食品安全问题数学建模

摘要

随着人们对生活质量的追求和安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点。本文在此背景下通过建立数学模型来研究影响食品质量因素等问题。具体如下：

对于问题一，我们首先将主要食品分为蔬菜、肉类、面制品，饮品四大类，并将微生物、添加剂、重金属定为影响食品质量的因素三大因子。利用归纳统一法对该市数据进行统计分析，并运用数据拟合法，建立了影响各主要食品领域的因素与时间关系的模型，分析matlab软件绘制出的图形，得出2010、2011、2012三年该市的食品质量发展趋势。

对于问题二，在问题一主要食品分类的基础上，我们将影响食品质量的因素分为食品产地、食品销售地点、季节、保质期四大类，运用层次分析法对问题进行定量分析，建立影响食品质量的模型。通过比较每种因素对食品安全的权重，运用一致性检验的方法，确定各种因素与食品质量的关系。从结果来看，食品产地是影响食品质量的最大因素。

对于问题三，我们运用多层次划分法建立了集时间较短、成本费用较低和抽样效果较好的抽检模型，在已求得的权重基础上，进一步建立了基于权重的检测模型，即依据各个环节以及其内部影响因素的权重来进行检测次数的分配，保证检测针对性与较少投入的同时，尽可能检测出有问题的食品及生产企业。针对上述两个模型建立了目标函数分析模型，给出了详细的目标函数方法。

关键词：层次分析法多层次划分法抽样模型基于权重的检测模型

一问题重述

随着人们生活水平越来越好，人们越来越重视食品的食品的质量，“民以食为天”，食品安全关系到千家万户的生活与健康。随着人们对生活质量的追求和

安全意思的提高，食品安全已成为社会关注的热点，也是政府民生工程的一个

主题。城市食品的来源越来越广泛，人们消费加工好的食品的比例也越来越高，因此除食材的生产收获外，食品的运输、加工、包装、贮存、销售以及餐饮等每一个环节皆可能影响食品的质量与安全。另一方面，食品质量与安全又是一个专业性很强的问题，其标准的制定和抽样检测及评价都需要科学有效的方法。深圳是食品抽检、监督最统一、最规范、最公开的城市之一。根据2010年、2011年和2012年深圳市的食品抽检数据，确定如何抽检效果最好，在保证好效果的前提下，尽可能的节省时间和费用？根据实际情况，建立数学模型来讨论些列问题：（1）如何评价深圳市这三年各主要食品领域微生物、重金属、添加剂含量等安全情况的变化趋势；

（2）从这些数据中能否找出某些规律性的东西：如食品产地与食品质量的关系；食品销售地点（即抽检地点）与食品质量的关系；季节因素等等；

（3）能否改进食品抽检的办法，使之更科学更有效地反映食品质量状况且不过分增加监管成本（食品抽检是需要费用的），例如对于抽检结果稳定且抽检频次过高的食品领域该作怎样的调整？

二问题的分析

食品安全与人们身体健康密切相关，我们经过讨论分析后，认为本题属于数理统计与优化类问题，如何分析食品质量的变化趋势以及确定最优抽检模型是解题的关键。

问题一的分析

通过阅读深圳市三年的食品质量的数据，为了更好的分析食品领域微生物、重金属、添加剂的含量随时间的变化趋势，把食品领域分为了蔬菜，肉类，面制品，饮品四大类，采用归纳统一法对每类食品在微生物，重金属，添加剂中的合格率进行了数据的统计。在研究方法上，采用数据拟合法建立影响各主要食品领域的因素与时间的模型，并利用matlab软件绘制出各类食品质量的变化曲线，通过观察、分析曲线得出2010、2011、2012三年深圳市各类食品微生物、重金属、添加剂含量的变化趋势。

问题二的分析

对于第二问我们采用了多层次问题分析法（AHP），在问题一主要食品分类的基础上，将影响食品安全的因素分为：食品产地、食品销售地、季节、保质期四大类。运用层次分析法统计分析各类影响指标的数值特征，再对其进行归一化处理，求得每一类特征对食品安全质量的权重，对比权重的大小从而反映食品质量安全状况。

问题三的分析

在第二问的基础上，将这一问的具体模型分为抽样模型和检测模型，对于抽样模型，建立多层次划分法抽样模型来抽取样本，根据各类所占的权重按适当的比例抽取。其次按照“重点抽查易出问题的环节，兼顾其他环节”的原则，建立了基于权重的检测模型，将检测模型分成了四个环节（原材料的使用，生产加工，

运输与存储，流通与销售），通过各个环节及其内部影响因素的权重来进行检测的次数分配，这样可以用较少的投入来检测出有问题的食品和企业。

三、模型假设

1.假设食品能且仅能分为四大类，其他没有被分的食物对食品安全性所造成的影响忽略不计。

2.假设影响食品安全性的因素能且仅能分为三大类，其他没有被分类的因素对食品安全性所造成的影响忽略不计。

3.假设模型求解过程中所用的数据都是合理的。

4.假设所有食品生产厂商的信誉度均相同。

5.假设检测不同环节、不同因素的成本和工时相同。

6.假设同一类食品每次抽检的项目数相同。

7.假设抽检的最大费用有限制。

四、符号说明

ij a ：准则层两个因数i C 和j C 对目标层的影响程度之比；

..I C ：判断矩阵一致性标准；

ij c :方案层两个因素i a 和j a 对准则层的影响程度之比；

n W W W W ......,,21：权重向量；

max λ：最大特征值；

..I R ：平均随机一致性指标；

m ： 判断因子m ，m =1表示因素对生产环节有影响，m =0表示无影响； i w ：第i 各因素在食品安全中所占的权重；

i R ：i R 表示第i 环节在食品安全中所占的权重；

ij a ：表示第j 各因素在第i 各环节所占的权重；

L ：抽样系统中总的生产批次；

i L ：第i 层生产批次数；

t ：每次每项抽检的平均时间；

ξ：每个抽检批次的检查项目；

p ：每次每项抽检的平均费用；

i N :第i 个环节抽查的次数；