(完整版)华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总
华南师范大学考研真题高代试卷
一．计算行列式111212122212nn n n n n a b x a b a b a b a b x a b a b a b a b x-+----+----+二．设33132()m n p f x x x x ++=-+， 2()1g x x x =-+，其中,,m n p 为非负整数,则()|()g x f x 充要条件是,,m n p 具有相同的奇偶性三．解线性方程组，找出基础解系，写出一般解12341234123412430334059802250x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎪⎨+--=⎪⎪-+=⎩四．设m n ⨯矩阵()ij A a =的最高阶非零子式为1112121222120t t t t tta a a a a a a a a ≠,证明这个子式所在的A 的前t 个行向量12t ααα是A 的行向量组的极大无关组五．求多项式643()7877f x x x x x =-+-+和532()3737g x x x x =-+-的最大公因式(,)fg六．已知两向量组12,,,tααα与121,,,,,,t t s ααααα+有相同的秩，证明12,,,t ααα与121,,,,,,t t s ααααα+等价七．设A ，B 是n 阶对称方阵，证明乘积AB 对称的充要条件是A 与B 可交换一．计算行列式111212122212nn n n n n a b x a b a b a b a b x a b D a b a b a b x++=+二．（1）设0a ≠,证明()|()mm n n xa x a --的充要条件是|m n(2)设(),(),()f x g x h x 是数域F 上的多项式，证明((),()())1f x g x h x =的充要条件是((),())1fx g x =且((),())1f x h x =三．设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，满足AC=CA ，AD=CB 和0A ≠，令A B G C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭证明()2n G n ≤<秩四．设T 为有限维欧氏空间V 的对称变换,证明TV 是(0)T ⊥的中正交补五．用正交变换化二次型22211213223324242x x x x x x x x x +--++为标准型六．设12,,,n V V V 是是向量空间V 的子空间，证明和空间12n V V V +++是直和的充要条件是各子空间(1,2,,)i V i n =的基底合起来是和空间的基底一．计算行列式(1)21132(2)(3)(1)(1)(2)1a n a n a a a a na a a n a n a n a n a n a n a a n++-+++++++-+-++-+-+-++二．（1）设(),()f x g x 是两个不同时为0的实系数多项式，证明：对于任意正整数n ，((),())((),())n n n f x g x f x g x =（2）设a 是一个实数，证明：多项式1221()n n n n nf x x ax a x a x a ---=+++++最多只有一个实根（不计重数） 三．设n 阶矩阵A 满足2A E =，()E n 是阶单位矩阵，证明：（1）A 相似于形为00s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭的矩阵，其中s E 表示s 阶单位矩阵；（2）对于任何正整数,m k ，都有n =mk 秩(A+E)+秩(A-E)四．设(),()f x g x 为数域F 的多项式，且有((),())1f x g x =，A 是F 上的一方阵， 设()()0f A g A X =，()0f A X =，()0g A X =的解空间分别是12,W V V 和，证明12WV V =⊕五．设实数域k 上的全体2阶方阵构成的欧氏空间为22R⨯，取固定的矩阵a b A b d ⎛⎫= ⎪⎝⎭在22R ⨯上定义变换，:,X AX XA σ→- 22X R ⨯∀∈（1）证明σ是线性变换； （2）求出σ关于22R⨯的标准正交基11122122,,,E E E E 下的矩阵；（3）证明存在一个22R ⨯的标准正交基，σ在此基下矩阵为对角阵；并求出其最小多项式六.设实二次型222123112231323(,,)4510210q x x x x x x x x x x x x =+++++（1） 求此二次型的正惯性指标和符号差； （2） 问方程1233(,,)220q x x x x --=对应空间3R 中的什么曲面华南师范大学2002年高代试题一．计算行列式1231231231234n n n x a a a a a x a a a a a x a a a a a a x二．设(),()f x g x 是数域F 上的多项式，11()()(),()()()f x d x f x g x d x g x ==，证明：()d x 是(),()f x g x 的最大公因式当且仅当11((),())1f x g x =三．设是C 复数，并且是有理数域Q 上的一个非零多项式的根，令{()()Jf x Q x =∈│}()0f c =，证明：J 中存在唯一的首项系数为1的多项式()P x ，使得对于任意(),()()(),()[]f x J f x p x q x q x Q x ∈=∈四．设A 是m n ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，证明存在n s ⨯矩阵X 满足AX B =的充分必要条件是秩(A,B)=秩A五． 设是V 数域F 上的线性性空间。
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2000年华南师范大学数学分析一、填空题(3*10=30分)1.设a n ( 1)n sin n—,n 1,2,，则lima n,lim a n4 n --------------------- n- --------------------x x为有理数.2.设f(x) x，x：［mt X R,则f(x)在x 一处连续；X, x为无理数3.. 1 x n」3. lim -------- dx01 xn14.lim(sinx cosx)xx 05.方程x2 3x c 0(c为实常数)在区间［0,1］中至多有个根;、一dx6 .设I n ——2-v(n 1,n为自然数)，写出I n 1的递推公式I n1 __________________________________________________(x a )sinx cosy7 .设u(x, y) ° f(t)dt, f(t)是可微函数，则du8 .设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P I(2,2)的方向导数是1,指向原点的方向导数是-3,则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是;9 .写出函数在x=0处的哥级数展开式：s in2 x;3 . . 3 .10.曲线x a cos t, y a sin t,0 t 2 的弧长s=.(12分)设f(x)在［0,+ 8)上连续，lim f(x)存在，证明：f(x)在［0,+8)上可取得最大值或x最小值.2 ............................... , z三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程z yf(一)所确定，其中f是可微函数，试证:y,2 2 2、z z _(x y z )— 2xy— 2xz.四、（12分）求极限：lim （―n n 1 2n 1 n2n 2■^).n 2n五、（12分）已知a,b为实数，且1<a<b,证明不等式：（a 1）1nb（b l）lna六、（12分）计算曲面积分：Ixdydz y2dzdx z3dxdy.其中S是球面x2 y2 z2 1 S七、（10分）设U n（x） 0,在［a,b］上连续,n=1,2,…，nu n（x）在［a,b］上收敛于连续函数1f(x),证明：U n(x)在［a,b］上一致U^敛于f(x).n 12003年华南师范大学数学分析11 1 .、(12 分)求极限lim(—--------- ------------------------------- ).n 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1)、(12 分)设D (x, y): 1 x 1,1 y 1 ,求积分x2dxdy.nx二、(12分)证明——L 在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+8)；在(0,+ 8)上不一致收敛;n 1 1 n3x3 ...................................... nx并证明：函数S(x)= ------ 一■在(0,+ °°)上连续.3 3n 1 1 n x四、(12分)求第二型曲线积分白2y3dx 1x3dy,其中，L : x2 2y2 1,取逆时针方向。
2022年华南师范大学高等代数考研真题-图文
2022年华南师范大学高等代数考研真题-图文
1、（每小题5分，30分）写出下列概念的定义（1）齐次线性方程组A某0的基础解系；（2）本原多项式；
（3）线性变换的本征子空间；
（4）欧式空间V中向量在子空间W上的正射影；（5）实二次型
f(某1,某2,,某n)的典范形式；（6）正定矩阵。
2、（20分）设f(某)是有理数域Q上的多项式，ac是f(某)的无理根，（a,cQ,c是无理数），证明:（1）(某(ac))(某(ac))|f(某)；
（2）设g(某)是有理数域Q上的首项系数为1的4次多项式，12，1i是g(某)的根，求g(某)。
3、（20分）用线性方程组理论证明：n次多项式至多有n个互异的根。
4、（20分）设是F4的线性变换，1(1,0,0,0)，2(0,1,0,0)，
3(0,0,1,0)，
4(0,0,0,1)，(1)(1,3,4,2)，(2)(1,2,2,1)，(3)(3,7,8,0)，
)和核空间ker()的(4)(5,12,14,1)，求此线性变换的像空间Im(基和维数。
001，问某为何值时，矩阵A能对角化？并证11某5、（20分）设A100明你的结论。
12016、（20分）设A11111201，A某0的解空间为W，求W的一个1111规范正交基。
7、（20分）设V是数域F上n维向量空间，，z是V上的两个线性变换，在F上有n个互异的本征值，证明：是z的本证向量当且仅当zz 的本征向量都2022年华南师范大学高等代数硕士研究生入学考试试题。
华南师范大学《613数学分析》历年考研真题专业课考试试题
2005年华南师范大学数学分析考研真题
2004年华南师范大学数学分析考研真题
2003年华南师范大学数学分析考研真题
2000年华南南师范大学数学分析考研真题
2013年华南师范大学数学分析考研真题
2010年华南师范大学数学分析考研真题
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华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总
2000年华南师大学数学分析一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin)1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n4._________;)cos (sin lim 10=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u yx 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).2003年华南师大学数学分析一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n x n nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n xn nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。
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2000年华南师范大学数学分析一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4sin )1(===+-=∞→∞→n n n n nn a a n n a 则 π；2.设处连续；在则为无理数为有理数____)(, , ,)(=∈⎩⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 10=+⎰∞→dx xx n n4._________;)cos (sin lim 10=+→xx x x5.方程)(032为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;__________),1()(1122=>+=++⎰n n n n I I n n a x dxI 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0==⎰+du t f dt t f y x u yx 是可微函数，则8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2=x 10.曲线π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(222yzyf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：xz yz xy x z z y x 22)(222=∂∂+∂∂--.四、（12分）求极限：)22211(lim 222nn nn n n n n ++++++++∞→ .五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：ab b a ln ln )1(1+>+）（.六、(12分)计算曲面积分：.32dxdy z dzdx y xdydz I S++=⎰⎰其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,∑∞=1)(n nx u在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：∑∞=1)(n nx u在[a,b]上一致收敛于f(x).一、(12分)求极限).)12)(12(1531311(lim +-++⋅+⋅∞→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D⎰⎰-≤≤-≤≤-=求积分三、(12分)证明∑∞=+1331n xn nx在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞=+1331n x n nx在(0,+∞)上连续.四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333132+-⎰，其中，12:22=+y x L ，取逆时针方向。
五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f ax +→和)(lim x f x +∞→都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。
问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。
六、(15分)设dx y x f a⎰+∞),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的],[d c y ∈，f(x,y)关于x 在[a,+∞)上单调减少。
求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于],[d c y ∈一致地收敛于0.1.(12分)设,,2,1,)11( =+=n na nn 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。
2.(12分)求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。
3.(12分)求幂级数n n n n x n )21(])1(2[1--+∑∞=的收敛半径和收敛域。
4.(12分)求函数⎩⎨⎧<≤<≤-=ππx x x f 0,00,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数：++-+++-121)1(51311n n 的和。
5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，f(a)≠f(b)，证明：存在),(b a ∈ηξ，，使得ab a b f f ln ln ))(()(--'='ηξξ。
6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ∂是以M 0为心，r 为半径的球面，f(x,y,z)在R 3上连续，证明：dS z y x f dxdydz z y x f dr dM B M B r r ⎰⎰⎰⎰⎰∂=)()(00),,(),,(一、计算题（4*8=32分）1.求x xx x 30sin cos )cos(sin lim -→. 2.求dx x ⎰3sec .3.求2222)0,0(),(lim y x y x y x +→.4.求⎰+-L yx ydxxdy 224.其中10,)1(222≠<=-+R R y x L ：,取逆时针方向。
二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对)(21,,2b ab a e e eR b a +≤∈∀+； 2.设0lim =∞→n n a ，证明：0lim21=+++∞→na a a nn ；3.设f(x)在(0,1)上连续，-∞==-+→→)(lim )(lim 1x f x f x x ，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值.三、讨论题（2*8=16分）1.讨论级数 +--++-+-+-31213121312131)2(1)12(161514131211n n 的敛散性。
2.设0,0>>βα，讨论dx xx ⎰∞+0sin αβ的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。
1.(15分)假设)(lim 30x f x →存在，试证明：)(lim )(lim 30x f x f x x →→=.2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。
3.(15分)假设),2,1)(( =n x u n 在[a,b]上连续，级数∑∞=1)(n n x u 在(a,b)上一致收敛，试证明：（i ）∑∞=1)(n n a u ,∑∞=1)(n n b u 收敛； (ii)∑∞=1)(n n x u 在[a,b]上一致收敛。
4.(15分)假设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=)0( 0)0( ),(2222222y x y x y x y x y x f ,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此点不可微。
5.(15分)计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I s222++=⎰⎰，其中s 为锥面)0(222h z z y x ≤≤=+所示部分，方向为外侧。
1.(15分)证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 2收敛，并求其极限.2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(='f ；(2).(10分)只假定)0(f '存在，证明0)0(='f .3.(15分)求积分： ,2,1,0,sin 20=⎰n dx x n π.4.(15分)判别函数列),(,1)(22+∞-∞∈+=x xn xx f n 的一致收敛性.5.(15分)设1222=++z y x ，求xz∂∂和22x z ∂∂.6.(15分)利用202π=⎰∞+-dx ex 和分部积分法求dx e x ax )1(122-+∞-⎰，其中a>0.7.(20分)设L 是平面区域Ω的边界曲线，L 光滑。
u(x,y)在Ω上二阶连续可微，用格林公式证明：ds n udxdy y u x u L⎰⎰⎰∂∂=∂∂+∂∂Ω)(2222.其中n 是L 上的单位外法向量，n u ∂∂是u 沿n 方向的方向导数.8.(20分)设f(x)的导函数)(x f '在[0,1]上连续，且)0(f '>0，证明瑕积分)1(,)0()(1>-⎰p dx xf x f p.当1<p<2时收敛，p ≥2时发散.9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[∈x ，有.0)(lim =+∞→n x f n 证明：.0)(lim =+∞→x f x2008年华南师范大学数学分析一.(15分)设.0lim ,10,lim ,01=<≤=>∞→+∞→n n nn n n u a a u u u 证明二.(15分)设R S ⊂为有界集，证明必存在数列{}.sup lim ,S x S x n n n =⊂∞→使三.(15分)设⎩⎨⎧+=为无理数为有理数x x x x x x f ,,)(2(1)证明若0≠x ，则f 在x 处不连续；(2)计算)0(f '.四.(15分)设n 为自然数，求不定积分xdx x I n n cos ⎰=的递推公式，并计算xdx xcos 3⎰.五.(20分)(1)设]23,0[,2sin2)(1∈=∑+∞=x x n x x s n n n π，证明).1(),1()(lim 1s s x s x 并求=→(2)证明函数项级数x x n n cos )cos 1(1∑+∞=-在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.六.(15分)求函数)arctan(xyz =在位于圆)23,21(0222上一点=-+x y x 处沿这圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角παα<≤0的范围是）。
七.(15分)设有n 个实数012)1(3,,,12121=--++--n a a a a a a n n n 满足，证明方程)2,0(0)12cos(3cos cos 21π在区间=-+++x n a x a x a n 中至少有一个根。
八.(20分)设dx x f ⎰+∞∞-)(收敛，证明函数),()cos()()(+∞-∞=⎰+∞∞-在dx x x f g αα上一致连续。
九.(20分)设{}222),(r y x y x D ≤+=，L 是D 的边界曲线，L 取逆时针方向为正向。
n 是L 的外法线方向上的单位向量，F （P(x,y),Q(x,y)）是定义在D 上的连续可微向量函数，计算极限：ds n F r Lr ⎰⋅→201lim π.2009年华南师范大学数学分析一、(20分).)]()([lim .,,)(lim ,)(lim -∞=+-∈=-∞=→→→x g x f R A a A x g x f ax a x a x 语言证明用这里设δε二、(15分)设数列{}n x 无上界。