渤海船舶2015试卷试题模板(数学A)

A

密

封

线

内

请

勿

答

题

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A

密

封

线

内

请

勿

答

题

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5题，满分80分）。

15.（本题满分15分）

某高中为调查高一年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图①）和女生身高情况的频率分布直方图（图②）.已知图①中身高在170 ~175cm 的男生人数有16人．

图① 图②

（Ⅰ）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？

（Ⅱ）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”?

≥170cm

<170cm

总计 男生身高 女生身高 总计

参考公式：

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n =a +b +c +d

参考数据：

16.（本题满分15分）

已知△ABC 的周长为2+1,且sinA +sinB =2sinC . (1)求边AB 的长;

(2)若△ABC 的面积为1

6

sinC ,求角C 的度数.

17.（本题满分15分）

在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1的中点,O 为AC 与BD 的交点.

(1)求证:EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求三棱锥B ─CDF 的体积； (3)求证:平面BDF ⊥平面A 1OD 1.

18.（本题满分17分）

已知x =1是函数f (x )=mx 3─3(m +1)x 2+nx +1的一个极值点, 其中m ,n ∈R ,m <0.

(1) 求m 与n 的关系式; (2) 求f (x )的单调区间;

(3) 当x ∈[─1,1]时, 函数y =f (x )的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m , 求m 的取值范围.

19.（本题满分18分）

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)是椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)上的两点,已知m →=(x 1b ,y 1a ),n →=(x 2b ,y 2a ),若m →⊥n →,且椭圆的离心率e =3

2,

短轴长为2,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若直线AB 过椭圆的焦点F (0,c )(c 为半焦距),求直线AB 的斜率k ;

(Ⅲ)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.

20()P K k ≥

0.025 0.010 0.005 0.001 0k

5.024

6.635

7.879

10.828

A

B

C

D

B 1

C 1

A 1

D 1 E

F

G O