第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计-

H a ( j) H a ( s) H a ( s)
2
s j
H a ( j) H ( j)
a
(6.2.5)
Ha(s)必须是稳定的，极点落在s平面的左半平面
2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下 式表示：
1 H a ( j) (6.2.6) 2N 1 ( ) c N称为滤波器的阶数
s
jw p
Pass band Transition
wc
— 3dB通带截止频率
Stop band
p 3dB
通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通
带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰 减用αs表示，αp和αs分别定义为：
p 20lg s 20lg
H (e j 0 ) H (e
表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减
αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
10 1 lg( 0.1 s ) 1 4.25, N 10 2 lg( p / s )
第6章
无限脉冲响应数字滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念
1. 数字滤波器的分类 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响 应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉
冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：
H ( z)

N 1 n 0
M
1 ak z k
k 1
H a ( s)
3 c ( s c )( s
2 j 3 c
)( s
2 j 3 c
)
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，
将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc 归 一化，归一化后的Ha(s)表示为 1 H a ( s ) N 1 s s ( k ) k 0 c c 式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。
(6.2.12)
总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，求出滤波器的阶数N。
10 1 lg( 0.1 s ) 1 N 10 2 lg( p / s )
(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。
0.1 p
(3)将Ha(p)去归一化(将p=s/Ωc代入Ha(p))，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
2
幅度响应单调下降 (monotonically decreasing)
图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N的关系
将幅度平方函数|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
1 H a ( s) H a ( s) s 2N 1 ( ) jc
(6.2.7)
此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：
1 H ( j ) 2 1 2 C N ( / c )
2
: 通带波纹
N=2 N=3 N=7
N ：阶数(由阻带指标确定)

c

图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线
图6.2.7 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的|Ha(jΩ)|2曲线
切比雪夫II型模拟低通滤波器
2 2 C N ( c / ) 1 H ( j ) 1 2 2 2 1 CN (wc / w ) 1 2CN (c / ) 2
4. IIR数字滤波器的设计方法
一个N阶IIR数字滤波器的系统函数：
H( z )
a z
i 0 i N i 0
M
i
1 bi z i
A
(1 c z (1 d z
i 1 i i 1 N i
M
1
) )
1
H(z)的设计目的：确定系数ai和bi或零极点ci和di， 从而保证滤波器满足设计需求。 IIR数字滤波器系统函数的三种设计方法： 零极点位置累试法 利用模拟滤波器的理论 利用优化技术设计
sk (1) ( jc ) ce
k=0，1，….,2N-1
1 2N
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
(6.2.8)
e e
j (2 k 1)
1
j

2
j
N=3
图6.2.4
三阶巴特沃斯滤波器极点分布
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半
平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成 Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为
0.1 p
N 5
(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
p0 e p3 e
3 j 5 6 j 5
, p1 e , p4 e
4 j 5 7 j 5
, p2 e j ,
按照(6.2.11)式，归一化传输函数为
H a ( p)
1
(p p )
k 0 k
运算量大
jw 2
| H ( e ) | | H d ( e ) |
M jw i 1
用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则
（1）S平面的虚轴 j 映射到z平面的单位圆上ejw 上（频响模拟：Ha(s) H(z) ） （2）Ha(s)的因果稳定性经映射后H(z)仍保持， 即：S平面左半平面Re[s]<0映射到z平面单 位圆内|z|<1。
(6.2.10)
令λ=Ω/Ωc ，λ称为归一化频率；令p=jλ，p称为归 一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为
H a ( p) 1
(p p )
k 0 k
N 1
(6.2.11)
式中，pk为归一化极点，用下式表示：
pk e
1 2 k 1 j ( ) 2 2N
, k 0,1, , N 1
滤波器设计方法 （1）简单滤波器零极点位置累试法
单位圆内的极点 频谱中的峰值
单位圆内的零点 频谱中的谷值
Pole-zero diagram
频响的几何表示法 Geometric evaluation
（2）利用模拟滤波器的理论
模拟滤波器的设计方法：
简单严格的设计公式
设计参数已表格化 设计原理： 设计需求 AF的Ha(s) DF的H (z)
H a ( s)
(s s )
k 0 k
N 1
N c
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s3 c e
2 j 3
; s1 c ; s2 c e ；4 c；5 c e s s
2 j 3
1 j 3
1 j 3
取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：
s c (100.1as 1)
1 2N
2 10.525krad / s
将p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：
5 c H a ( s) 5 s b4 c s 4 b3 2 c s 3 b23c s 2 b1 4 c s b05c
我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。
图6.2.5分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型 滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A ( ) H a ( j )
2 2
1 1 C ( ) p
2 2 N
(6.2.19)
3. 切比雪夫Ⅰ型滤波器
图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
H ( j ( ) 1
BASIC SPECIFICATIONS FOR DIGITAL FILTER
H( e
jw
) | H ( e
jw
)| e
j ( w )
Amplitude-frequency
phase-frequency
输入信号各频率成分的衰减 输入信号各频率成分在时间上的延时
p 20 lg | H ( e ) | jw s 20 lg | H ( e ) |
4
上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭
极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查 表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：
极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;
-1.0000
1 H a ( p) 5 p b4 p 4 b3 p 3 b2 p 2 b1 p b0
6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟， 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、 椭圆(Ellopse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些 滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设 计人员使用。
p 10 lg s 10 lg
H a ( j 0)
2
(6.2.1)
2
H a ( j p ) H a ( j 0)
2
H a ( j s )
2
(6.2.2)
如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs
表示为
2
p 10lg H a ( j p ) s 10lg H a ( j s )
jw p
dB
(6.1.3)
) dB
(6.1.4)
H (e j 0 ) H (e
jw s
)
如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：
p 20lg H (e