一元二次方程复习知识点和习题(包括答案)

一元二次方程复习

一）一元二次方程的定义

)0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的

最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。0ax 0c ax 0bx ax 2

2

2

==+=+；；这三个方

程都是一元二次方程。求根公式为()

0ac 4b a

2ac 4b b x 2

2≥--±-=

二）)0a (0c bx ax 2

≠=++。a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢 1、ac 4b 2

-∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根.

4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）;

5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根;

6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为a

b -

7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。 8若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2

≠=++的两个实数根， 即① a

b x x 21-

=+ a c

x x 21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足

Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。）

例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 2

2

=+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

②一元二次方程)0a (0c bx ax 2

≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。可以

用求根公式法分解二次三项式。

9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）x+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形

①()212

212

22

1x x 2x x x x -+=+

②()(

)()()[]

212

21212

2

212

1213

23

1x x 3x x x x

x x x x x x x x -++=+-+=+

③()21212

2122

1x x x x x x x x +⋅=⋅+⋅

④()()()2

212121a x x a x x a x a x +++⋅=++ ⑤

2121

21x x x x x 1

x 1⋅+=+ ⑥

()()2

212

12212

2

2122

2

12

2

2

1

x x x x 2x x x x x x x 1x 1⋅-+=

⋅+=

+

⑦()()2122122121x x 4x x x x x x -+=

-=

-

三）例题

1如果方程x 2-3x+c=0有一个根为1，求另一个根及常数项的值。

解法一）用方程根的定义解： 解法二）用根系数关系解：

2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0，这样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多）。

十字相乘法的口诀是：右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）。

解下面一道一元二次方程x 2-110x+2925=0

1 -65

1 -45

-65 -45= -110

四）Δ与根的关系的综合运用（ax 2

五) “Δ”,“”，“x1+x2”与“0”的关系综合判断一元二次方程根的情况

Δ>0

1有两个不相等的负实数根>0

x1+x2< 0

Δ>0

2有两个不相等的正实数根>0

x1+x2>0

Δ>0

3负根的绝对值大于正根的绝对值< 0

x1+x2< 0

Δ>0

4两个异号根正的绝对值较大< 0

x1+x2>0

Δ>0

5两根异号，但绝对值相等< 0

x1+x2＝0

Δ>0

6一个负根，一个零根＝0

x1+x2< 0

Δ>0

7一个正根，一个零根＝0

x1+x2>0

Δ＝0

8有两个相等的负根>0

x1+x2< 0

Δ＝0

9有两个相等的正根>0

x1+x2>0

Δ＝0

10有两个相等的根都为零＝0

x1+x2＝0

Δ>0

11两根互为倒数 ＝1 12两根互为相反数 Δ>0

x 1+x 2＝0

13两根异号 Δ>0 14两根同号 Δ≥0 < 0 >0

15有一根为零 Δ>0

＝0 16有一根为-1 Δ>0 a-b+c=0

17无实数根 Δ< 0

18两根一个根大于m ，另一个小于m ，（m ∈R ） Δ>0

()()0m x m x 21〈--

19 ax 2+bx+c (a ≠0)这个二次三项式是完全平方式 Δ＝0

20方程ax 2+bx+c ＝0 (a ≠0)（a 、b 、c 都是有理数）的根为有理根，则Δ是一个完全 平方式。

21方程ax 2+bx+c ＝0 (a ≠0)的两根之差的绝对值为：a

x x 21∆=- 22 Δ＝0,方程ax 2+bx+c ＝0 (a ≠0)有相等的两个实数根。 23 Δ< 0, 方程ax 2+bx+c ＝0 (a ≠0)无实数根.

24方程ax 2+bx+c ＝0 (a ≠0)一定有一根为“1” Δ≥0

a+b+c=0

25方程ax 2+bx+c ＝0 (a ≠0)的解为()

0ac 4b a

2ac 4b b x 2

2

≥--±-=

26方程ax 2+bx+c ＝0 (a ≠0)若Δ≥0则 a

b

x x 21-

=+ a

c x x 21=

• 注：凡是题中出现了< 0；或

0a

c

〈；或a 、c 异号就能确保ac 4b 2-∆＝>0 即a 、c 异号方程必有解。

1、 m 为何值时，方程0m x 10x 32

=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根；④有一根为0；⑤两根同号；⑥有一个正根一个负根；⑦两根互为倒数。