x ＜0，即－x ＞0，∴f (－x )＝－x .又f (x )为R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x .已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x . (1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图254所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．图254【精彩点拨】 根据题中条件，当x ＞0时的解析式已知，需求x ≤0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像．【尝试解答】 (1)由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0. 当x ＜0时，－x ＞0，∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ＞0，0， x ＝0，－x 2－2x ， x ＜0.(2)图像如图：利用奇偶性求关于原点对称区间上的解析式：1设出要求区间上的任意一个x ，如x ∈[a ，b ].2转化到已知对称区间上，－x ∈[－b ，－a ]，并代入f －x.,3利用f x 奇偶性，即f －x ＝f x 或f －x ＝－f x ，求f x .4特别地，当奇函数在x ＝0有定义时，f0＝0.[再练一题]4．本例中，若f (x )为偶函数，求f (x )当x <0时的解析式． 【解】 任取x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ， ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋2x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2＋2x1. 下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5xB ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3【解析】 函数y ＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．【答案】 B2. 函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【解析】 ∵函数f (x )＝x 2(x ＜0)的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称， ∴函数f (x )＝x 2(x ＜0)为非奇非偶函数． 【答案】 D3. 在幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1中，定义域为R 的有________个.【导学号：04100034】【解析】 在上述幂函数中，定义域为R 的有y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3. 【答案】 34. 函数f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－1x，则f (－2)＝________.【解析】 ∵f (2)＝4－12＝72，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－72.【答案】 －725. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－1x；(2)f (x )＝x 3－3x ；(3)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (4)f (x )＝2xx ＋1x ＋1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 又f (－x )＝－x 2－1－x ＝－x 2－1x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝(－x )3－3(－x )＝－x 3＋3x ＝－(x 3－3x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (3)函数f (x )的定义域为R .又f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (4)函数f (x )的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．。
09-第四节 函数的奇偶性与简单的幂函数-课时2 简单幂函数的图象和性质高中数学必修一北师大版
知识点2 幂函数的图象和性质 4年3考
3.下列命题正确的是( D )
A.幂函数的图象都经过 0,0 , 1,1 两点
B.当 = 0时，函数 = 的图象是一条直线
C.如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D.如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点 −1,1
【解析】 对于A,幂函数 = 的图象都经过点 1,1 ,当 ≤ 0时,不过点
D.若 > 1，则 > 1
1
,故A正确.
2
1
2
= ,则函数 的定义
1
2
域为[0, +∞),且 为非奇非偶函数,故B,C错误.因为 = > 0,所以函数
1
2
= 在区间[0, +∞)上单调递增,所以当 > 1时, > 1 = 1,故D
正确.
6.有四个幂函数：① = −1 ；② = −2 ；③ = 2 ；
情形,②是 = 2的情形,⑤是 =
1
− 的情形,所以①②⑤都是幂函数；③是
2
常函数,不是幂函数；④中 2 的系数是2,所以不是幂函数.故选C.
【归纳总结】幂函数 = （为常数）具有形式上的严格性，在幂函数
的表达式中，要注意以下四点：
（1） 的系数为1；（2） 的底数是自变量；（3）指数为常数；
−∞, 0 ∪ 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,满足条件；对于②, = −2
是 −∞, 0 ∪ 0, +∞ 上的偶函数,值域是 0, +∞ ,且在 0, +∞ 上单调递减,
满足条件；对于③, = 2 是上的偶函数,值域是[0, +∞),在 0, +∞ 上
2.4.2 简单幂函数的图象和性质 导学案(含答案)(2024)高一上学期北师大版必修 第一册
4.2简单幂函数的图象和性质【学习目标】1.掌握幂函数的概念和定义.2.学会使用函数的知识自主分析、研究指数不同时幂函数的图象和性质的不同情况,学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质,掌握探究函数性质的一般方法和步骤.3.通过自主探究幂函数的图象和性质,培养知识的应用能力,提高数学运算和逻辑推理的核心素养.◆知识点幂函数1.幂函数的定义:一般地,形如(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.2.简单幂函数的图象和性质(1)在(0,+∞)上都有意义,图象都过点.(2)当α>0时,图象都过原点,并且在(0,+∞)上;当α=0时,图象是除去点(0,1)的直线y=1;当α<0时,图象都不过原点,并且在(0,+∞)上.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=-x2是幂函数.()(2)函数y=x-1是幂函数.()(3)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). ()(4)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(5)当n<0时,幂函数y=x n是定义域上的减函数.()◆探究点一幂函数的定义例1 (1)[2024·辽宁阜新高级中学高一月考] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为 ()A.4B.3C.2D.1(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x m2-2m-2是幂函数,则实数m= ()A.2或-1B.-1C.4D.2[素养小结]在利用幂函数的定义解题时要特别注意,幂函数y=xα的系数必须是1,且没有其他项.◆探究点二幂函数的图象的认识例2已知函数①y=x a,②y=x b,③y=x c,④y=x d的大致图象如图所示,则有理数a,b,c,d的大小关系为()A.d<c<b<aB.a<d<c<bC.b<c<a<dD.a<c<d<b变式已知幂函数f(x)的图象过点(2,14),则f(x)的大致图象为()A B C D[素养小结](1)依据图象高低判断幂函数的指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂函数的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x 12或y=x3的图象)来判断.◆探究点三幂函数性质的应用例3 (1)已知幂函数y=x p3(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则()A .p 为奇数,且p>0B .p 为奇数,且p<0C .p 为偶数,且p>0D .p 为偶数,且p<0(2)比较下列各题中两个值的大小.①2.334,2.434;②(√2)-32,(√3)-32.变式 (1)已知a=(87)13,b=1.213,c=(78)13,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<a<bB .c<b<aC .a<b<cD .a<c<b(2)若幂函数f (x )的图象过点(-2,-12),则f (x )在[1,3]上的最大值为 ( )A .13 B .-1 C .1D .-3(3)已知幂函数f (x )=m x m -12满足f (3-a )>f (a ),则实数a 的取值范围是 .[素养小结]1.比较幂函数的函数值大小的方法:(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.(2)若指数不同,则可采用中介值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小.若中介值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小. 2.利用幂函数的性质解不等式,应借助相应的幂函数的单调性和奇偶性,将不等式转化为自变量的大小关系来求解.4.2 简单幂函数的图象和性质【课前预习】知识点1.y=x α2.(1)(1,1) (2)单调递增 单调递减 诊断分析(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x 2不是幂函数. (2)根据幂函数的定义可知,y=x -1是幂函数.(3)只有当α>0时,幂函数y=x α的图象才同时过点(0,0)和点(1,1).(4)由幂函数的定义及图象知,对于幂函数y=x α(α为常数),当α>0时,该函数的图象与坐标轴相交于原点,当α≤0时,该函数的图象与坐标轴不相交. (5)如函数y=x -1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 【课中探究】探究点一例1 (1)C (2)A [解析] (1)幂函数的一般表达式为y=x α(α为常数),逐一对比可知题中的幂函数有①y=x 3,⑤y=x ,共2个.故选C .(2)由幂函数的定义知m 2-m-1=1,解得m=-1或m=2.故选A .探究点二例2 B [解析] 根据幂函数的图象可知,a<0,b>c>1,0<d<1,所以a<d<c<b.故选B . 变式 B [解析] 因为函数f (x )为幂函数,所以设f (x )=x a ,由f (2)=2a =14,可得a=-2,所以f (x )=x -2=1x2,则x ≠0,所以函数f (x )的定义域为{x|x ≠0},排除A,C,D,故选B .探究点三例3 (1)D [解析] 因为函数y=x p 3(p ∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数y=x p 3为偶函数,即p 为偶数.由题图知函数y=x p 3的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,则有p3<0,所以p<0.故选D .(2)解:①因为y=x 34为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4, 所以2.334<2.434.②因为y=x -32为(0,+∞)上的减函数,且√2<√3,所以(√2)-32>(√3)-32.变式 (1)A (2)C (3)[0,32) [解析] (1)因为a=(87)13,b=(65)13,c=(78)13,且y=x 13在[0,+∞)上单调递增,65>87>78>0,所以(65)13>(87)13>(78)13,即b>a>c.故选A .(2)设幂函数f (x )=x α,将(-2,-12)代入,得(-2)α=-12,解得α=-1,则f (x )=x -1,它在[1,3]上单调递减,故f (x )在[1,3]上的最大值为f (1)=1.故选C .(3)因为f (x )=m x m -12为幂函数,所以m=1,则f (x )=x 12,故f (x )的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数.由f (3-a )>f (a ),可得{3-a ≥0,a ≥0,3-a >a ,解得0≤a<32,故a 的取值范围为[0,32).。
北师大版高中数学必修1《二章 函数 5 简单的幂函数 简单的幂函数》优质课教案_29
简单的幂函数教学目标：一、知识与技能：1、幂函数的概念以及简单幂函数的图像和性质；2、奇函数与偶函数的概念及其判断。
二、过程与方法：通过常见的一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，得出幂函数的概念，并总结出奇偶函数的概念与性质。
三、情感态度与价值观：通过本节学习，增强学生数形结合的思想。
教学重点：1、幂函数的理解与应用；2、函数奇偶性的判断。
教学难点：函数奇偶性的判断教学过程：一、 课题引入我们以前学习过这样几个函数：x x y y y x y x 211),(,====-下面画出它们的图像(1)y=x(2)x y 1-= (3)x y 2= 从它们解析式的形式上看，底数都是自变量x ，只是指数不同，而且指数都是常数。
这样的函数，就是本节课所要研究的幂函数。
二、 讲授新课1、幂函数的概念幂函数：如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常数α，即x y α=，这样的函数称为幂函数。
注：（1）条件：指数是常数，底数是自变量x ，系数为1（2）幂函数x y α=中，α为任意实数。
在第三章将进一步讨论。
例1：指出下列哪些函数是幂函数答:(1)、（6）是幂函数例2：画出幂函数x y 3=的图象,并讨论其图象特征.23220)6()1()5(2)4()3()2()1(x y x y x y x y x y x y x =+==-===特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在R 上单调递增；（2）图像关于原点对称，且对于任意的R x ∈，都有f(-x)=-f(x). 再观察x y 2=的图像，说出它有哪些特征？ 特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在(- ∞,0]上单调递减，[0,+ ∞） 上单调递增。
（2）其图像关于y 轴对称，且对任意的R x ∈，都有f(-x)=f(x) 可以得出幂函数的性质：（1）幂函数图像恒过点（1,1）;（2）α<0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而减小；（3）α=0时，是常函数，不具有单调性；（4）α>0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而增大。
陕西省吴起高级中学高中数学必修一北师大版学案25简单的幂函数(学生版)
课题：简单的幂函数 ☆学生版☆学习目标:了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．学习重点：幂函数的概念，函数奇偶性的概念及其判断.学习难点：幂函数的概念，函数奇偶性的概念及其判断.学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材5049p p --内容，进行知识梳理，熟记基础知识。
将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。
一、自主学习1.幂函数的概念如果一个函数，底数是 指数是 即 这样的函数称为2.奇偶性的概念（1）一般的，图像关于 的函数叫作奇函数。
图像关与 的函数叫作偶函数（2）一般的，如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x 都有 ，那么,函数)(x f 一定是奇函数（3）一般的，如果对于函数)(x f 的定义域内 一个x 都有 ，那么,函数)(x f 一定是偶函数3．奇偶函数的定义域有何特点？二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。
）三、合作探究★探究一、.例1. 画出函数3)(x x f =的图像，讨论其单调性例2.判断52)(x x f -=和2)(4+=x x g 的奇偶性★★探究二、.已知函数f (x )＝f (x )＝(2m －m －1)·)35(--m x，m 为何值时，函数f (x )：(1)是幂函数；(2)在(1)的条件下是(0，＋∞)上的增函数.★★★探究三、讨论下列函数的奇偶性：（1）)0()(4>=x x x f (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x四、课堂检测课本第50页.4.五、课堂小结课题：简单的幂函数 ☆课时作业☆编号:12 班级: 小组: 姓名:六、作业检测（要求：写出必要的解答过程）1.证明：函数1)(2+=x x f 是偶函数，且在[)+∞,0上是增加的。
2、已知下列二次函数，确定图像的开口方向，对称轴，顶点，最大值或最小值，奇偶性，单调区间，指出函数增加或减少的区间，并画出它们的图像：(1)32-=x y (2)242-+-=x x y七、上次作业更正。
北师大版数学高一必修1学案第二章简单的幂函数
[核心必知]1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数． [提醒] 在中学时段只要求关注α＝ －1，12，1,2,3，共5种幂函数的性质．2．函数的奇偶性 (1)奇函数：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反，即f (－x )＝－f (x )；反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数y ＝f (x )一定是奇函数．(2)偶函数：一般地，图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数，在偶函数f (x )中，f (x )和f (－x )的值相等，即f (－x )＝f (x )；反之，满足f (－x )＝f (x )的函数y ＝f (x )一定是偶函数．(3)奇偶性：当函数f (x )是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．[问题思考]1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f (－x )＝－f (x )，故变量x ，－x 均在定义域中，同理，对于偶函数，由f (－x )＝f (x )可知，－x ，x 也均在定义域内．2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．3．定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)＝0.讲一讲1．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)用描点法作出f(x)的图像；(3)给出y＝f(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性．[尝试解答](1)∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解之得m＝－1或m＝2.当m＝－1时，f(x)＝x0＝1(x≠0)，易知不符合题意．当m＝2时．f(x)＝x－3(x≠0)，易知在(0，＋∞)上为减函数．∴f(x)＝x－3(x≠0)．(2)列表：作图：(3)由(2)可知f (x )的单调减区间为(0，＋∞)及(－∞，0)，f (x )的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )为奇函数．(1)幂函数y ＝x α要满足三个特征： ①幂x α的系数为1；②底数只能是自变量x ，指数是常数； ③项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数．(2)幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到． 练一练1．(1)若函数f (x )既是幂函数又是反比例函数，则f (x )＝ ________； (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2,4)，则f (－1)＝________. 解析：(1)∵f (x )为反比例函数， ∴设f (x )＝kx ＝k ·x －1(k ≠0)．又∵f (x )为幂函数， ∴k ＝1， ∴f (x )＝x －1.(2)设y ＝x α，把点(2,4)代入得4＝2α， ∴α＝2，∴解析式为y ＝x 2， ∴f (－1)＝(－1)2＝1.答案：(1)x －1 (2)1讲一讲2．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝(x －1)·x ＋1x －1； (3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(x ＞0)，－12x 2－1(x ＜0).[尝试解答] (1)∵函数的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )3＋(－x )＝－x 3－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数；(2)∵定义域为{x |x ＞1或x ≤－1}，定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数； (3)∵定义域为{－2,2}，任取x ∈{－2,2}， 则－x ∈{－2,2}．f (－x )＝0＝f (x )＝－f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数；(4)法一：可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， ①设x >0，则－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋1＝－f (x )， ②设x <0，则－x >0， f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图像，如图，由图像可知，f (x )的图像关于原点对称， ∴f (x )为奇函数．判断函数的奇偶性常用的方法：(1)定义法：若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，则进一步判断f (－x )与f (x )的关系，注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论．(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则此函数为奇函数；若函数图像关于y 轴对称，则此函数为偶函数．练一练2．判断下列函数是奇函数还是偶函数． (1)f (x )＝3x 2； (2)f (x )＝x 3－2x ； (3)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x －3，x >0，x 2＋2x ＋3，x <0.解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，∴f (x )＝3x 2是偶函数．(2)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－2(－x ) ＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，∵f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )，∴f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．(4)法一：可知函数f (x )的定义域关于原点对称． 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－x 2－2x －3＝－f (x )；当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3 ＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )， 综上可知，f (x )为奇函数．法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2－2，x >0，(x ＋1)2＋2，x <0，作出f (x )的图像，由图像知，函数f (x )是奇函数．讲一讲3．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ， (1)求f (－2)；(2)求出函数f (x )在R 上的解析式； (3)在坐标系中画出函数f (x )的图像．[尝试解答] 由于函数是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，因此对于任意的x 都有f (－x )＝－f (x )，而f (x )＝－f (－x )．(1)f (－2)＝－f (2)． 而f (2)＝22－2×2＝0， ∴f (－2)＝0.(2)①由于函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0； ②当x ＜0时，－x ＞0， ∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x . 综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ＞0)，0(x ＝0)，－x 2－2x (x ＜0)；(3)图像如下图：(1)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的解析式，利用奇偶性，可求另一关于原点对称的区间上的函数值及解析式．(2)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的图像、单调性，利用奇偶性可知另一关于原点对称的区间上的图像、单调性．(3)已知函数的奇偶性，利用f (－x )与f (x )的恒等关系，可求解析式中字母的值． 练一练3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1，2a ]，求a ，b 的值．解：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝13.又对于所给的函数f (x )，要使其为偶函数， 需f (－x )＝f (x )恒成立，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b ，得b ＝0.(或者二次函数f (x )的图像的对称轴x ＝－b 2a ＝0，得b ＝0)．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减少的，若f (m )＋f (m －1)＞0，求实数m 的取值范围．[错解] 由f (m )＋f (m －1)＞0， 得f (m )＞－f (m －1)， 即f (1－m )＜f (m )．又∵f (x )在[0,2]上是减少的，且f (x )在[－2,2]上是奇函数， ∴f (x )在[－2,2]上是减少的． ∴1－m ＞m ，解得m ＜12.[错因] 导致错误的原因是忽略了函数自身定义域对参数的限制． [正解] 由f (m )＋f (m －1)＞0， 得f (m )＞－f (m －1)， 即f (1－m )＜f (m )．又∵f (x )在[0,2]上是减少的，且f (x )在 [－2,2]上是奇函数，∴f (x )在[－2,2]上是减少的． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，1－m ＞m ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m≤3，－2≤m≤2，m＜12，解得－1≤m＜12.即实数m的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12.1．下列函数中是幂函数的是()①y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；②y＝x13＋x2；③y＝x9；④y＝(x－1)3.A．①③④B．③C．③④D．全不是解析：选B由幂函数的定义知③为幂函数．2．f(x)＝x3＋1x的图像关于()A．原点对称B．y轴对称C．y＝x对称D．y＝－x对称解析：选A∵函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．∴其图像关于原点对称．3．(陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x >0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．4．已知对于任意实数x ，函数f (－x )＝－f (x )，若方程f (x )＝0有2 009个实数解，则这2 009个实数解之和为________．解析：由奇函数的图像的对称性可知，这些解之和为0. 答案：05．函数y ＝f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，则f ⎝⎛⎭⎫－78与f (1)的大小关系为________．解析：∵－1＜－78，且函数y ＝f (x )在(－∞，0]上为增函数，∴f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫－78. 又∵y ＝f (x )是偶函数， ∴f (－1)＝f (1)． ∴f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫－78. 答案：f (1)＜f ⎝⎛⎭⎫－78 6．若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (1－x )，求函数f (x )的解析式． 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． 当x ＞0时，－x ＜0， ∴f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )． 当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)， 即f (0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ＞0，0，x ＝0，x (1－x )，x ＜0.一、选择题1．下列幂函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x 12C ．y ＝x 3D ．y ＝x 2解析：选D 由偶函数的性质f (－x )＝f (x )知，D 正确．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数解析：选A 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0， ∴g (x )＝ax 3＋cx ，(a ≠0)，其定义域为R ， 且g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数．3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选A 作出示意图可知：f (2x －1)＜f (13)⇔－13＜2x －1＜13，即13＜x ＜23.4．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( )A ．f (6)＞f (7)B ．f (6)＞f (9)C ．f (7)＞f (9)D ．f (7)＞f (10) 解析：选D y ＝f (x ＋8)为偶函数， ∴f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，∴y ＝f (x )的对称轴为x ＝8.∵f (x )在(8，＋∞)为减函数，∴由对称性知f (x )在(－∞，8)上为增函数，故由单调性及对称轴结合图像知f (7)＞f (10)．二、填空题5．若点⎝⎛⎭⎫2，12在幂函数y ＝f (x )的图像上，则f ⎝⎛⎭⎫14＝________. 解析：设f (x )＝x α(α为常数)，则2α＝12＝2－1，∴α＝－1，∴f (x )＝x －1，∴f ⎝⎛⎭⎫14＝⎝⎛⎭⎫14－1＝4. 答案：46．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝________，g (x )＝________.解析：∵f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2， ① ∴f (－x )＋g (－x )＝(－x )2＋(－x )－2. 又∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (x )－g (x )＝x 2－x －2. ② 由①②解得f (x )＝x 2－2，g (x )＝x . 答案：x 2－2 x7．如果y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3(x >0)，f (x )(x <0)是奇函数，则f (x )＝________.解析：设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3(x >0)，f (x )(x <0)，当x <0时，－x >0，则 g (－x )＝2(－x )－3＝－(2x ＋3)． ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴当x <0时，g (x )＝2x ＋3，即f (x )＝2x ＋3. 答案：2x ＋38．已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域为[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图像如图所示，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是________．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )在 [－π，π]上的图像．由图像知，不等式f (x )g (x )＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π.答案：⎝⎛⎭⎫－π3，0∪⎝⎛⎭⎫π3，π三、解答题9．研究函数y ＝x －2⎝⎛⎭⎫即y ＝1x 2的奇偶性、单调性，并作出函数的图像． 解：∵y ＝x －2＝1x 2，∴函数的定义域为{x |x ≠0}． 取任意的x (x ≠0)，则－x ≠0. 又∵f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )，∴y ＝x －2在定义域内是偶函数． 当任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2时， f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)x 21x 22， ∵0＜x 1＜x 2，∴x 21x 22＞0，x 1＋x 2＞0，x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＞0. ∴f (x 1)＞f (x 2)，即f (x )＝x －2在(0，＋∞)上为减函数．由偶函数的性质知f (x )＝x －2在(－∞，0)上为增函数．通过描点作图可得y ＝x －2(x ≠0)的图像如上图所示． 10．已知函数f (x )＝x ＋mx ，且f (1)＝2.(1)求m;(2)判断f (x )的奇偶性；(3)函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数还是减函数？并证明． 解：(1)因为f (1)＝2，所以1＋m ＝2，即m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x ＋1x ，显然函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )＋1－x ＝－x －1x ＝－(x ＋1x )＝－f (x )，所以，函数f (x )＝x ＋1x是奇函数．(3)函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，设x 1、x 2是(1，＋∞)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝x 1－x 2＋(1x 1－1x 2)＝x 1－x 2－x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2，当1＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0，x 1－x 2<0， 从而f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上为增函数．1.函数及其表示 (1)函数的概念：函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系，即是一种特殊的映射．函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可．其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定．研究函数时应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：①已知f (x )的函数表达式，求定义域；②已知f (x )的定义域，求f (φ(x ))的定义域，其实质是由φ(x )的取值范围，求出x 的取值范围；③已知f (φ(x ))的定义域，求f (x )的定义域，其实质是由x 的取值范围，求φ(x )的取值范围．(2)相同函数：判断两个函数是否相同，应抓住两点：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．同时应注意，解析式可以化简．(3)映射的概念：①映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系，这种对应满足存在性与唯一性．判断给出的对应f ：A →B 是否为映射，可从给出的对应是否满足(i)A 中的不同元素可以有相同的像，即允许多对一，但不允许一对多；(ii)B 中的元素可以无原像，即B 中可以有“空元”．②特殊的映射：一一映射：如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原像，这时这两个集合的元素之间存在一一对应的关系，并把这个映射叫作从集合A到集合B的一一映射．③函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射．2．函数的基本性质函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每年的高考中均有体现．常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等．(1)函数的奇偶性：具有奇偶性的函数的特点：a．对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；b．整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；c．可逆性：f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数；f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数；d．图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．(2)函数单调性：①单调性的判定：判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图像法．其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使用此法，其基本思路是：a．设元：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；b．作差：即作f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))；c．变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向有利于判断符号的方向变形；d．定号：根据给定的区间和x2－x1的符号，确定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；e．结论：根据定义得出结论．②求函数的单调区间：求函数的单调区间通常可采用：a．利用已知函数的单调性；b．定义法：先求定义域，再利用单调性定义；c．图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，例如函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”．3．二次函数的图像与性质 (1)对于任何二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)都可以通过配方化为y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a＝a (x －h )2＋k ，其中h ＝－b2a ，k ＝4ac －b 24a.熟练掌握“配方法”是掌握二次函数性质的关键．(2)研究二次函数时应注意二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中系数a ，b ，c 对函数图像及性质的影响：①二次项系数a 的正负决定着函数图像的开口方向、开口大小和单调性．②一次项系数b 是否为0决定着函数的奇偶性，当b ＝0时，函数为偶函数；当b ≠0时，函数为非奇非偶函数．③c 是否为0决定着函数图像是否经过原点．④a 和b 共同决定着函数的对称轴，a ，b ，c 共同决定着函数的顶点位置．[典例1] 求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1； (2)f (x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2； (3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x . [解] (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． ∵f (f (x ))＝4x －1，∴f (ax ＋b )＝4x －1. ∴a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1.∴f (t )＝2(t －1)2＋5(t －1)＋2＝2t 2＋t －1.∴f (x )＝2x 2＋x －1. (3)由题意知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .① 将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x .② 联立①②消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，即f (x )＝13x 2－2x .[借题发挥] 求函数的解析式常见的类型及求法：(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (2)换元法．已知函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围． (3)消元法．若已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f ⎝⎛⎭⎫1x 等，可根据已知等式构造其他等式组成方程组，通过消元法解方程组求出f (x )． (4)求实际问题中的函数解析式，需引入合适的变量，根据数学的有关知识建立函数解析式，但应注意自变量的实际取值范围．(5)利用函数的奇偶性． [对点训练] 1．解答下列各题：(1)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )的解析式；(2)若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝x 2＋1，求f (g (x ))的解析式； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，求f (x )的解析式； (4)若f (x )＝f (－x )·x ＋10，求函数的解析式f (x )． 解：(1)∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1，即－f (x )＝x 2＋x ＋1， ∴x ＜0时，f (x )＝－x 2－x －1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1 (x ＞0)，0 (x ＝0)，－x 2－x －1 (x ＜0).(2)f (g (x ))＝(x 2＋1)2－2(x 2＋1)＝x 4－1. (3)由f (x )＋2f (1x )＝3x ，知f (1x )＋2f (x )＝3x .由上面两式联立消去f ⎝⎛⎭⎫1x ，可得f (x )＝2x －x . (4)由f (x )＝f (－x )·x ＋10， 知f (－x )＝f (x )·(－x )＋10，联立两式消去f (－x )，得f (x )＝－f (x )·x ·x ＋10x ＋10， 所以f (x )＝10x ＋10x 2＋1.[典例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝－x 2x 2＋1；(2)y ＝x 4＋2x 2－2； (3)y ＝x －1－2x .[解] (1)y ＝－x 2x 2＋1＝－(x 2＋1)＋1x 2＋1＝－1＋1x 2＋1.∵x 2＋1≥1，∴0＜1x 2＋1≤1.∴－1＜1x 2＋1－1≤0.故函数的值域为(－1,0]．(2)函数的定义域是R ，设x 2＝t ，则t ≥0. 则y ＝t 2＋2t －2＝(t ＋1)2－3，t ≥0. ∵y ＝(t ＋1)2－3在t ≥0上是单调递增的， ∴当t ＝0时，y 取最小值－2. ∴函数y ＝x 4＋2x 2－2的最小值为－2. ∴y ≥－2，故值域为[－2，＋∞)．(3)法一：由函数的解析式可知，1－2x ≥0，∴x ≤12.∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝⎛⎦⎤－∞，12上均单调递增， ∴函数y ＝x －1－2x 在⎝⎛⎦⎤－∞，12上均单调递增， ∴y ≤12－1－2×12＝12，∴原函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 法二：设1－2x ＝t ，则x ＝1－t 22(t ≥0)，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1(t ≥0)，可知函数y ＝－12(t ＋1)2＋1在[0，＋∞)上单调递减，∴y ≤－12(0＋1)2＋1＝12，∴原函数的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，12. [借题发挥] 求函数的值域视解析式特点常用以下方法： (1)直接法．即由函数的定义域和对应法则直接导出值域． (2)图像法．即利用函数的图像求解．(3)配方法：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，通常先经过配方化为顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，借助于二次函数的单调性或直接根据其图像求解．(4)换元法．形如y ＝ax ＋b ＋cx ＋d (ac ≠0)的函数，可通过换元转化为二次函数在特定区间上的值域问题，如本题(3)的解法二．(5)利用函数的单调性．根据函数的单调性及定义域求函数的最值，从而确定值域． 但须注意的是，求函数的值域必须考察函数的定义域，注意定义域对值域的约束作用，这一点往往易被忽略．[对点训练]2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5]； (2)y ＝x ＋2x －1.解：(1)配方得y ＝(x －2)2＋2. ∵x ∈[1,5]，由图知2≤y ≤11， 即函数的值域为[2,11]． (2)令u ＝2x －1，则u ≥0，x ＝u 2＋12，∴y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12.∴函数的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.[典例3] 定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)[解析] 对任意x 1x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，即x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，因此函数f (x )在[0，＋∞]上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，故f (－2)＝f (2)，由于3＞2＞1＞0，故有f (3)＜f (－2)＜f (1)．[答案] A[借题发挥] 若将上题中的条件“f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0”改为“f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＞0”，则结果又如何？[对点训练]3．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c是奇函数(a ，b ，c 都是整数)，且f (1)＝2，f (2)<3，f (x )在[1，＋∞)上是增加的．(1)求a ，b ，c 的值；(2)当x <0时，f (x )的单调性如何？证明你的结论．解：(1)由f (1)＝2，得a ＋1b ＋c＝2. 由f (2)<3，得4a ＋12b ＋c<3. ∵f (x )为奇函数，故f (x )的定义域关于原点对称，又f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠－c b (显然b ≠0， 否则f (x )为偶函数)，∴－c b＝0，即c ＝0.于是得f (x )＝a b x ＋1bx ，且a ＋1b ＝2，4a ＋12b<3. ∴8b －32b<3. ∴0<b <32.又b ∈Z ，∴b ＝1，∴a ＝1. 故a ＝b ＝1，c ＝0，符合f (x )在[1，＋∞)上是增加的；(2)f (x )在(－∞，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数．证明如下：由(1)知f (x )＝x ＋1x， 设x 1<x 2<0，而f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)当－1≤x 1<x 2<0时，显然x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，x 1x 2－1<0，∴f (x 1)－f (x 2)>0.∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在[－1,0)上是减函数．当x 1<x 2≤－1时，显然x 1－x 2<0，x 1x 2>1，x 1x 2－1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－∞，－1]上是增函数．综上，f (x )在(－∞，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数．[典例4] 对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )＞1.f (3)＝4.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．[解] (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＞1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1＞0.∴f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )是R 上的增函数．(2)令x ＝y ＝1，则f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝f (2)＋f (1)－1＝3f (1)－2.又∵f (3)＝4，∴3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2，f (2)＝2f (1)－1＝3，由(1)知f (x )是R 上的增函数，∴f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )的最小值为f (1)＝2，最大值为f (2)＝3.[借题发挥] 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题，抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．[对点训练]4．已知函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 均有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23. (1)判断并证明f (x )在R 上的单调性；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值，最小值．解：(1)证明：令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，令x ＝－y ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)．∵当x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＜0，即f (x 2)＜f (x 1)．∴f (x )在R 上为单调减函数．(2)由(1)知f (x )在[－3,3]上是减函数．∴f (－3)最大，f (3)最小．f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23＝－2， ∴f (－3)＝－f (3)＝2.故f (x )在[－3,3]上最大值为2，最小值为－2.（时间90分钟 满分120分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝(m ＋2)x m 是幂函数，则实数m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选C 由已知m ＋2＝1，即m ＝－1.2．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下，(3,1)的原像为( )A ．(1,3)B ．(1,1)C ．(3,1) D.⎝⎛⎭⎫12，12解析：选B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，则f (f (1))等于( )A ．2B ．4C ．1D ．3 解析：选C f (x )＝12＝1，∴f (f (1))＝f (1)＝1.4．函数f (x )＝x －1x －2的定义域是( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1,2)D ．[1，＋∞)解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，得x ≥1且x ≠2，∴函数f (x )的定义域为[1,2)∪(2， ＋∞)．5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像是( )解析：选D 因为a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，所以图像开口向上，且与y 轴交于负半轴上．6．(山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2解析：选D 由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.7．min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C ∵(x ＋2)－(10－x )＝2(x －4)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4. ∴当0≤x ≤4时，f (0)≤f (x )≤f (4)，即2≤f (x )≤6；当x >4时，f (x )<f (4)＝6，∴f (x )∈(－∞，6]，∴f (x )max ＝6.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，∴b ＝4，f (－2)＝4－2b ＋c ＝－2，∴c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0. ∴f (x )＝x 即为x 2＋4x ＋2＝x (x ≤0)或x ＝2(x >0)，∴x ＝－1，－2或2.9．函数y ＝f (x )在(0,2)上是减函数，且关于x 的函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，那么( )A ．f ⎝⎛⎭⎫52＜f (3)＜f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12＜f (3)＜f ⎝⎛⎭⎫52 C ．f (3)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (3)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f ⎝⎛⎭⎫12解析：选A ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)．∴f (x )的对称轴是x ＝2.∴f (12)＝f (72)． ∵y ＝f (x )在(0,2)上是减函数且关于x ＝2对称，∴y ＝f (x )在(2,4)上是增函数．∴f (52)＜f (3)＜f (72)＝f (12)． 10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为( )A ．3 800元B ．5 600元C ．3 818元D ．3 000元解析：选A 设这个人的稿费为x 元，纳税金额为y 元，依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0<x ≤800，0.14x －800，800<x ≤4 000，0.11x ，x >4 000，令0.14(x －800)＝420， 解得x ＝3 800，∴这个人的稿费为3 800元．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．函数y ＝x 2的图像先向左平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图像对应的函数解析式是y ＝________.解析：函数y ＝x 2的图像向左平移1个单位，得函数y ＝(x ＋1)2，再将函数y ＝(x ＋1)2向上平移3个单位，得函数y ＝(x ＋1)2＋3.答案：y ＝(x ＋1)2＋312．若函数f (x )的定义域为[－1,2]，则函数f (3－2x )的定义域是________．解析：∵f (x )的定义域为[－1,2]，∴f (3－2x )中，－1≤3－2x ≤2，得12≤x ≤2， ∴f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，213．已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________.解析：设t ＝2x ＋1，则x ＝t －12. ∴f (t )＝3·t －12－4＝3t 2－112. ∴f (a )＝3a 2－112＝4.∴a ＝193. 答案：19314．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝1＋3x ，则f (x )的解析式为________．解析：当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝1＋3－x ＝1－3x ，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－1＋3x ，且f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3x ，x >0，0，x ＝0，－1＋3x ，x <0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3x ，x >0，0，x ＝0，－1＋3x ，x <0三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2(1－2a )x ＋6在(－∞，－1)上为减函数．(1)求f (2)的取值范围；(2)比较f (2a －1)与f (0)的大小．解：(1)二次函数f (x )图像的对称轴为x ＝2a －1，∴函数在(－∞，2a －1]上为减函数．∴－1≤2a －1.∴a ≥0.而f (2)＝22＋2(1－2a )×2＋6＝－8a ＋14，∵a ≥0，∴f (2)＝14－8a ≤14；(2)∵当x ＝2a －1时，函数y ＝f (x )取最小值，∴f (2a －1)≤f (0)．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )＞f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围．解：∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (3)＝1，∴2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)．∴不等式f (a )＞f (a －1)＋2可化为f (a )＞f (a －1)＋f (9)＝f (9(a －1))．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，a －1＞0，a ＞9(a －1).解得1＜a ＜98. ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，98. 17．(本小题满分12分)设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．解：由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增知，f (x )在(0，＋∞)上递减，因为2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78＞0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋52＞0， 且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3)，所以2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3，即3a －2＞0，所以a ＞23. 18．(本小题满分14分)根据市场调查，某商品在最近的20天内的价格f (t )与时间t 满足关系f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20(0≤t <10，t ∈N )，－t ＋40(10≤t ≤20，t ∈N )，销售量g (t )与时间t 满足关系g (t )＝－t ＋30，(0≤t ≤20，t ∈N )，设商品的日销售额为F (t )(销售量与价格之积)．(1)求商品的日销售额F (t )的解析式；(2)求商品的日销售额F (t )的最大值．解：(1)F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (t ＋20)(－t ＋30)(0≤t <10，t ∈N )，(－t ＋40)(－t ＋30)(10≤t ≤20，t ∈N )， 即F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋10t ＋600(0≤t <10，t ∈N )，t 2－70t ＋1 200(10≤t ≤20，t ∈N ).高中数学打印版(2)当0≤t<10，t∈N时，F(t)＝－(t－5)2＋625. ∴F(t)的图像的对称轴为t＝5.∴t＝5时，F(t)max＝625.当10≤t≤20，t∈N时，F(t)＝(t－35)2－25.∴F(t)的图像的对称轴为t＝35.∴F(t)在[10,20]上是减函数．∴t＝10时，F(t)max＝600.∵625>600，∴t＝5时，F(t)max＝625.即日销售额F(t)的最大值为625元．精心校对版本。
高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数教案1 北师大版必修1
2.5 简单的幂函数
本节教材分析
教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x为其他实数时依有意义，留待第三章解决.对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进.
三维目标
1.了解指数是整数的简单的幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画
图的能力.
2.会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力.
3.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数方法，培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点：幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念.
教学难点：判断函数的奇偶性．
教学建议：尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质.
新课导入设计
导入一:举例说明生活中经常遇到的几个数学模型，让学生发现共同点，进而导出课题.
导入二：运用我们已经熟悉正比例、反比例、一次函数、二次函数，这一节课我们学习一种新的函数---幂函数，教师板书引出课题.
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§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减， 所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )， 当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)， 又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)， 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。