三角函数的诱导公式

诱导公式（二）：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan cos2250 ?
作用：把18பைடு நூலகம்0~2700角的三角 函数转化为锐角的三角函数。
例1
求下列三角函数值
（1）sin 11 ；（2）cos6000
10
诱导公式（三）：
sin() sin
cos() cos
) )
sin( )
例14．求证
1 cos(180 )
cos( )
tan3
1
sin(360 )
sin(540 )
例15．已知
1 1
tan( tan(
720 ) 360 )
3
2
2 ,求:
[cos2 ( 2sin2 (
) sin( ) cos( )
1 )] cos2 (
tan( ) tan
tan(300 ) ?
作用：把负角的三角函数转化 为正角的三角函数。
例2
求下列三角函数值：
（1）sin( )；（2）cos(240 0 )
3
诱导公式（四）： sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
sin1500 ?
作用：把900~1800角的三角函数 转化为锐角的三角函数。
解：原式=
sin( 4 360 ) cos( 3 360 ) cos[(180 )] sin[(180 )]
sin cos
cos(180 ) [ sin(180 )]
sin cos =－1.
( cos ) sin
例10．求值：
sin 31 －cos 10 －sin 5
4.利用公式一，可将任意角的三角函数值， 转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐 角的三角函数可以查表计算，而对于900～ 3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角 的三角函数值，是我们需要研究和解决的问 题.
练习一：
求：sin 3900 , cos17 的值 。
4
诱导公式（一）的作用：把不在0~3600角的 三角函数值转化为0~3600间的三角函数值。
诱导公式（五）：2
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
tan(2 ) tan
sin 3300 ?
作用：把2700~3600角的三角 函数转化为锐角的三角函数。
诱导公式的记忆方法如下：
sin( sin
cos( cos
tan( tan
sin() sin
例4 求证：
sin2 ( ) cos( ) tan(2 ) cos( ) sin3 csc2 ( ) cot( )
例5
1、求下列三角函数值
（1）cos(150 0 ) ；（2）s
in
11
6
2、求下列三角函数值
（1）cos5100 ；（2）s
in(
17 3
)
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
cos() cos
tan( ) tan
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
tan(2 ) tan
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
tan(2 ) tan
函数名不变，符号看象限。
注：符号是将 看成锐角时原函数的符号。
例3 化简 ：
cos(180 0 ) sin( 360 0 ) sin( 180 0 ) cos(180 0 )
解：原式=
sin[(
) 2n ] 2sin[( ) 2n ] sin( 2n ) cos(2n )
sin( ) 2sin( )
sin cos
新疆
王新敞
奎屯
sin 2sin
3
sin cos
cos
例13．求证：
sin( 3 ) cos( cos( ) tan(
4 ) )
sin(4 ) cos(2 cos( ) sin(
前课复习
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
y
α的终边
P(x，y)
Ox
2.诱导公式（一）
sin(k 360 ) sin
cos(k 360 ) cos
sin(2k ) sin
cos(2k ) cos
tan(k 360 ) tan tan(2k ) tan
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
6
3
求 cos(5 ) sin 2 ( )
6
6
例8若
f (x) 2cos3 x 3sin 2 (2 x) 3cos(2 x) 3 3cos( x) 2cos2 ( x) 1
求 f ( ) 的值。 3
例9．化简: sin(1440 ) cos( 1080 ) cos(180 ) sin( 180 )
sin 450 cos450 tan 450
sin 600 cos600
tan 600
问题二：
如何求下列三角函数值？
1、 cos2250 2、 sin1500 3、 tan(30 0 )
问题三： 在1800~2700间的角是否均可以表示
成 1800 ？
问题四：
下面寻找 sin(180 0 ) 与 sin 的关系？
练习二：
若 是锐角，
1、求下列角的范围并判断其终边的位置与角 关系：
1800
1800
3600
2、判断下列各式的符号：
sin(180 0 ) sin(180 0 )
sin( ) sin(360 0 )
问题一：
不能用计算器及查表，你能求哪些特殊角的三角函 数值？（举例说明）
sin 300 cos300 tan 300
任 意 负 角 的 2k 任意正角的
三角函数
三角函数
2k
00 ～ 3600 的 角 2 锐角三角函数 的三角函数
例6化简 ：
sin(2 ) cos( ) cos( ) sin(3 ) sin( )
例7已知 sin( ) 4
5
求 cos, tan( )
练习：已知 cos( ) 3
6
3
3
例11．求值：
新疆 王新敞
奎屯
sin(-1200º)·cos1290º+ sin(-120º)+ cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º
例12．化简：
sin[ (2n 1) ] 2sin[ (2n 1) ] (n Z ) sin( 2n ) cos(2n )
2 ) 的值.