2018中考数学真题分类汇编解析版-18.1.平行四边形

一、选择题1．(2018安徽，9，4分) □ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能．．得出四边形AECF 一定为平行四边形的是( )A ．BE ＝DFB ．AE ＝CFC ．AF ∥CED ．∠BAE ＝∠DCF答案：B ，解析：如图，由□ABCD 得AB ＝CD ，AB ∥CD ，所以∠ABE ＝∠CDF ，结合选项A 和D 的条件可得到△ABE ≌△CDF ，进而得到AE ＝CF ，AE ∥CF ，判断出四边形AECF 一定为平行四边形；结合选项C 的条件可得到△ABF ≌△CDE ，所以AF ＝CE ，判断出四边形AECF 一定为平行四边形；只有选项B 不能判断出四边形AECF 一定为平行四边形．2．（2018·达州市，8，3分） △ABC 的周长为19，点D 、E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ．若BC ＝7，则MN 的长为（ ） ．A ．32B ．2C ．52D ．3M DN EB A C第8题图答案：C ，解析：∵△ABC 的周长为19，BC ＝7， ∴AB ＋AC ＝12．∵∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∴BA ＝BE ，N 是AE 的中点． ∵∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，∴AC ＝DC ，M 是AD 的中点． ∴DE ＝AB ＋AC －BC ＝5． ∵MN 是△ADE 的中位线，∴MN ＝12DE ＝52．故选C.3． （2018·达州市，9，3分）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC ，连接DE 、DF 并延长，分别交AB 、BC 于点G 、H ，连接GH ，则ADG BGHS S的值为（ ）．A ．12 B ．23 C ．34D ．1GH F ECAB D第9题图答案：C ，解析：如图，过点H 作HM ∥AB 交AD 于M ，连接MG ．设S 平行四边形ABCD ＝1．∵AE ＝CF ＝14AC ，∴S △ADE ＝14S △ADC ＝18S 平行四边形ABCD ＝18，S △DEC ＝38．∴S △AEG ＝19S △DEC ＝124．∴S △ADG ＝S △ADE ＋S △AEG ＝18＋124＝16．∵CH AD ＝13，∴S △AMG ＝23S △ADG ＝19．∵AG CD ＝13，∴S △GBH ＝2 S △AMG ＝29．∴ADG BGH S S ＝1629＝34．故选C.M GHFE C AB D4．(2018·泸州，7，3分) 如图2， □ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE ＋EO ＝4，则□ABCD 的周长为( )E ODA CBA ．20B ．16C ．12D ．8答案：B ，解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ．∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2AE ，OE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2OE ．∵AE ＋EO ＝4，∴AB ＋BC ＝2×4＝8．∴□ABCD 的周长为2×8＝16．5.（2018·台州市，8，4） 如图,在▱ABCD 中,AB =2,BC =3,以C 为圆心，适当长为半径画弧， 交BC 于点P ,交CD 于点Q ,再分别以点P ,Q 为圆心,大于1/2PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线CN 交BA 的延长线于点E ，则AE 的长是（ ） A .1/2 B.1 C .56 D .23答案：B ，解析：∵由题意可知CE 是∠BCD 的平分线， ∴∠BCE =∠DCE .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ,AD ∥BC . ∴∠DCE =∠E . ∴∠BCE =∠E . ∴BE =BC . ∵AB =2，BC =3， ∴AE =3−2=1.6. 在ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E ，则△AED 的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定答案：B ，解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点E ，∴∠EAD 12∠BAD ，∠EDA=12∠CDA ，∴∠EAD+∠EDA=12（∠BAD+∠CDA ）=12×180°=90°，∴∠AED=90°，故△AED 是直角三角形.7．(2018·湖州市，8，3分)如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＞90°，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上，将△CDE 沿DE 折叠，使得点C 恰好落在BA 是延长线上的点F 出，连接AD ，则下列结论不一定正确的是( )FEDC BA第8题图A ．AE ＝EFB ．AB ＝2DEC ． △ADF 和△ADE 的面积相等D ． △ADE 和△FDE 的面积相等答案．C 解析：连接CF.由折叠的性质可知CD ＝DF ，CD ＝EF ，∴DE 是CF 垂直平分线.又∵DC ＝DF ＝DB ，∴△BFC 是直角三角形，∴BF ⊥FC ，∴DE ∥BF.又∵点D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AE ＝EC ＝EF ，AB ＝2DE ，S △ADE ＝S △FDE ，故选项A 、B 、D 正确；由题意无法得出AD 与EF 平行，∴△ADF 与△ADE 的面积不一定相等，故不一定正确的是选项 C.FEDC BA二、填空题1. （2018·山东淄博，15，4分）在如图所示的□ABCD 中，AB =2，AD =3，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，且AE 过BC 的中点O ，则△ADE 的周长等于__________.DEOBCA答案：10 解析：由题意知AD =AE =3，DC =CE =2，所以△ADE 的周长=10.2．(2018·株洲市，18，3分) 如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD =CD ，过点A 作AM ⊥BD于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN =32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD =∠MAP +∠P AB ，则AP =______________．答案．6，解析：S △ABD =21AB ·DN =21BD ·AM ，∵BD =CD ，∴21AB ·DN =21CD ·AM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∴DN =AM ，∵DN =32，∴AM =32．∵∠ABD =∠MAP +∠P AB ，∠ABD =∠MAP +∠P ，∴∠MAP =∠P ，∵AM ⊥BD ，∴∠P =45°，在Rt △APM 中，sinP =AP AM ，∴AP =P AM sin =2223=6．3．(2018·衡阳市，17题，3分) 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，△CDM 的周长为8，那么□ABCD 的周长是 ．(第17题图)答案．16，解析：由平行四边形的性质可知点O 是AC 的中点，又因为OM ⊥AC ，所以OM 是AC 的垂直平分线，进而可知AM ＝CM ；根据△CDM 的周长为8，即CM ＋MD ＋CD ＝AM ＋MD ＋CD ＝8，而AM ＋DM ＝AD ，所以AD ＋CD ＝8，故□ABCD 的周长是16．4．(2018·临沂，17，3分)如图，在□ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC .则BD ＝ ．ODC BA第17题图答案．413，解析：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，∵□ABCD ，∴AD =BC =6，∵AC ⊥BC ，∴AC=22610-=8=DE ，∵BE =BC ＋CE =6＋6=12，∴BD =13481222=+.5．（2018·泰州市，13，3分）如图，□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若AD =6，AC +BD =16，则△BOC的周长为 .13．答案：14，解析：□ABCD 中，BC =AD =6，∵OB =OD ，OA =OC ，AC +BD =16，∴OB +OC =8， ∴△BOC 的周长=OB +OC +BD =14.6．（2018·泰州市，14，3分）如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ACD =∠ABC =90°，E 、F 分别为AC 、CD 的中点，∠D =α，则∠BEF 的度数为 .（用含α的式子表示）14．答案，270°﹣3α．解析：∵∠ACD =90°，∠D =α，∴∠DAC =90°﹣α，∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC =90°﹣α，∵∠ABC =90°，AE =CE ，∴BE =AE =EC ，∴∠EBA =∠EAB =90°﹣α，∴∠CEB =∠EBA +∠EAB =180°﹣2α，∵AE =CE 、CF =DF ，∴EF ∥AD ，∴∠CEF =∠DAC =90°﹣α，∴∠BEF =∠CEB +∠CEF =180°﹣3α．7．(2018·南京，14，2) 如图，在△ABC 中，用直尺和圆规作AB 、AC 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点D 、E ，连接DE .若BC =10cm ，则DE =cm.答案：5，解析：根据垂直平分线的定义可知D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以DE 是△ABC 的中位线，∴DE =12BC =5.三、解答题 1．（2018·金华市，20，8分）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A 在格点（小正方形的顶点）上.试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形.思路分析：利用数形结合的思想，先确定底边长，在确定高的长即可画出题目要求图形. 解答过程：图1：以点A 为顶点的三角形图3：以点A 为对角线交 点的平行四边形图2：以点A 为顶点的 平行四边形AA A2．（2018·重庆B 卷，24，10）如图，在□ABCD 中，∠ACB ＝45°，点E 在对角线AC 上，BE ＝BA ，BF ⊥AC 于点F ，BF 的延长线交AD 于点G ．点H 在BC 的延长线上，且CH ＝AG ，连接EH ． （1）若BC ＝122，AB ＝13，求AF 的长； （2）求证：EB ＝EH ．【思路分析】（1）在Rt △FBC 中，由sin ∠FCB ＝BFBC，求出BF ＝122×sin45°＝122×22＝12；在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF ＝22221312AB BF -=-＝5．（2）本题有两种证法，一是在BF 上取点M ，使AM ＝AG ，连接ME 、GE ．通过证明四边形AMEG 是正方形，进而得到∠AMB ＝∠HCE ＝45°，BM ＝CE ，AM ＝CH ，于是△AMB ≌△CHE ，从而EH ＝AB ，进而EB ＝EH ．第二种方法是连接EG ，GH ．通过证明△GBE ≌△GHE （SAS ）锁定答案． 【解题过程】 解：（1）∵BF ⊥AC ，∴∠BFC ＝∠AFB ＝90°．在Rt △FBC 中，sin ∠FCB ＝BFBC，而∠ACB ＝45°，BC ＝122， ∴sin45°＝122BF． ∴BF ＝122×sin45°＝122×22＝12． 在Rt △ABF 中，由勾股定理，得AF ＝22221312AB BF -=-＝5．（2）方法一：如下图，在BF 上取点M ，使AM ＝AG ，连接ME 、GE ．MABC DEF G H∵∠BFC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴△FBC 是等腰直角三角形． ∴FB ＝FC ．∵在□ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠GAC ＝∠ACB ＝45°．24题图HG FEDC BA∴∠AGB ＝45°．∵AM ＝AG ，AF ⊥MG ，∴∠AMG ＝∠AGM ＝45°，MF ＝GF ． ∴∠AMB ＝∠ECG ＝135°． ∵BA ＝BE ，BF ⊥AE ， ∴AF ＝EF ．∴四边形AMEG 是正方形． ∴FM ＝FE ． ∴BM ＝CE ． 又∵CH ＝AG ， ∴CH ＝AM ．∴△AMB ≌△CHE ． ∴EH ＝AB ． ∴EH ＝EB ．方法二：如下图，连接EG ，GH ．A BC DE FGH∵BF ⊥AC 于点F ，BA ＝BE ， ∴∠ABF ＝∠EBF ． ∵GB ＝GB ，∴△GBA ≌△GBE （SAS ）． ∴∠AGB ＝∠EGB ．在△FBC 中，∵∠BFC ＝90°，∠ACB ＝45°， ∴∠FBC ＝45°．∵在□ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠GAC ＝∠ACB ＝45°，∠AGB ＝∠FBC ＝45°． ∴∠EGB ＝45°． ∵CH ＝AG ，∴四边形AGHC 是平行四边形． ∴∠BHG ＝∠GAC ＝45°． ∴∠BHG ＝∠GBH ＝45°． ∴GB ＝GH ，∠BGH ＝90°． ∴∠HGE ＝∠BGE ＝45°． ∵GE ＝GE ，∴△GBE ≌△GHE （SAS ）． ∴EH ＝EB ．【知识点】勾股定理 等腰三角形的性质 全等三角形 平行四边形 3．（2018·无锡市，21，8）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AD 的中点， 求证：∠ABF =∠CDE ．思路分析：先根据平行四边形性质以及中点的定义证明AF =CE ，再证△ABF ≌△CDE ，得到∠ABF =∠CDE ．解答过程：证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形 ，∴AB =CD ，AD =AB ，∠C =∠A ， ∵E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴CE =12BC ， AF =12AD ，∴AF =CE ， ∴△ABF ≌△CDE （SAS ），∴∠ABF =∠CDE ．4．（2018江苏宿迁，22，8分）（本小题满分8分）如图，在□ABCD 中，点E ，F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE=DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，求证：AG=CH ．HGFED BCA思路分析：由□ABCD 可知AD=BC ，AD ∥BC ，∠A=∠C ，再根据BE=DF ，可证得：AF=CE ，根据ASA 证明△AGF ≌△CHE 得证．解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，AD ∥BC ，∠A=∠C ， ∴∠F=∠E ∵BE=DF∴AD+DF=CB+BE ，即AF=CE在△AGF 和△CHE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠E F CE AF CA∴△AGF ≌△CHE （AAS ） ∴AG=CH5．（2018·连云港，22，10分）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE 、BA 交于点F ，连接AC 、DF ．（1）求证：四边形ACDF 是平行四边形；（2）当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由．思路分析：（1）因为四边形ACDF 已经具备AF ∥DC 或AE ＝ED ，根据平行四边形的判定条件，必须证明△F AE ≌△CDE 即可；（2）因为CF 平分∠BCD ，所以∠DCE ＝45°，可得△CDE 是等腰直角三角形，从而BC ＝BF ＝2AB ＝2CD ．解答过程：（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ，所以∠F AE ＝∠CDE ． 因为E 是AD 的中点，所以AE ＝DE ．又因为∠FEA ＝∠CED ，所以△F AE ≌△CDE ，所以CD ＝F A ． 又因为CD ∥F A ，所以四边形ACDF 是平行四边形． （2）BC ＝2CD ．因为CF 平分∠BCD ，所以∠DCE ＝45°． 因为∠CDE ＝90°，所以△CDE 是等腰直角三角形， 所以CD ＝DE ．因为E 是AD 的中点，所以AD ＝2CD ． 因为AD ＝BC ，所以BC ＝2CD ．6．（2018·黄冈市，20，8分）如图，在□ABCD 中，分别以BC ，CD 作等腰△BCF ，△CDE ，使BC ＝BF ，CD ＝DE ，∠CBF ＝∠CDE ，连接AF ，AE ． （1）求证：△ABF ≌△EDA ；（2）延长AB 与CF 相交于G ，若AF ⊥AE ，求证：BF ⊥BC ．GFADBCE思路分析：（1）要证△ABF ≌△EDA ，需具备三个条件，由条件易证AB ＝ED 、BF ＝DA 、∠ABF ＝∠EDA ，故运用“SAS ”证明即可；（2）要证BF ⊥BC ，只需证明∠FBC ＝90°，而AF ⊥AE ，则∠F AE ＝90°，问题转化为证∠FBC＝∠F AE ，即证明∠CBG ＋∠GBF ＝∠EAD ＋∠DAB ＋∠BAF ，而∠CBG ＝∠DAB 可通过AD ∥BC 证出，最终只需证明∠GBF ＝∠EAD ＋∠BAF ，这个可以由（1）中的全等证出．解答过程：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ∵BC ＝BF ，CD ＝DE ∴AB ＝DE ，BF ＝AD又∠ABC ＝∠ADC ，∠CBF ＝∠CDE ∴∠ABF ＝∠ADE在△ABF 和△EDA 中，AB ＝DE ，∠ABF ＝∠ADE ，BF ＝AD ∴△ABF ≌△EDA ；（2）由（1）知∠EAD ＝∠AFB ，∠GBF ＝∠AFB ＋∠BAF 由平行四边形ABCD 可知：AD ∥BC ∴∠DAG ＝∠CBG∴∠FBC ＝∠FBG ＋∠CBG ＝∠EAD ＋∠F AB ＋∠DAG ＝∠EAF ＝90° ∴BF ⊥BC ．7．(2018·永州市，22，10分)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠CAB =30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ． (1)求证：四边形BCFD 为平行四边形； (2)若AB =6，求平行四边形BCFD 的面积．思路分析：(1)利用同旁内角互补，两直线平行证明BC ∥AD ，利用内错角相等，两直线平行证明BD ∥CE ，于是可得四边形BCFD 为平行四边形；(2)过B 作BG ⊥CF ，垂足为G ，在Rt △BEG 中，利用∠BEG 的正弦可求得BG 的长，根据等边三角形的性质可求得BD 的长，再根据平行四边形的面积等于底乘以高计算即可．解答过程：证明：∵△ABD 是等边三角形，∴∠ABD =∠BAD =60°，又∠CAB =30°，∴∠CAD =∠CAB +∠BAD =30°+60°=90°，∵∠ACB =90°，∴∠CAD +∠ACB =90°+90°=180°，∴BC ∥AD ．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，E 是线段AB 的中点，∴CE =AE ，∴∠ACE =∠CAB ，∵∠CAB =30°，∴∠ACE =∠CAB =30°，∴∠BEC =∠ACE +∠CAB =30°+30°=60°，∵∠ABD =60°，∴∠ABD =∠BEC ，∴BD ∥CE ，又BC ∥AD ，∴四边形BCFD 为平行四边形；(2)过B 作BG ⊥CF ，垂足为G ，∵AB =6，点E 是线段AB的中点，∴BE =3，在Rt △BEG中，∠BEG =60°，sin ∠BEG =BEBG，∴BG =BE ·sin ∠BEG =3×sin60°=3×23=233．∵△ABD 是等边三角形，∴BD =AB =6，∴平行四边形BCFD 的面积为BD ·BG =6×233=93．。