圆锥曲线知识点归纳与解题方法技巧
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1
圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备: 1. 直线方程的形式
(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ 21
21
y y k x x -=
- ②点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离 002
2
Ax By C d A B
++=
+
③夹角公式:直线
111222
::l y k x b l y k x b =+=+ 夹角为α, 则21
21
tan 1k k k k α-=
+
(3)弦长公式
直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离
①222121()()AB x x y y =-+-②2121AB k x =+-221212(1)[()4]k x x x x =++-
③1221
1AB y k
=+
- (4)两条直线的位置关系
2
(Ⅰ)
111222
::l y k x b l y k x b =+=+
①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且
(Ⅱ)
11112222:0:0
l A x B y C l A x B y C ++=++=
①1212120l l A A B B ⊥⇔+=
② 1212211221//0l l A B A B AC A C ⇔≠-=0且-或
111
222
A B C A B C =≠者(2220A B C ≠) 两平行线距离公式
1122
::l y kx b l y kx b =+⎧⎨
=+⎩ 距离1221d k =+ 1122:0:0l Ax By C l Ax By C ++=⎧⎨++=⎩ 距离1222d A B =+2、圆锥曲线方程及性质 1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹;双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。若2a =|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
3
如方程2222(6)(6)8x y x y -+++=表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b y a x (0a b >>),焦点在y 轴上时2222b
x a y +=1
(0a b >>)。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)
标准方程:22
1(0,0)x y m n m n m n
+
=>>≠且 2222()()2x c y x c y a ++-+= 参数方程:cos ,sin x a y b θθ==
若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___(答:
5,2)
(2)双曲线:焦点在x 轴上:2222b y a x - =1,焦点在y 轴上:2222b
x a y -=1(0,0a b >>)。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B 异号)。
如设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点
)10,4(-P ,则C 的方程为_______(答:226x y -=)
(3)抛物线:开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向
4
上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由x 2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程1212
2=-+-m
y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,
则m 的取值范围是__(答:)2
3
,1()1,(Y --∞)
(2)双曲线:由x 2,y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 提醒:在椭圆中,a 最大,222a b c =+,在双曲线中,c 最大,222c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以122
22=+b
y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②
焦点:两个焦点(,0)c ±;③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四
个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2
a x c
=±; ⑤
离心率:c
e a
=
,椭圆⇔01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。 如(1)若椭圆1522=+m
y x 的离心率510
=
e ,则m 的值是__(答:3或325);