北师大版数学高二选修2-3学案第二章2超几何分布

§2

超几何分布

[对应学生用书P23]

超几何分布

已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.

问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．

P (X ＝1)＝C 13C 1

5

C 28

.

问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)

提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－

k 5C 28

.

超几何分布

一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么

P (X ＝k )＝C k M C n －

k

N －M

C n

N

(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．

(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k

时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －

k N －M

C n N

①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．

(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．

[对应学生用书P23]

利用超几何分布公式求概率

[例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．

[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．

[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．

由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－

420C 530

＝70023751≈0.0295，

所以获一等奖的概率约为2.95%.

[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．

1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.28

45 B.1645 C.1145

D.1745

解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18

C 210＝1645

.

答案：B

2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．

答案：10,3,5

3．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．

解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M

＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)

＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36

C 3

10

＝5

6

.

超几何分布的分布列

[例2] (10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．

[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．

[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，

(2分)

所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 3

3

C 38

＝

1

56

. (8分)

从而随机变量X 的分布列为

X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )

528

1528

1556

156

所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝5

7

.

(10分)

[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．

4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)

解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 3

3C 3

9＝5

84

.