【全国百强校】浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
人教A版2018-2019学年浙江省杭州四中吴山校区高二数学第一学期期末试卷 解析版
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷一.选择题（共10小题）1．“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而充分不条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为（）A．5πB．6πC．7πD．8π3．在空间直角坐标系中点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（）A．（1，﹣5，6）B．（1，5，﹣6）C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6）4．下列命题错误的是（）A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面5．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．26．直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为（）A．，B．﹣，﹣C．﹣，﹣D．，7．点P在直线3x+y﹣5＝0上，且点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，1）8．与3x+4y＝0垂直，且与圆（x﹣1）2+y2＝4相切的一条直线是（）A．4x﹣3y＝6 B．4x﹣3y＝﹣6 C．4x+3y＝6 D．4x+3y＝﹣6 9．四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BQ所成的角为（）A．B．C．D．10．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形是（）A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为．12．长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．13．若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为、．14．已知空间向量，，若∥，则xz＝．15．若直线l为：3y＝x+6，则直线l的倾斜角为．16．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．17．设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．二.解答题（共4小题，共42分）18．（1）求两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标．（2）求平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程．19．已知：a＞0，p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．20．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|＝3，求直线l的方程．21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且EB∥FD．（1）求证：平面AEC⊥平面BEFD；（2）若AB＝2，∠BAD＝60°，EB＝FD，设EA与平面ABCD所成夹角为α，且，求二面角A﹣EC﹣F的余弦值．参考答案一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而充分不条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行，则a（a+1）﹣2＝0，即a2+a﹣2＝0，解得a＝1或a＝﹣2，当a＝﹣2时，直线l1方程为﹣2x+2y﹣8＝0，即x﹣y+4＝0，直线l2：x﹣y+4＝0，此时两直线重合，则a≠﹣2，故“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣8＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充要条件，故选：C．2．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的表面积为（）A．5πB．6πC．7πD．8π【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体，根据数据求出它的表面积．解：根据几何体的三视图，知该几何体是底面直径为2，高为2的圆柱体；∴该圆柱体的表面积是S＝2S底+S侧＝2π×12+2π×1×2＝6π．故选：B．3．在空间直角坐标系中点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（）A．（1，﹣5，6）B．（1，5，﹣6）C．（﹣1，﹣5，6） D．（﹣1，5，﹣6）【分析】在空间直角坐标系中，点P（a，b，c）关于平面xOy对称点Q的坐标是（a，b，﹣c）．解：在空间直角坐标系中，点P（1，5，6）关于平面xOy对称点Q的坐标是（1，5，﹣6）．故选：B．4．下列命题错误的是（）A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面【分析】由公理3可判断A；由公理3和公理1可判断B；由面面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的性质定理可判断D．解：由公理3可得，不在同一直线上的三点确定一个平面，故A正确；由公理3和公理1可得，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；由面面垂直的性质定理可得，如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线若与交线垂直，则垂直于另一个平面，故C错误；由面面平行的性质可得，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，故D正确．故选：C．5．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由变量x、y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A（1，1）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为2×1+1＝3．故选：C．6．直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为（）A．，B．﹣，﹣C．﹣，﹣D．，【分析】把直线方程化为斜截式即可得出．解：直线3x+4y+5＝0化为．∴直线3x+4y+5＝0的斜率和它在y轴上的截距分别为，．故选：C．7．点P在直线3x+y﹣5＝0上，且点P到直线x﹣y﹣1＝0的距离为，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，1）【分析】设出点P的坐标为（a，5﹣3a），利用点到直线的距离公式表示出P到已知直线的距离d，让d等于列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，写出点P 的坐标即可．解：设P点坐标为（a，5﹣3a），由题意知：＝．解之得a＝1或a＝2，∴P点坐标为（1，2）或（2，﹣1）．故选：C．8．与3x+4y＝0垂直，且与圆（x﹣1）2+y2＝4相切的一条直线是（）A．4x﹣3y＝6 B．4x﹣3y＝﹣6 C．4x+3y＝6 D．4x+3y＝﹣6 【分析】根据题意，设要求直线的方程为4x﹣3y+m＝0，由直线与圆的位置关系可得＝2，解可得m的值，即可得要求直线的方程，分析选项即可得答案．解：根据题意，要求直线与3x+4y＝0垂直，设其方程为4x﹣3y+m＝0，若该直线与圆（x﹣1）2+y2＝4相切，则有＝2，解可得：m＝6或﹣14，即要求直线的方程为4x﹣3y＝﹣6或4x﹣3y＝14，故选：B．9．四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BQ所成的角为（）A．B．C．D．【分析】据题意可知，三直线AQ，AD，AB两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，并设AB＝1，从而可求出A，P，B，Q的坐标，进而可求出向量，的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线AP和BQ所成角的大小．解：根据题意知，三直线AQ，AD，AB两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝1，则：A（0，0，0），P（1，1，0），B（0，0，1），Q（1，0，0），∴，∴＝，且，∴，∴异面直线AP与BQ所成的角为．故选：C．10．直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形是（）A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形【分析】我们分平面ABC与α垂直和平面ABC与α不垂直两种情况，分别讨论直角边在平面α上的射影与斜边组成的图形，即可得到答案．解：若平面ABC与α垂直，则直角边BA、直角边AC在平面α上的射影即为线段BC，若平面ABC与α不垂直，A′为A点在α上的投影令直角边AC在平面α上的射影CA′，由三垂线定理可得CA′＜CA；令直角边AB在平面α上的射影BA′，由三垂线定理可得BA′＜BA；故直角边BA、直角边边AC在平面α上的射影与斜边BC组成的图形为钝角三角形故选：D．二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为若函数f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称．【分析】直接写出结论即可．解：命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”形式为：若函数f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称．故答案为：若函数f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称．12．长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为9π．【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积．解：长方体的体对角线的长是：＝3球的半径是：这个球的表面积：4π＝9π故答案为：9π13．若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为（0，﹣1）、 1 ．【分析】把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标与半径，要求圆的面积最大即要圆的半径的平方最大，所以根据平方的最小值为0即k＝0时得到半径的平方最大，所以把k＝0代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标．解：∵圆的方程为．∴r2＝1﹣k2＞0，r max＝1，此时k＝0．∴圆心为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1），1．14．已知空间向量，，若∥，则xz＝9 ．【分析】根据空间向量的共线定理，列出方程组求出x、z的值，再计算xz的值．解：空间向量，，当∥时，＝λ，∴，解得λ＝2，x＝6，z＝；∴xz＝6×＝9．故答案为：9．15．若直线l为：3y＝x+6，则直线l的倾斜角为30°．【分析】直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），tan θ＝，解得θ＝30°解：直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），直线l的方程为3y＝x+6，即y＝x+2，则tan θ＝，解得θ＝30°，则直线l的倾斜角为30°，故答案为：30°16．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0关于直线2ax﹣by+2＝0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax﹣by+2＝0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m＝ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r＝2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax﹣by+2＝0上，把圆心坐标代入直线方程得：﹣2a﹣2b+2＝0，即b＝1﹣a，则设m＝ab＝a（1﹣a）＝﹣a2+a，∴当a＝时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是（﹣∞，]．故答案为（﹣∞，]．17．设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13 条．【分析】由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3＝13条．故答案为：13．二.解答题（共4小题，共42分）18．（1）求两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标．（2）求平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程．【分析】（1）由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值，再联立方程组求得两直线交点的坐标．（2）由题意利用用待定系数法设出直线的方程x﹣y+m＝0，再利用两条平行线间的距离公式求得m的值，可得要求的直线的方程．解：（1）∵两条垂直的直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0，∴﹣•（﹣）＝﹣1，求得a＝﹣1，两条垂直的直线即 2x﹣y+2＝0和x+2y+1＝0，由，求得，故直线2x+ay+2＝0和x+2y+1＝0的交点坐标（﹣1，0）．（2）设平行于直线x﹣y﹣2＝0，且与它的距离为的直线方程为x﹣y+m＝0，则＝，求得m＝2，或m＝﹣4，故要求的直线方程为x﹣y+2＝0，或x﹣y﹣4＝0．19．已知：a＞0，p：x2﹣8x﹣20＞0，q：x2﹣2x+1﹣a2＞0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【分析】先将条件p，q化简，然后利用p是q的充分不必要条件，确定参数a的取值范围．解：由x2﹣8x﹣20＞0，解得x＞10或x＜﹣2．即p：x＞10或x＜﹣2．由x2﹣2x+1﹣a2＞0得x＞1+a，或x＜1﹣a．即q：x＞1+a，或x＜1﹣a，a＞0，若要使p是q的充分不必要条件，则p推出q，但q推不出p．所以有，即，解得0＜a≤3．即a的取值范围是（0，3]．20．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C交于不同的两点A、B，且|AB|＝3，求直线l的方程．【分析】（1）直线恒过（1，1），在圆的内部，可得结论；（2）|AB|＝3，所以圆心到直线的距离为＝，求出m，即可求出直线l的方程．解：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0，即m（x﹣1）﹣y+1＝0，恒过（1，1），代入x2+y2﹣2y﹣4＝1+1﹣2﹣4＜0，所以（1，1）在圆的内部，所以直线l与圆C相交；（2）圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，即x2+（y﹣1）2＝5，圆心（0，1），半径为，因为|AB|＝3，所以圆心到直线的距离为＝，所以＝，所以m＝±1，所以直线l的方程为x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．21．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EB⊥平面ABCD且EB∥FD．（1）求证：平面AEC⊥平面BEFD；（2）若AB＝2，∠BAD＝60°，EB＝FD，设EA与平面ABCD所成夹角为α，且，求二面角A﹣EC﹣F的余弦值．【分析】（1）连结BD，由四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，再由EB⊥平面ABCD，得AC⊥EB，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BEFD，进一步得到平面AEC⊥平面BEFD；（2）设BD∩AC＝O，求解三角形可得AO＝CO＝，EA＝，EB＝1，以O为原点，作Oz∥EB，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面AEC与平面ECF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣EC﹣F 的余弦值．【解答】（1）证明：连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EB⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB，∵EB∩BD＝B，EB，BD⊂平面BEFD，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BEFD；（2）解：设BD∩AC＝O，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD为等边三角形，则BD＝AB＝2，∵O是BD的中点，∴AO＝CO＝，∵EB⊥平面ABCD，∴∠EAB＝α，∴在Rt△EAB中有，EA＝，则EB＝1，以O为原点，作Oz∥EB，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，则A（，0，0），C（﹣，0，0），E（0，1，1），F（0，﹣1，1），∴，，．设平面AEC的法向量为，由，取y＝1，得．设平面ECF的法向量为，由，取a＝，得．设二面角A﹣EC﹣F的平面角为θ，则|cosθ|＝．结合图可知，二面角A﹣EC﹣F的余弦值为．。
浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(含精品解析)
杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。
浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学(文)
侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学（文）高二数学〔文〕试卷一、 选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的 〔 〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么 〔 〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为()A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设ABE ∆是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,1+D.(2,1【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设k 为正实数，假设满足条件)()(y k y k x x -≤-的点(,)x y 都被单位圆覆盖，那么k的最大值为__________、 16、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。
浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C 错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.【点睛】（1）线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.21.已知抛物线：的焦点为，直线：交抛物线于两点，是线段的中点，过怍轴的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.，，因，故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。
杭州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
杭州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．82． 已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ） A ．一定相离 B ．一定相切C ．相交且一定不过圆心D ．相交且可能过圆心 3． 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．4． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）A ．80B ．40C ．60D ．205． 已知直线34110m x y +-=：与圆22(2)4C x y -+=：交于A B 、两点，P 为直线3440n x y ++=：上任意一点，则PAB ∆的面积为（ ）A ． B.C. D. 6． 若某几何体的三视图 （单位：cm ） 如图所示，则此几何体的体积是（ ）cm 3A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7． 把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）A ．y=sin （2x ﹣） B ．y=sin （2x+）C ．y=cos2xD ．y=﹣sin2x8． 下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性相同的是（ ）A．(ln y x = B ．2y x = C ．tan y x = D ．x y e = 9． 过点（﹣1，3）且平行于直线x ﹣2y+3=0的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y+7=0B ．2x+y ﹣1=0C ．x ﹣2y ﹣5=0D ．2x+y ﹣5=010．已知两不共线的向量，，若对非零实数m ，n 有m+n与﹣2共线，则=（ ）A ．﹣2B ．2 C．﹣ D．11．已知，，那么夹角的余弦值（ ）A．B．C ．﹣2D．﹣12．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+3）=f （x ），当0＜x ≤1时，f （x ）=2x ，则f （2015）=（ ） A ．2 B ．﹣2 C．﹣ D．二、填空题13．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ．14．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ．15．设变量y x ,满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22(1)3(1)z a x a y =+-+的最小值是20-，则实数a =______．【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 16．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ． 17．函数f （x ）=的定义域是 ．18．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．三、解答题19．求点A （3，﹣2）关于直线l ：2x ﹣y ﹣1=0的对称点A ′的坐标．20．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：（Ⅰ）集合M，N；（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．21．已知点F（0，1），直线l1：y=﹣1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．（Ⅰ）求曲线r的方程；（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，（ⅰ）求证：直线CD过定点；（ⅱ）若P（1，﹣1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究+是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．阿啊阿22．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2A=a ．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c 2=b 2+a 2，求B ．23．（本小题满分12分）两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.（1）求0x =，1y =，2z =的概率；（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．24．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．杭州市高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵﹣2＜0∴f（﹣2）=0∴f（f（﹣2））=f（0）∵0=0∴f（0）=2即f（f（﹣2））=f（0）=2∵2＞0∴f（2）=22=4即f{f[（﹣2）]}=f（f（0））=f（2）=4故选C．2．【答案】C【解析】【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=＜=r，且圆心（1，0）不在直线l上，∴直线l与圆相交且一定不过圆心．故选C3．【答案】D【解析】因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数为减函数且，所以，排除B，故选D答案：D4．【答案】B【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．5． 【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆的面积为1||2AB d '⋅=，选C ． 6． 【答案】B【解析】解：由三视图可知：此几何体为圆锥的一半，∴此几何体的体积==2π．故选：B ．7． 【答案】D【解析】解：把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x ﹣）﹣]=sin （2x ﹣π）=﹣sin2x ．故选D ． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x 加与减，上下平移，y 的另一侧加与减．8． 【答案】A 【解析】试题分析：()()f x f x -=-所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与()f x 不相同，D 为非奇非偶函数，故选A.考点：函数的单调性与奇偶性． 9． 【答案】A 【解析】解：由题意可设所求的直线方程为x ﹣2y+c=0∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x ﹣2y+7=0 故选A ．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣2y+c=0．10．【答案】C【解析】解：两不共线的向量，，若对非零实数m，n有m+n与﹣2共线，∴存在非0实数k使得m+n=k（﹣2）=k﹣2k，或k（m+n）=﹣2，∴，或，则=﹣．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．【答案】A【解析】解：∵，，∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，∴cos＜＞===﹣，故选：A．【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，所以f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，即f（2015）=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2015）=f （3×672﹣1）=f（﹣1）．二、填空题13．【答案】16．【解析】解：∵等比数列{a n}的前n项积为Πn，∴Π8=a1•a2a3•a4•a5a6•a7•a8=（a4•a5）4=24=16．故答案为：16．【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．14．【答案】2．【解析】解：f（x）=ae x+bsinx的导数为f′（x）=ae x+bcosx，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线的斜率为k=ae0+bcos0=a+b，由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae0+bsin0=a=﹣1，解得a=﹣1，b=1，则b﹣a=2．故答案为：2．15．【答案】2【解析】16．【答案】34 5【解析】考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.17．【答案】{x|x＞2且x≠3}．【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得解可得，x＞2且x≠3故答案为：{x|x＞2且x≠3}18．【答案】锐角三角形【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C∈（0，π），∴角C是锐角，由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形故答案为：锐角三角形【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），则线段A′A的中点B（，），由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故2×﹣﹣1=0 ①．再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得×=﹣1 ②，解①②做成的方程组可得：m=﹣，n=，故点A′的坐标为（﹣，）．【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．20．【答案】【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得x＞，∴M={x|x＞}．由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．（2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或x＞3}，∴C R（M∪N）=．【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．21．【答案】【解析】满分（13分）．解：（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，…（2分）∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线，…（3分）∴点H的轨迹方程为x2=4y．…（4分）（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P（x1，﹣1），切点C（x C，y C），D（x D，y D）．由y=，得．∴直线PC：y+1=x C（x﹣x1），…（5分）又PC过点C，y C=，∴y C+1=x C（x﹣x1）=x C x1，∴y C+1=，即．…（6分）同理，∴直线CD的方程为，…（7分）∴直线CD过定点（0，1）．…（8分）（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P（1，﹣1）在直线CD的方程为，得x1=1，直线CD的方程为．设l：y+1=k（x﹣1），与方程联立，求得x Q=．…（9分）设A（x A，y A），B（x B，y B）．联立y+1=k（x﹣1）与x2=4y，得x2﹣4kx+4k+4=0，由根与系数的关系，得x A+x B=4k．x A x B=4k+4…（10分）∵x Q﹣1，x A﹣1，x B﹣1同号，∴+=|PQ|==…（11分）==，∴+为定值，定值为2．…（13分）【点评】本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．23．【答案】【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，此时的概率213111324P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.（4分）24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）解法一：依题意有，答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．所以选乙合适．（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．。
浙江省杭州市高级中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题
○…………○…………绝密★启用前浙江省杭州市高级中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{|}1Ax x >＝，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则()R B A ⋂＝ð（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(,1)-∞-C ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(1,)+∞2．下列函数中，既满足()()0f x f x --=，又在区间()0,1上单调递减的是（ ） A ．1sin y x=B ．||2x y =C ．3cos y x x ＝D ．1ln||y x = 3．下列计算正确的是（ ） A m n =- B ．222log 3log 5log 15⨯= C ．1099222-=D ．2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4．向量,,a b c v v v 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+v v 与c v共线,则实数λ=（ ）○…………订…※※订※※线※※内※※○…………订…5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A为单位圆上一点，以x轴为始边，OA为终边的角为(),k k Zθθπ≠∈，若将OA绕O点顺时针旋转32π至OB，则点B的坐标为（）A．(sin,cos)θθ-B．(cos,sin)θθ-C．(cos,sin)θθ-D．(sin,cos)θθ-6．的正三角形ABC中，设,,AB c BC a AC b===u u u r u u u r u u u r rr r，则2a b b c c a⋅+⋅+⋅r rr r r r等于（）A．1-B．1 C．2 D．47．函数()sin()(0,0,0)f x A x Aωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x性质的描述正确的是（）A．23ϕπ=B．x712π=+kπ，k∈Z为其所有对称轴C．7,12x k k Zππ=+∈为其减区间D．()f x向左移12π可变为偶函数8．已知函数()2f x ax bx c=++，且存在相异实数m，n满足()()0f m f n==.若32a bc++=，则m n-的最小值是（）A．B C D第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_____. 10．已知两点(1,1),(1,2)A B -，若12BC BA =u u u r u u u r ，则||AB =u u u r_____，C 点坐标是_____.11．已知函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，则()2f -=_____；若()f a =则a =_____.12．若827712186x x x x+=+，则x =_____. 13．在平面上，正方形ABCD ，BD 中点为E ，点P 满足||1PE =u u u r，则AP AC ⋅u u u r u u u r最大值是_____. 三、解答题14．已知向量(sin ,1),(1,),()a x b k f x a b ===⋅r r r .（1）若存在实数x 使得a b +rr 与a b -r r 垂直，求实数k 的取值范围；（2）若1()3f k α=+且(0,)απ∈，求tan α. 15．某同学用“五点法”画函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列出了如表并给出了部分数据:（1）请根据上表数据，写出函数()f x 的解析式；（直接写出结果即可）（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）设t R ∈，已知函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦t 的值以及函数()()g x f x t =+在区间[,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 16．已知a R ∈，函数2()log [(3)34]f x a x a =-+-. （1）当2a =时，解不等式()30f x ＜；（2）若函数()24y f x x =-的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）设21()()log 2g x f x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()y g x ＝有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.17．设()(sin )(01,0)f x p x q p q =+<≤≤，()g x =（1）求()()ky f x g x =⋅奇偶性；（2）若0q =，22x ππ-<<，用定义法证明2()()f x yg x =单调性； （3）若22()()()p g x f x h x p-=最大值是2，求p q +的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据补集与交集的运算，即可求出()R B A I ð． 【详解】集合{}11|{|A x x x x =>=<-或1}x >，1|2B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 所以|12R B x x =≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭ð， 所以{|1}R B A x x ⋂=<-ð． 故选：B ． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 2．D 【解析】 【分析】根据题意，可知函数为偶函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】根据题意，函数满足()()0f x f x --=，即()()f x f x -= ，即函数()f x 为偶函数， 据此依次分析选项： 对于A ，1sin y x=，为奇函数，不符合题意； 对于B ，||2x y =，为偶函数，但在区间()0,1上为增函数，不符合题意； 对于C ，3cos y x x ＝，为奇函数，不符合题意； 对于D ，1ln ln ||y x x ==-，易得函数为偶函数且在()0,1上单调递减，符合题意. 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3．C 【解析】 【分析】利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误． 【详解】对于选项A m n =-，故A 不正确；对于选项B ，22222log 15log 3log 5log 3log 5=+≠⨯，故B 不正确； 对于选项C ，()10999222212-=-=，故C 正确；对于选项D ，223233125552527339⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不正确．故选：C ． 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a b rr 表示出c r ，进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=rr r ，又c r= a b rrλ+，所以2λ=.故选D 【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型. 5．A 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，可求点B 的坐标． 【详解】A 为单位圆上一点，以x 轴为始边，OA 为终边的角为,2k k Z πθθπ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭，若将OA 绕O 点顺时针旋转32π至OB ，则点B 的横坐标为3cos sin 2πθθ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，点B 的纵坐标为3sin cos 2πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故点B 的坐标为()sin ,cos θθ-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题． 6．C 【解析】 【分析】直接利用平面向量的数量积公式化简求解即可． 【详解】根据题意，作出正三角形ABC 的草图，则a r与b r 夹角为60︒，b r与c r 夹角为60︒，a r 与c r夹角为120︒，由正三角形ABC 和平面向量的数量积公式，则2cos602cos60cos120a b b c c a a b b c c a ⋅+⋅+⋅=︒+︒+⋅︒r r r r r r r r r r r r11121212222⎛⎫⎪⎝⎭++-=+-=．故选：C ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，解题过程中注意向量的夹角，属于基础题．7．D 【解析】 【分析】根据函数图像，可求出A 的值，根据周期公式求ω，然后由函数所过的最小值点，求出ϕ，从而可求函数的解析式，即可得出结论． 【详解】由函数图像可知，1A =，又741234T πππ=-=，所以T π=，又2T ωπ=，得2ω= ， 所以()()sin 2f x x ϕ=+，又函数图象过7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，将其代入()()sin 2f x x ϕ=+，可得7sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 03πϕπϕ<<∴=Q ，，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴()f x 向左移12π单位为sin 2cos 212123f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 向左移12π单位可变为偶函数．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求函数的解析式，通常是由函数的最值求A ，根据周期公式求ω，根据函数的最值点求ϕ，属于中档题． 8．B 【解析】 【分析】由题意()2f x ax bx c =++，且存在相异实数m ，n 满足()()0f m f n ==，知方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，进而利用根与系数的关系求解．【详解】由题意得：方程20ax bx c ++=有2个不相等的实数根m ，n ，由032a b c ++=得c ＝32a b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由韦达定理得，m +n ＝b a -，mn ＝c a ， |m ﹣n |. 故选：B ． 【点睛】本题考查了抛物线与方程根的关系，韦达定理的应用，属于基础题． 9．12-【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义计算sin ,cos αα的值，再求an 2(t )πα+的值．【详解】角α终边上一点的坐标为(1,2)，则sin α==1cos 5α==， 所以sin cos 12tan 2sin 2cos 2παπααπαα⎛++====--+⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭． 故答案为：12- ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义与应用问题，是基础题．10 3(0,)2【解析】 【分析】由向量的坐标公式，可得()21AB =-u u u r ，，从而可求出AB u u u r的值；再设(),C x y ，从而求出()1,2BC x y =+-u u u r ，根据12BC BA =u u u r u u u r ，可得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，根据向量相等的坐标运算公式，可求出,x y 的值，进而求出C 点坐标． 【详解】因为(1,1),(1,2)A B -，所以()21AB =-u u u r ，，可得AB ==u u u r设(),C x y ，则()1,2BC x y =+-u u u r，又12BC BA =u u u r u u u r ，得()11212x y ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,,，即11?122x y +=⎧⎪⎨-=-⎪⎩， 解得 0?32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴C 点坐标是30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．30,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数乘运算． 11．29-12- 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的性质结合函数的解析式可得()()22223f f -=-=- ，计算可得答案；对于()f a = ，分0a >与0a <两种情况讨论，求出a 的值． 【详解】根据题意，函数2,0()3(),0x x f x g x x ⎧>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数， 则()()2222239f f -=-=-=- ；若()f a = 当0a >时，()23a f a ==，无解；当0a <时，()()23af a f a -=--=-=12a =-， 故若()f a -＝，则12a =-. 故答案为：(1). 29-； (2). 12-． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 12．±1 【解析】 【分析】直接利用换元法和代数式的化简的应用求出结果． 【详解】由于827712186x x x x +=+，设2,3x xa b ==， 所以33227 6a b a b ab +=+，整理得2261360a ab b -+=， 故23a b =或32a b =，所以1123x x ++=或-1-123x x =，解得1x =-或1x =. 故答案为：±1． 【点睛】本题考查了换元法的应和用指数幂的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 13．4 【解析】 【分析】作出草图，根据题意，点P 位于正方形ABCD 的外接圆圆E 上，当AP AC ⋅u u u r u u u r 最大时， APu u u r与AC u u u r的夹角为0︒，点P 与点C 重合，再根据数量积公式，即可求出结果．【详解】如图根据题意，点E 为BD 中点，且||1PE =u u u r；所以点P 在正方形ABCD 的外接圆圆E 上；又cos AP AC AP AC θ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中θ为AP u u u r与AC 的夹角；所以当0θ=︒时，有最大值，此时点P 与点C 重合；∴()2max4AP ACAC ⋅==u u u r u u u r u u u r .故答案为：4． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，利用数形结合思想，属中档题．14．（1）[1,1]-（2【解析】 【分析】（1）根据条件可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即220a b -=u r r ，代入坐标，列方程，整理化简，可得到k 关于x 的函数，根据正弦函数的性质得出k 的范围； （2）根据条件可得1sin 3α=，再根据α的范围求出cos α，从而可得tan α的值． 【详解】（1）∵ a b +r r与a b -r r 垂直，∴()()0a b a b +⋅-=r r r r ，即22 0a b -=u r r ，∴22sin 11x k +=+有解，又20sin 1x ≤≤，所以201k ≤≤， 故11k -≤≤，即[1,1]k ∈-．（2）因为()f x a b =⋅rr ，所以()sin f x x k =+，故()sin f k αα=+，又1()3f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=，∵(0,)απ∈，所以当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，cos 3α==sin tan cos 4ααα==；当(,)2παπ∈时，cos α==tan 4α=-；所以tan α=或4-. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角函数的性质，属于基础题．15．（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（313【解析】 【分析】（1）根据表格数据，即可写出()f x 的解析式； （2）利用正弦函数的单调性即可求解； （3）根据函数()g x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值求出t 的值，进而求出最小值即可． 【详解】（1）根据表格可得122236πππω⋅=-，所以2ω=； 根据表格可得262ππϕ⨯+=，又||2ϕπ<，所以6π=ϕ，故函数的解析式为:()2sin(2)6f x x π=+. （2）令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（3）因为02x p -＃，所以52666x πππ-≤+≤，故有11sin(2)62x π-≤+≤. 所以，当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-. 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以t 1，所以函数()()g x f x t =+在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3. 【点睛】本题考查了三角函数的五点法作图和正弦性质的应用问题，考查了数形结合思想的应用，是中档题. 16．（1）1233x <<（2）{}8|a a ≥（3）{},1,2 123⎛⎤⋃⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）利用题意得到对数不等式，求解不等式，即可求得最终结果；（2）将原问题转化为二次函数的问题，结合二次函数的开口方向和判别式可得关于实数a 的不等式组，求解不等式组即可；（3）将原问题转化为函数只有一个根的问题，然后分类讨论即可求得最终结果． 【详解】（1）当2a =时，不等式为:()()23log 320f x x =-+<，可得:0321x <-+<，则不等式解为1233x <<. （2）函数()()2224log (3)4(34)f x x a x x a -=--+-⎡⎤⎣⎦，设函数()2(3)4(34)y a x x a =--+-的值域为M ，则(0,)M +∞⊆， 当30a -=，即3a =时，不满足题意， 当30a -≠，即3a ≠时，23016(3)4(3)(34)0a a a a ->⎧⎨∆=----≥⎩，得实数a 的取值范围是{}8|a a ≥.（3）因[]221log (3)(34)log (2)y a x a a x=-+--+有且只有一个零点， 故1(3)(34)2a x a a x-+-=+，原问题等价于方程2(3)(4)10(*)a x a x -+--= 当满足120a x+>时，只有唯一解，方程(*)化为()–31)10(a x x ⎡⎤+⎣⎦-=，①当3a =时，解得1x =-，此时1250a x+=>，满足题意； ②当2a =时，两根均为1x =-，此时1230a x+=>也满足； ③当2a ≠且3a ≠时，两根为113x a =-，21x = 当13x a =-时，1233a a x+=-， 当1x =-时，1221a a x+=-， 由题意，()()33210a a --<，解得112a <<， 综上，a 的取值范围是{},1,2 123⎛⎤ ⋃⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于难题．17．（1）见解析（2）证明见解析（3）11,4p q ⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）写出函数y 的解析式，分别判断0q =和0q <时，函数y 的奇偶性； （2）利用单调性定义证明即可；（3）化简函数()h x ，利用换元法将其转化为函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，根据二次函数的对称轴，进行分类讨论，从而求得p q +的取值范围． 【详解】（1）①当0q =时，由于()()()()––cos sin f x g x p x x f x g x =-=-⋅，从而()()f x g x 为奇函数；②当0q <时，由1()()()662f g p q ππ--=-+，1()()()662f g p q ππ=+， 得()()()()6666f g f g ππππ--≠-，且()()()()6666f g f g ππππ--≠.故函数()()y f x g x =为非奇非偶函数. （2）当0q =时，函数22()sin ()1sin f x p x y g x x ==-在(,)22ππ-上递增. 理由:任取12,x x ，且2122x x ππ<<-<，则12sin sin 0x x -<，()()()()1212121222221212sin sin 1sin sin sin sin 01sin 1sin 1sin 1sin p x x x x p x p x y y x x x x -+-=-=<----， 故函数2()()f x y g x =在(,)22ππ-上递增. （3）222|()()|()|sin sin |p g x f x h x p x x p q p-==--+-，下面研究函数2()1(11)H x px x p q x =--+--≤≤，①当11122p -≤-≤-，即112p ≤≤时， (1)|1|H q =+，()111H q q -=-=-， 11()24H p q p p-=+-， 所以max 1()(1),(1),() 2H x max H H H p ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭， 又14p q p +-在112p ≤≤时递增， 所以151,44p q q q p ⎡⎤+-∈--⎢⎥⎣⎦，即有max 1()24H x p q p =+-=， 可得1224p q p p +=+-，在112p ≤≤递增，可得11,24p q ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦；②当112p-<-，即12p<<时，max()max{(1),(1)}12H x H H q=-=-=，即1q=-，可得11(1,)2p q p+=-∈--，综上可得，11,4p q⎛⎤+∈- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用问题，也考查了函数最值应用问题，是难题．。
浙江省杭州市第二中学2018-2019学年高二上学期期末考试 数学 PDF版无答案
杭州二中2018学年第一学期高二年级期末考数学试卷考试时间：100分钟；总分100分一、单选题（共8题，每题4分，在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数ii--13等于（）A.1+2iB.12i- C.2+iD.2i-2.双曲线221x my -=的一个焦点坐标为，则双曲线的渐近线方程为（）A.14y x =±B.12y x =±C.2y x =±D.4y x=±3.用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A.假设,,a b c 都大于0B.假设,,a b c 都不大于0C.假设,,a b c 都小于0D.假设,,a b c 至多有一个大于04.已知直线l ⊥平面α，直线m //平面β，则“α//β”是“l ⊥m ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件5.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p py x 的交点为,A B .,A B 连线经过抛物线焦点F ，且线段AB 的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A.2B.12C.2D.26.设直线)(01)1(:R m y m mx l ∈=--+，圆4)1(:22=+-y x C ，则下列说法中正确的是（）A.直线l 与圆C 有可能无公共点B.若直线l 的一个方向向量为(1,2)a =-，则1m =-C.若直线l 平分圆C 的周长，则0m =D.若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ,则线段MN 的长的最小值为327.在正方体11111CC E D C B A ABCD 是棱中，-的中点，11B BCC F 是侧面内的动点，且AE D F A 11//平面，记F A 1与平面11B BCC 所成的角为θ，下列说法正确的个数是（）①点F 的轨迹是一条线段②F A 1与E D 1不可能平行③F A 1与BE 是异面直线④22tan ≤θA.1B.2C.3D.48.已知21,F F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且︒=∠6021PF F ,则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）A.33 B.23 C.1D.3二、填空题（共7题，每题4分）9.抛物线22x y =的焦点坐标为.10.设平面α的法向量为()2,2,11-=n ，平面β的法向量为()4,,22λ=n ，若βα⊥，则=n .11.用数学归纳法证明：()112131211n ><-+⋯⋯++n n ，在第二步证明从1+==k n k n 到成立时，左边增加的项是.（用含有k 的式子作答）12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.13.圆082422=---+y x y x 关于直线)0,(022>=-+b a by ax 对称，则ba 41+的最小值为.14.已知F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，满足2OA OF OF = ，直线OA 的方程为x y 332=，则双曲线的离心率为.15.如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，=90ABC ∠,1AB =，2AC CD DA ===,M 是边DC 上的动点（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将ADM ∆翻折成AD M '∆，当平面AD M '垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为.三、解答题（共40分）16.（本小题满分9分）已知命题p ：方程02224222=+-++-+m m my x y x 表示圆；命题q ：方程15122=-+-ay m x 表示焦点在y 轴上的椭圆。
浙江省杭州高中2018学年高二数学上学期期末考试试题理
杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷 (理科)注意事项：本卷考试时间90分，满分100分。
本卷全部答案一定答在答题卷上，不然无效。
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一．选择题1．已知命题p：xR,sinx1，则（）A.p:x R,sinx1B.p:x R,sinx1C.p:x R,sinx1D.p:x R,sinx12．已知复数z a i(a0,i是虚单位)，若|z|5，则1的虛部是（）11i1i z1A. B. C. D.33553．当a＞0时，设命题P：函数f(x)x a在区间（1，2）上单一递加；命题Q：不等式x2ax10x对随意x∈R都建立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．0a1B．1a2C．0a2D．0a1或a24．已知直线l,m,平面,,且l,m，给出以下四个命题：①若//,则l m;②若l m,则//;③若,则l//m;④若l//m,则.此中正确的命题是（）A．①④B．②④C．①③④D．①②④5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图为向来角三角形；俯视图为向来角梯形，且AB BC 1,则异面直线PB与CD所成角的正切值是（）。
A.1B.2C.1D.1226．已知S,A,B,C是球O表面上的点，SA平面ABC，AB BC，SAAB1，BC2，则球O的表面积等于(球的表面积为S4R2)（）A．4B．3C．2D．7．直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是A．[0,)B．[0,][3,)C．[0,]D．[0,](,)444428．若圆x2y21和x2y24x4y70对于直线l对称，则l的方程是（）A.x y0 B.x y 2 0 C.x y 2 0 D.x y 2 09.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，知足 MF 1 MF 2 0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B．(0,1]C ．(0,2) D ．[ 2,1)222y 2 x 2 1(a,b0)的一条渐近线与椭圆x 2 y 2 10．双曲线a 2a 21(ab0)交于点M 、b 2b 2N ，则MN=（）A.2(a 2b 2)B.2(a 2 b 2)C.2a D.a +b二．填空题1 2i R 在复平面上对应的点位于第一象限，则m 的取值范围是 。
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【全国百强校】浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. “x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3. 已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为
（）
B．C．D．
A．
4. 若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）
A．B．C．D．
5. 已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）
B．若，，，，则A．若，且，则
C．若，且，则D．若且，则
6. 函数的值域是（）
A．或
B．或
C．
D．或
7. 设x、y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为（）A．10 B．8
C．3 D．2
8. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形
是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）
A．与是异面直线B．平面
C．AE，为异面直线，且D．平面
9. 已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦
点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）
A．B．2 C．D．3
10. 已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角
的大小为，则（）
A．B．C．D．在大小关系不确定
二、双空题
11. 已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为
______.
12. 已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是
______.
13. 已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列
的公式______，如果，则______.
14. 已知，且，，则的最小值为______，
的最小值为______..
三、填空题
15. 已知，若，则______.
16. 已知点在圆上运动，且，若点的坐标为
，则的最大值为______.
17. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为________.
四、解答题
18. 已知函数
（1）求函数的单调递增区间
（2）当时，求函数的值域.
19. 已知正项数列的首项，前项和满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；
20. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，
，，线段与的中点分别为
（1）求证：
（2）求二面角的余弦值.
21. 已知抛物线：的焦点为，直线：交抛物线于两点，是线段的中点，过怍轴的垂线交抛物线于点.
（1）若，且，求直线的方程
（2）若，且，求抛物线的方程
22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率
为.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.。