《现代地理学中的数学方法》第3章 1+2相关分析方法+回归分析方法分解
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回归分析法62页PPT文档
9.1概述
• 什么是回归分析？(Regression)
1. 定义：
• 关于变量间客观存在的相关关系描述模型及其性质 和应用的统计方法的总称。
• 被 预 测 或 被 解 释 的 变 量 称 为 因 变 量 (dependent
variable)，用y表示
• 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称
不良贷款
不良贷款
14
12
10
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
贷款余额 不良贷款与贷款余额的散点图
14 12 10
8 6 4 2 0
0
10
20
30
40
贷款项目个数
不良贷款与贷款项目个数的散点图
不良贷款
不 良 贷款
14
12
10
8
6
4
2
0
0
10
20
30
累计应收贷款
不良贷款与累计应收贷款的散点图
14 12 10
多元线性回归，用于一个因变量Y同多个 自变量X1, X2,… Xm,线性相关的问题。
非线性回归，又可分为两类：一类可通过 数学变换变成线性回归，如取对数可使乘 法变成加法等；另一类可直接进行非线性 回归，如多项式回归。
回归模型
一元回归
多元回归
线性回归 非线性回归 线性回归 非线性回归
9.1概述
高(x)之间的关系
▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
回归分析(regression analysis)
回归分析(regression analysis)➢概述回归分析是寻求成对出现的一组数值型数据之间的关系模型的一种统计工具，这咱关系模型是一条直线或曲线。
回归分析就是要找到这条直线或曲线的方程，以及度量模型对数据拟合优度的判定系数r2和其他一些统计工具。
线性回归是通过绘制数据的散布图来拟合一条最优直线。
本部分将就这种最简单的回归类型展开讨沦。
非线性回归是寻求与数据最优的曲线。
多元回归是解决一个因变量受多个自变量影响的问题。
非线性和多元回归都过于复杂，需要使用时可以寻求统计学家的帮助。
➢适用场合·当取得一组成对出现的数据型数据时；·在绘制完成数据的散布图后；·当要了解自变量的变化对因变量有怎样的影响时；·当掌握了自变量的信息，想要预测因变量的变化情况时；·当需要得到直线或曲线对数据的拟合程度的统汁测量结果时。
➢实施步骤线性回归可以用手工完成，但是通过计算机软件可以大大简化运算。
按照软件说明逐步完成分析过程。
回归分析会得到与数据最优拟合的回归直线图形以及一张统计表格，包括：·回归直线的斜率。
直线方程的形式是：ˆy mx b=+，m是斜率，代表当自变量x增加一个单位时，因变量ˆy将随之增加一个单位。
正的斜率意味着回归线是由左向右上方倾斜的；负斜率说明回归线向下方倾斜（ˆy的上标是用来提醒它只是因变量）估计值，而不是真实值）。
·回归直线的截距。
在直绒方程中，常数b代表截距。
它是直线与y轴交点处ˆy的值。
得到斜率和截距值后，就可以根据等式ˆy mx b=+画出回归线或按照给定的x值估计y的值了。
·判定系数r2。
r2的值介于0和1之间，是对同归线与数据拟合程度的度量。
如果，r2＝1，代表直线与数据完全吻合。
随着r2值的减小，表示拟合度越差，得到的估计值也更不准确。
将r2看作是y的变动中可以用回归直线解释的那部分，因为大部分的数据点都不会准确地落在回归线上，不能用回归线解释的那部分(1—r2)是残差。
回归分析法(精品PPT课件)
b0
i 1
W 2 n yi b0 b1xi xi 0
b1
i 1
8
求解上述方程组得：
n
n
n
n xiyi
xi
yi
b1 i1
n
x x n i1
i 1 i 1
2
i
n
2
i
i 1
1 n
bn
b0
yi
补充内容：回归分析法
回归分析是计量经济学中最为基础的一 部份内容。在这里我们简单地介绍回归 分析中估计模型具体参数值的方法。
1
一、一元线性回归与最小二乘法
Y=b0+b1x+ε，其中y 为应变量，x为自变量， b0为模 型的截距，b1为x变量的系数， ε为随机误差项。
如果现在有一系列的y与x的值，我们可以用很多方法 来找到一个线性的方程，例如任意连接两个特定的点， 但这种方法显然不能给出一条最好的拟合直线。另一 种方法是找出一条直线，使得直线与已有的点之间的 距离的和最小，但由于这条直线与点之间的距离有时 为正有时为负，求和时会相互抵消，所以用这种方法 找到的直线也并不一定最好。于是我们想到要找到一 条这样的直线，使得直线与点之间的距离的平方和最 小：
xi
n i1
n i1
9
例1：
某地区人均收入与某耐用消费品销售额的资料如 下表所示：请求出其一元回归模型。
年份 1991
人均收 入x/元
680
耐用消
费品销 售额y/
164
万元
1992 760
180
1993 900
200
1994 940
228
《现代地理学中的数学方法》第3章 1 2相关分析方法 回归分析方法
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、地理相关程度的度量方法 • 计量地理学中用不同的指标来度量不同类型的地理相关的程度。 • （一）简单直线相关程度的度量 • 一般情况下，当两个地理要素间为直线相关时，需要分析其相关程度和
相关方向。所谓相关程度指两者关系的密切程度，而相关方向可分为正 相关与负相关。前者指两个要素间呈同方向变化，而后者相反。这两者 可用一个共同的指标度量，就是相关系数。 • 1. 一般常用的相关系数(r)计算公式 • 其中，
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• （三）多要素相关与相关矩阵 • 对于多个地理要素，则可计算出各要素两两之间的相关系数，并构成相
关矩阵。 • 例3：现给出世界上自然植被的生产量与水热资源的原始地理数据（表5
－3），利用相关系数公式得到其相关矩阵，形式如下所示：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
– 地理回归分析的主要内容包括：
• 1. 由一组地理数据确定这些要素间的定量数学表达式，即回归模型； • 2. 利用回归模型，根据自变量的值来预测或控制因变量的取值。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、一元地理回归模型的建立
– 一元地理回归是要解决两个要素间的定量关系。由于两个要素之间 的数量关系类型的差别，一元地理回归包括线性回归模型和非线性 回归模型分述如下：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 3. 一元线性地理回归模型的效果检验 • 当一元线性地理回归模型求出来以后，它的效果如何，它所揭示的地理
规律性强不强，用它来进行地理预测精度如何？所有这些问题都需要进 一步作出分析。 • （1）回归模型估计的误差 • 由线性回归模型所得到的y的估计值往往与实测值y不完全一致，它们之 间的误差称为估计误差，以标准差的形式表示为 • 在实际地理问题中，只要比较S与允许的偏差即可。
回归分析法精选全文
可编辑修改精选全文完整版回归分析法用相关系来表示变量x和y线性相关密切程度，那么r数值为多大时才能说明它们之间线性关系是密切的？这需要数理统计中的显著性检验给予证明。
三、显著性检验是来用以说明变量之间线性相关的密切程度如何，或是用以说明所求得的回归模型有无实用价值。
为说明相关系数的概念，先观察图2-3。
回归分析的检验包括：相关系数的显著性检验、回归方程的显著性检验、回归系数的显著性检等，它们是从不同角度对回归方程的预测效能进行验证的。
关于显著性检验这涉及有关数理统计的内容,为此我们作一下简要回顾。
数理统计的主要内容包括:·参数估计;·假设检验;·方差分析等。
（1）相关系数检验。
相关系数的检验，需要借助于相关系数检验表来进行，这种表是统计学家按照有关的数学理论制定出的。
在相关系数检验表中，有两个参数需要说明。
1）f —称为自由度。
其含义为：如果有n个变量 x1,x2,...x n相互独立，且无任何线性约束条件，则变量的自由度个数为 f=n ，一般情况下有:f=n —约束条件式数对于一元线性回归，参数a，b要通过观测数据求出，有两个约束式，则失去两个自由度，因此 f=n-2 ，n为散点（观测点或统计数据点）个数。
2） a —称为显著性水平。
取值为0.01或0.05。
而1-a 称为置信度或置信概率，即表示对某种结论的可信程度。
当 a 取值为0.05时，则1-a 为0.95，这表示在100次试验中，约有5次犯错误（小概率事件发生）。
判断两个随机变量x,y间有无线性相关关系的方法是：首先根据要求确定某一显著性水平 a ，由散点数n计算出 f ，然后根据 a , f 利用相关系数检验表查出相关系数的临界值 r a，最后将计算出的相关系数r的绝对值与临界值 r a相比较。
r a表示在一定的置信概率下，所要求的相关系数起码值。
若，表示这两个随机变量之间存在线性相关关系；若，表示这两个随机变量之间线性相关程度不够密切。
数学地质第三章 回归分析
n
yi
n
（3-9）
n 1 1 y yi x xi n i 1 n i 1 则式（3-9）可化为
n
n n 2 na x b xi xi y i i 1 i 1 a bx y
（3-10）
二、参数a,b的最小二乘估计
由式（3-10）中第一个方程得
y x
一、一元线性回归的数学模型
将式（3-2）及式（3-3）两边取对数，则分别为 Lny=lnα+βx （3-4） 及 lny=lnα+βlnx （3-5） 如果在式（3-4）中令Y=lny，则Y与x即成线性 关系；如果在式（3-5）中令Y=lny，X=lnx，则Y与X 就成线性关系。此外，还有一些函数，只要经过简单 变换，也可变为线性关系。这些统称为可化为线性关 系的情况，只要线性情况得到解决，可化为线性的情 况也就不难解决。
一元线性回归分析，主要是处理两个变量
x、y之间的关系。两个变量之间的关系有线性 和非线性两种情况，这里主要讨论线性关系及 可化为线性关系的非线性情况。
一、一元线性回归的数学模型
线性关系数学模型，如 y=a+bx (a,b为常数) （3-1） 非线性的情况，如指数函数 x y e （α，β为常数） （3-2） 幂函数形式 （3-3）
n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 n Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1
（ 3-8）
二、参数a,b的最小二乘估计
即
令
i 1 i 1 n n n a xi b xi2 xi y i i 1 i 1 i 1 na b xi
二、参数a,b的最小二乘估计
yi
n
（3-9）
n 1 1 y yi x xi n i 1 n i 1 则式（3-9）可化为
n
n n 2 na x b xi xi y i i 1 i 1 a bx y
（3-10）
二、参数a,b的最小二乘估计
由式（3-10）中第一个方程得
y x
一、一元线性回归的数学模型
将式（3-2）及式（3-3）两边取对数，则分别为 Lny=lnα+βx （3-4） 及 lny=lnα+βlnx （3-5） 如果在式（3-4）中令Y=lny，则Y与x即成线性 关系；如果在式（3-5）中令Y=lny，X=lnx，则Y与X 就成线性关系。此外，还有一些函数，只要经过简单 变换，也可变为线性关系。这些统称为可化为线性关 系的情况，只要线性情况得到解决，可化为线性的情 况也就不难解决。
一元线性回归分析，主要是处理两个变量
x、y之间的关系。两个变量之间的关系有线性 和非线性两种情况，这里主要讨论线性关系及 可化为线性关系的非线性情况。
一、一元线性回归的数学模型
线性关系数学模型，如 y=a+bx (a,b为常数) （3-1） 非线性的情况，如指数函数 x y e （α，β为常数） （3-2） 幂函数形式 （3-3）
n Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 n Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1
（ 3-8）
二、参数a,b的最小二乘估计
即
令
i 1 i 1 n n n a xi b xi2 xi y i i 1 i 1 i 1 na b xi
二、参数a,b的最小二乘估计
现代地理学中的数学方法 (1)
r12.3
2 13
r12 r13 r23
2 23
(1 r )(1 r ) r 13 r 12 r 23 (1 r )(1 r )
2 12 2 23
（4.1.5）
r 13.2
（4.1.6）
r23.1
r23 r12 r13 (1 r )(1 r )
2 12 2 13
又如:根据甘肃省53个气象台站的多年平 均数据（见教材表4.1.2），可以利用公式 （4.1.1）对降水量（p）和纬度（y）之间的 相关系数以及蒸发量（v）和纬度（y）之间的 相关系数进行计算，结果如下
( p p)( y y )
i 1 i i 53
rpy
( p p) ( y y )
rtp
(t
i 1 12 i 1
12
i
t )( pi p )
2 2 ( p p ) i i 1 12
(ti t )
300.91 250.55 1 508.34
300 .91 0.489 5 15.83 38 .84
(2)计算结果表明，伦敦市的月平均气 温（ t ）与降水量 (p) 之间呈负相关，即异 向相关。
利用公式计算一级偏向关系数，如表4.1.6所示： 表4.1.6
r12· 3 0.821 r13· 2 0.808 r14· 2 0.647 r14ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 0.895
一级偏相关系数
r23· 1 -0.863 r24· 1 0.956 r24· 3 0.945 r24· 1 r34· 2 -0.875 0.371
一、两要素之间的相关分析
相关系数的计算与检验
2 13
r12 r13 r23
2 23
(1 r )(1 r ) r 13 r 12 r 23 (1 r )(1 r )
2 12 2 23
（4.1.5）
r 13.2
（4.1.6）
r23.1
r23 r12 r13 (1 r )(1 r )
2 12 2 13
又如:根据甘肃省53个气象台站的多年平 均数据（见教材表4.1.2），可以利用公式 （4.1.1）对降水量（p）和纬度（y）之间的 相关系数以及蒸发量（v）和纬度（y）之间的 相关系数进行计算，结果如下
( p p)( y y )
i 1 i i 53
rpy
( p p) ( y y )
rtp
(t
i 1 12 i 1
12
i
t )( pi p )
2 2 ( p p ) i i 1 12
(ti t )
300.91 250.55 1 508.34
300 .91 0.489 5 15.83 38 .84
(2)计算结果表明，伦敦市的月平均气 温（ t ）与降水量 (p) 之间呈负相关，即异 向相关。
利用公式计算一级偏向关系数，如表4.1.6所示： 表4.1.6
r12· 3 0.821 r13· 2 0.808 r14· 2 0.647 r14ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 0.895
一级偏相关系数
r23· 1 -0.863 r24· 1 0.956 r24· 3 0.945 r24· 1 r34· 2 -0.875 0.371
一、两要素之间的相关分析
相关系数的计算与检验
第三章___地理要素间的相关分析和回归分析 (1)
钢材消费 (吨 ) 国民收入 (亿 )
1994
698 1097
1995
872 1284
1996
988 1502
……
…… ……
2007
1446 2948
2008
2736 3155
2009
2825 3372
试分析预测若2010年到2015年该地区国民 收入以4.5%的速度递增，2015年钢材消费量将 达到什么样的水平？
（3.2.9）
S总 Lyy
n
2 ( y y ) i i 1 U ( yi y
2 i 1 i 1
（3.2.10）
Q称为误差平方和，或剩余平方和； U称为回归平方和。
② 可以证明:在假设y和x不存在线性关系（原假设H0：b=0）时，
问题分析：
钢材消费量--------因变量y dependent
解释变量，待估测的变量
variable 被
国民收入-----------自变量 x independent
variable 解释变量，给定的或可以控制的变量，作为估测根据的变量
建立数据拟合函数 y = E（Y | x）= f(x)；
作拟合曲线图形分析。
F统计量
F U Q n2 ~ F (1, n 2)
（3.2.11）
③ 因此，在给定的显著水平 α （通常 α= 0.01 或 0.05 ） 下，若 F> Fα ，拒绝原假设，则认为 x与y 之间在α 显著性水平下存 在线性统计关系。一般地，当 F < F 0.05(1,n-2)时，则接受假 设，认为x与y之间在α 显著性水平下不存在线性统计关系， 所建模型模型无效。显然，F 越大，模型的效果越佳。 ④ 方差分析表
1994
698 1097
1995
872 1284
1996
988 1502
……
…… ……
2007
1446 2948
2008
2736 3155
2009
2825 3372
试分析预测若2010年到2015年该地区国民 收入以4.5%的速度递增，2015年钢材消费量将 达到什么样的水平？
（3.2.9）
S总 Lyy
n
2 ( y y ) i i 1 U ( yi y
2 i 1 i 1
（3.2.10）
Q称为误差平方和，或剩余平方和； U称为回归平方和。
② 可以证明:在假设y和x不存在线性关系（原假设H0：b=0）时，
问题分析：
钢材消费量--------因变量y dependent
解释变量，待估测的变量
variable 被
国民收入-----------自变量 x independent
variable 解释变量，给定的或可以控制的变量，作为估测根据的变量
建立数据拟合函数 y = E（Y | x）= f(x)；
作拟合曲线图形分析。
F统计量
F U Q n2 ~ F (1, n 2)
（3.2.11）
③ 因此，在给定的显著水平 α （通常 α= 0.01 或 0.05 ） 下，若 F> Fα ，拒绝原假设，则认为 x与y 之间在α 显著性水平下存 在线性统计关系。一般地，当 F < F 0.05(1,n-2)时，则接受假 设，认为x与y之间在α 显著性水平下不存在线性统计关系， 所建模型模型无效。显然，F 越大，模型的效果越佳。 ④ 方差分析表
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• （二）简单非线性相关程度的度量
– 表示简单非线性相关程度的统计量，通常用相关指数Ryx来度量。相关指数 的性质如下：
• （1）相关指数的分布范围介于0到1之间； • （2）相关指数的数值越大，两个要素间的曲线相关程度越密切。
• （3）相关指数必大于或至少等于用同一批资料所求得的相关系数的绝对值。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
•
从图中可以看出，若设x、y为两种地理要素。第一种情况，若y严格随x变化而变化，如(a) 所示，所有观测点均落在直线或曲线上，则称为完全相关或函数关系；第二种情况，若观 测点落在直线或曲线两旁，如(b)所示，则称为统计相关；第三种情况，若观测点分布散乱， 则两种地理要素完全无关，相互独立。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• （三）多要素相关与相关矩阵 • 对于多个地理要素，则可计算出各要素两两之间的相关系数，并构成相 关矩阵。 • 例3：现给出世界上自然植被的生产量与水热资源的原始地理数据（表5 －3），利用相关系数公式得到其相关矩阵，形式如下所示：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 例2：现仍以北京市各月平均气温与5cm平均地温为例，列成表5－2说 明其计算过程。首先将表中两个要素的观测值按大小顺序排列起来，最
大值排为1号，依次类推。将两个要素的顺序号相减，即为d，将其平方
求和并带入上面公式，即可得到两者的顺序相关系数rs。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 所谓相关，是指两个或两个以上的变量间相互关系是否密切。相关分析仅限于 测定两个或两个以上的变量间相关程度和性质。而地理相关则是指应用相关分 析法来研究各地理要素间的相互关系和联系强度。 • 在地理系统中，各要素间存在着各种不同的关系。
1. 确定性的关系，即函数关系，这在地理系统中比较少见，因为很多地理要素的变化具有随机性的 缘故； 2. 3. 相关关系，即要素间既存在较密切的关系，但又不能由一个要素的值精确地求出另一个要素的值 各要素之间完全没任何关系。如图5－1所示：
• 二、一元地理回归模型的建立
– 一元地理回归是要解决两个要素间的定量关系。由于两个要素之间 的数量关系类型的差别，一元地理回归包括线性回归模型和非线性 回归模型分述如下： – （一）一元线性地理回归模型的建立
• 假设有两个要素（变量）x和y。x为自变量，y为因变量。x可以是降水 量、蒸发量、土壤中的有机质含量等；y可以是河流径流量、土壤含水 量等。假定一元线性模型结构为：yi =A+ Bxi+εi
• 例1：北京市多年各月平均气温与5cm深的平均地温，数据 如表5－1所示。依据相关系数的计算公式可得：0.9995，
由此可见，北京市的各月平均气温与5cm的平均地温呈正相
关，而且相关极为密切。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 2. 顺序（等级）相关系数（rs）计算公式
– 顺序相关不但适用于数量资料的相关分析，而且适用于质的资料。表示两个 要素顺序间直线相关程度和方向的系数，称为顺序相关系数。当使用两个要 素间的数值计算相关系数不方便时，可用顺序相关系数的计算公式来求得。
• 三、相关系数的显著性检验
– 为了判定我们所计算出来的相关系数是否有意义，通常还要进一步对相关系 数作显著性检验。 – 为了使用上方面，前人已经制出了相关系数检验表（附录二）。其中n表示 所使用资料的个数（自由度f为n-2），α为信度。
– 对计算出的相关系数进行显著性检验证明要素间相关程度是显著的之后，就
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 地理系统由各个要素组成，各要素之间存在着相互联系、相互影响和相 互制约，为了定量地研究各要素之间的数量关系，常用相关分析法和回 归分析法来确定它们之间的关系和性质，并概括成数学模系统要素间的相关分析与回归分析
• §1 地理要素间的相关分析 • 一、地理相关的意义
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 上式计算出的相关系数，具有下列三点性质：
– （1）相关系数的分布范围，介于－1与+1之间；
– （2）当相关系数为正值时，表示两个要素之间为正相关，相关系数 为负值时，表示两个要素之间为负相关；
– （3）相关系数的绝对值越大，表示两个要素间相关程度越密切。
• 式中，A、B为待定参数，i=1,2,...,n，而（xi，yi）为n组观测数据，εi
为随机变量。参数A、B一般总是未知的，需根据观测值采用最小二乘 法来估计。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 设a和b分别为参数A和B的最小二乘估计值，于是便得到了一元线性回 归模型为 • 上式代表x和y之间关系的最佳拟和直线，通常称为回归直线。它满足y 的实际观测值与回归值之间的误差平方和最小。这就是最小二乘法。 • 1. 参数a和b的最小二乘估计 • 根据最小二乘原理，可得a、b的计算公式如下：
量与因变量之分，从而可由自变量的取值来预测、延长或插补和控 制因变量的取值，所以它有地理预测的性质。
– 地理回归分析的主要内容包括：
• 1. 由一组地理数据确定这些要素间的定量数学表达式，即回归模型； • 2. 利用回归模型，根据自变量的值来预测或控制因变量的取值。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、地理相关程度的度量方法 • 计量地理学中用不同的指标来度量不同类型的地理相关的程度。 • （一）简单直线相关程度的度量 • 一般情况下，当两个地理要素间为直线相关时，需要分析其相关程度和 相关方向。所谓相关程度指两者关系的密切程度，而相关方向可分为正 相关与负相关。前者指两个要素间呈同方向变化，而后者相反。这两者 可用一个共同的指标度量，就是相关系数。 • 1. 一般常用的相关系数(r)计算公式 • 其中，
可以对其进行进一步的回归分析了。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
§2 地理要素间的回归分析
一、地理回归分析的意义和作用
– 地理系统各要素之间的相互关系，可通过大量的观测、试验或实验
取得一定的地理数据，然后用数理统计的方法，寻找出隐藏在随机 性后面的统计规律，而用回归方程来表达。
– 地理回归分析主要是研究地理要素之间联系的数学表达式，有自变
– 表示简单非线性相关程度的统计量，通常用相关指数Ryx来度量。相关指数 的性质如下：
• （1）相关指数的分布范围介于0到1之间； • （2）相关指数的数值越大，两个要素间的曲线相关程度越密切。
• （3）相关指数必大于或至少等于用同一批资料所求得的相关系数的绝对值。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
•
从图中可以看出，若设x、y为两种地理要素。第一种情况，若y严格随x变化而变化，如(a) 所示，所有观测点均落在直线或曲线上，则称为完全相关或函数关系；第二种情况，若观 测点落在直线或曲线两旁，如(b)所示，则称为统计相关；第三种情况，若观测点分布散乱， 则两种地理要素完全无关，相互独立。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• （三）多要素相关与相关矩阵 • 对于多个地理要素，则可计算出各要素两两之间的相关系数，并构成相 关矩阵。 • 例3：现给出世界上自然植被的生产量与水热资源的原始地理数据（表5 －3），利用相关系数公式得到其相关矩阵，形式如下所示：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 例2：现仍以北京市各月平均气温与5cm平均地温为例，列成表5－2说 明其计算过程。首先将表中两个要素的观测值按大小顺序排列起来，最
大值排为1号，依次类推。将两个要素的顺序号相减，即为d，将其平方
求和并带入上面公式，即可得到两者的顺序相关系数rs。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 所谓相关，是指两个或两个以上的变量间相互关系是否密切。相关分析仅限于 测定两个或两个以上的变量间相关程度和性质。而地理相关则是指应用相关分 析法来研究各地理要素间的相互关系和联系强度。 • 在地理系统中，各要素间存在着各种不同的关系。
1. 确定性的关系，即函数关系，这在地理系统中比较少见，因为很多地理要素的变化具有随机性的 缘故； 2. 3. 相关关系，即要素间既存在较密切的关系，但又不能由一个要素的值精确地求出另一个要素的值 各要素之间完全没任何关系。如图5－1所示：
• 二、一元地理回归模型的建立
– 一元地理回归是要解决两个要素间的定量关系。由于两个要素之间 的数量关系类型的差别，一元地理回归包括线性回归模型和非线性 回归模型分述如下： – （一）一元线性地理回归模型的建立
• 假设有两个要素（变量）x和y。x为自变量，y为因变量。x可以是降水 量、蒸发量、土壤中的有机质含量等；y可以是河流径流量、土壤含水 量等。假定一元线性模型结构为：yi =A+ Bxi+εi
• 例1：北京市多年各月平均气温与5cm深的平均地温，数据 如表5－1所示。依据相关系数的计算公式可得：0.9995，
由此可见，北京市的各月平均气温与5cm的平均地温呈正相
关，而且相关极为密切。
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• 2. 顺序（等级）相关系数（rs）计算公式
– 顺序相关不但适用于数量资料的相关分析，而且适用于质的资料。表示两个 要素顺序间直线相关程度和方向的系数，称为顺序相关系数。当使用两个要 素间的数值计算相关系数不方便时，可用顺序相关系数的计算公式来求得。
• 三、相关系数的显著性检验
– 为了判定我们所计算出来的相关系数是否有意义，通常还要进一步对相关系 数作显著性检验。 – 为了使用上方面，前人已经制出了相关系数检验表（附录二）。其中n表示 所使用资料的个数（自由度f为n-2），α为信度。
– 对计算出的相关系数进行显著性检验证明要素间相关程度是显著的之后，就
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 地理系统由各个要素组成，各要素之间存在着相互联系、相互影响和相 互制约，为了定量地研究各要素之间的数量关系，常用相关分析法和回 归分析法来确定它们之间的关系和性质，并概括成数学模系统要素间的相关分析与回归分析
• §1 地理要素间的相关分析 • 一、地理相关的意义
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• 上式计算出的相关系数，具有下列三点性质：
– （1）相关系数的分布范围，介于－1与+1之间；
– （2）当相关系数为正值时，表示两个要素之间为正相关，相关系数 为负值时，表示两个要素之间为负相关；
– （3）相关系数的绝对值越大，表示两个要素间相关程度越密切。
• 式中，A、B为待定参数，i=1,2,...,n，而（xi，yi）为n组观测数据，εi
为随机变量。参数A、B一般总是未知的，需根据观测值采用最小二乘 法来估计。
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• 设a和b分别为参数A和B的最小二乘估计值，于是便得到了一元线性回 归模型为 • 上式代表x和y之间关系的最佳拟和直线，通常称为回归直线。它满足y 的实际观测值与回归值之间的误差平方和最小。这就是最小二乘法。 • 1. 参数a和b的最小二乘估计 • 根据最小二乘原理，可得a、b的计算公式如下：
量与因变量之分，从而可由自变量的取值来预测、延长或插补和控 制因变量的取值，所以它有地理预测的性质。
– 地理回归分析的主要内容包括：
• 1. 由一组地理数据确定这些要素间的定量数学表达式，即回归模型； • 2. 利用回归模型，根据自变量的值来预测或控制因变量的取值。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、地理相关程度的度量方法 • 计量地理学中用不同的指标来度量不同类型的地理相关的程度。 • （一）简单直线相关程度的度量 • 一般情况下，当两个地理要素间为直线相关时，需要分析其相关程度和 相关方向。所谓相关程度指两者关系的密切程度，而相关方向可分为正 相关与负相关。前者指两个要素间呈同方向变化，而后者相反。这两者 可用一个共同的指标度量，就是相关系数。 • 1. 一般常用的相关系数(r)计算公式 • 其中，
可以对其进行进一步的回归分析了。
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§2 地理要素间的回归分析
一、地理回归分析的意义和作用
– 地理系统各要素之间的相互关系，可通过大量的观测、试验或实验
取得一定的地理数据，然后用数理统计的方法，寻找出隐藏在随机 性后面的统计规律，而用回归方程来表达。
– 地理回归分析主要是研究地理要素之间联系的数学表达式，有自变