中考总复习数学试题50个考点

考点跟踪训练1 实数及其运算一、选择题 1．(2011·金华)下列各组数中，互为相反数的是( )A ．2和－2B ．－2和12C ．－2和－12 D.12和2答案 A解析 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．2．(2011·台州)在12、0、1、－2这四个数中，最小的数是( )A.12B ．0C ．1D ．－2 答案 D解析 数的大小比较，正数大于0，负数小于0，－2最小． 3．(2011·温州)计算：(－1)＋2的结果是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3 答案 B解析 依照异号两数相加法则，得(－1)＋2＝＋(2－1)＝＋1. 4．(2011·日照)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在( )A ．第502个正方形的左下角B ．第502个正方形的右下角C ．第503个正方形的左上角D ．第503个正方形的右下角 答案 C解析 正方形有四个角，而2011＝502×4＋3，应标在第503个正方形的左上角． 5．(2011·襄阳)下列说法正确的是( )A ．(π2)0是无理数 B.33是有理数C.4是无理数D.3－8是有理数 答案 D解析 因为3－8＝－2，所以3－8是有理数这一说法正确． 二、填空题 6．(2011·杭州)写出一个比－4大的负无理数________．答案 答案不唯一，如：－3，－π等． 解析 －3>－4，－π>－4. 7．(2011·宁波)实数27的立方根是________．答案 3解析 327＝3.8．(2011·连云港)在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________． 答案 9.63×10－5解析 0.0000963＝9.63×10－5. 9．(2011·乐山)数轴上点A 、B 的位置如图所示，若点B 关于点A 的对称点为C ，则点C表示的数为_________．答案 －5解析 点A 、B 分别表示－1、3则AB ＝|－1－3|＝4，又点B 、C 关于点A 对称，故AC ＝AB ＝4.所以OC ＝OA ＋AC ＝5，点C 表示的数为－5. 10．(2011·常德)先找规律，再填数：11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156， ……则12011＋12012－__________＝12011×2012. 答案 11006解析 依题意，有规律1n ＋1n ＋1－2n ＋1＝1n (n ＋1)，所以当n ＋1＝2012时，2n ＋1＝22012＝11006三、解答题11．(2011·衢州)计算：|－2|－(3－π)0＋2cos 45°解 原式＝2－1＋2×22＝1＋ 2.12．(2011·东莞)计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1解 原式＝1＋3 2×22－12＝312.13．(2011·邵阳)为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛．规则一：合唱队的总人数不得少于50人，且不得超过55人．规则二：合唱队的队员中，九年级学生占合唱团总人数的12总人数的14，余下的为七年级学生．请求出该合唱团中七年级学生的人数．解 ∵九年级学生占合唱团总人数的12，八年级学生占合唱团总人数的14，且人数只能是正整数，∴总人数是4的倍数，∵总人数不得少于50人，且不得超过55人，∴人数的可能值是：50、51、52、53、54、55.这里52是4的倍数． ∴总人数是52人．∵七年级学生占总人数的(1－12－14＝14，∴七年级学生人数＝52×14＝13.14．(2011·广东)阅读下列材料：1×2＝13×(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13×(2×3×4－1×2×3)，3×4＝13×(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝13×3×4×5＝20.读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11(写出过程)；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n ×(n ＋1)＝_________；(3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝_________________.答案 (1)原式＝13×10×11×12＝440.(2)13×n ×(n ＋1)×(n ＋2)．(3)1260. （3）1×2×3= 1/4（1×2×3×4-0×1×2×3）； 2×3×4= 1/4（2×3×4×5-1×2×3×4）； 3×4×5= 1/4（3×4×5×6-2×3×4×5）； …7×8×9= 1/4（7×8×9×10-6×7×8×9）； ∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9= 1/4（1×2×3×4-0×1×2×3）+ 1/4（2×3×4×5-1×2×3×4）+ 1/4（3×4×5×6-2×3×4×5）+ 1/4（7×8×9×10-6×7×8×9）；= 1/4（7×8×9×10）=1260．15．在数1,2,3，…，1998前添符号“＋”和“－”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1,2,3，…，1998之前任意添加符号“＋”或“－”，不会改变和的奇偶性．在1,2,3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“＋”或“－”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n ，n ＋1，n ＋2，n ＋3之间添加符号“＋”或“－”，显然n －(n ＋1)－(n ＋2)＋(n ＋3)＝0.这启发我们：将1,2,3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(1993－1994－1995＋1996)－1997＋1998＝1.所以，所求最小非负数是1. 四、选做题16．已知数14的小数部分是b ，求b 4＋12b 3＋37b 2＋6b －20的值．分析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来，这种涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定的)，然后再寻求其小数部分的表示方法．解 因为9<14<16，即3<14<4，所以14的整数部分为3.设14＝3＋b ，两边平方得14＝9＋6b ＋b 2，所以b 2＋6b ＝5. b 4＋12b 3＋37b 2＋6b －20＝(b 4＋2·6b 3＋36b 2)＋(b 2＋6b )－20＝(b 2＋6b )2＋(b 2＋6b )－20 ＝52＋5－20＝10.考点跟踪训练2 整式及其运算一、选择题1．(2011·嘉兴)下列计算正确的是( ) A ．x 2·x ＝x 3 B ．x ＋x ＝x 2 C ．(x 2)3＝x 5 D ．x 6÷x 3＝x 2 答案 A 解析 x 2·x ＝x 2＋1＝x 3，正确理解“同底数幂相乘”法则．2．(2011·宁波)把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠的放在一个底面为长方形(长为m cm ，宽为n cm)的盒子底部(如图②)盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是( )A ．4m cmB ．4n cmC ．2(m ＋n ) cmD ．4(m －n ) cm 答案 B解析 设小长方形卡片的长为a 、宽为b ，则有a ＋2b ＝m ，m －a －2b ＝0.图中较大的阴影部分(矩形)的一边为a ，另一边为(n －2b )．较小的阴影部分(矩形)的一边为(m －a )，另一边为(n －a )，其周长和为2×[a ＋(n －2b )＋(n －a )＋(m －a )]＝2×(2n ＋m －a －2b )＝4n .3．(2011·广州)若a <c <0<b ，则abc 与0的大小关系是( ) A ．abc <0 B ．abc ＝0 C ．abc >0 D ．无法确定 答案 C解析 因为a 、b 、c 中有两个负数，所以abc >0. 4．(2011·邵阳)如果□×3ab ＝3a 2b ，则□内应填的代数式是( ) A ．ab B ．3ab C ．a D ．3a 答案 C解析 □＝3a 2b ÷3ab ＝a . 5．(2011·湖北)将代数式x 2＋4x －1化成(x ＋p )2＋q 的形式为( ) A ．(x －2)2＋3 B ．(x ＋2)2－4 C ．(x ＋2)2－5 D ．(x ＋2)2＋4 答案 C解析 x 2＋4x －1＝x 2＋4x ＋4－5＝(x ＋2)2－5. 二、填空题 6．(2011·金华)“x 与y 的差”用代数式可以表示为________． 答案 x －y解析 减法运算的结果叫做“差”，按读法的顺序书写即可． 7．(2011·东莞)按下面程序计算：输入x ＝3，则输出的答案是________.答案 26解析 根据题意，输出x 3－x ＋2.当x ＝3时，原式＝33－3＋2＝26. 8．(2011·杭州)当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为______． 答案 －6解析 化简原式，得(x ＋1)(x ＋8)，当x ＝－7时，原式＝(－7＋1)×(－7＋8)＝－6×1＝－6.9．(2011·荆州)已知A ＝2x ，B 是多项式，在计算B ＋A 时，小马虎同学把B ＋A 看成了B ÷A ，结果得x 2＋12x ，则B ＋A ＝________.答案 2x 3＋x 2＋2x解析 因为A ＝2x ，B ÷A ＝x 2＋12x ，所以B ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12x ·2x ＝2x 3＋x 2，故B ＋A ＝(2x 3＋x 2)＋2x ＝2x 3＋x 2＋2x .10．(2011·乌兰察布)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)答案 n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4解析 第1个图形有2＋4＝(1×2＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(2×3＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(3×4＋4)个小圆，……第n 个图形有[n (n ＋1)＋4]个小圆．三、解答题 11．(2011·金华)已知2x －1＝3，求代数式(x －3)2＋2x (3＋x )－7的值． 解 由2x －1＝3得x ＝2，又(x －3)2＋2x (3＋x )－7＝x 2－6x ＋9＋6x ＋2x 2－7＝3x 2＋2，∴当x ＝2时，原式＝3×22＋2＝12＋2＝14. 12．(2011·北京)已知a 2＋2ab ＋b 2＝0，求代数式a (a ＋4b )－(a ＋2b )(a －2b )的值． 解 a (a ＋4b )－(a ＋2b )(a －2b ) ＝a 2＋4ab －(a 2－4b 2)＝4ab ＋4b 2.∵ a 2＋2ab ＋b 2＝0，即(a ＋b )2＝0， ∴ a ＋b ＝0，∴ 原式＝4b (a ＋b )＝0. 13．(2011·益阳)观察下列算式： ① 1 × 3－22＝3－4＝－1 ② 2 × 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1④ __________________________ ……(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 解 (1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n ()n ＋2－()n ＋12＝－1.(3)n ()n ＋2－()n ＋12 ＝n 2＋2n －()n 2＋2n ＋1 ＝n 2＋2n －n 2－2n －1 ＝－1. 所以一定成立． 14．(2011·凉山)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了()a ＋b n (n 为正整数)的展开式(按a 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1,2,1，恰好对应()a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应着()a ＋b 3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 2展开式中的系数等等．(1)根据上面的规律，写出()a ＋b 5的展开式；(2)利用上面的规律计算：25－5×24＋10×23－10×22＋5×2－1. 解 (1)()a ＋b 5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5.(2)原式＝25＋5×24×()－1＋10×23×()－12＋10×22×()－13＋5×2×()－14＋()－15＝(2－1)5＝1.15．(2011·东莞)如下数表是由从1 开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数；(2)用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是______，最后一个数是________，第n 行共有______个数；(3)求第n 行各数之和． 解 (1)64,8,15；(2)(n －1)2＋1，n 2,2n －1；(3)第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×13；第5行各数之和等于9×21；……类似的，第n 行各数之和等于(2n －1)(n 2－n ＋1)＝2n 3－3n 2＋3n －1.四、选做题16．试确定a 和b ，使x 4＋ax 2－bx ＋2能被x 2＋3x ＋2整除．解 由于x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)，因此，设x 4＋ax 2－bx ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)·M ， 当x ＝－1时，即1＋a ＋b ＋2＝0，当x ＝－2时，即16＋4a ＋2b ＋2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋2＝0，16＋4a ＋2b ＋2＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，2a ＋b ＝－9， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝3.考点跟踪训练3 因式分解一、选择题 1．(2011·泰安)下列等式不成立的是( )A ．m 2－16＝(m －4)(m ＋4) B ．m 2＋4m ＝m (m ＋4) C ．m 2－8m ＋16＝(m －4)2 D ．m 2＋3m ＋9＝(m ＋3)2 答案 D解析 右边(m ＋3)2＝m 2＋6m ＋9≠m 2＋3m ＋9. 2．(2011·无锡)分解因式2x 2－4x ＋2的最终结果是( ) A ．2x (x －2) B ．2(x 2－2x ＋1)C ．2(x －1)2D ．(2x －2)2答案 C解析 2x 2－4x ＋2＝2(x 2－2x ＋1)＝2(x －1)2. 3．(2011·济宁)把代数式 3x 3－6x 2y ＋3xy 2分解因式，结果正确的是( ) A ．x (3x ＋y )(x －3y ) B ．3x (x 2－2xy ＋y 2) C ．x (3x －y )2D．3x(x－y)2答案 D解析3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2.4．已知x、y满足等式2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，那么x＋y的值为()A．－1 B．0 C．2 D．1答案 B解析原式可转化为：(x2y2＋2xy＋1)＋(x2＋2x＋1)＝0，即(xy＋1)2＋(x＋1)2＝0，∴xy ＋1＝0且x＋1＝0，∴x＝－1，y＝1，x＋y＝0.5．(2011·台湾)下列四个多项式，哪一个是2x2＋5x－3的因式？()A．2x－1 B．2x－3C．x－1 D．x－3答案 A解析2x2＋5x－3＝(x＋3)(2x－1)．二、填空题6．(2011·绍兴)分解因式：x2＋x＝______________.答案x(x＋1)解析x2＋x＝x(x＋1)．7．(2011·杭州模拟)在实数范围内分解因式：2a3－16a＝________.答案2a(a＋2 2)(a－2 2)解析2a3－16a＝2a(a2－8)＝2a[]a2－(2 2)2＝2a(a＋2 2)(a－2 2)．8．(2011·枣庄)若m2－n2＝6，且m－n＝2，则m＋n＝________.答案 3解析m2－n2＝6，(m＋n)(m－n)＝6，(m＋n)×2＝6，m＋n＝3.9．(2011·威海)分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝______________.答案(x－y－4)2解析16－8(x－y)＋(x－y)2＝(x－y)2－2·(x－y)·4＋42＝(x－y－4)2.10．(2011·潍坊)分解因式：a3＋a2－a－1＝______________.答案(a＋1)2(a－1)解析a3＋a2－a－1＝(a3＋a2)－(a＋1)＝a2(a＋1)－(a＋1)＝(a＋1)(a2－1)＝(a＋1)2(a－1)．三、解答题11．(2011·宿迁)已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．解当ab＝1，a＋b＝2时，原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2.12．(2011·湖州)因式分解：a3－9a.解原式＝a(a2－9)＝a(a＋3)(a－3)．13．(2011·广州)分解因式：8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy.解8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y)．14．(2011·衢州)有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．________________________________________________________________________ 这个长方形的代数意义是________________．解 或 a 2＋3ab ＋2b 2＝(a ＋b )(a ＋2b )．15．设a ＝12m ＋1，b ＝12m ＋2，c ＝12m ＋3.求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．解 原式＝(a 2＋2ab ＋b 2)－(2ac ＋2bc )＋c 2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )c ＋c 2＝(a ＋b －c )2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12m ＋1＋⎝⎛⎭⎫12m ＋2－⎝⎛⎭⎫12m ＋32 ＝⎝⎛⎭⎫12m 2＝14m 2. 四、选做题16．分解因式：x 15＋x 14＋x 13＋…＋x 2＋x ＋1.分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x 15开始，x 的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n －b n来分解．解 因为x 16－1＝(x －1)(x 15＋x 14＋x 13＋…x 2＋x ＋1)，所以原式＝(x －1)(x 15＋x 14＋x 13＋…＋x 2＋x ＋1)x －1＝x 16－1x －1 ＝(x 8＋1)(x 4＋1)(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)x －1＝(x 8＋1)(x 4＋1)(x 2＋1)(x ＋1)．说明：在本题的分解过程中，用到先乘以(x －1)，再除以(x －1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．考点跟踪训练4 分式及其运算一、选择题1．(2010·孝感)化简⎝⎛⎭⎫x y －y x ÷x －yx 的结果是( )A. 1y B. x ＋y y C.x －y y D ．y答案 B解析 原式＝x 2－y 2xy ·x x －y ＝(x ＋y )(x －y )xy ·x x －y ＝x ＋yy.2．(2011·宿迁)方程2x x ＋1－1＝1x ＋1的解是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 把x ＝2代入方程，可知方程左边＝43－1＝13，右边＝13∴x ＝2是方程的解．3．(2011·苏州)已知1a －1b ＝12，则aba －b的值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 D解析 1a －1b ＝12，2b －2a ＝ab ，－2(a －b )＝ab ，所以aba －b＝－2.4．(2011·威海)计算1÷1＋m 1－m·()m 2－1的结果( )A ．－m 2－2m －1B ．－m 2＋2m －1C ．m 2－2m －1D ．m 2－1 答案 B解析 原式＝1×1－m1＋m×(m ＋1)(m －1)＝－(m －1)2＝－m 2＋2m －1.5．(2011·鸡西)分式方程x x －1－1＝m(x －1)(x ＋2)有增根，则m 的值为( )A ．0和3B ．1C ．1和－2D ．3 答案 D解析 去分母，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝m ，当增根x ＝1时，m ＝3；当增根x ＝－2时，m ＝0，经检验，当m ＝0时，xx －1－1＝0.x ＝x －1，方程无解，不存在增根，故舍去m＝0.所以m ＝3.二、填空题6．(2011·嘉兴)当x ______时，分式13－x有意义．答案 ≠3解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3.7．(2011·内江)如果分式3x 2－27x －3的值为0，那么x 的值应为________．答案 －3解析 分母x －3≠0，x ≠3；分子3x 2－27＝0，x 2＝9，x ＝±3，综上，x ＝－3.8．(2011·杭州)已知分式x －3x 2－5x ＋a，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________；当x <6时，使分式无意义的x 的值共有________个．答案 6,2解析 当x ＝2时，分母x 2－5x ＋a ＝0,22－5×2＋a ＝0，a ＝6；在x 2－5x ＋a ＝0时，分式无意义，x ＝5±25－4a2×1，当x <6时，25－4a >0，方程有两个不相等的实数根，所以x 的值有2个．9．(2011·呼和浩特)若x 2－3x ＋1＝0，则x 2x 4＋x 2＋1的值为________．答案 18解析 因为x 2－3x ＋1＝0，所以x ＋1x ＝3，而x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－1＝32－1＝8.故x 2x 4＋x 2＋1＝18.10．(2011·乐山)若m 为正实数，且m －1m ＝3，则m 2－1m2＝________.答案 3 13解析 因为m >0，所以⎝⎛⎭⎫m ＋1m 2＝⎝⎛⎭⎫m －1m 2＋4＝32＋4＝13，m ＋1m ＝13.故m 2－1m2⎝⎛⎭⎫m ＋1m ⎝⎛⎭⎫m －1m ＝3×13＝3 13. 三、解答题11．(2011·衢州)化简：a －3b a －b ＋a ＋ba －b. 解 原式＝a －3b ＋a ＋b a －b ＝2a －2b a －b ＝2(a －b )a －b＝2.12．(2010·镇江)描述证明海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明．解 如果a b ＋ba＋2＝ab ，那么a ＋b ＝ab .证明：∵a b ＋ba ＋2＝ab ，∴a 2＋b 2＋2ab ab＝ab ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝(ab )2，∴(a ＋b )2＝(ab )2， ∵a >0，b >0，a ＋b >0，ab >0， ∴a ＋b ＝ab .13．(2011·广安)先化简(x x －5－x 5－x )÷2xx 2－25然后从不等式组⎩⎨⎧－x －2≤3，2x <12的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值． 解 原式＝2x x －5×(x ＋5)(x －5)2x＝x ＋5.解不等式组得：－5≤x ＜6.选取的数字在－5≤x <6的范围内不为5，－5,0即可(答案不唯一)，代入求值略． 14．(2011·重庆)先化简，再求值： (x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0. 解 原式＝(x －1x －x －2x ＋1)÷x (2x －1)x 2＋2x ＋1＝(x －1)(x ＋1)－x (x －2)x (x ＋1)÷x (2x －1)x 2＋2x ＋1＝2x －1x (x ＋1)×(x ＋1)2x (2x －1)＝x ＋1x2. 当x 2－x －1＝0时，x 2＝x ＋1，原式＝x ＋1x ＋1＝1.15．(1)(2011·盐城) 解方程：x x －1－31－x2.解 去分母，得 x ＋3＝2(x －1) . 解之，得x ＝5.经检验，x ＝5是原方程的解．∴x ＝5.(2)(2011·菏泽)解方程：x ＋12x ＝x ＋13.解 原方程两边同乘以6x ，得3(x ＋1)＝2x ·(x ＋1)，整理得2x 2－x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝32，经检验：x 1＝－1，x 2＝32都是原方程的解，故原方程的解是x 1＝－1，x 2＝32.四、选做题16．若abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋cca ＋c ＋1的值．分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍两种简单的解法． 解法一 因为abc ＝1，所以a ，b ，c 都不为零．原式＝a ab ＋a ＋1＋a a ·b bc ＋b ＋1＋ab ab ·cca ＋c ＋1＝a ab ＋a ＋1＋ab abc ＋ab ＋a ＋abc abca ＋abc ＋ab＝a ab ＋a ＋1＋ab 1＋ab ＋a ＋1a ＋1＋ab ＝a ＋ab ＋1ab ＋a ＋11. 解法二 由abc ＝1，得a ＝1bc，将之代入原式．原式＝1bc 1bc ·b ＋1bc ＋1＋b bc ＋b ＋1＋cc ·1bc c ＋1＝1b ＋1＋bc ＋b bc ＋b ＋1＋bc 1＋bc ＋b ＝1＋b ＋bc 1＋b ＋bc ＝1.考点跟踪训练5 二次根式及其运算一、选择题 1．(2011·贵阳)如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是()A ．2.5B ．2 2 C. 3 D. 5答案 D解析 在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，所以OB ＝12＋22＝ 5. 2．(2011·安徽)设a ＝19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( ) A ．1和2 B ．2和3 C ．3和4 D ．4和5 答案 C解析 因为16<19<25，所以4<19<5,3<19－1<4. 3．(2011·济宁)若x ＋y －1＋(y ＋3)2＝0，则x －y 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，y ＋3＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，所以x －y ＝4－(－3)＝7.4．(2011·广东)下列式子运算正确的是( )A.3－2＝1B.8＝4 2C.13＝ 3D.12＋3＋12－3＝4答案 D解析 12＋3＋12－3＝2－3＋2＋3＝4.5．(2011·凉山)已知y ＝2x －5＋5－2x －3，则2xy 的值为( )A ．－15B ．15C ．－152 D.152答案 A解析 因为2x －5≥0，即x ≥52且5－2x ≥0，即x ≤52，所以x ＝52，y ＝－3，于是2xy ＝2×52×(－3)＝－15.二、填空题 6．(2011·芜湖)已知a 、b 为两个连续的整数，且a <28<b ，则a ＋b ＝________. 答案 11解析 因为25<28<36，即5<28<6，所以a ＝5，b ＝6，a ＋b ＝11. 7．(2011·茂名)已知：一个正数的两个平方根分别是2a －2和a －4，则a 的值是________． 答案 2解析 正数有两个平方根，它们是一对互为相反数，所以(2a －2)＋(a －4)＝0,3a ＝6，a ＝2.8．(2011·威海)计算(50－8)÷2的结果是________． 答案 3解析 原式＝50÷2－8÷2＝25－4＝5－2＝3. 9．(2011·日照)已知x 、y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2011－y 2011＝________.答案 －2解析 移项，得1＋x ＝(y －1)1－y ≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，1－y ≥0，∴y ＝1，于是1＋x ＝0，x＝－1，故x2011－y2011＝(－1)2011－12011＝－1－1＝－2.10．(2011·内江)若m ＝20112012－1，则m 5－2m 4－2011m 3的值是________．答案 0解析 由m ＝20112012－1＝2011(2012＋1)(2012－1)(2012＋1)＝2012＋1, 得m －1＝2012，m 2－2m ＋1＝2012，m 2－2m －2011＝0，原式＝m 3(m 2－2m －2011)＝m 3×0＝0.三、解答题 11．(1)(2011·宜宾)计算：3(3－π)0－20－155＋(－1)2011解 原式＝3×1－(2－3)＋(－1)＝ 3.(2)(2011·茂名)化简：8×(2－12)解 原式＝16－4＝4－2＝2.12．(2011·上海)计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2解 (－3)0－27＋||1－2＋13＋2＝1－3 3＋2－1＋3－2＝－2 3.13．(2011·安顺)先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫a －1a 2－4a ＋4－a ＋2a 2－2a ÷⎝⎛⎭⎫4a －1，其中a ＝2－ 3.解 原式＝⎣⎡⎦⎤a －1(a －2)2－a ＋2a (a －2)÷4－aa＝a (a －1)－(a －2)(a ＋2)a (a －2)2·a 4－a ＝4－a a (a －2)2·a 4－a ＝1(a －2)2. 当a ＝2－3时，原式＝1(2－3－2)2＝1(－3)2＝13. 14．(2011·泰州)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ＝10，6x ＋3y ＝8，并求xy 的值．解 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ＝10，①6x ＋3y ＝8，②②×2－①，得9x ＝6，解得x ＝23.将x ＝23代入①，得2＋6y ＝10，解得y ＝43.所以方程组的解为⎩⎨⎧x ＝23，y ＝43，于是xy ＝23×43＝232. 15．(2011·烟台)先化简，再计算： x 2－1x 2＋x ÷⎝⎛⎭⎫x －2x －1x ，其中x 是一元二次方程x 2－2x －2＝0的正数根． 解 原式＝(x ＋1)(x －1)x (x ＋1)÷x 2－2x ＋1x ＝x －1x ·x (x －1)2＝1x －1.解方程得x 2－2x －2＝0得， x 1＝1＋3>0，x 2＝1－3<0. 当x ＝1＋3时，原式＝11＋3－1＝13＝33.四、选做题16．(2011·凉山)已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，则2a ＋b ＝__________.答案 52解析 ∵4<7<9，即2<7<3， ∴2<5－7<3，∴m ＝2，n ＝(5－7)－2＝3－7.代入amn ＋bn 2＝1，得a ×2×(3－7)＋b ×(3－7)2＝1，(6－2 7)a ＋(16－6 7)b －1＝0， (6a ＋16b －1)＋(－2a －6b )7＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋16b －1＝0，－2a －6b ＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝－12.∴2a ＋b ＝2×32＋⎝⎛⎭⎫－12＝3－12＝52.考点跟踪训练6 一次方程与方程组一、选择题 1．(2011·凉山)下列方程组中是二元一次方程组的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，x ＋y ＝2 B. ⎝⎛5x －2y ＝3，1x＋y ＝3 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋z ＝0，3x －y ＝15D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x 2＋y 3＝7答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x 2＋y 3＝7每个方程都是一次方程，且总共含有两个未知数．2．(2011·东营)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1答案 A解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，①x －y ＝－1，② ①＋②，得2x ＝2，x ＝1，①－②，得2y ＝4，y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. 3．(2010·河北)小明买书需用48元，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x 张，根题意，下列所列方程正确的是( )A ．x ＋5(12－x )＝48B ．x ＋5(x －12)＝48C ．x ＋12(x －5)＝48D ．5x ＋(12－x )＝48 答案 A解析 1元纸币x 张，则5元纸币(12－x )张，共值48元，则1·x ＋5(12－x )＝48.4．(2010·台湾)解二元一次联立方程式⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋6y ＝3，6x －4y ＝5，得y ＝( )A ．－112B ．－217C ．－234D ．－1134答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋6y ＝3，①6x －4y ＝5，② ①×3－②×4，得34y ＝－11，∴y ＝－1134.5．(2011·荆州)对于非零的两个实数a 、b ，规定a ⊗b ＝1b －1a，若1⊗(x ＋1)＝1，则x 的值为( )A.32B.13C.12 D ．－12 答案 D解析 由规定，得1x ＋1－11＝1，1x ＋1＝2,2(x ＋1)＝1，x ＝－12.经检验，x ＝－12是所列方程的根．二、填空题6．(2011·滨州)依据下列解方程0.3x ＋0.50.2＝2x －13的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据．解：原方程可变形为3x ＋52＝2x －13， ( )去分母，得3(3x ＋5)＝2(2x －1). ( ) 去括号，得9x ＋15＝4x －2. ( )( )，得9x －4x ＝－15－2. ( ) 合并，得5x ＝－17. ( )( )，得x －175. ( )答案 原方程可变形为3x ＋52＝2x －13，(分式的基本性质)去分母，得3(3x ＋5)＝2(2x －1). (等式性质2)去括号，得9x ＋15＝4x －2. (去括号法则或分配律) (移项)，得9x －4x ＝－15－2.(等式性质1) 合并，得5x ＝－17.(合并同类项)(系数化为1)，得x ＝－175. (等式性质2)7．(2011·淮安)小明根据方程5x ＋2＝6x －8编写了一道应用题，请你把空缺部分补充完整．某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师，如果每人做5个，那么就比计划少2个；________，请问手工小组有几个人？(设手工小组有x 人)．答案 如果每人做6个，那么就比计划多8个．8．(2011·泉州)已知x 、y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，x ＋2y ＝4，则x －y 的值为________．答案 1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝5，①x ＋2y ＝4，②①－②，得x －y ＝1.9．(2011·湛江)若x ＝2是关于x 的方程2x ＋3m －1＝0的解，则m 的值为________． 答案 －1解析 把x ＝2代入方程，4＋3m －1＝0，m ＝－1.10．已知关于x 、y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a ＋2)y ＋5－2a ＝0，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1解析 解法一：取a ＝1，得3y ＋3＝0，y ＝－1， 取a ＝－2，得－3x ＋9＝0，x ＝3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. 解法二：整理，得(x ＋y －2)a ＝x －2y －5， ∵方程有一个公共解， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. 三、解答题 11．(2010·乐山)解方程：5(x －5)＋2x ＝－4. 解 5x －25＋2x ＝－4,7x ＝21，∴x ＝3.12．(2011·怀化)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝8，①5x －3y ＝4.②解 ①＋②得，6x ＝12，解得x ＝2，将x ＝2代入①得y ＝2，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.13．(2011·桂林)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y －5，①3y ＝8－2x .②解 把①代入②得：3y ＝8－2(3y －5)，∴y ＝2.把y ＝2代入①可得：x ＝3×2－5，∴x ＝1.所以此方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2.14．(2011·河北)已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3是关于x 、y 的二元一次方程3x ＝y ＋a 的解．求(a ＋1)(a－1)＋7的值．解 将x ＝2，y ＝3代入3x ＝y ＋a 中，2 3＝3＋a ，得a ＝ 3. ∴(a ＋1)(a －1)＋7＝a 2－1＋7＝a 2＋6＝(3)2＋6＝9.15．已知下面两个方程3(x ＋2)＝5x ，①；4x －3(a －x )＝6x －7(a －x )，②；有相同的解，试求a 的值．解 由方程①可得3x －5x ＝－6，所以x ＝3.由已知，x ＝3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x ＝3代入方程②，有4×3－3(a －3)＝6×3－7(a －3)，7(a －3)－3(a －3)＝18－12,4(a －3)＝6,4a －12＝6,4a ＝18，a ＝184＝92.四、选做题16．已知关于x 的方程a (2x －1)＝3x －2无解，试求a 的值． 解 将原方程变形为2ax －a ＝3x －2，即 (2a －3)x ＝a －2.由已知该方程无解，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －3＝0，a －2≠0，解得a ＝32，所以a ＝32即为所求．考点跟踪训练7 一元二次方程一、选择题 1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x －1)＝0的解是( ) A. x ＝0 B. x ＝1C. x ＝0或x ＝1D. x ＝0或x ＝－1 答案 C解析 x (x －1)＝0，x ＝0或x －1＝0，∴x 1＝0，x 2＝1. 2．(2011·兰州)用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( ) A ．(x ＋1)2＝6 B ．(x ＋2)2＝9 C ．(x －1)2＝6 D ．(x －2)2＝9 答案 C解析 x 2－2x －5＝0，x 2－2x ＝5，x 2－2x ＋1＝5＋1，(x －1)2＝6. 3．(2011·福州)一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根 答案 A解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根． 4．(2011·济宁)已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0的一个根是－a (a ≠0)，则a －b 值为A ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 A解析 当x ＝－a 时，得a 2－ab ＋a ＝0，a (a －b ＋1)＝0，又a ≠0.所以a －b ＋1＝0，a －b ＝－1.5．(2011·威海)关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是( )A ．0B ．8C ．4±2 2D ．0或8 答案 D解析 由题意，得b 2－4ac ＝0，(m －2)2－4(m ＋1)＝0，m 2－8m ＝0，m ＝0或m ＝8. 二、填空题 6．(2011·衢州)方程x 2－2x ＝0的解为________________． 答案 x 1＝0，x 2＝2解析 x 2－2x ＝0，x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2. 7．(2011·鸡西)一元二次方程a 2－4a －7＝0的解为 ____________. 答案 a 1＝2＋11，a 2＝2－11解析 a 2－4a －7＝0，a 2－4a ＝7.a 2－4a ＋4＝11，(a －2)2＝11，a －2＝±11，∴a ＝2±11.8．(2011·镇江)已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根为2，则m ＝______，另一根是______．答案 1，－3解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2 5，y ＝4解析 ⎩⎨⎧x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4，相应地x 1＝5，x 2＝2 5.10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．答案 x 1＝－4，x 2＝－1解析 依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1. 三、解答题11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0. 解 解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3， 由此可得x －2＝±3， ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12>0， x ＝4±122＝2± 3.∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3. 12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0. 解得：y ＝1或y ＝－4.将y ＝1或y ＝－3代入①，得： ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个， ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解．解 由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.由方程1x－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0.解之，得x 1＝－1，x 2＝12.经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解．∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12.15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．解 由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm. 因为正五边形和正六边形的周长相等， 所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121， 解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm. 四、选做题 16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12.(2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2. 以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12，∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.由(1)可知k ≤12.∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0， ∴－2(k －1)＝k 2－1， 解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.。