提公因式法分解因式PPT课件
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提取公因式课件
在数学解题中的应用
在解决数学问题时，提取公因式是一种常用的解题方法，可 以帮助解题者快速找到问题的解决方案。
提取公因式可以简化数学问题的复杂度，使问题更容易解决 ，提高解题效率。
感谢您的观看
THANKS
提取公因式的目的
01
02
03
简化多项式
通过提取公因式，可以将 多项式化简，使其更易于 计算和理解。
便于因式分解
提取公因式是因式分解的 一种方法，可以将多项式 分解成更简单的因式形式 。
应用在数学问题中
提取公因式在数学问题中 有着广泛的应用，如代数 方程的求解、不等式的证 明等。
提取公因式的应用场景
总结词
识别公因式是提取公因式的第一步，需要观察多项式的各项 ，寻找可以提取的公因式。
详细描述
在多项式中，公因式是指各项都包含的公共因子。通过观察 多项式的各项，可以发现一些数字或字母是各项都包含的， 这些就是可以提取的公因式。例如，在多项式 2x^2 + 4x + 6x 中，公因式是 x。
提取公因式
合并项
在化简过程中，如果存在同类项或 相似项，应合并这些项，简化表达 式。
提取公因式的局限性
适用范围
提取公因式的方法适用于多项式 的因式分解，不适用于一些复杂
数学表达式的处理。
复杂度限制
对于一些高次多项式或复杂的多 项式，提取公因式可能会变得非
常困难或无法实现。
人工操作
提取公因式需要人工操作，对于 大规模的多项式，处理效率可能
01
提取公因式是化简代数式的一种 常用方法，通过提取公因式，可 以将复杂的代数式简化成更易于 理解和计算的形式。
02
提取公因式可以减少代数式的项 数，简化计算过程，提高解题效 率。
因式分解与提公因式法课件
归纳 找公因式的方法： 1、系数取最大公约数； 2、相同字母取最低次幂。
巩固 1.找出下列各多项式的公因式：
(1)3a2b2 6ab2 (2)14m3 21m2n2 7m2 (3)8x3 y2 12xy3z xy
1、系数取最大公因数； 2、相同字母取最低次幂。
巩固
2.多项式 4m3 16m2 28m 的公因式
ma mb mc m(a b c)
范例
例2.把多项式 8a3b2 12ab2c 分解因式。
1.公因式是什么？
4ab2
2.写成各项含有公因式的形式：
4ab2 2a2 4ab2 3bc
巩固 3.把下列各式分解因式：
(1)8m2n 2mn2 (2)12xyz 9x2 y2
巩固
4.把 4m3 12m2n 分解因式的结果是
()
A 4(m3 3m2n) B 4m(m2 3mn) C 4m2 (m 3n)
D 4m2 (m 12n)
怎样知道提出的不是公因式？
范例 例3.把下列各式分解因式：
(1) 4m2 9m
首项为负，应提出负号
(2)3x2 6xy x
提公因式后，括号内不能漏项
巩固 5.分解因式：
(1) 9x2 y2 12xyz (2)9a2 18ab 6a (3)14m3 21m2n 7m2
多项式乘以多项式
探究
下列等式从左边到右边进行了 什么运算？
(1)ma mb m(a b)
因
多项式写成单项式与多项式的积
式 分
(2)a2 b2 (a b)(a b) 解
多项式写成多项式与多项式的积
导入 下列算式这样运算才方便？
(1)1198 11 2 11 (98 2) (2)992 12 (99 1)(99 1)
因式分解提公因式法ppt
工程设计
在工程设计中，因式分解可以帮助人们更好地理解问题的本质，例如在力学中，可以将一个复杂的结构表示为几个简单因式的乘积，从而更便于分析和设计。
02
提公因式法的原理及步骤
提公因式法的基本概念
公因式定义
提公因式法的理论基础
提公因式法的原理
确定多项式中的公因式。
提公因式法的步骤
步骤一
将多项式中的每个项都除以公因式，得到商和余数。
01
02
03
提公因式法在面积计算中的应用
在计算几何形状的面积时，可以使用提公因式法将面积表达式化简。
提公因式法在体积计算中的应用
在计算几何体的体积时，可以使用提公因式法将体积表达式化简。
提公因式法在几何中的应用
代数例题
例如，有一个多项式ax³+bx²+cx+d，其中a=3，b=2，c=1，x=5，求这个多项式的值。通过提公因式法，可以将这个多项式化简为3x²(x+1)+2(x+1)-3，再代入x=5得到答案。
数学术语
因式分解可以理解为求解一个方程的逆问题，即给定一个方程的解，反求方程中的未知数。
物理含义
因式分解的定义
1
因式分解的意义
2
3
通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表示为几个简单因式的乘积，从而更便于理解和计算。
简化表达式
数学中的许多公式和定理都可以表示为因式分解的形式，这样便于记忆和应用。
便于记忆
几何例题
例如，有一个矩形ABCD，其中AB=3cm，BC=4cm，求这个矩形的面积。通过提公因式法，可以将这个矩形的面积表达式化简为3×4=12(cm²)。
提公因式法例题解析
《提取公因式法》因式分解PPT(第1课时)
①11a²b－7b²；②5 a²(m－n)－10b²(n－m)；
③x³－x＋1；④(a＋b) ²－4(a－b) ².
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 若a,b,c为△ABC的三边长,且(a-b)b+a(b-a)=a(c-a)+b(a-c),则△ABC是（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
活动探究
探究点三 问题1：利用分解因式简化计算：57×99+44×99-99 解：57×99+44×99-99 =99（57+44-1） =99×100=9900
活动探究
探究点三 问题2： 证明：257-512能被120整除 证明：257-512 =（5²）7-512 =514-512 =512×（5²-1） =24×512 =120×511 ∴257-512能被120整除．
解：（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23） =（19x-31）（13x-17）+（13x-17）（11x-23） =（13x-17）（30x-54） ∴a=13，b=-17，c=-54 ∴a+b+c=13-17-54=-58
课堂小结
1.当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a 2.当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b） 3. 互为相反数的偶数次幂相等； 如（1）（y-x）n=（x-y）n（n为偶数） 互为相反数的奇数次幂互为相反数； （2）（y-x）n=-（x-y）n（n为奇数） 4.当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式 的项数与原多项式的项数一致）.
《提公因式法》因式分解PPT
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法
合作探究
观察下列各式的结构有什么特点：
（1） 2πR＋2πr
（2） ma＋mb
（3） cx－cy＋cz
公共特点：各式中的各项都含有一个相同的因数或因式
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如何确定多项式的公因式？
12 12 + 8 10
解： 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
例3、把下列各式因式分解：
(1)83 2 − 12 3 + ；
(2)−24 3 + 12 2 − 28.
解：83 2 − 12 3 +
解：−24 3 + 12 2 − 28
解：原式=ab(a+2ab+b)
=ab(a+b+2ab)
=2.5×(3+2×2.5)
=2.5×8
=20
课堂小结
提公因式法
（单项式）
确定公因式的方法
定系数，定字母，定指数
提公因式法的步骤
一找； 二提； 三分解.
1、因式分解要彻底；
注意
2、不要漏项；
3、提取“-”号要变号.
= ∙ 82 − ∙ 12 2 + ∙ 1
= −(24 3 − 12 2 + 28)
= 82 − 12 2 + 1 ；
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
12.2因式分解的方法(第1课时 提公因式法)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
【解】4 a ( x － y )－2 b ( y － x )
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
＝4 a ( x － y )＋2 b ( x － y )
＝2( x － y )(2 a ＋ b ).
7.先分解因式，再计算求值：
(1)4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2，其中 x ＝1， m ＝3；
【解】4 x ( m －2)－3 x ( m －2)2
＝(2 x ＋ y )(2 x －3 y ＋3 x )＝(2 x ＋ y )(5 x －3 y ).
＋ ＝ ，
＋ = ，
∵
∴
∴原式＝3×(－2)＝－6.
− ＝ − .
+ = ，
14. 试说明817－279－913能被45整除.
【解】因为817－279－913＝328－327－326
2)( a ＋4).将 a ＝－2代入，得原式＝(－2－2)×(－2＋
4)＝－8.
分层练习-巩固
8. 计算320－318×6的值是( A
)
A. 319
B. 318
C. 3 2
D. 0
9. [新考法 数形结合法]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，
且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是(
提取公因式法.
新知探究
如何将6 2 + 9因式分解？
先找出6 2 + 9各项的公因式，再用提取公因式法因式分解. 这个整式有两项
6 2 与9, 这两项的系数6与9有最大公因数3，这两项的字母部分 2 与都含
有字母和, 且和的最低次数都是1，因此可提取公因式3，得
− = ，
= ，
所以
解得
人教版 八年级数学上 14.3.1因式分解---提公因式法 课件(共22张PPT)
小试牛刀
2.先分解因式，再求值.
4a2 (x 7) 3(x 7), 其中a 5, x 3.
解：4a2 (x 7) 3(x 7) (x 7)(4a2 3) 把a 5, x 3代入原式得， 原式 (3 7)[4 (5)2 3] 10 (100 3) 970
小试牛刀
② 24x2y=3x ·8xy ③ x2-1=(x+1)(x-1)
不是；因式分解的对象是多项式 是
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 不是；是整式乘法
⑤
1
x2+x=x2(1+ x )
不是；每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 是
合作探究
思考1： 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
小试牛刀
1.将下列各式因式分解： (1)ax+ay； (2)3mx-6my； (3)8m2n+2mn; (4)12xyz-9x2y2p; (5)2a(y-z)-3b(z-y); (6)p(a2+b2)-q(a2+b2).
(1)原式＝a(x＋y)； (2)原式＝3m(x-y)； (3)原式＝2mn(m+1); (4)原式＝3xy(4z-3xy); (5)原式＝(y-z)(2a+3b); (6)原式＝(a2+b2)(p-q).
6.分解因式： (1)－7ab－14a2bx＋49ab2y；(2)6x(a－b)＋4y(b－a)． 解：（1）原式＝－7ab(1＋2ax－7by)
（2）原式＝ 6x(a－b) － 4y(a－b) ＝ (a－b)(6x－4y) ＝ 2(a－b)(3+y=5,xy=6,求代数式2x2y+xy2的值.
因式分解之提公因式法PPT
= 4 2 22 + 3
分解因式
把下式进行分解因式
2 + − 3 +
解： = b + c 2 − 3
把下列各式因式分解
1
+
= ( + )
4
12 − 9 2 2
= 3(4 − 3)
2 3 − 6
= 3( − 2)
5
用提公因式法完成下面计算：
Байду номын сангаас
分析：这个式子中
“+”前后都有因数a
这个计算过程我们可以这样描
述：把公因数a提出来，再把剩
余的因数留在括号里相加
用提公因式法完成下面计算：
2 − 3
= (2 − 3)
分析：这个式子中“−”
前后都有因数
这个计算过程我们可以这样描
述：把公因数提出来，再把剩
余的因数留在括号里相减
仁
和
中
学
和
亚
龙
14.3因式分解
什么叫因式分解？
2 +
= ( + 1)
2 − 1
= 2 −12
= +1 −1
像这样，把一个多项式转化成：
“整式×整式”的形式，叫做：
因式分解或分解因式。
因式分解与整式乘法，这两种计算恰好就是
一个互逆的过程。
因式分解
−
整式乘法
+ −
用提公因式法完成下面计算：
2 + 6
= 2( + 3)
2 + 10
= 2( + 5)
3 3 y − 6
= 3( 2 − 2)
例1. 把
分解因式
把下式进行分解因式
2 + − 3 +
解： = b + c 2 − 3
把下列各式因式分解
1
+
= ( + )
4
12 − 9 2 2
= 3(4 − 3)
2 3 − 6
= 3( − 2)
5
用提公因式法完成下面计算：
Байду номын сангаас
分析：这个式子中
“+”前后都有因数a
这个计算过程我们可以这样描
述：把公因数a提出来，再把剩
余的因数留在括号里相加
用提公因式法完成下面计算：
2 − 3
= (2 − 3)
分析：这个式子中“−”
前后都有因数
这个计算过程我们可以这样描
述：把公因数提出来，再把剩
余的因数留在括号里相减
仁
和
中
学
和
亚
龙
14.3因式分解
什么叫因式分解？
2 +
= ( + 1)
2 − 1
= 2 −12
= +1 −1
像这样，把一个多项式转化成：
“整式×整式”的形式，叫做：
因式分解或分解因式。
因式分解与整式乘法，这两种计算恰好就是
一个互逆的过程。
因式分解
−
整式乘法
+ −
用提公因式法完成下面计算：
2 + 6
= 2( + 3)
2 + 10
= 2( + 5)
3 3 y − 6
= 3( 2 − 2)
例1. 把
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=(x-y)(a-b) (2) 6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3-12[-(m-n)]2
=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2)
2020年10月2日
5
练习
• 课本第45
（1）（2）两小题。
2020年10月2日
6
做一做：
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或 “-”号，使等式成立：
（1） 2-a= _ (a-2) (2) y-x= _ (x-y)
(3) b+a= + (a+b)
(4) (b-a)2 = + (a-b)2 (5) -m-n= _ (m+n) (6) -s2+t2=x-3)+2b(x-3)分解因式
分析：这个多项式整体而言，有两大部分， a（x-3)和2b(x-3)，每项中都含有(x-3),
2020年10月2日
4
例：把下列各式分解因式： （1） a(x-y)+b(y-x)
(2) 6(m-n)3-12(n-m)2 分析：虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式， 但仔细观察可以看出，(y-x)与（x-y）是互为相 反数。
解：（1）a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(y-x)
因此可以把(x-3)作为公因式提出来。
解： a(x-3)+2b(x-3) =(x-3)(a+2b)
2020年10月2日
8
练习
• 课本45页随堂练习第一题
（3）（4）（5）（6）小题。
2020年10月2日
9
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几个整式的积 m(a+b+c)
整式乘法 因式分解
一个多项式 ma+mb+mc
2020年10月2日
1
提公因式法分解因式的步骤是什么？
• 找公因式 • 提取公因式
2020年10月2日
2
提公因式法分解因式（二）
2020年10月2日
3
教学目标
• 进一步掌握用提公因式法分解因式的
方法。
• 进一步培养观察能力和类比推理能力。
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
10