复矩阵的Jordan标准形的性质及应用

复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用学生姓名：李英红 指导教师：周芳（太原师范学院 数学系0802班 2008101217）摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。

本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。

关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文1、 定义 形如11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块,i c λ∈,通常记为()i n i J λ.2、 定义若当形 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为Jordan 标准形。

定理1 复数域c 上两个n 阶矩阵A 和B 相似E A E B λλ⇔--与等价证明 ""⇒若A 和B 相似,存在可逆矩阵T ,使得1B T AT -=,所以1()E B T E A T λλ--=-,因而E A E B λλ--与等价.""⇐E A E B λλ--与等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得A 和B 相似.定理2 (Jordan 标准形定理)每个n 阶的复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似,这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列次序外被A 唯一决定，记为A J .证明 设n 阶的矩阵A 的特征矩阵E A λ-的 初等因子为1212(),(),,()sk kks λλλλλλ--- (2.1)令11i ii ii i m mJ λλλ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 并令12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，则E J λ-的全部初等因子也为（2.1）式 则A 和J 相似推论1 复矩阵A 与对角矩阵相似⇔E A λ-的初等因子都是一次的。

定义3 设A 为一个非零的n 阶幂零矩阵，即存在正整数m ，使得0m A =，但10m A -≠，则m 为A 的幂零指标，则A 的最小多项式为mλ 性质1 A 为一个幂零矩阵⇔A 的特征值全为零证明""⇒ 存在可逆矩阵T ，使得112(,,,)s T AT J diag J J J -==1,1,2,,1i ii ii i n nJ i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ，设0mA =，所以112()(,,,)0m m m m m s T AT J diag J J J -=== 所以0,0,0m i i i J n m λ=∴=≤< 也即A 的特征值全为零""⇐存在可逆矩阵Q ,使得1211(1)000n n n a a Q AQ a --⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1211(1)000n n n a a A Q Q a --⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，也即10,0n n A A -=≠ ， 即A 为一个幂零矩阵定理3 设n 阶幂零矩阵A 的Jordan标准形为12s N N N N ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，010,1,2,,(3.0)10i ii n n N i s ⨯⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭幂零指标为m则（1） max{|1}i m n i s =≤≤（2）A 的零度等于N 中Jordan 块的个数s（3） 记N 中k 阶Jordan 块的个数k l ,kA 的零度为k η，1k n ≤≤，则112222l s ηηη=-=-，112,2k k k k l k m ηηη-+=--≤≤证明 （1）由于A 与N 相似,所以00,k k A N k Z +=⇔=∈因此12k k kk s N N N N ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且10,0,kk i i N N -=≠所以N 的幂零指标为i m m m ⇔≤1i s ≤≤且存在i 使i n m =(2)设A 的零度为1η,则 111()(1)s siii i n r N n n sη===-=--=∑∑ (3.1)(3)根据kA 的零度等于kN 的零度等于k i N 的零度之和(1,2,,i s = )使ki N 的零度=iik k n n k n ≤⎧=⎨>⎩ (3.2)由(3.2)我们有1A η=的零度=N 的零度=111(1s s iki i k N s l∞======∑∑∑的零度) (3.3)2221(si i A N N η===∑2的零度=的零度的零度)1:2:22((2i i iiki n i n k N N l l∞<≥==+=+∑∑∑22的零度)的零度) (3.4)1(sjjj i i A N N η===∑j 的零度=的零度的零度)::((i i iikk i n ji n jk jk jN N klj l ∞<≥<==+=+∑∑∑∑jj的零度)的零度) (3.5)由(3.3)和(3.4)可以推出(3.1),而(3.2)可由(3.5)推出例1 求矩阵的Jordan 标准形308316205A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭解: 先求E A λ-的初等因子308308316316205111E A λλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-+-→-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-⎝⎭⎝⎭2111111100316022330103080(1)(3)(1)(5)00(1)λλλλλλλλλλλλλλ---+---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-+-→----→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以E A λ-的初等因子是2(1)λ+,(1)λ+因而A 的Jordan 标准形为1111J -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭例2 1011110111010110A ---⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 求P ，使得1010010P AP N -⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭解 1PA P N -=等价于AP PN =，令1234(,,,)P αααα=可得1234123413010(,,,)(,,,)(0,,0,)010A αααααααααα⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 则有1213430,,0,A A A A αααααα==== 即有13,,αα是特征向量，而24,αα是广义特征向量 则1112121232323441241011101110111101011001101101000000000110011000b b b b b b b b b b b b b b b b b b ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪++-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎪++--⎝⎭⎝⎭⎝⎭要使方程组AX β=有解，向量'1234(,,,)b b b b β=要满足 23b b =，1240b b b ++= 解方程组134230x x x x x ++=⎧⎨-=⎩得''13(1,1,1,0),(1,0,0,1)αα=-=-这两个向量都满足AX β=的相关性条件，解1AX α=即1342310x x x x x -+=⎧⎨-=⎩得'2(1,0,0,0)α=解3AX α=即1342311x x x x x ++=⎧⎨-=-⎩得'2(1,1,0,0)α=-因此1111100110000010P ---⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例3求下列矩阵的Jordan 标准形J ，并求变换矩阵P ，使得1P AP J -=3100410031213110A ⎛⎫⎪--⎪= ⎪⎪---⎝⎭解 4||(1)E A λλ-=-因此A 的Jordan 标准形J 中只有对角线为1的Jordan 块，因此可设1231111J ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1α,2α,3α为1或0.因A E ≠,所以J E ≠故至少有一个0i α≠,因此11α= 由于2100420031113111E A --⎛⎫⎪⎪-= ⎪---- ⎪⎝⎭所以E A -的零度为2(故E J -的零度为2 ,因此2α,3α有一个且仅有一个为零)于是J 中有两个Jordan 块，又2()0E A -≠因此2()0E J -≠故至少有一个Jordan 块的阶大于2,所以231,0αα==即111111J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设1P AP J -=，则有A P P J =，令'1234(,,,)P a a a a =，则有123412341122341111(,,,)(,,,)(,,,)11A αααααααααααααα⎛⎫⎪⎪==++ ⎪ ⎪⎝⎭于是得到四个方程组1121232344,,,A A A A αααααααααα==+=+=即121324()0,(),(),()0E A E A E A E A αααααα-=-=--=--=作如下的初等变换：1112233344210021002420000003111311131110000b b b b b b b b b b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪⎪→ ⎪⎪--------⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 因此使方程组()E A X β-=有解，向量'1234(,,,)b b b b β=必须满足123420,0b b b b +=+=，解方程组()0E A X -=，即1212342030x x x x x x --=⎧⎨----=⎩ 得''14(0,0,1,1),(1,2,1,0)αα=-=-即1212342031x x x x x x --=⎧⎨----=-⎩得'2(1,2,0,0)α=-解方程组2()E A X α-=-得1212342130x x x x x x --=-⎧⎨----=⎩得'2(1,3,0,0)α=-因此0111023210001000P --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭结束语：通过对复矩阵的Jordan 标准形的性质及应用的研究,总结出了运算性质、特征及其与特殊矩阵的关系.这对复矩阵的Jordan 标准形在实际理论中的应用具有非常重要的意义.参考文献[1]史荣昌,魏丰编著 矩阵分析[M]（第二版）,北京:北京理工大学出版社.[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数[M].(第二版)高等教育出版社. [3]苏有才,姜翠波,张跃辉编著,矩阵理论 科学出版社 [4] 蒋忠樟著,高等代数典型问题研究,高等教育出版社 [5] 徐仲,张凯院编著 矩阵论简明教程 科学出版社[6]罗家洪,方卫东编著 矩阵分析引论 华南理工大学出版社。