(精心整理)空间解析几何例题

第4章 向量代数与空间解析几何习题解答

习题4.1

一、计算题与证明题

1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a

2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅． 解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）

4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）

()2

22)1(+得()252

=⋅b a

所以 5=⋅b a

3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=

力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=

k

j i k

j i k

j i 41614321

2523253315

32312-+=--+-----=---=

所以，力矩的大小为

()136416142

22=-++=M

4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a

, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a

则325=-+=⋅z y x x a （1）

又x 与a 共线，则0=⨯a x 即

()()()0

52525121252

51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k

y x j y x i z y z y

x k

j i

所以

()()()052522

22=-+++--y x x z z y

即010*********

2

2

=-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π

()

30

3

25110cos 2

2

2

2

2

2

2

2

2

⋅++=

-++⋅++⋅=

=z y x z y x a

x

整理得 10

3

2

2

2

=

++z y x （3） 联立()()()321、、

解出向量x 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平

分, 则该四边形为平行四边形．

证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有

MA CN ND BM ==,

由矢量合成的三角形法则有MA BM BA +=

MA BM BM MA MD CM CD +=+=+=

所以CD BA =

即BA 平行且等于CD

四边形ABCD 是平行四边形

6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B

AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得

()()()()()()2

222

22321783++-++=

-+-+-z y x z y x

化简得027532=-++z y x

这就是线段AB 的中垂面的方程。

7．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为

)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．

解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21

cos r

b a b a =⋅⋅=

θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,

则11

cos 0112=⋅

⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r

r r b a y x z y x c a ϑ （1） 11

cos 1102

=⋅

⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c

所以22

2

2

=++z y x （3）

联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧-==-=313431z y x

所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝

⎛--

31,34,31 8．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)

求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．

(4) 求点A 到平面BCD 的距离．

解：因为()103，，

A ，()1,4,2-

B ,()3,2,0-

C ,()3,0,2--

D 所以()0,10,1--=

()

2,8,3--=AC