三角函数的诱导公式
三角函数的8个诱导公式三角诱导公式顺口溜
三⾓函数的8个诱导公式三⾓诱导公式顺⼝溜三⾓函数在各象限的符号⼝诀是⼀全正，⼆正弦，三正切，四余弦。
三⾓函数诱导公式⼝诀函数名不变，符号看象限；奇变偶不变，符号看象限。
下⾯是具体的函数公式以及推导公式，⼤家要牢记。
三⾓函数的诱导公式三⾓函数的基本公式公式⼀：任意⾓α与-α的三⾓函数值之间的关系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα公式⼆：sin（π+α）=—sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα公式四：利⽤公式⼀和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotα公式五：π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanα推算公式：3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanα三⾓函数的常见公式(1)(sinα)2+(cosα)2=1(2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2正弦sin2a=2sina·cosa两⾓和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ诱导公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtana=sina/cosatan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα三⾓函数诱导公式公式⼀设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等：sin（2kπ＋α）=sinαcos（2kπ＋α）=cosαtan（2kπ＋α）=tanαcot（2kπ＋α）=cotα公式⼆设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系：sin（π＋α）=-sinαcos（π＋α）=-cosαtan（π＋α）=tanαcot（π＋α）=cotα公式三任意⾓α与-α的三⾓函数值之间的关系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四利⽤公式⼆和公式三可以得到π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα公式五利⽤公式-和公式三可以得到2π-α与α的三⾓函数值之间的关系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六?3?±α及±α与α的三⾓函数值之间的关系：22?sin（+α）=cosα2?cos（+α）=-sinα2?tan（+α）=-cotα2?cot（+α）=-tanα2?sin（-α）=cosα2?cos（-α）=sinα2?tan（-α）=cotα2?cot（-α）=tanα23?sin（+α）=-cosα23?cos（+α）=sinα23? tan（+α）=-cotα23?cot（+α）=-tanα23?sin（-α）=-cosα23?cos（-α）=-sinα23?tan（-α）=cotα23?cot（-α）=tanα2(以上k∈z)。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式 所谓三角函数的诱导公式，就是讲角的三角函数转2n πα⋅
±化为角α的三角函数 常用公式（设α为任意角） 公式一：sin(2)k πα+= ，cos(2)k πα+= ，tan(2)k πα+= ，cot(2)k πα+= 公式二：
sin()πα+= ，cos()πα+= ，tan()πα+= ，cot()πα+= 公式三：
sin()α-= ，cos()α-= ，tan()α-= ，cot()α-= 公式四：
sin()πα-= ，cos()πα-= ，tan()πα-= ，cot()πα-= 公式五：sin(2)πα-= ，cos(2)πα-= ，tan(2)πα-= ，cot(2)πα-=
公式六：s i n()2πα+= ，cos()2πα+= ，tan()2πα+= ，cot()2πα+= ，sin()2πα-= ，cos()2πα-= ，tan()2πα-= ，cot()2πα-= 推算公式：3sin(
)2πα+= ，3cos()2πα+= ，3tan()2πα+= ，3cot()2πα+= ，3sin()2πα-= ，3cos()2πα-= ，3tan()2πα-= ，3cot()2πα-= 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．
” “奇、偶”指的是2π
的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
“符号看象限”的含义是：α不一定是锐角，只不过把它看成锐角，看
2n πα⋅
±是第几象限角，等式右边加上一个把α看成是锐角时原函数值的符号。
三角函数的诱导公式与和角公式
三角函数的诱导公式与和角公式三角函数是数学中重要的概念，它们在几何图形、物理问题、电路分析等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的诱导公式与和角公式，旨在帮助读者更好地理解和运用这些公式。
一、诱导公式三角函数的诱导公式是指通过某一三角函数与其他三角函数之间的关系，将一个三角函数表示成另一个三角函数的公式。
1. 正弦函数的诱导公式：正弦函数的诱导公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB这个公式表明，对于两个角A和B的和或差，其正弦值可以通过已知角的正弦值和余弦值来计算。
2. 余弦函数的诱导公式：余弦函数的诱导公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB这个公式表明，对于两个角A和B的和或差，其余弦值可以通过已知角的余弦值和正弦值来计算。
3. 正切函数的诱导公式：正切函数的诱导公式为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB)这个公式表明，对于两个角A和B的和或差，其正切值可以通过已知角的正切值来计算。
二、和角公式和角公式是指利用两个角的和（或差）来表示一个角的三角函数值的公式。
1. 正弦函数的和角公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBsin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB这个公式表明，一个角的正弦值可以通过已知的两个角的正弦值和余弦值来计算。
2. 余弦函数的和角公式：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB这个公式表明，一个角的余弦值可以通过已知的两个角的余弦值和正弦值来计算。
3. 正切函数的和角公式：tan(A + B) = (tanA + tanB)/(1 - tanAtanB)tan(A - B) = (tanA - tanB)/(1 + tanAtanB)这个公式表明，一个角的正切值可以通过已知的两个角的正切值来计算。
三角函数诱导公式一览表
三角函数诱导公式一览表公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：1、sin2kπ+α=sinα2、cos2kπ+α=cosα3、tan2kπ+α=tanα4、cot2kπ+α=cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：1、sinπ+α=－sinα2、cosπ+α=－cosα3、tanπ+α=tanα4、cotπ+α=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：1、sin－α=－sinα2、cos－α=cosα3、tan－α=－tanα4、cot－α=－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：1、sinπ－α=sinα2、cosπ－α=－cosα3、tanπ－α=－tanα4、cotπ－α=－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：1、sin2π－α=－sinα2、cos2π－α=cosα3、tan2π－α=－tanα4、cot2π－α=－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：1、sinπ/2+α=cosα2、cosπ/2+α=－sinα3、tanπ/2+α=－cotα4、cotπ/2+α=－tanα5、sinπ/2－α=cosα6、cosπ/2－α=sinα7、tanπ/2－α=cotα8、cotπ/2－α=tanα公式七：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：1、sin3π/2+α=－cosα2、cos3π/2+α=sinα3、tan3π/2+α=－cotα4、cot3π/2+α=－tanα5、sin3π/2－α=－cosα6、cos3π/2－α=－sinα7、tan3π/2－α=cotα8、cot3π/2－α=tanα诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变,符号看象限”;“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦,正切变余切;反之亦然成立“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·π/2±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号;符号判断口诀：“一全正；二正弦；三两切；四余弦”;这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”,其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“－”;。
三角函数诱导公式大全
三角函數誘導公式大全三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
三角函数诱导公式大全
三角函數誘導公式大全三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与αsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：的三角函数值之间的关系：对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：，k＝4为偶数，所以取sinα。
－α）＝sin(42π/2－α）sin(2π当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全三角函数诱导公式是数学中的重要内容，常用的诱导公式有以下几组：公式一：对于任意角α，终边相同的角的同一三角函数的值相等，即sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosα，tan （2kπ＋α）＝tanα，cot（2kπ＋α）＝cotα。
公式二：对于任意角α，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，即sin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα，cot（π＋α）＝cotα。
公式三：对于任意角α，α与-α的三角函数值之间的关系，即sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα，cot（－α）＝－cotα。
公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系，即sin（π－α）＝sinα，cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα，cot（π－α）＝－cotα。
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系，即sin（2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα，tan（2π－α）＝－tanα，cot（2π－α）＝－cotα。
公式六：对于π/2±α与α的三角函数值之间的关系，即sin（π/2＋α）＝cosα，cos（π/2＋α）＝－sinα，tan（π/2＋α）＝－cotα，cot（π/2＋α）＝－tanα，sin（π/2－α）＝cosα，cos （π/2－α）＝sinα，tan（π/2－α）＝cotα，cot（π/2－α）＝tanα。
为了更好地记忆这些公式，可以使用以下口诀：奇变偶不变，符号看象限。
具体来说，对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，当k是偶数时，得到α的同名函数值，函数名不改变；当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos，cos→sin，tan→cot，cot→tan。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式是指通过一些基本的三角函数值，推导出其他三角函数的值的公式。
这些基本的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在证明三角函数的诱导公式时，可以运用几何图形、代数运算以及三角函数的定义等方法。
首先，我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
假设在单位圆上，角A对应的弧度为θ，其坐标为(x,y)，则可以得到以下关系式：x = cosθy = sinθ我们可以通过单位圆的对称性，得到以下诱导公式：1. sin(-θ) = -sinθ证明：设角B为-A，对应的弧度为-θ，其坐标为(-x,y)。
由对称性可知，-x = cos(-θ) = cosθ，y=sin(-θ)。
所以，sin(-θ) = -sinθ。
2. sin(π-θ) = sinθ证明：设角C为π-A，对应的弧度为π-θ，其坐标为(-x,-y)。
由对称性可知，-x = cos(π-θ) = cosθ，-y = sin(π-θ)。
所以，sin(π-θ) = sinθ。
3. sin(θ+π) = -sinθ证明：设角D为A+π，对应的弧度为θ+π，其坐标为(-x,-y)。
由对称性可知，-x = cos(θ+π) = -cosθ，-y = sin(θ+π)。
所以，sin(θ+π) = -sinθ。
通过这些诱导公式，我们可以计算任意角度的正弦函数值，而不仅仅局限于0到π的范围。
接下来，我们来讨论正弦函数和余弦函数的平方和公式和差公式。
1. sin²θ + cos²θ = 1证明：根据单位圆上坐标的定义，可以得到(x,y)² = x² + y² = cos²θ + sin²θ = 1、所以，sin²θ + cos²θ = 12. cos(θ±φ) = cosθcosφ - sinθsinφ证明：设角A对应的弧度为θ，角B对应的弧度为φ。
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6
3
3
例11．求值：
新疆 王新敞
奎屯
sin(-1200º)·cos1290º+ sin(-120º)+ cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º
例12．化简：
sin[ (2n 1) ] 2sin[ (2n 1) ] (n Z ) sin( 2n ) cos(2n )
4.利用公式一，可将任意角的三角函数值， 转化为00～3600范围内的三角函数值.其中锐 角的三角函数可以查表计算，而对于900～ 3600范围内的三角函数值，如何转化为锐角 的三角函数值，是我们需要研究和解决的问 题.
练习一：
求：sin 3900 , cos17 的值 。
4
诱导公式（一）的作用：把不在0~3600角的 三角函数值转化为0~3600间的三角函数值。
2 ) 的值.
诱导公式（二）：
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan cos2250 ?
作用：把1800~2700角的三角 函数转化为锐角的三角函数。
例1
求下列三角函数值
（1）sin 11 ；（2）cos6000
10
诱导公式（三）：
sin() sin
cos() cos
解：原式=
sin[(
) 2n ] 2sin[( ) 2n ] sin( 2n ) cos(2n )
sin( ) 2sin( )
sin cos
新疆
王新敞
奎屯
sin 2sin
3
sin cos
cos
例13．求证：
sin( 3 ) coin(4 ) cos(2 cos( ) sin(
任 意 负 角 的 2k 任意正角的
三角函数
三角函数
2k
00 ～ 3600 的 角 2 锐角三角函数 的三角函数
例6化简 ：
sin(2 ) cos( ) cos( ) sin(3 ) sin( )
例7已知 sin( ) 4
5
求 cos, tan( )
练习：已知 cos( ) 3
) )
sin( )
例14．求证
1 cos(180 )
cos( )
tan3
1
sin(360 )
sin(540 )
例15．已知
1 1
tan( tan(
720 ) 360 )
3
2
2 ,求:
[cos2 ( 2sin2 (
) sin( ) cos( )
1 )] cos2 (
练习二：
若 是锐角，
1、求下列角的范围并判断其终边的位置与角 关系：
1800
1800
3600
2、判断下列各式的符号：
sin(180 0 ) sin(180 0 )
sin( ) sin(360 0 )
问题一：
不能用计算器及查表，你能求哪些特殊角的三角函 数值？（举例说明）
sin 300 cos300 tan 300
诱导公式（五）：2
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
tan(2 ) tan
sin 3300 ?
作用：把2700~3600角的三角 函数转化为锐角的三角函数。
诱导公式的记忆方法如下：
sin( sin
cos( cos
tan( tan
sin() sin
cos() cos
tan( ) tan
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
tan(2 ) tan
sin(2 ) sin
cos(2 ) cos
tan(2 ) tan
函数名不变，符号看象限。
注：符号是将 看成锐角时原函数的符号。
例3 化简 ：
cos(180 0 ) sin( 360 0 ) sin( 180 0 ) cos(180 0 )
tan( ) tan
tan(300 ) ?
作用：把负角的三角函数转化 为正角的三角函数。
例2
求下列三角函数值：
（1）sin( )；（2）cos(240 0 )
3
诱导公式（四）： sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
sin1500 ?
作用：把900~1800角的三角函数 转化为锐角的三角函数。
6
3
求 cos(5 ) sin 2 ( )
6
6
例8若
f (x) 2cos3 x 3sin 2 (2 x) 3cos(2 x) 3 3cos( x) 2cos2 ( x) 1
求 f ( ) 的值。 3
例9．化简: sin(1440 ) cos( 1080 ) cos(180 ) sin( 180 )
sin 450 cos450 tan 450
sin 600 cos600
tan 600
问题二：
如何求下列三角函数值？
1、 cos2250 2、 sin1500 3、 tan(30 0 )
问题三： 在1800~2700间的角是否均可以表示
成 1800 ？
问题四：
下面寻找 sin(180 0 ) 与 sin 的关系？
解：原式=
sin( 4 360 ) cos( 3 360 ) cos[(180 )] sin[(180 )]
sin cos
cos(180 ) [ sin(180 )]
sin cos =－1.
( cos ) sin
例10．求值：
sin 31 －cos 10 －sin 5
前课复习
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样定义的？
y
α的终边
P(x，y)
Ox
2.诱导公式（一）
sin(k 360 ) sin
cos(k 360 ) cos
sin(2k ) sin
cos(2k ) cos
tan(k 360 ) tan tan(2k ) tan
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
例4 求证：
sin2 ( ) cos( ) tan(2 ) cos( ) sin3 csc2 ( ) cot( )
例5
1、求下列三角函数值
（1）cos(150 0 ) ；（2）s
in
11
6
2、求下列三角函数值
（1）cos5100 ；（2）s
in(
17 3
)
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：