脉冲响应不变法设计数字低通滤波器

燕山大学

课程设计说明书

题目：脉冲响应不变法设计数字低通滤波器

学院（系）：电气工程学院

年级专业：09级精密仪器及机械2班

学号： 0901********

学生姓名：范程灏

指导教师：刘永红

教师职称：讲师

电气工程学院《课程设计》任务书

课程名称：数字信号处理课程设计

基层教学单位：仪器科学与工程系指导教师：

学号学生姓名（专业）班级设计题目7、脉冲响应不变法设计数字低通滤波器

设

计技术参数给定技术指标为：Hz

f

p

100

=，Hz

f

s

300

=，dB

p

3

=

α，dB

s

20

=

α，采样频率Hz

F

s

1000

=。

设

计

要

求

设计Butterworth低通滤波器，用脉冲响应不变法转换成数字滤波器。

参考资料数字信号处理方面资料MATLAB方面资料

周次前半周后半周

应完成内容收集消化资料、学习MA TLAB软件，

进行相关参数计算

编写仿真程序、调试

指导教师签字基层教学单位主任签字

目录

第1章前言 (3)

第2章数字信号处理部分基础知识 (3)

第3章 MATLAB部分基础知识 (8)

3.1 MATLAB介绍 (8)

3.2 MATLAB命令介绍 (8)

第4章仿真过程及仿真图 (9)

4.1 仿真程序 (9)

4.2 仿真波形 (10)

第5章设计结论 (10)

第6章参考文献 (11)

第一章 前言

《数字信号处理》课程设计是在学生完成数字信号处理和MATLAB 的结合后的基本实验以后开设的。本课程设计的目的是为了让学生综合数字信号处理和MATLAB 并实现一个较为完整的小型滤波系统。这一点与验证性的基本实验有本质性的区别。开设课程设计环节的主要目的是通过系统设计、软件仿真、程序安排与调试、写实习报告等步骤，使学生初步掌握工程设计的具体步骤和方法，提高分析问题和解决问题的能力，提高实际应用水平。

IIR 数字滤波器具有无限宽的冲激响应，与模拟滤波器相匹配，所以IIR 滤波器的设计可以采取在模拟滤波器设计的基础上进一步变换的方法。其设计方法主要有经典设计法、直接设计法和最大平滑滤波器设计法。FIR 数字滤波器的单位脉冲响应是有限长序列。它的设计问题实质上是确定能满足所要求的转移序列或脉冲响应的常数问题，设计方法主要有窗函数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等。

第2章 数字信号处理基础知识部分

2.1巴特沃斯滤波器的幅度平方函数及其特点

巴特沃斯模拟滤波器幅度平方函数的形式是

)N c N c a j j j H 222

)/(11)/(11ΩΩ+=ΩΩ+=Ω （5-6）

式中N 为整数，是滤波器的阶次。Ω=0时，)(Ωj H a =1时；当Ω=c Ω时，)(c a j H Ω=1/2 ，所以c Ω又称为3dB 截止频率。

2.2幅度平方函数的极点分布及)(s H a 的构成

将幅度平方函数2)(Ωj H a 写成s 的函数 N c s j N c a a j s j j s H s H 22)

/(11)/(11

)()(Ω+=ΩΩ+=-=Ω（5-7） 此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点k s 用下式表示 )21221(2)212(2/1*)()1(N k j c c j N k j c N k e e e j s +++Ω=Ω=Ω-=πππ k=0,1,2，……（5-8）

这2N 个极点分布在s 平面半径为c Ω的圆上，角度间隔是π/N 弧度。N=3时，极点间隔为π/3弧度或60度。极点对虚轴是对称的，且不会落在虚轴上。当N 是奇数时，实轴上有极点；当N 为偶数时，则实轴上没有极点。巴特沃斯滤波器的N 个极点为 1,1,0;)21221(-⋯⋯=Ω=++N k e s N k j c k ，π （5-9）

则)(s H a 的表达式即滤波器的系统函数为 ∏-=-Ω=

10)

()(N k k N c a s

s s H （5-10） 2.3频率归一化问题

式（5-10）即为所求滤波器的系统函数，可看出)(s H a 与c Ω有关，即使滤波器的幅度衰减特性相同，只要c Ω不同，)(s H a 就不一样。为使设计统一，可将所以的频率归一化。这里采用对3dB 截止频率c Ω归一化。

2.4设计步骤

总结以上讨论，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：

1）根据技术指标p s p Ω,,αα和s Ω，用式（5-17）求出N 。

2）按照（5-13），求出归一化极点，代入（5-12），得到归一化传输函数。也可以直接查表.

3)将)(p H a 去归一化。将p=s/c Ω代入)(p H a ，得到实际的滤波器传输函数)(s H a 。如果技术指标没有给出3dB 截止频率c Ω，可以按照式（5-18）或（5-19）求出。

2.5响应不变法的核心

核心是通过对连续函数)(t h a 等间隔采样得到离散序列)(nt h a ，使)()(nT h n h a =（其中T 为采样间隔）,因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，转换步骤如下

)()()()()(z h n h nT h t h s H z a a a −−→−=−−−→−−−−→−变换等间隔采样拉氏逆变换

设模拟滤波器)(s H a 只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将)(s H a 用部分分式表示，则

∑=-=N i i

i a s s A s H 1)( 式中，i s 为)(s H a 的单阶极点。将)(s H a 进行拉氏逆变换得到

)()(t u e A t h t s N

i i a i ∑=