椭圆的参数方程
椭圆的参数方程 课件
y P
θ
O
A x
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在x轴xy
a b
cos, sin.
焦点在y轴xy
b cos, a sin .
知识归纳 椭圆的标准方程:
x2 y2 1
a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
（ 3 ）。 2
M B
A
利用几何画板动 画 演 示,理 解 椭 圆 规 工 作 原 理.
图2 9
探 究 椭 圆 规 是 用 来 画 椭 圆 的一 种 器 械,它 的 构 造 如 图2 9 所 示.在 一 个 十 字 形 的 金 属 板上 有 两 条 互 相 垂 直 的 导 槽,在 直 尺 上 有 两 个 固 定 滑块A, B,它 们 可 分 别 在 纵 槽 和 横 槽 中滑 动,在 直 尺 上 的 点M处 用 套 管 装 上 铅 笔, 使 直 尺 转 动 一 周 就 画 出一 个 椭 圆.你 能 说 明 它 的 构 造 原 理 吗?(提 示:可 以 用 直 尺AB和 横 槽 所 成 的 角 为 参 数,求 出 点M的 轨 迹 的 参 数 方 程.)
d
|
3
cos
4 sin
5
10
|
|
5
cos
3 5
sin 5
4 5
10
|
1 5
|
5 cos
0
10
|,
其中0满足cos0
3 5
, sin 0
4 5.
由三角函数性质知,当 0 0, d取最小值 5.
椭圆的极坐标参数方程
椭圆的极坐标参数方程椭圆是一种特殊的圆形曲线，其在笛卡尔坐标系下的方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
而在极坐标系下，椭圆的参数方程可以用以下形式表示：x = a * cos(θ)y = b * sin(θ)在参数方程中，θ表示极角，取值范围为[0,2π]。
为了证明该参数方程确实满足椭圆的定义，我们可以将参数方程代入笛卡尔坐标系的方程中：(x/a)^2 + (y/b)^2 = (a * cos(θ) / a)^2 + (b * sin(θ) / b)^2= cos^2(θ) + sin^2(θ)=1由此可见，参数方程(x = a * cos(θ)，y = b * sin(θ))确实满足椭圆的定义。
通过参数方程，我们可以得到椭圆上的各个点的坐标。
当θ取不同的值，可以得到不同的点。
其中，θ的取值范围[0,2π]保证了椭圆的闭合性，即曲线围绕着中心点旋转一周后能回到原点。
特殊情况下，当a=b时，椭圆退化为圆形。
此时的参数方程可以简化为：x = a * cos(θ)y = a * sin(θ)这两个方程和极坐标下的圆形参数方程形式一致。
所以，椭圆可以看作是圆形的一种特殊情况。
得到了椭圆的极坐标参数方程后，我们可以通过改变a和b的值来调整椭圆的形状。
当a>b时，椭圆在x轴上横向拉伸；当a<b时，椭圆在y 轴上纵向拉伸。
椭圆在实际生活中有广泛的应用，例如天体轨道、天文学中的视差测量、地理学中的地球轨道等。
掌握了椭圆的参数方程，我们可以更加深入地研究和理解这些现象，为实际问题的解决提供更好的数学工具。
总之，椭圆的极坐标参数方程为x = a * cos(θ)，y = b *sin(θ)，其中a和b分别表示椭圆的半长轴和半短轴。
这个参数方程满足椭圆的定义，并且可以用于描述椭圆上的各个点的坐标。
通过调整a和b的值，我们可以改变椭圆的形状。
椭圆在实际应用中有广泛的用途，了解椭圆的参数方程对深入研究这些应用问题非常重要。
椭圆双曲线参数方程公式
椭圆双曲线参数方程公式
椭圆双曲线是二元二次方程的一种类型。
它的参数方程公式描述了在平面坐标系中的形状和位置。
椭圆和双曲线的参数方程公式略有不同，下面分别介绍。
1. 椭圆的参数方程公式：
椭圆的参数方程公式可以表示为：
x = a cos(t)
y = b sin(t)
其中，a和b是椭圆的两个半轴长度，t是参数，范围从0到2π。
这个参数方程公式描述了椭圆上每一点的坐标。
在坐标系中，椭圆的中心在原点，且半轴与坐标轴平行。
2. 双曲线的参数方程公式：
双曲线的参数方程公式可以表示为：
x = a sec(t)
y = b tan(t)
其中，a和b是双曲线的两个半轴长度，t是参数，范围从0到2π。
这个参数
方程公式描述了双曲线上每一点的坐标。
在坐标系中，双曲线的中心在原点，且两支曲线分别关于x轴和y轴对称。
需要注意的是，双曲线有两种形式：左右开口和上下开口。
如果双曲线的参数方程公式中y的系数为负数，则为左右开口；如果x的系数为负数，则为上下开口。
总之，椭圆和双曲线的参数方程公式是数学中的基础知识，可以用于描述其形状和位置。
学生应该掌握这些参数方程公式的基本概念和用法。
抛物线和椭圆两者的标准方程的区别
抛物线和椭圆两者的标准方程的区别抛物线和椭圆的标准方程主要有以下区别：
定义：抛物线是由一个焦点、一条准线和一条弧组成，而椭圆是由两个焦点和到两个焦点的距离之和等于定值的点的轨迹形成的曲线。
参数方程：抛物线的参数方程为x=4tcosθ，y=4tsinθ，其中t为参数，θ为参数。
椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，其中a为长轴长，b为短轴长，θ为参数。
标准方程：抛物线的标准方程为y^2=2px，其中p为焦距。
椭圆的的标准方程为(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1，其中a为长轴长，b为短轴长。
面积公式：椭圆的面积公式为S=πab，其中a为长轴长，b为短轴长。
焦点和准线：椭圆的焦点是两个焦点的位置，它们可以用标准方程中的a和b表示。
椭圆的准线是垂直于长轴的直线，它们可以用标准方程中的a和b表示。
总的来说，抛物线和椭圆在定义、参数方程、标准方程、面积公式、焦点和准线等方面存在显著差异。
椭圆的参数方程
O x
思考： 点M的轨迹是什么？
思考：
（ 1）当半径OA绕点O旋转一周时，
规定：的范围 0.2
（2）点M的轨迹的参数方程是什 么？
典型例题
x y 例1、在椭圆 1上求一点M, 使点M到 9 4 直线x 2 y 10的距离最小，并求出最 小距离。
2 2
当堂练习
1、中心在圆点，焦点在x轴的椭圆的参数方程
O
y
AHale Waihona Puke B M(x,y)x
设以Ox为始边，OA为终边的角为 点M的坐标是（x, y） , 那么点A的横坐标（） 点B的纵坐标为（）
理解参数的意义
（称为点M的离心角）。
y
参数是点M所对应的圆的 OA(或OB)的旋转角
A
B M(x,y)
点A，B均在角的终边上， 由三角函数的定义得： x y
类比：中心在圆点，焦点在y轴的椭圆的参数方程
2、参数 的意义是什么
椭圆的参数方程
定
义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y M F2 x
y M x
F1
图
形
F1 O
O
F2
方 范
程 围
x2 y2 2 1 2 a b
a b 0
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
|x| a |y| b (c,0)、(c,0)
引例：设x a cos, (为参数) x2 y2 求椭圆 2 2 1(a b 0)的参数方程 a b
理解参数的意义
以原点O为圆心，a , b（a b 0）为半径 分别做两个同心圆。 设A为大圆上的任一点，连 接OA， 与小圆交于点B。 过点A, B分别做x轴, y轴的垂线， 两垂线交于点M
椭圆参数方程求最值
椭圆参数方程求最值
要求椭圆参数方程的最值，首先需要确定椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程通常形式为：
x = a*cos(t)
y = b*sin(t)
其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴，t是参数，取值范围为[0, 2π)。
求最值时，需要将参数方程代入到需要求最值的目标函数中，并对参数t求导，然后令导数等于0，求解参数t的取值。
最后，将参数t的值代入到参数方程中，即可求出最值。
举个例子：假设要求椭圆的最高点的y坐标最大值。
将y =
b*sin(t)代入目标函数中，目标函数变为f(t) = b*sin(t)。
对参数t求导得到f'(t) = b*cos(t)。
令f'(t) = 0，解得t = π/2或3π/2。
将t的值代入到y = b*sin(t)中，可以求出最高点的y坐标的最大值为b。
根据具体的目标，将目标函数代入到椭圆的参数方程中求解最值。
《椭圆的参数方程》课件
引入参数
引入参数化变量描 述椭圆
求解参数值
确定椭圆参数的具 体数值
应用坐标变换
将椭圆的标准方程 转化为参数方程
椭圆参数方程的性质
可变形
参数值影响椭圆形 状
对称性
某些参数下的椭圆 具有对称性
应用广泛
在物理学、工程学 等领域有广泛应用
多样性
不同参数组合形成 不同椭圆
椭圆参数方程的应用
天体轨道
描述行星绕太阳运 动轨迹
物理模型
描述摆线运动等现 象
数据分析
用参数方程拟合实 验数据
工程设计
绘制椭圆形状的设 计图
01 人工智能
应用于图像识别和处理
02 生物医学
模拟生物运动和疾病分析
03 材料科学
用于纳米结构和材料设计
感谢观看
感谢您观看本次关于椭圆参数方程的PPT课件。通过本课件， 您了解了椭圆参数方程的定义、推导、性质和应用，希望对 您理解椭圆和参数方程有所帮助。在未来，椭圆参数方程将 在更多领域展示其重要性和应用价值。谢谢！
参数方程的几何意义
曲线形状分析
通过参数方程了解 曲线的形状特点
几何问题解决
利用参数方程解决 具体的几何问题
动态变化观察
观察曲线随参数变 化的动态效果
01 运动规律分析
通过参数方程描述物体的运动规律
02 变化趋势预测
根据参数方程预测物体的变化趋势
03 控制参数优化
利用参数方程优化系统控制参数
参数方程的工程 应用
参数方程的物理应用
运动轨迹描述
描述物体在空间中 的运动轨迹
模拟实验
通过参数方程进行 物理实验的模拟
变化过程分析
分析物体随时间变 化的状态
椭圆的参数方程
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
B
)
方程为__________ __________ ?
解：方程x 2 y 2 4 x cos 2 y sin 3 cos2 0 可以化为( x 2 cos ) ( y sin ) 1
2 2
所以圆心的参数方程为 {
x 2 cos y sin
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 离 心 率
a2=b2+c2
c e a
问题、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
椭圆的参数方程及其应用课件
通过模拟结果的分析，可以深入理解椭圆参数方程的性质，为后续 的应用提供基础。
椭圆参数方程的数值模拟在物理问题中的应用
力学问题
椭圆参数方程可以用于描述力学 问题中的椭圆运动轨迹，如行星
的运动轨迹等。
电磁学问题
椭圆参数方程可以用于描述电磁 学中的椭圆波函数，如电子的波
函数等。
流体力学问题
椭圆曲线上的线积分等问题。
椭圆的参数方程的积分学分析还 可以用于求解一些物理问题，如 质点的运动轨迹、振动问题等。
05
椭圆的参数方程的数值模拟
用数值模拟方法研究椭圆参数方程的性质
椭圆参数方程的表示形式
椭圆参数方程是一种用参数表示的椭圆方程，通过参数的变化可 以研究椭圆的形状和大小。
数值模拟方法
采用数值计算的方法来模拟椭圆参数方程的性质，如参数的变化对 椭圆形状的影响、椭圆的旋转等。
星绕太阳的运动轨迹可以用椭圆的参数方程表示。
02
椭圆参数方程的极坐标形式
在极坐标系中，椭圆的参数方程通常表示为半径r关于角度θ的函数。这
种形式可以直观地描述椭圆的形状和大小。
03
运动轨迹的解析方法
使用椭圆的参数方程描述物体运动轨迹时，可以通过解析方法求解轨迹
的形状和位置。例如，通过已知的行星运动规律，可以推导出其运动轨
椭圆参数方程可以用于描述流体 力学中的椭圆流动，如涡旋的流
动等。
06
椭圆的参数方程在科技论文中的应用
在物理学领域的应用
粒子运动轨迹
01
椭圆的参数方程可以描述许多物理现象中的粒子运动轨迹，例
如行星绕太阳的运动轨迹、电子在电场中的运动轨迹等。
波动现象
02
椭圆的参数方程可以描述一些波动现象，例如声波、电磁波等
椭圆的参数方程
• 1．椭圆的参数方程
普通方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
参数方程
x＝ acos φ y＝ bsin φ
(φ为参数)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ为参数)
2．中心在（m,n）的
椭
圆
x－m2 a2
＋
y－n2 b2
的矩形的长和宽及其最大面积．(如图)
解析：
已知椭圆
x2 9
＋y42
＝1的参数方程为
x＝3cosφ， y＝2sinφ
(φ
为参数)，设P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点．
则P点的坐标是P(3cosφ，2sinφ)，
内接矩形面积为
S＝4xy＝4·3cosφ·2sinφ＝12sin2φ
当sin2φ＝1，即φ＝45°时，面积S有最大值12，
• ①通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标；
• ②将解析几何中的计算问题转化为三角问题，从而运用三角 性质及变换公式帮助求解诸如最值、参数取值范围等问题．
• (2)设出C的坐标为(6cosθ，3sinθ)； • (3)由重心公式可得G坐标； • (4)消去参数θ，即得G轨迹方程．
[解题过程] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆 上运动，故可设动点C的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G的坐标设 为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
(2)利用 asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角 函数的有界性求最值．
例1在椭圆 x 2 y 2 1上求一点M，使点M到直线x 2 y 10 0 94
的距离最小，并求出最小距离
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x a co s y b s in 是椭圆的参
知识归纳 2 2 x y 椭圆的标准方程: 2 2 1
a b x a cos 椭圆的参数方程: y b sin
x a cos (为参数) y b sin
x a
2 2
O
N
x
即为点M的轨迹参数方程.
消去参数得:
y b
2 2
1,
即为点M的轨迹普通方程.
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b 另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
xosθ
y=3cosθ+3sinθ
D. 线段
y
2
2
4
9
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M 由已知:
(为参数)
y A
B O M N
φ
x
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2 圆的参数方程:
x r cos y r sin
θ y P
(为参数)
O
A x
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P ( 设
则d |
8 8 y , y ),
2
8 8y
2
y 4|
O x
2
分析2：设 P ( 2
则d |2
2 cos , sin ),
2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
A1
B2
A
A D 2 0 c o s , A B 1 6 s in
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
4 1 练习3:已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
x 9
解 :椭圆参数方程 设 点 P(3cos ,2sin ) S ABC 面 积 一 定 , 需 求 S ABP 最 大 即 可
3 2 2
这 时 点 P的 坐 标 为 (
, 2)
练习4
1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
最大值6 2 , 最小值 6 2 .
x
2
y
2
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B .
即 求 点 P 到 线 A B的 距 离 最 大 值 线 AB的 方 程 为 d
x 3 y 2
2
y
2
1 2x 3y 6 0
6 13
| 6 c o s 6 s in 6 | 2
2
2 s in (
4
)
3
2
所以当=
4
时,d有 最 大 值 ,面 积 最 大
(4)
(4)
x 9
2
y
2
25
1
x 64
2
y
2
100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2 cos ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 （ 2 ），焦点坐标是（( （
3 2
），短轴长为
3 , 0)），离心率是
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
x
2
(1)
(1)
y
2
1
4
9
(2)
x
2
y
2
1
16
x 2 cos y 3 s in
x cos (2) y 4 s in
x 8 cos y 1 0 s in
把下列参数方程化为普通方程
(3)
(3)
x 3 cos y 5 s in
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
例3、已知椭圆
x
2
y
2
1有一内接矩形ABCD，
Y y D
100
64
求矩形ABCD的最大面积。
解 : 设 A 1 0 co s , 8 sin
S 2 0 1 6 s in c o s 1 6 0 s in 2
所 以 , 矩 形 A B C D 最 大 面 积 为1 6 0