现代控制理论基础第四章

现代控制理论基础
Elements of Modern Control Theory
主讲：董霞 西安交通大学机械工程学院

第四章 控制系统的李亚普诺夫稳定性分析
控制系统的稳定性分析是系统分析的重要组成部分。系统稳 定是控制系统正常工作的前提条件。 对单输入－单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为 其数学模型，采用劳斯－胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和乃 奎斯特（Nyquist）判据等来判别系统的稳定性是比较简便的。
对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间 表达式为数学模型，分析其稳定性采用的方法是李亚普诺夫 （A.M. Lyapunov）提出的稳定性理论。
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本章主要内容
4.1 引言 4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 4.3 判别系统稳定的李亚普诺夫方法 4.4 线性系统的Lyapunov稳定性分析
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4.1 引言
对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理 论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。 在航空、航天以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线 性、时变、MIMO系统延伸，其稳定性分析无法利用经典控制理论 解决，于是李亚普诺夫稳定性分析理论诞生。 1892年，李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》论文， 建立了运动稳定性的一般理论和方法。 他把稳定性分析方法归纳为两种:
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一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一 种间接方法，由于求解非线性时变微分方程的解是非常困难 甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。 另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息， 是一种直接方法。它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其 能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡状态而使能量 趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫 函数）即可判断系统的稳定性。 由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而 更具重要性。
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现以一机械系统为例来说明李亚普诺夫第二法： 如图所示弹簧-质量-阻尼系统，在没有外加 控制作用时，其运动微分方程如下：
k
m
x(t )
B
mx + Bx + kx = 0
弹簧－质量－阻尼系统
式中,m 为质量，B 为阻尼系数，k 为弹簧刚度， x (t )为位移。 选取状态变量 x1 = x, x2 = x1 ，则系统的状态方程为
x1 = x2 x2 = − k B x1 − x2 m m
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系统的总能量方程为
E ( x1 , x2 ) =
1 2 1 kx1 + mx2 2 2 2
显然，当 x ≠ 0 时，总有 E ( x) > 0；只有当 x = 0 时，才有
E ( x) = 0
这就意味着，系统除了在 x ≠ 0 ，即 x1 = 0, x2 = 0时，总能量 等于零外，其它 x ≠ 0 时，能量总是大于零。 而系统总能量的变化率
E ( x1 , x2 ) = kx1 x1 + mx2 x2 B ⎞ ⎛ k = kx1 x2 + mx2 ⎜ − x1 − x2 ⎟ m ⎠ ⎝ m = − Bx2 2
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上式表明系统总能量的变化率除了在 x2 = 0 外，总是负的， 即系统总能量是衰减的，因而系统是稳定的。 通过系统总能量确定系统稳定性的方法具有普遍意义，但一 般控制系统的能量并不具有这样的直观性，因而李亚普诺夫构 造了所谓的广义能量函数（称为李亚普诺夫函数），记作
V ( x, t )
当李亚普诺夫函数不显含时间t时，也记作 V ( x ) 所以李亚普诺夫第二法通过研究 V ( x, t )或V ( x )及其随时间的变化 率 V ( x, t )或V ( x ) 的定号性就可以给出系统稳定性的信息。
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4.2 李亚普诺夫意义下的稳定性
由于李亚普诺夫是研究系统在平衡状态的稳定性的，下面首 先给出平衡状态的定义。 一般地，设系统的状态方程为
x = f ( x, t )
（4-1）
在式（4-1）所描述的系统中，如果对于所有的，总存在着
f ( xe , t ) = 0
则称 xe为系统的平衡状态。
（4-4）
若系统为线性定常系统，即：f ( x, t ) = Ax ，则当A为非奇异阵时， 系统中只存在一个平衡状态；若为奇异阵，则系统可以有无穷 多个平衡状态。
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对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态。平衡状态对应于 式（4-4）的常数解，与系统微分方程式（4-1）的解无关。 例4-1 设系统的状态方程为： 求其平衡状态。
⎧ x1 = − x1 ⎨ x2 = x1 + x2 − x23 ⎩
解：由式（4-4）得 ⎧ − x1 = 0 ⎨ x1 + x2 − x23 = 0 ⎩ 因此系统有三个孤立的平衡状态
⎡0 ⎤ x e1 = ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦
⎡0 ⎤ xe2 = ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦
⎡0⎤ xe3 = ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦
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任意一个孤立的平衡状态都可通过坐标变换移到状态空间的坐 标原点处，即 xe = 0, f ( xe , t ) = f (0, t ) = 0 。研究系统的稳定 性，就是研究平衡状态的稳定性，以后所讨论的稳定性都是在 坐标原点处的平衡状态稳定性。
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下面再来讨论李亚普诺夫意义下的稳定性 如果对于任意选定的实数 ε > 0 ，都存在另一实 数 δ (ε , t0 ) > 0 ，使得当 x(t0 ) − xe ≤ δ 时，随着 t → ∞ ，恒 有 x (t ) − xe ≤ ε ，则称系统的平衡状态 xe 是在李亚普诺夫意义 下的稳定，如图4-1（a）所示。如果 δ (ε , t0 ) 与初始时刻 t0 无 关，即 δ (ε , t0 ) = δ (ε ) ，则称平衡状态 xe 为一致稳定的平衡状态。
稳定
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