考研数学二历年国家线汇总

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2024 考研数学(二)真题试卷及参考答案

试卷及解2024考研数学（二）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1(1)(2)()x x f x x --=的第一类间断点的个数是A.3. B.2.C.1.D.0.1.【答案】C【解析】无定义点为12x x ==，对于()()()()()111lim1121211,lim ||ee x x x x x x x x x →⋅-----→===，故1x =是可去间断点.对于()()11222,lim ||x x x x x ---→==+∞，故2x =是第二类间断点另外，0x =是分段点，()()()011limln 12(12lim||ex xx x x x x x →⋅----→==+∞∣，故0x =是第二类间断点.因此只有一个第一类间断点2.设函数()y f x =由参数方程231,et x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则2lim 2(2)x x ff x →+∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A.2e.B.4e 3.C.2e3.D.e3.2.【答案】B【解析】()222lim22x f f x x→+∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅原式()'22f +=1d d d d t y t x t==2212e 23tt t t==⋅4e 3=.3.设函数sin 30()sin d ,()()d ,xxf x t tg x f t t ==⎰⎰则A.()f x 是奇函数，()g x 是奇函数.B.()f x 是奇函数，()g x 是偶函数.C.()f x 是偶函数，()g x 是偶函数.D.()f x 是偶函数，()g x 是奇函数.3.【答案】D【解析】()sin 30sin d xf x t t =⎰，()3sin(sin )cos f x x x ='为奇函数.所以()f x 为偶函数，()()0d xg x f t t =⎰为奇函数.4.已知数列{}(0),n n a a ≠若{}n a 发散，则A.1n n a a ⎧⎫+⎨⎩⎭发散. B.1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.C.1ee nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭发散. D.1ee nn a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.4.【答案】D【解析】选项A ：取=22n a 11，，， (22)，112+.2n n a a +收敛到错误.选项B ：取=1,1,1,1,,n a -- 10.n na a -收敛到错误.选项C ：取=ln 2,ln 2,ln 2,ln 2,,n a -- 11e2e 2nna a ++收敛到错误.5.已知函数221()sin 0,(,)0,0,x y xy xy f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则在点（0,0）处A.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 可微.B.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 不可微.C.(,)f x y x ∂∂不连续，(,)f x y 可微.D.(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 不可微.5.【答案】C 【解析】()(()(,0,0,0,000limlimx y x y x y →→≠≠--⋅+⋅--⋅+⋅=或()(()(()22,0,0,0,000001sin0limlim0,x y x y x y x y x y xy→→≠≠≠≠+---⋅+⋅==且且则(),f x y 在（0,0）处可微.而()2221112sin cos ,0,(,)=0,0,x x y xy f x y xy xy x y x xy ⎧⎛⎫++-≠∂⎪ ⎪⎨⎝⎭∂⎪=⎩()()()()()()222,0,0,0,00000,11limlim 2sin cos x y x y x y x y x y f x y x xxy x y xy →→≠≠≠≠⎡⎤+∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎣⎦且且不存在，从而(),f x y x∂∂在（0,0）处不连续.6.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .y y f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰6．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A .7.设非负函数()f x 在∞[0,+)上连续.给出以下三个命题：①若20()d f x x +∞⎰收敛，则0()d f x x +∞⎰收敛；②若存在1,p >使得lim ()px x f x →+∞存在，则0()d f x x +∞⎰收敛;③若0()d f x x +∞⎰收敛，则存在1,p >使得lim ()p x x f x →+∞存在.其中真命题的个数为A.0.B.1.C.2.D.3.【答案】B【解析】①取()2011(),d 11f x x x x +∞=++⎰收敛，01d .1x x +∞+⎰发散，错误②极限比较判别法原话.正确.③极限比较判别法为充分不必要条件.错误.()()()201d 1,lim .1ln 1px x p x f x x x +∞→+∞>=∞++⎰取收敛，8.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=A A.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P ，故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131 (1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.设A 为4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若*()=-A A A O 且*≠，A A 则()r A 取值为A.0或1.B.1或3.C.2或3.D.1或2.9.【答案】D【解析】由题意可知*()=-A A A O ，故()()*4r r +-≤A A A.()***,,1r ≠-≠-≥又故即A A A A A O A 因此() 3r ≤A .又()*2*22-=-=-==OA A AAAA A A E A ()()**2,0r r ⇒≤=⇒=此时OA A A 又()*1r ≠⇒≥A A A ，故()12r =或A .10.设,A B 为2阶矩阵，且=,AB BA 则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的A.充分必要条件.B.充分不必要条件.C.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件.10.【答案】B【解析】方法一充分性，A 有两个不相等的特征值，故A 必可相似对角化.又=,AB BA ，且A 有2个不同特征值，故A 的特征向量都是A 的特征向量.（利用线代9讲结论）又A 有2个线性无关特征向量，故B 有2个线性无关特征向量，故B 必可相似对角化.必要性，B 可相似对角化，不妨取,==B E A E ，则推翻.【解析】方法二因题知A 有两个不同特征值，不妨设为12λλ，且12λλ≠，则存在可逆阵P 使1121111111122 λλλλλλ-------⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭=⇔=⎛⎫⎛⎫⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又P AP AB BA P APP BP P BPP APP BP P BP B 可相似对角化1-⇔P BP 可相似对角化.12134121211343422111211221223241324 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设代入上式由P BP 122222313311140000b b b b b b b b λλλλ--⇒=⇒==⇒=⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭可对角化P BP P BP ⇒可对角化B 以上推导均基于12λλ≠，反之可对角化B 无法推出A 有两不同特征值，故A 有两个不同特征值为 B 可对角化的充分非必要条件.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.曲线2y x =在点(0,0)处的曲率圆方程为.11.221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由图像可转化为2y x =处且()()3221y k y '''=+()0,020,2y xy ==''='12,2k R ==，2211(0)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.12.函数324(,)2961224f x y x x y x y =--++的极点是.12.【答案】（1,1）【解析】由23618120,24240,x y f x x f y '⎧=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得驻点为(1,1),(2,1).又21218,0,72,xxxy yy A f x B f C f y ''''''==-====-代入点（1,1）得24320,6,AC B A -=>=-故（1,1）是极大值点.代入点（2,1）得24320,AC B -=-<故（2,1）不是极值点.13.微分方程21()y x y '=+满足条件(1)0y =的解为.13.【答案】()π arctan 4x y y +=+【解析】方程化为2d ()d xx y y=+d d1d d x u u x y y y=+=-令则即2d 1d uu y=+则21d d 1u y u ⎰=⎰+arctan u y c=+代1,0,1x y u ===.得π 4c =得()πarctan 4x y y +=+14.已知函数2()(e 1)xf x x =+，则(5)(1)f =.14．【答案】31e 【解析】()()()52e 1x x +()()()(5)(4)22e 15e 1x x x x '=++⋅+⋅()()(5)225e 1''x C x ++2e 5e 210e 2x x x x x =⋅+⋅⋅+⋅⋅,则(5)e 10e 20e 31e(1)f++==15.某物体以速度()sin πv t t k t =+作直线运动.若它从0t =到3t =的时间段内平均速度是52，则k =.15．【答案】3π2【解析】30(sin )2πd 53t k t t+=⎰,则3015(sin )2πd t k t t +=⎰,30915cos 22k t -π=π915(11)22k ---=π,则3π2k =.16.设向量1231111,,,1111a ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα若123,,ααα线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab =.16．【答案】4-【解析】由()22123211111111011011,,1101101111011002a a a a a a a a b b a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪--+-+- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα由()123,,2r ≤ααα且()(),2i j r i j =≠αα故()123,,2r =ααα1当1a =时，1α与3α相关，不满足题意2当1a ≠时，()()1231111011011,,0110012002002a aa ab a b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪+--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ααα故要满足题意，则20a +=且()120b a -+-=242a ab b =-⎧⇒⇒=-⎨=⎩三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12J v ∂x ∂x==∂u∂y ∂v ∂y 故∂u∂v1331331d 1d 2u v v ⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式8ln33=.18.设()y x 为微分方程290,x y xy y '''+-=满足条件112,6x x y y =='==的解.（1）利用变换e tx =将上述方程化为常系数线性方程，并求();y x（2）计算21(.y x x ⎰解：（1）290,x y xy y '''+-=令e tx =，则222222d d d d 1d d 1d 1,,d d d d d d d y y t y y y y x t x t x x t x t x ⎛⎫⎛⎫===+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2222d d d d 90,90d d d d y y y y y y t t t t-+-=-=即，()()()()3332121123221124e e ,1=233,1336,t t C y C C y x C x y C C x C y x C x y C C x -=+=+=+''=-=-=，，①②从而()312=2=0=2.C C y x x ，，则（2）2211(2y x x x x=⎰⎰3222226624352sin16sin4cos d64(1cos)cos d(cos)cos1164)d6435116464.38532816055x tt t t t t tt uu u u u uππππ==--⎛=-=-⎝⎛⎛=-==⎝⎭⎝⎭⎰⎰令令19.设0,t>平面有界区域D由曲线xy-=与直线,2x t x t==及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为()V t，求()V t的最大值.19.【解】222222π()π()dπe d(21)e4tt t x xt ttV t y x x x x x--===-+⎰⎰42π(41)e(21)e(0)4t tt t t--⎡⎤=-+-+>⎣⎦()42π1()16e4e0,ln4ln242t tV t t t t'--=--+===,(0,ln2),t∈maxπ3π()0,(ln2,),()0,ln2,[()]ln21664V t t V t t V t''>∈+∞<==+20.已知函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，且函数(,)(2,3)g x y f x y x y=+-满足222226 1.g g gx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂（1）求2;fu v∂∂∂（2）若2(,0)1e,(0,)1,50uf u u f v vu-∂==-∂求(,)f u v的表达式.20.【解】（1）23g f fx u v∂∂∂=+∂∂∂2222222222222 2233234129g f f f f f f fx u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，2gx y ∂∂∂222222222222(1)31)23f f f f f f f u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+⋅-++-=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，g f f y u v∂∂∂=-∂∂∂，()()2222222222222112g f f f f f f fy u u v u v v u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅--+-=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭,代回原式得，2 251f u v∂=∂∂,故2125f v v ∂=∂∂（2）()111d 2525f v v c u u ∂=⎰=+∂，()()1,0e e u uf u u c u u u --∂==∂代得，1e 25u f u v u -∂=+∂故，则()()()211,e d 1e 2525u u f u v u v u u uv c v --⎛⎫=⎰+=-+++ ⎪⎝⎭.代()210,150f v v =-得()22150c v v =综上：()()211,12550uf u v u e uv v -=-+++.21.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰21.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x xx ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 22.设矩阵1101,11,1012a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 二次型T123(,,)f x x x =x BAx .已知方程组=0Ax 的解均是T =0B x 的解，但这两个方程组不同解.（1）求,a b 的值；（2）求正交变换=x Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形.22.【解】（1）由题意可知，=0Ax 的解均是T=0B x 的解故()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭T A A B ,且()2r =A 011011011010101 11011001112011001a a a b b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭T 又A B 故1,2a b ==(2)111120111111210122224⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BA CT T 112112224f ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭x BAx x x由()()12310,tr 6r λλλ=⇒====C C 当120λλ==时，得到线性无关的特征向量为12111,101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ，单位化为12,0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ =-= ⎪ ⎪ - ⎪⎪ ⎝⎭⎝η η当36λ=时，得到线性无关的特征向量为3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化为2112⎛⎫⎪=⎪⎪⎭η()123 ,,0⎛ ==-⎝故令Q ηηη则23T6f ===x Qyx Cx y。

考研数学一历年国家线汇总

考研数学一历年国家线汇总
考研数学历年国家线汇总：
学科门类(专业)名称
2022
2021
2020
2019
2018
A类
B类
A类
B类
A类
B类
A类
B类
A类
B类
哲学
41
38
42→
39→
42↑
39↑
39
36
经济学
74
69
49
46
48↓
45↓
49↑
46↑
44
41
法学
44
41
46↑
43↑
44↑
41↑
42
39
教育学(不含体育学)
31
医学(不含中医类照顾专业)
41
38
42↓
39↓
43↑
40↑
40
37
军事学
56
51
37
34
37→
34→
37→
34→
37
34
管理学
77
72
48
45
49→
46→
49↑
46↑
44
41
艺术学
60
56
38
35
38→
35→
38↑
35↑
36
33
体育学
35
32
35→
32→
35↑
32↑
34
31
工学照顾专业③
53
48
（2）考试内容
数学一/三：
高等数学，90分，占比60%;4道选择题，4道填空题，5道大题；
线性代数，30分，占比20%;2道选择题，1道填空题，2道大题；

历年教育学考研国家线一览表(-)

历年教育学考研国家线一览表(-2022年)历年教育学考研国家线一览表(-2022年)2022年教育学(不含体育学)考研国家线一区总分为351分(单科线分别为51分、153分)，二区总分为341分(单科线分别为48分、144分)，一区是经济、教育强省，总分通常比二区高10分左右。

说明：1、国家线是考研进入复试的最低分数线，不仅总分要过线，而且单科也要过线，各学校通常会在国家线基础上划定学校各专业复试分数线，通常会比国家线高，当然很多非热门学校基本过了国家线就可以进入复试。

2、一区：报考地在北京、天津、河北、山西、辽宁、吉林、黑龙江、上海、江苏、浙江、安徽、福建、江西、山东、河南、湖北、湖南、广东、重庆、四川、陕西等21省(市)。

3、二区：报考地在内蒙古、广西、海南、贵州、云南、西藏、甘肃、青海、宁夏、新疆等10省(区)。

4、满分=100的为政治和英语，满分100的为专业课，单科总分加起来并不等于总分。

教育学专业有哪些课程教育学专业的课程主要分为两类：教育学类和心理学类。

主干课程涵盖面广，从基本理论到实践训练，从历史探寻到横向比较，从本学科的梳理到相关学科的介绍，这些内容都包含在主干课程中。

1.通识教育课程通识教育课程主要包括思想政治理论课程、大学外语、计算机基础与应用、大学体育、文化素质教育课程、创业基础课程、就业创业指导课程等，旨在提升学生的基本知识索养、科学与人文素养、道德品质和身心素质。

2.专业基础课程专业基础课程主要包括教育学原理、教育研究方法、中国教育史、外国教育史、课程与教学论、普通心理学、教育心理学、发展心理学、现代教育技术、特殊教育概论等。

3.专业方向课程各高校可根据教育的培养目标确定各专业的方向课程，教学内容应涵盖业务方面核心知识点，包括：德育原理、教育哲学、教育社会学、教育文化学、中国教育思想史、西方教育思想史等。

教育学专业教育教学应坚持以马克思主义为指导，以国家政治、经济和文化建设发展需求为基本原则，以中国高等教育定位和特点为参考框架，同时以行业标准和社会需求为导向。

考研数学的国家线一般是多少分

考研数学的国家线一般是多少分
一般来说，主要是三条线。

1、34所自主划线院校线，是由学校依据生源状况划定的复试线，会比国家线先出。

2、国家线是由教育部统一划定的进入复试的最低复试线。

3、各院校会依据国家线和详细的生源状况进行院校划线。

考研国家线每年都会在3月中旬更新，历年国家线和34所自划线院校复试线以20xx年国家线为例，考生要想知道自己所报考专业的国家线，首先要清晰自己所考专业属于哪个学科门类，报考的院校属于一区还是二区〔一区对应A类，二区对应B类〕，比方报考上海财经高校的'金融学专业，金融学属于经济学门类，上海财经高校属于A类地区的院校，对比20xx国家线，横轴看经济学，纵轴看A 类地区的总分是345分，单科线是指，政治和英语总分 100的考生考到49分过线，数学和专业课总分 150分的考生考到74分过线。

留意考研是指单科线和总分都得过线即双过线，不能简洁的理解为单科线总和等于总分线。

拓展阅读：考研数学总分多少分
1、考研数学总分是150分，120分应当算是高分的了。

全国硕士讨论生统一招生考试〔Unified National Graduate Entrance Examination〕，简称“考研”。

是指教育主管部门和招生气构为选拔讨论生而组织的相关考试的总称，由国家考试主管部门和招生单位组织的初试和复试组成。

2、思想政治理论、外国语、高校数学等公共科目由全国统一命题，专业课主要由各招生单位自行命题〔加入全国统考的学校全国统一命题〕。

硕士讨论生招生方式分为全日制和非全日制两种。

培育模式分为学术型硕士和专业型硕士讨论生两种。

2024考研数学二真题及参考答案

—1—考生编号姓名2024年全国硕士研究生招生考试数学(二)一、选择题：(1-10小题，每小题5分，共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.函数5的第一类间断点的个数为()(A)3(B)2(C)1(D)02.已知)则(A)2e(B)c)(D)3.已知,则()(A)f(x)为奇函数，g(x)为奇函数(B)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(C)f(x)为偶函数，g(x)为偶函数(D)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数4.已知数列{a,}(a,≠0),若{a,}发散，则().发散5.已知函数则在点(0,0)处().(B),f(x,y)不可微(D)不连续，f(x,y)不可微6.设f(x,y)是连续函数，则7.设非负函数f(x)在[0,+00]上连续，给定以下三个命题：(1),则收敛；(2)若存在p>1,使极限,则收敛；(3)若收敛，则存在p>1,使极限)存在；其中正确的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)38.设A 为三阶矩阵，则矩阵A 为()(A)9.设A 为四阶矩阵，A 为A 的伴随矩阵，若A(A-A*)=0,且A≠A,则r(A)的可能取值为()(A)0或1(B)1或3(C)2或3(D)1或210.设A,B 均为2阶矩阵，且AB=BA,则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的()(A)充要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)既非充分又非必要条件二、填空题：(11-16小题，每小题5分，共30分。

)11.曲线y²=x 在点(0,0)处的曲率圆方程为12.函数f(x,y)=2x³-9x²-6y ⁴+12x+24y的极值点是(a),f(x,y)可微(C )不连续，f(x,y)可微发散发散发散②—2—13.微分方程满足初始条件y(1)=0的解为14.已知函数f(x)=x²(e*-1),则f(5)(1)15.某物体以速度v(t)=t+ksin πt做直线运动，若它从t=0到t=3的时间段内平均速度是,若α,a ₂,α₃线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab=三、解答题：(17-22小题，共70分。

国家线历年数学单科

国家线历年数学单科国家线是指国家教育部门设定的标准，对应考生的总分数和各科成绩要求。

在高考中，国家线的设置影响着千千万万考生的命运，更是对整个中国教育的未来有着深远的影响。

在众多科目中，数学单科的国家线尤为关键。

一、国家线历年变化以近十年各个地区的高考数学国家线为例，可以看出，其变化呈现出一定的规律性。

从表格中可以发现，从2009-2011年，全国数学国家线开设为170分，在2012年则下调至160分。

但从2013至2016年，全国数学国家线又分别上调了5分，直到2017年下调至125分；而2018年，则再次被提升至135分。

各个省份的数学国家线变化大致与全国趋势相同，但在具体设置上有一定的差异。

二、国家线变化的原因国家线设置的变化不是没有原因的。

其中一个重要的原因是当前教育体制下对于教育质量和素质教育的要求。

在语文、英语等其他科目中，内容的难度和深度相对较易控制，而数学学科则不太相同。

与其他学科相比，数学涉及到的范畴相对较为庞大且难度较高，如果国家线过分高设，可能会造成很多优秀学生的流失。

数学成了一个挑战教育水平和教育目标的门槛。

同时，国家主管部门的变革以及国际竞争的加剧也会对数学国家线的变动产生一定的影响。

这说明，数学在国家和社会中的地位越来越高，对于人才选拔的重要性也越来越大。

三、国家线变化对于中学生的影响当国家线变动时，对于各个年级的学生都可能有着一定的影响。

特别是处在高中第几年的学生可能会需要调整考试备考的计划。

例如，如果国家线不断升高，那么，学生有可能会放弃其他学科更多的时间去学习数学。

这样虽然能让学生更好地完成高考的任务，但是也难免失去了学科多样性和综合素质教育的机会。

相反，如果国家线不断降低，这也会对学生的成长产生一定的不利影响。

这时，学生们有可能会因为好高鹜远怎么考也考不好，而逐渐失去进取的动力和对学习的热情。

四、怎样对待数学国家线的变化数学国家线的变动，对于高中学生来说，既有挑战也有机遇。

2022数学(二)试题及解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考试时间：180分钟，试卷总分：150分考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当()()0,,x x x αβ→是非零无穷小量，给出以下四个命题.()()()()22,.x x x x αβαβ ①若则()()()()22.x x x x αβαβ ②若，则()()()()()(),.x x x x o x αβαβα-= ③若则()()()()()().x x o x x x αβααβ-= ④若，则所有真命题的序号：A. B. C. D.①③①④①③④②③④【答案】选C.【解析】①2200()()lim 1lim 1()()x x x x x x ααββ→→=⇒=，正确；③()()()()()0000()()()lim 1lim lim lim 110,()x x x x x x x x x x x x x αβααββααα→→→→-=⇒=-=-=正确④()()()()()()0000()()()lim0lim lim 0lim 1x x x x x x x x x x x x x αβαββαααα→→→→-=⇒-=⇒=,即()()x x αβ ,正确；而00()()(())limlim 1,()()x x x x o x x x αβαββ→→+==(),(),x x x x αβ==-取则②错误,故选C.2.22d d yy x =⎰⎰A.6B.13C.3D.23【答案】选D.【解析】()()()22201233221321d 211d 16112211.633xx y x xx x x -==⋅=++=⋅+=-=⎰⎰⎰⎰原式故选D.3.设函数()f x 在0x x =处有2阶导数，则A.当()f x 在0x 的某邻域内单调增加时，()00f x '>B.当()00f x '>时，()f x 在0x 的某邻域内单调增加C.当()f x 在0x 的某邻域内是凹函数时，()00f x ''>D.当()00f x ''>时，()f x 在0x 的某邻域内是凹函数【答案】B.【解析】由于()f x 在0x x =处有2阶导数，故()00lim ()0x x f x f x →''=>，()00,()ox U x f x δ'∈⇒>，()f x 在0x 的某邻域内单调增加，选择B4.设函数()f t 连续，令0(,)()()d x yF x y x y t f t t -=--⎰，则A.2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==∂∂∂∂B.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂C.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂D.2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂【答案】选C.【解析】0(,)()d ()d ()d x yx yx yF x y xf t t y f t t t f t t---=--⎰⎰⎰0()d ()()()()()d x y x y F f t t xf x y yf x y x y f x y f t tx --∂=+------=∂⎰⎰22()Ff x y x∂⇒=-∂00()()d ()()()()d x y x y Fxf x y f t t yf x y x y f x y f t ty--∂=---+-+--=-∂⎰⎰22()Ff x y y∂⇒=-∂，故F F x y ∂∂=-∂∂，故选C.5.设p 为常数，若反常积分()110ln d 1ppx x x x --⎰收敛，则p 的取值范围是()()()()A.1,1B.1,2C.,1D.,2---∞-∞【答案】选A.【解析】11211102ln d d d (1)(1)p pp p x x x x x x x x --+--⎰⎰原式为100120ln (1)lim lim ln (0)011d 1p px x p p x x x x x x x p x εεεε++-→→++-=⋅>=⇒<⎰收敛12111ln 1(1)lim 1 d 1,1(1)(1)p pp x pxx x x p x x ---→---=⇒>----⎰与同收敛故选A.ππ6.{},22A.lim cos(sin )limB.lim sin(cos )limC.lim cos(sin )lim sin limD.lim sin(cos )lim cos lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-≤≤已知数列则()当存在时，存在当存在时，存在当存在时，存在，但不一定存在当存在时，存在，但不一定存在【答案】选D 【解析】{}(1)4πnn n x x =-⋅⇒发散.()2cos sin cos,l 2im n n x →∞=()lim sin cos sin2n n x →∞=，lim sin (1π)4n n →∞⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭不存在，故选D.111123000123213132321ln(1)27.d ,d ,d .2(1cos )1cos 1sin A. B. C. D. x x x I x I x I x x x xI I I I I I I I I I I I +===+++<<<<<<<<⎰⎰⎰已知则【答案】选A 【解析】()ln(1)2xf x x =-+，111()0,(0,1)212(1)x f x x x x -'=-=<∈++(0)0f =12ln(1),.2xx I I ⇒≤+<现比较2I 和3I ，即比较2ln(1)22(1cos )1sin x xx x+++与22223cossin ,(0,1)222cos cos sin 2224cos 1sin 22(1cos )1sin 112(1cos )1sin 2ln(1)2(0,1).x xx x x x xxx x x xx x x I I >∈⎛⎫⎛⎫⇒>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒>++>+<+++<∈<即而则故选A.8.设A 为3阶矩阵，100010,000⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ则A 的特征值为1，1-，0的充分必要条件是A.存在可逆矩阵P,Q ,使得=A P Q ΛB.存在可逆矩阵P ,使得-1=A P P ΛC.存在正交矩阵Q ,使得-1=A Q Q ΛD.存在可逆矩阵P ,使得T=A P P Λ【答案】选B【解析】根据相似对角化定义，B 选项可以直接推出A 的特征值为1，1-，0，又若A 的特征值为1，1-，0，互不相同，则A 一定可相似对角化，可推出B.故选B.9.设矩阵2211111,2,14a a b b b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭A =则线性方程组x =b A 解的情况为A.无解B.有解C.有无穷多解或无解D.有唯一解或无解【答案】选D【解析】22111(,)1214b A b a a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()22111||1111A a a b a b a b b ==---()||0(,)3A r A r A b ≠⇒==，有唯一解()||0(,)A r A r A b =⇒≠无解，故选D.10.设123421111,,1,,11λααλααλλλ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪====⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭若向量组123124,,,,αααααα与等价，则λ的取值范围是{}{}{}{}A.0,1B.,2C.,1,2D.,1λλλλλλλλλλ∈≠-∈≠-≠-∈≠-R R R 【答案】选C 【解析】()222111111011110(2)(1)0()111λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭()()()12312412341,,,,,,, 1 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()()12312412340 ,,,,,,, 3 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()1231241 ,,3,, 2 r r λαααααα=-⇒==，，不等价()()1231242 ,,2,, 3 r r λαααααα=-⇒==，，不等价其他时，()()()1231241234,,,,,,, 3 r r r αααααααααα===，等价故{,1,2}λλλλ∈≠-≠-∣R ，故选C.二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）11.cot 01e lim 2xx x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【答案】12e【解析】cos sin 0000cos 1e cot sin 200cos 1e cos (e 1)lim1limsin 22sin (e 1)1lim lim22212ln 1e 1e lim lim lim 22e eeeeeexx x x x x x x x x x xx x xx x x x x x xxx x→→→→⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭→→→⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====== 原式12.已知函数()y y x =由方程233x xy y ++=确定，则(1)y ''=.【答案】3132-【解析】223230()13,131,14x xy y y y x x xy y y x y y ''+++⋅==++=='===-①将代入得将代入,得对①两边求导：22630,31,1,,431(1)32++y xy y y y y y y y x y y ''''''''++⋅⋅+⋅='===-''=-代入解得13.1223d 1x x x x +=-+⎰.【答案】83π9【解析】()()1122001122200112200122023214d d 1114d 1d 111ln 14d 1114d 21322π.932x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +-+=-+-+=-++-+-+=-++-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰14.250,y y y ''''''-+=通解()y x =.【答案】123e (cos 2sin 2)xC C x C x ++【解析】特征方程为32250r r r -+=，分解因式，则2(25)0r r r -+=，得12,30,12r r i ==±，则通解为123e (cos 2sin 2)x y C C x C x =++.15.已知曲线L 的极坐标方程为sin 303r θθπ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则L 围成有界区域的面积为.【答案】π12【解析】ππ2330π20211sin 3sin 3d32611π1πsin d 2662212S d u u θθθθ====⨯⨯⨯=⎰⎰⎰16.设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵211110100--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则1-A 的迹()1tr -=A .【答案】1-【解析】100100211001110110010001100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ()11100211100=001110110010100001211100111100110100110001010010001; 1.111tr ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭A A A 三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数()f x 在1x =处可导，且()()222e 31sin lim2,x x f f x x →-+=求(1).f '【解析】()()222e 31sin lim2→-+=x x f f x x 由题意，得：()()220lim e 31sin 0(1)0x x f f x f →⎡⎤-+=⇒=⎣⎦()()()()2222222022220e 31sin e (1)e 1limlim e 11sin (1)sin 3lim sin (1)3(1)2(1)1x x x x x x x f f x f f x x f x f x x x f f f →→→-+--=⋅-+--⋅''=-='⇒=-18.（本题满分12分）设函数()y x 是微分方程242ln 1,xy y x '-=-满足条件1(1)=4y 的解，求曲线()()1e y y x x =≤≤的弧长.【解析】22d d 2322ln 1e e d 22ln 1d 21ln 2x xx x x y x C x x x x C x x Cx -⎡⎤-⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰代入1=x ，得：14C =，所以：211ln 24=-+y x x .则：1e 1211d 2211e 44s x x x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+⎰⎰19.（本题满分12分）已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算y x y x y x I Dd d )(222⎰⎰+-=.【解析】已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.222222222d 21d 2d d D D D Dx xy y I x y xy x y xyx y σσσσ-+=+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰补线2+=x y （图中虚线），根据对称性2222220sin cos 2202202d d 2d 2cos sin d 424cos sin d (sin cos )2sin 222sin 2d d 1sin 22222 2.DD xyx yr rθθσσθθθθθθθθθθθθθπ+πππ=-+=π+-⎛⎫=π+-- ⎪+⎝⎭=π+-++=π+-+π-=π-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）已知可微函数(,)f u v 满足()()(,)(,)2e ,u vf u v f u v u v u v -+∂∂-=-∂∂且2(,0)e u f u u -=.（1）记(,)(,)g x y f x y x =-，求(,)g x y x∂∂；（2）求(,)f u v 的表达式和极值.【解析】(1)(,)2()e 2(2)e u v yyg x y f f xx y x x y --∂''=-∂=-+=-(2)2()(,)2(2)e d 2e 2e ()(,)2()e ()(,)(,)2e ()y y y y u v g x y x y xx xy y f x y x x x y y f x y x f u v uv u v ϕϕϕ-----+=-=-+=-=-+=-=-++⎰代入0v =，得2()euu u ϕ-=，有：()()2()22()(,)2e ()e e u v u v u v f u v uv u v u v -+-+-+=-++=+()()()22()()22()2e e 2e e u v u v u u v u v v f u u v f v u v -+-+-+-+'=-+'=-+22222020⎧--=⇒=⎨--=⎩u u v u v v u v 代回有：(1)0-=u u 得：0==u v 或 1==u v ()()()()()()()()22()22()()()22()22()22()2e 2e 2e e 24e 2e 2e e 22e 24e u v u v u v u v uuu v u v u v u v u v u v vvA f u u u v u u vB u v u v u v u vC f v v u -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+''==--++=-++=--++=+--''==-++代入坐标有：()()()()()()20,021,100,001,12e 0,021,10-====-==A A B B C C 对于()0,0点，有240,0AC B A -=>>，这一点取得极小值0，对于()1,1点，有20AC B -<，不是极值.21.（本题满分12分）设函数()f x 在∞+∞（-，）内具有2阶连续导数，证明：()0f x ''≥的充分必要条件是对不同的实数,a b ，1(()d .2baa b f f x x b a +≤-⎰【解析】证明：由泰勒公式：()21()()()()()22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-，ξ介于x 与2a b +之间()()221()d (()((d 222221()()d 222ξξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰bb aa b a a b a b a b a b f x x f f x f x xa b a b f b a f x x必要性：若()0f x ≥''，则()0f ξ≥''，有()1d 2()+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰b aa b f f x x b a 充分性：若存在0x 使得0()0f x ''<，因为()f x 有二阶连续导数，故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零，记00,a x b x δδ=-=+,此时：()21()d ()()()d ()()2222ξ+++⎡⎤''=-+-<-⎢⎥⎣⎦⎰⎰bb aa ab a b a bf x x f b a f x x f b a 矛盾，故()0f x ≥''.综上，充分性必要性均得证.22.（本题满分12分）已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++.(1)求正交变换x =Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形;(2)证明()Tmin2f 0x x x x≠=.【解析】(1)已知：301040103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A()()222(30104010331(4)134)691(4)68(2)(4)λλλλλλλλλλλλλλλ=----=-----==--+---+---=-E A 2 λ=时，1011012020010101000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，解得：3101-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α；4λ=时，1014000000-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭E A ，解得：121,01100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα；已正交，直接单位化：3211232301,00,0⎛ ⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭=ααααββαβ令：01000⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q 得标准型：222123442=++f y y y (2)证明：因为Q 可逆：T T T002221232220123minmin()min 442min x y y y fffy y y y y y ≠≠≠≠==++=++x x y yy yQ Q 2222221231232222221231234422222++++=++++y y y y y y y y y y y y 令：21222301y y y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得：2=f 故最小值为2.。

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考研数学二历年国家线汇总
考研数学二历年国家线汇总
考研数学的国家线是一个很让考生们关注的重要因素，并且也是单项分数低于或者等于国家线时，才能正常完成考研的关键指标。

那么，考研数学二的历年国家线又有哪些呢？
首先，2019年考研数学二国家线为35分，其中，论述题以及应用题每小题最低得分为0.9分，每小题最高得分为1分；综合题每小题最低得分为2.5分，每小题最高得分为3分。

其次，2018年考研数学二国家线为36分，其中，论述题每小题最低得分为0.7分，每小题最高得分为1分；应用题和综合题每小题最低得分分别为1.8分，2.7分，最高得分分别为2分，3分。

再者，2017年考研数学二国家线为33分，其中，论述题和应用题每小题最低得分分别为0.8分，11.7分，每小题最高得分分别为1分，2分；综合题每小题最低得分为2.5分，最高得分为3分。

最后，2016年考研数学二国家线为30分，其中，论述题每小题最低得分为0.7分，每小题最高得分为1分；应用题每小题最低得分为1.5分，最高得分为2分；综合题每小题最低得分为2.5分，最高得分为3分。

总之，考研数学二的历年国家线一直在逐步提高，但是从上面的汇总可以看出，论述题比应用题和综合题都要难度较低，考生可以把重点放在论述题上多练习。

同时，很多考生不仅会考虑到国家线，还会考
虑到各高校录取分数线，所以，考生们要及时了解自己心仪院校的录取分数线。

总结而言，考研数学二历年国家线一直以35分为界限，大家要努力备考，发挥自己最大的潜力，争取得到一个好的考研成绩。