南京大学结构化学双语课件CH4LEC2
合集下载
结构化学课件第四章第一节
分子结构模型
80%
原子模型
原子是化学元素的最小单位，由 原子核和绕核运动的电子构成。
100%
分子模型
分子由两个或更多原子通过化学 键连接而成，是物质的基本单位 。
80%
空间构型
分子中原子在空间的排列方式， 包括线性、平面、立体等构型。
化学键类型及特点
01
02
03
离子键
由正负离子间的静电引力 形成，具有高熔点、硬而 脆等特点。
波尔模型
电子只能在一些特定的轨道上运动，在这些轨道上 运动的电子既不吸收能量，也不放出能量。
原子核外电子排布
电子层
核外电子经常出现的区域称电 子层。电子层可用n（n=1、2、 3…）表示，n=1表明第一层电 子层（K层），n=2表明第二电 子层（L层），依次n=3、4、5 时表明第三（M层）、第四（N 层）、第五（O层）。
04
配合物结构与性质
配合物组成和命名
配合物组成
配合物由中心原子（或离子）和 配体组成，中心原子通常是金属 元素，配体可以是无机或有机分 子或离子。
配合物命名
配合物的命名遵循一定的规则， 包括中心原子、配体和配位数的 标识，以及配合物类型的区分。
配合物空间构型和异构现象
配合物空间构型
配合物的空间构型取决于中心原子和 配体的排列方式，常见的空间构型有 直线型、平面三角形、四面体型等。
金属晶体
由金属阳离子和自由电子通过 金属键结合形成的晶体，具有 良好的导电性、导热性和延展 性。
晶体中粒子间作用力
离子键
正负离子之间的静电吸引力，作用力强，无方向 性和饱和性。
分子间作用力
分子间的相互作用力，包括范德华力和氢键等， 作用力较弱。
结构化学课件
第四章 分子对称性
Chapter 4. Molecular Symmetry and Introduction to Group Theory
第四章.分子的对称性
对称 是一种很常见的现象。在自然界
我们可观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣 的水仙花、雪花、松树叶沿枝干两侧对称， 槐树叶、榕树叶又是另一种对称……在人工 建筑中，北京的古皇城是中轴线对称。在化 学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对 称性，有时会感觉这个分子对称性比那个分 子高，如何表达、衡量各种对称？数学中定 义了对称元素来描述这些对称。
in =｛E n为偶数，i n 为奇数｝
依据对称中心进行的对称操作为反演 操作，处于坐标原点的对称中心的反演操 作i的表示矩阵为：
由此可见，从分子中任一原子至对称 中心连一直线，将此线延长，必可在和对 称中心等距离的另一侧找到另一相同原子。
如果每一个原子都沿直线通过分子中心移动，达到这
个中心的另一边的相等距离时能遇到一个相同的原子，那
位置再反映到H3的位置……整个分子图形不变，n次映转轴
可用符号Sn来表示，即旋转角度（
）再平面反映。
S1 h ; S2 i ; S3 C3 h ; S4独立，包含C2 ; S5 C5 h ; S6 C3 i
即只有 是独立的点群，其余Sn 可化为 或 有些教科书定义的是反轴In，即先进行旋转再进行反演的联合 操作。与Sn点群相同，也只有 是独立点群。它们之间既有 联系，又相互包含，故只需选择一套就够了，对分子多用Sn群， 对晶体多用In群。Sn群与In群的关系如下：
各种对称操作相当于坐标变换 ， 可用坐标变换矩阵表示对称操作。C n 轴通过原点和 z 轴重合的k次对称操作 的表示矩阵为：
数学上，对三维空间绕Z轴逆时针转动角度的旋转，可用一个 三维矩阵表示，即：
Chapter 4. Molecular Symmetry and Introduction to Group Theory
第四章.分子的对称性
对称 是一种很常见的现象。在自然界
我们可观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣 的水仙花、雪花、松树叶沿枝干两侧对称， 槐树叶、榕树叶又是另一种对称……在人工 建筑中，北京的古皇城是中轴线对称。在化 学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对 称性，有时会感觉这个分子对称性比那个分 子高，如何表达、衡量各种对称？数学中定 义了对称元素来描述这些对称。
in =｛E n为偶数，i n 为奇数｝
依据对称中心进行的对称操作为反演 操作，处于坐标原点的对称中心的反演操 作i的表示矩阵为：
由此可见，从分子中任一原子至对称 中心连一直线，将此线延长，必可在和对 称中心等距离的另一侧找到另一相同原子。
如果每一个原子都沿直线通过分子中心移动，达到这
个中心的另一边的相等距离时能遇到一个相同的原子，那
位置再反映到H3的位置……整个分子图形不变，n次映转轴
可用符号Sn来表示，即旋转角度（
）再平面反映。
S1 h ; S2 i ; S3 C3 h ; S4独立，包含C2 ; S5 C5 h ; S6 C3 i
即只有 是独立的点群，其余Sn 可化为 或 有些教科书定义的是反轴In，即先进行旋转再进行反演的联合 操作。与Sn点群相同，也只有 是独立点群。它们之间既有 联系，又相互包含，故只需选择一套就够了，对分子多用Sn群， 对晶体多用In群。Sn群与In群的关系如下：
各种对称操作相当于坐标变换 ， 可用坐标变换矩阵表示对称操作。C n 轴通过原点和 z 轴重合的k次对称操作 的表示矩阵为：
数学上，对三维空间绕Z轴逆时针转动角度的旋转，可用一个 三维矩阵表示，即：
南京大学结构化学双语课件CH6LEC3
S 0
S 1
1
S
R 0
1 3
R 1
R 3
R 5
1 2
a 0
-a
3
a 0
5
R
4
Frontier Orbitals
Rough evaluation of molecular energies for even alternant
E ER ES 2b
r~s
c0 r c0 s 1 3 1 1 3 )
Molecule benzene naphthalene azulene biphenylene pentalene haptalene
HOMO LUMO 1 -1 0.618 -0.618 0.477 0.445 0.471 0 -0.400 -0.445 0 -0.311
Gap (D/b) REPE 2 0.065 1.22 0.055 0.88 0.89 0.47 0.31 0.023 0.027 -0.022 -0.004
6.5 Chemical Reactions
Topics
1. Frontier orbitals （前线轨道） 2. Odd alternants （基交替烃） 3. Electrophilic aromatic substitution 4. Pericyclic reactions （周环反应）
1. Frontier Orbitals
Examples of Frontier Orbital
Frontier Orbitals
LUMO
HOMO LUMO HOMO
Benzene
Butadiene
南京大学结构化学双语课件CH6LEC2
2
Probability of finding 1 electron (from MO 2) on atom 1 is calculated by
2 c1 ( 2 ) 2 0.6022 0.725
2
Charge Densities
Since 1 and 2 are the only two MOs occupied by electrons, the probability of finding 1 electron (from all of the MOs) on atom 1 is calculated by
*
*
* * *
*
*
*
*
*
*
*
*
? ?
Properties of alternant Hydrocarbons
Theorem For alternant hydrocarbons, the p energy levels +x and –x occurs in pairs (x). For the paired MOs, the atomic orbital coefficients for labeled atoms (*) are the same, while for unlabeled atoms, the only differences are that they are opposite in sign.
•Molecular Graph 分子图
1. Charge Densities
Butadiene x4=-1.618 x3=-0.618
4 0.3721 0.6022 0.6023 0.3724
3 0.6021 0.3722 0.3723 0.6024
Probability of finding 1 electron (from MO 2) on atom 1 is calculated by
2 c1 ( 2 ) 2 0.6022 0.725
2
Charge Densities
Since 1 and 2 are the only two MOs occupied by electrons, the probability of finding 1 electron (from all of the MOs) on atom 1 is calculated by
*
*
* * *
*
*
*
*
*
*
*
*
? ?
Properties of alternant Hydrocarbons
Theorem For alternant hydrocarbons, the p energy levels +x and –x occurs in pairs (x). For the paired MOs, the atomic orbital coefficients for labeled atoms (*) are the same, while for unlabeled atoms, the only differences are that they are opposite in sign.
•Molecular Graph 分子图
1. Charge Densities
Butadiene x4=-1.618 x3=-0.618
4 0.3721 0.6022 0.6023 0.3724
3 0.6021 0.3722 0.3723 0.6024
结构化学课件第五章
1.2
内层电子
基组态
成键电子
MO 是由8个 AO 线性组合而成的
与 C 的 2s 匹配的线性组合是：
与 C 的 2px、2py、2pz 匹配的线性组合是：
，
，
1.3
衍射实验
基组态
a1
a1*
t2
t2*
1s
2s
2p
C CH4 4H
1.1
特征标：2，0，0，2 比较特征标表知， A1,B2特征标之和恰是2，0，0，2，即此二维可约表示可约化成A1,B2 两个不可约表示，也即1sa和1sb可组合成分别属A1和B2的基 将属同一不可约表示的群轨道组合成分子轨道
非键分子轨道
基组态
非键分子轨道
成键分子轨道
反键分子轨道
成键分子轨道
反键分子轨道
9
杂化轨道沿一个方向更集中地分布，与其他原子成键时，重叠部分增大，因而成键能力增强。 R/a0 碳原子sp3 杂化轨道等值线图 （2） 杂化轨道成键能力增强。杂化后轨道数目不变，但空间取向改变，以更有利于同外来原子相互作用，因而有利于成键。 （1） 杂化轨道保持原子轨道的正交归一性。
（3） 杂化轨道在空间有特定取向
两个不等性杂化轨道的最大值之间的夹角公式 显然，杂化轨道间夹角与杂化轨道的成分相关 取a轴作x 轴， 因此，
杂化轨道
参加杂化的原子轨道
构型 对称性 实例
sp sp2 sp3 dsp2 dsp3 dsp3 d2sp3
s , px s , px , py s , px , py , pz dx2-y2 , s , px , py dz2 , s , px , py , pz dx2-y2, s , px , py , pz dz2, dx2-y2, s , px , py , pz
内层电子
基组态
成键电子
MO 是由8个 AO 线性组合而成的
与 C 的 2s 匹配的线性组合是：
与 C 的 2px、2py、2pz 匹配的线性组合是：
，
，
1.3
衍射实验
基组态
a1
a1*
t2
t2*
1s
2s
2p
C CH4 4H
1.1
特征标：2，0，0，2 比较特征标表知， A1,B2特征标之和恰是2，0，0，2，即此二维可约表示可约化成A1,B2 两个不可约表示，也即1sa和1sb可组合成分别属A1和B2的基 将属同一不可约表示的群轨道组合成分子轨道
非键分子轨道
基组态
非键分子轨道
成键分子轨道
反键分子轨道
成键分子轨道
反键分子轨道
9
杂化轨道沿一个方向更集中地分布，与其他原子成键时，重叠部分增大，因而成键能力增强。 R/a0 碳原子sp3 杂化轨道等值线图 （2） 杂化轨道成键能力增强。杂化后轨道数目不变，但空间取向改变，以更有利于同外来原子相互作用，因而有利于成键。 （1） 杂化轨道保持原子轨道的正交归一性。
（3） 杂化轨道在空间有特定取向
两个不等性杂化轨道的最大值之间的夹角公式 显然，杂化轨道间夹角与杂化轨道的成分相关 取a轴作x 轴， 因此，
杂化轨道
参加杂化的原子轨道
构型 对称性 实例
sp sp2 sp3 dsp2 dsp3 dsp3 d2sp3
s , px s , px , py s , px , py , pz dx2-y2 , s , px , py dz2 , s , px , py , pz dx2-y2, s , px , py , pz dz2, dx2-y2, s , px , py , pz
《结构化学》PPT课件
(2)反键轨道具有和成键轨道相似的性质，每一轨道也可 按Pauli不相容原理、 能量最低原理和Hund规则安排电子， 只不过能级较相应的成键轨道高，轨道的分布形状不同。
(3)在形成化学键的过程中，反键轨道并不都是处于排斥 的状态，有时反键轨道和其他轨道相互重叠，也可以形成 化学键，降低体系的能量，促进分子稳定地形成。利用分 子轨道理论能成功地解释和预见许多化学键的问题，反键 轨道的参与作用常常是其中的关键所在，在后面讨论分子 的化学键性质时，将会经常遇到反键轨道的作用问题。
方程
i i
ii
分子体系总能量 E = ∑Ei
2．分子轨道是由分子中原子的原子轨道线性组合(li near combination of atomic orbitals， LCAO)而成。
由n个原子轨道组合可得到n个分子轨道，线性组合 系数可用变分法或其它方法确定。由原子轨道形成 的分子轨道，能级低于原子轨道的称为成键轨道， 能级高于原子轨道的称为反键轨道，能级等于或接 近原子轨道的一般为非键轨道。 3．两个原子轨道要有效地组合成分子轨道，必须满 足对称性匹配，能级相近和轨道最大重叠三个条件。 其中对称性匹配是先决条件，其它影响成键的效率。 4．分子中电子按 Pauli不相容原理、 能量最低原 理和Hund规则排布在MO上
三键 三键
CO、NO的电子组态分别如下： CO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 ] NO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 (2π)1 ]
CO :
CO与N2是等电子体，
一样也是三重键：一个σ键， 二个π键，但是与N2分子不 同的是有一个π键为配键， 这对电子来自氧原子。(如 右图所示）CO作为一种配 体，能与一些有空轨道的 金属原子或离子形成配合 物。例如同ⅥB，ⅦB和Ⅷ 族的过渡金属形成羰基配 合物：Fe（CO)5、Ni(CO)4 和Cr(CO)6等。
(3)在形成化学键的过程中，反键轨道并不都是处于排斥 的状态，有时反键轨道和其他轨道相互重叠，也可以形成 化学键，降低体系的能量，促进分子稳定地形成。利用分 子轨道理论能成功地解释和预见许多化学键的问题，反键 轨道的参与作用常常是其中的关键所在，在后面讨论分子 的化学键性质时，将会经常遇到反键轨道的作用问题。
方程
i i
ii
分子体系总能量 E = ∑Ei
2．分子轨道是由分子中原子的原子轨道线性组合(li near combination of atomic orbitals， LCAO)而成。
由n个原子轨道组合可得到n个分子轨道，线性组合 系数可用变分法或其它方法确定。由原子轨道形成 的分子轨道，能级低于原子轨道的称为成键轨道， 能级高于原子轨道的称为反键轨道，能级等于或接 近原子轨道的一般为非键轨道。 3．两个原子轨道要有效地组合成分子轨道，必须满 足对称性匹配，能级相近和轨道最大重叠三个条件。 其中对称性匹配是先决条件，其它影响成键的效率。 4．分子中电子按 Pauli不相容原理、 能量最低原 理和Hund规则排布在MO上
三键 三键
CO、NO的电子组态分别如下： CO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 ] NO [( 1σ)2 ( 2σ)2 ( 3σ)2 (4σ)2 (1π)4 (5σ)2 (2π)1 ]
CO :
CO与N2是等电子体，
一样也是三重键：一个σ键， 二个π键，但是与N2分子不 同的是有一个π键为配键， 这对电子来自氧原子。(如 右图所示）CO作为一种配 体，能与一些有空轨道的 金属原子或离子形成配合 物。例如同ⅥB，ⅦB和Ⅷ 族的过渡金属形成羰基配 合物：Fe（CO)5、Ni(CO)4 和Cr(CO)6等。
结构化学课件2第二章原子的结构和性质
r2 sin2 2
ze2 E
4 r 0
其中 （r, ,）
(dv dx dy dz d r2 sin dr d d)
2.1.2 变数分离法
令： (r, ,) R(r) ( ) ()；且Y ( ,) ( ).()
将该式代入薛定谔方程的球坐标形式中，于是有
1 (r 2 R(r)) 2zre2 8 2 r 2 E
]
1 2
e
2
l
L2l 1 nl
(
)
其中
L 2Zr , 2l1 n0 nl
d 2l1
d 2l1
e
d n1
d nl
e
nl
表 1- 5.3 Rn,l r
轨道 1s 2s 2p 3s 3p 3d
R n,l r
3 2
R1,0 r
2
Z 0
eZr 0
3 2
R 2,0 r
1 22
Z 0
10
3 pz
1 1(cos型) 3 px
1 1(sin型) 3 py
1 9
1 9
1
9
1 9
N3 27
Zr 18( )
0
Zr (
0
)2
e Zr
3 0
N3
6 (6
Z
r
0
)
(Z
r
0
)
e
Zr
3 0
c os
N3
6 (6 Zr )( Zr )eZr 30 sin c os 0 0
N3
6 (6 Zr )( Zr )eZr 30 sin sin 0 0
3 20
3d3z 2 r 2
1 9
南京大学结构化学双语课件CH5LEC1(精选)PPT38页
南京大学结构化学双语课件CH5LEC1 （精选）
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
25、学习是劳动，是充满思想的要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
25、学习是劳动，是充满思想的要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
element, such that R-1 A R = B or A = R-1 B R
Elements in a group which are conjugate to each other form a conjugacy class.
Example
In C3V group, the elements are grouped into three conjugacy classes,
(R B ) ik bjaji R a k
1 1 i k j 1 1 1 n n n
1 (ajia ) kj ik b j k i 1 1 1
n n n
b jkj kk (B b ) k
j k 1 1 k 1
b c a
c a b
2. Conjugacy Class
In Group G, element B is said to be conjugated to element
A, if there exists another element R ( R is not the identity
n
n
n
Section 4.4 Classification of Point Group 0. Generation Elements 1. C1, Cs 2. Abelian Groups (Cn, Sn) 3. Cnv, Cnh, Cv 4. Dn, Dnh, Dnd, Dh 5. Td, Oh, and Ih
Example II and III are finite groups, Example I is an infinite group.
The Abelian Group (阿贝尔群)
The group multiplication is commutative. AB=BA
Example I and II are Abelian Groups, Example III is Non-Abelian
24 n 1 3 n 1
Subgroup Cn/2
When n=4k+2, there exists an inversion center
1 i ( S 42kk 2 )
S2 = {I, i (S21)} S4 = {I, S41 , C2(S42 ), S43}
Notation: Group Ci
Sn = {Sn1 , Sn2 , Sn3 ,…, Snn = I}
For even powers
S C h n (n ) C n
2 k 2 k 2 k
For odd powers
S n
21 k
nh ( C)
21 k
n C h
21 k
S n n. n ICn ,, C n , h. n h C. , ,, .C , C C . . n h
The Subgroup (子群)
A group (K) formed by a subset of the elements of Group G is called a subgroup of G. h(G)/h(K) = Integer
{I, C31, C32} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c} {I, a} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c} {I, b} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c} {I, c} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c}
Cs Group {I, }
Generator:
Cn Group {I, Cn1, Cn2 , …, Cnn-1}
Generator: Cn
Sn Group, Another Cyclic Group
Sn Group, the group generated by the
improper-rotation axis.
The Closure
The multiplication table of C3V
A
AB I C31 2 B C3
I I C31 C32
C31 C31 C32 I
C32 C32 I C31
a a c b
I C32 C31
b b a c
C31 I C32
c c b a
C32 C31 I
(Cn1)n = Cnn =I
The Cyclic Group is Abelian
Cni Cnj = (Cn1)i+j = (Cn1)j+i = Cnj Cni
The Inverse elements in the cyclic group
()-1 =
(Cni)-1 = Cnn-i
Cs and Cn Group, two Cyclic Groups
Section 4.3 The Group and its Representation
1. Definition 2. Conjugacy class (共轭类) 3. Character of group elements (表示) 4. Irreducible representation (不可约表示) 5. Character Table (特征标表) Section 4.4 Classification of Point Group
I
R-1 I R = R-1 R = I
C31, C32
a C31 a = C32
a , b, c
C31 a C32 = b , a b a = c
3. Character of Group Elements
Definition: The character of group element R is the trace of its representation matrix.
I + ( -I )=0
Example II
i 2 l
N complex numbers f (l ) e
, l = 0, 1, …, N-1 forms a GROUP if the operation is defined as “a multiplication” The closure: f(I) * f(J) = f(I+J) The identity element: f(0)=1, f(0) * f(I) = f(I) * 0 =f(I) The associate element: f(I)*f(J)*f(K)=(f(I)*f(J))*f(K) =f(I)*(f(J)*f(K))=f(I+J+K) The inverse element: the inverse element of f(I )is f(N-I) f(I) * f((N-I )=f(N)=f(0)
Section 4.3 The Group and its Representation
1. Definition 2. Conjugacy class (共轭类) 3. Character of group elements (表示) 4. Irreducible representation (不可约表示) 5. Character Table (特征标表)
Proof:
A) k ( B ab i k i
i 1k 1
n
n
Identical
B) k ( A ba i k i
i 1k 1
n
n
Property II:
Conjugated elements have equal value of character.
Proof:
1. Definition
A set of elements G{ A, B, C, …}, satisfy, (1) The closure: for any AG and B G, there exists AB G. (2) The identity element: I G, for any A G, IA=AI. Then I is the identity element of set G.
S6 = {I, S61 , C3(S62 ), i (S63), C32(S64 ), S65}
Case 2: Sn Group, n is an odd number Order h = 2n
2. Cyclic Group (循环群)
Definition: A group is a cyclic group if every element can be expressed as a power (乘幂) of a single element.
{I, } {I, Cn1, Cn2 , …, Cnn-1} ()1 = ()2 = I (Cn1)i = Cni
Example
C3 , A subgroup of C3V
AB I C31 C32
I I C31 C32
C31 C31 C32 I
C32 C32 I C31
a a c b
I C32 C31
b b a c
C31 I C32
c c b a
C32 C31 I
a b c
a b c
(3) The associative law: A(BC)=(AB)C.
(4) The inverse element: For every element A G, there
exists an element A-1 G, so that AA-1=I.
Elements in a group which are conjugate to each other form a conjugacy class.
Example
In C3V group, the elements are grouped into three conjugacy classes,
(R B ) ik bjaji R a k
1 1 i k j 1 1 1 n n n
1 (ajia ) kj ik b j k i 1 1 1
n n n
b jkj kk (B b ) k
j k 1 1 k 1
b c a
c a b
2. Conjugacy Class
In Group G, element B is said to be conjugated to element
A, if there exists another element R ( R is not the identity
n
n
n
Section 4.4 Classification of Point Group 0. Generation Elements 1. C1, Cs 2. Abelian Groups (Cn, Sn) 3. Cnv, Cnh, Cv 4. Dn, Dnh, Dnd, Dh 5. Td, Oh, and Ih
Example II and III are finite groups, Example I is an infinite group.
The Abelian Group (阿贝尔群)
The group multiplication is commutative. AB=BA
Example I and II are Abelian Groups, Example III is Non-Abelian
24 n 1 3 n 1
Subgroup Cn/2
When n=4k+2, there exists an inversion center
1 i ( S 42kk 2 )
S2 = {I, i (S21)} S4 = {I, S41 , C2(S42 ), S43}
Notation: Group Ci
Sn = {Sn1 , Sn2 , Sn3 ,…, Snn = I}
For even powers
S C h n (n ) C n
2 k 2 k 2 k
For odd powers
S n
21 k
nh ( C)
21 k
n C h
21 k
S n n. n ICn ,, C n , h. n h C. , ,, .C , C C . . n h
The Subgroup (子群)
A group (K) formed by a subset of the elements of Group G is called a subgroup of G. h(G)/h(K) = Integer
{I, C31, C32} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c} {I, a} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c} {I, b} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c} {I, c} is a subgroup of {I, C31, C32, a, b, c}
Cs Group {I, }
Generator:
Cn Group {I, Cn1, Cn2 , …, Cnn-1}
Generator: Cn
Sn Group, Another Cyclic Group
Sn Group, the group generated by the
improper-rotation axis.
The Closure
The multiplication table of C3V
A
AB I C31 2 B C3
I I C31 C32
C31 C31 C32 I
C32 C32 I C31
a a c b
I C32 C31
b b a c
C31 I C32
c c b a
C32 C31 I
(Cn1)n = Cnn =I
The Cyclic Group is Abelian
Cni Cnj = (Cn1)i+j = (Cn1)j+i = Cnj Cni
The Inverse elements in the cyclic group
()-1 =
(Cni)-1 = Cnn-i
Cs and Cn Group, two Cyclic Groups
Section 4.3 The Group and its Representation
1. Definition 2. Conjugacy class (共轭类) 3. Character of group elements (表示) 4. Irreducible representation (不可约表示) 5. Character Table (特征标表) Section 4.4 Classification of Point Group
I
R-1 I R = R-1 R = I
C31, C32
a C31 a = C32
a , b, c
C31 a C32 = b , a b a = c
3. Character of Group Elements
Definition: The character of group element R is the trace of its representation matrix.
I + ( -I )=0
Example II
i 2 l
N complex numbers f (l ) e
, l = 0, 1, …, N-1 forms a GROUP if the operation is defined as “a multiplication” The closure: f(I) * f(J) = f(I+J) The identity element: f(0)=1, f(0) * f(I) = f(I) * 0 =f(I) The associate element: f(I)*f(J)*f(K)=(f(I)*f(J))*f(K) =f(I)*(f(J)*f(K))=f(I+J+K) The inverse element: the inverse element of f(I )is f(N-I) f(I) * f((N-I )=f(N)=f(0)
Section 4.3 The Group and its Representation
1. Definition 2. Conjugacy class (共轭类) 3. Character of group elements (表示) 4. Irreducible representation (不可约表示) 5. Character Table (特征标表)
Proof:
A) k ( B ab i k i
i 1k 1
n
n
Identical
B) k ( A ba i k i
i 1k 1
n
n
Property II:
Conjugated elements have equal value of character.
Proof:
1. Definition
A set of elements G{ A, B, C, …}, satisfy, (1) The closure: for any AG and B G, there exists AB G. (2) The identity element: I G, for any A G, IA=AI. Then I is the identity element of set G.
S6 = {I, S61 , C3(S62 ), i (S63), C32(S64 ), S65}
Case 2: Sn Group, n is an odd number Order h = 2n
2. Cyclic Group (循环群)
Definition: A group is a cyclic group if every element can be expressed as a power (乘幂) of a single element.
{I, } {I, Cn1, Cn2 , …, Cnn-1} ()1 = ()2 = I (Cn1)i = Cni
Example
C3 , A subgroup of C3V
AB I C31 C32
I I C31 C32
C31 C31 C32 I
C32 C32 I C31
a a c b
I C32 C31
b b a c
C31 I C32
c c b a
C32 C31 I
a b c
a b c
(3) The associative law: A(BC)=(AB)C.
(4) The inverse element: For every element A G, there
exists an element A-1 G, so that AA-1=I.