逆向归纳法
广义逆向归纳法证明
ˆ 与 （原博弈的 SPNE） 在子博弈 (S ) 以外的信息集都一样， ˆ 不是 SPNE， 令 如果
ˆ 中下式成立 ˆi 比 ˆ i 更好。由此在简化博弈 那么给定其他人的策略存在某个博弈人的 E
'
ˆ ' | S )]ui' P ( ˆ ' | S )ui ( S ) [1 P ( ˆ | S )]ui P( ˆ | S )ui ( S ) [1 P (
(1)
ˆ ' | S ) 是在策略组合 ˆ ' 下经过子博弈 (S ) 的概率， ui ( S ) 是子博弈的策略是 S 时， P (
ˆ ' 下博弈不经过子博弈 (S ) 的所有情形下的期望支付。 博弈人的支付。 u i 是策略组合
' S ˆ' 在简化博弈中子博弈被支付 ui ( ) 替代了，那么（1）式的左边是简化博弈情形下策略
ˆ 下博弈不经过子博弈 (S ) 的所有情形下的期望支付， 的期望支付。ui 策略组合 （1）式子 ˆ 时的期望支付。 右边表示简化博弈的策略为 把简化博弈还原为原博弈， 的期望支付为
1 P ( | S )ui P ( | S )ui ( S )
(2)
ˆ 的构造，有 Biblioteka ( | S ) P( ˆ | S ) ，说明原博弈的 SPNE 策略 的支付依然等于（1） 根据
(5)
与策略 是原博弈的 SPNE 矛盾。
' ' ' ˆS ˆS ˆ ' | S )]ui' P( ˆ ' | S )ui ( S ) [1 P ( | S )]ui' P ( | S )ui ( S ) [1 P(
逆向归纳法求解纳什均衡例题
逆向归纳法求解纳什均衡例题逆向归纳法是一种用于求解纳什均衡的方法。
它从每个参与者的最佳反应开始，逆向地推导出最终的纳什均衡。
以下是一个例题：假设两个企业A和B都在一个市场上销售相同的产品。
他们可以选择设置自己产品的定价，并且根据对方的定价来做出反应。
每个企业的目标是最大化自己的利润。
已知定价范围是0到10之间的实数。
企业A和企业B的利润函数分别为：πA(pA, pB) = (5 - pA - 0.5*pB) * pAπB(pA, pB) = (5 - pA - 0.5*pB) * pB其中，pA和pB分别表示企业A和企业B的定价。
现在我们使用逆向归纳法求解纳什均衡。
步骤1：确定每个参与者的最佳反应首先，我们来确定企业A的最佳反应。
企业A的利润函数是πA(pA, pB) = (5 - pA - 0.5*pB) * pA。
为了最大化自己的利润，企业A需要选择定价pA使得πA(pA, pB) 最大化。
可以通过对πA(pA, pB)求偏导数，令其等于零来确定最佳反应。
∂πA(pA, pB)/∂pA = (5 - pA - 0.5*pB) + (5 - pA - 0.5*pB) - pA = 0 化简可得： 10 - 2pA - pB = 0解上面的方程，可以得到企业A的最佳反应函数：pA = (10 - pB)/2同样地，我们可以确定企业B的最佳反应函数：pB = (10 - pA)/2步骤2：求解纳什均衡纳什均衡是指两个参与者都采取了其最佳反应策略的情况，即两个最佳反应函数同时成立。
将企业A的最佳反应函数代入企业B的最佳反应函数中，得到：pB = (10 - (10 - pB)/2)/2化简可得：4pB = 10 - (10 - pB)/2再次化简可得：8pB = 20 - (10 - pB)继续化简可得：9pB = 10 + pB得到：8pB = 10解方程可得：pB = 10/8 = 1.25将pB = 1.25 代入企业A的最佳反应函数中，得到：pA = (10 - 1.25)/2 = 4.375因此，企业A的最佳反应为 pA = 4.375，企业B的最佳反应为 pB = 1.25。
博弈论基础读书笔记三完全信息动态博弈和逆向归纳法
博弈论基础读书笔记三完全信息动态博弈和逆向归纳法第⼆章完全信息动态博弈先来说明两个概念：1、是指在博弈中，参与⼈同时选择或虽⾮同时选择但后⾏动者并不知道先⾏动者采取了什么具体⾏动。
2、是指在博弈中，参与⼈的⾏动有先后顺序，且后⾏动者能够观察到先⾏动者所选择的⾏动。
这⼀章，我们来讨论关于完全信息（即参与者的收益函数是共同知识的博弈）动态博弈的问题。
在这⾥我们还将博弈分为两种：完美信息博弈：即要选择⾏动的参与者完全知道这⼀步之前所有的博弈过程。
完全但不完美信息博弈：即要选择⾏动的参与者不知道这⼀步之前的博弈过程。
进⾏这章之前先简要的解释⼀些东西：所有的动态博弈的中⼼问题都是可信任性。
下⾯给⼀个经典的⼿雷博弈的例⼦：第⼀，参与者1可以选择⽀付1000美元给参与者2或者是⼀分不给。
第⼆，参与者2观察参与者1的选择，然后决定是否引爆⼀颗⼿雷将两个⼈同炸死。
如果参与者2威胁参与者1如果他不付1000美元就引爆⼿雷，如果参与者1相信这个威胁，则最优选择是⽀付1000美元。
但参与者1却不会对这⼀威胁信以为真，因为它不可置信（参与者2不会蠢到因为1000美元⽽同归于尽，⾄于参与者1考虑参与者2是不是疯⼦的情况在第三章讨论）。
这个例⼦就是典型的完全且完美信息博弈。
在2.1节我们将在后⾯使⽤逆向归纳解，来求解这个问题。
在2.2节我们会丰富前⼀节的博弈模型使之成为完全但不完美博弈，我们会定义这种博弈的⼦博弈精炼解，它是逆向归纳法的延申。
在2.3节研究重复博弈，即多次重复⼀个给定博弈。
这⾥分析问题的中⼼使（可信的）威胁和对以后做出的承诺对当前⾏为的影响。
在2.4节中我们介绍分析⼀般的完全信息动态博弈所需要的⼯具。
不再区别信息是否是完美的。
本节和本章的重点都在语⾔，⼀个完全信息动态博弈可能会有多个纳什均衡，但其中⼀些均衡或许包含了不可置信的威胁和承诺，⼦博弈精炼纳什均衡则是通过了可信检验的均衡。
看到这⾥你可能还是⼀头雾⽔，但是⽆所谓，让我们⼀节⼀节的来讲，看到最后你在回头看前⾯的总结可能会更有利于你对本章的理解。
逆向归纳法名词解释
逆向归纳法名词解释什么是逆向归纳法逆向归纳法是一种逻辑推理方法，通过从特殊到一般的方式进行反向推断，以便得出普遍性的结论。
这种方法是根据已知的一系列特殊情况，通过归纳总结出普遍规律或原则。
逆向归纳法的基本原理逆向归纳法的基本原理是从已知的特殊情况出发，逐步推导出普遍性的结论。
其过程可以分为以下几步：1.收集特殊情况的相关数据和信息。
2.分析和比较这些特殊情况的共同点和特点。
3.基于共同点和特点，提出可能的普遍性结论。
4.验证普遍性结论是否符合已有的特殊情况，并进行推理和推断。
5.如果普遍性结论符合已有的特殊情况，那么可以认为该结论是可靠的。
逆向归纳法的应用范围逆向归纳法在各个领域都有着广泛的应用，包括科学研究、经济分析、社会科学等。
在科学研究中，逆向归纳法可以用于发现规律和解答问题。
在经济分析中，逆向归纳法可以用于预测市场趋势和制定决策。
在社会科学中，逆向归纳法可以用于研究社会现象和解释行为动因。
逆向归纳法的优缺点逆向归纳法作为一种逻辑推理方法，具有以下优点：•可以利用已有的特殊情况进行推理，避免了从零开始的抽象思维。
•能够通过特殊情况推导出普遍规律，为问题解决提供有效思路。
•可以用于处理现实生活中的复杂问题，有助于理清问题的逻辑结构。
然而，逆向归纳法也存在一些缺点：•由于逆向归纳法是通过特殊情况得出普遍性结论，所以结论的准确性依赖于特殊情况的代表性和完整性。
•逆向归纳法的推理过程需要具备一定的归纳和分析能力，对于初学者而言可能存在难度。
•在实际应用中，逆向归纳法有时需要进行多次迭代和验证，耗费时间和精力。
逆向归纳法的例子以下是一个逆向归纳法的例子，以帮助更好理解该方法的应用过程：问题：为什么一些企业的市场份额始终稳定，而另一些企业的市场份额却不断下降？1.收集特殊情况的数据和信息：选择两家具有代表性的企业，一家市场份额稳定，另一家市场份额下降。
2.分析和比较特殊情况的共同点和特点：–稳定市场份额的企业：有稳定的产品品质、广泛的渠道网络、高度的品牌认知度。
逆向归纳均衡
逆向归纳均衡
逆向归纳均衡是一种解决复杂问题的方法，它通过从结果反推回原因，逐步逆向推导出问题的解决方案。
这种方法适用于许多领域，如数学、计算机科学、经济学等。
在数学方面，逆向归纳均衡常用于证明定理。
它从已知的结论开始，逆向推导出结论的前提条件，直到最终得到所有的前提条件。
这种方法是一种非常有用的证明技巧，可以帮助证明许多困难的数学问题。
在计算机科学中，逆向归纳均衡用于解决复杂的算法问题。
它通过从算法的输出结果开始，逆向推导出算法的输入条件，并逐步确定算法的执行过程。
这种方法可以帮助计算机科学家更好地理解算法的设计和实现。
在经济学中，逆向归纳均衡通常用于解决博弈理论中的问题。
它通过从博弈的结果开始，逆向推导出每个参与者的策略，并逐步分析每个参与者的最优策略。
这种方法可以帮助经济学家更好地理解博弈论的基本原理和应用。
总之，逆向归纳均衡是一种非常有用的解决问题的方法，它可以帮助人们更好地理解问题的本质和解决方案。
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专栏6：逆向归纳法与人生规划
专栏6：逆向归纳法与人生规划（视频）•曾经创下台湾空前的震撼与模仿热潮的歌手李恕权，是唯一获得格莱美音乐大奖提名的华裔流行歌手，同时也是“Bill board杂志排行榜”上的第一位亚洲歌手。
他在《挑战你的信仰》一书中，详细讲述了自己成功历程中的一个关键情节。
•1976年的冬天，19岁的李恕权在休斯顿太空总署的太空梭实验室里工作，同时也在休斯顿大学主修电脑。
纵然学校、睡眠与工作几乎占据了他大部分时间，但只要稍微有多余的时间，他总是会把所有的精力放在音乐创作上。
•一位名叫凡内芮的朋友在他事业起步时给了他最大的鼓励。
凡内芮在德州的诗词比赛中不知得过多少奖牌。
她的写作总是让他爱不释手，他们合写了许多很好的作品。
逆向归纳法与人生规划-续•一个星期六的早上，凡内芮又热情地邀请李恕权到她家的牧场烤肉。
凡内芮知道李对音乐的执著。
然而，面对那遥远的音乐界及整个美国陌生的唱片市场，他们一点门路都没有。
他们两个人坐在牧场的草地上，不知道下一步该如何走。
突然间，她冒出了一句话：“想想你五年后在做什么。
”•她转过身来说：“嘿！告诉我，你心目中‘最希望’五年后的你在做什么，你那个时候的生活是一个什么样子？”他还来不及回答，她又抢着说：“别急，你先仔细想想，完全想好，确定后再说出来。
”李恕权沉思了几分钟，告诉她说：“第一，五年后，我希望能有一张唱片在市场上，而这张唱片很受欢迎，可以得到许多人的肯定。
第二我住在一个有很多很多音乐的地方，能天天与一些世界一流的乐师一起工作。
”凡内芮说：“你确定了吗？”他十分坚定地回答，而且是拉了一个很长的“Yesssssss！”逆向归纳法与人生规划-续•凡内芮接着说：“好，既然你确定了，我们就从这个目标倒算回来。
如果第五年，你有一张唱片在市场上，那么你的第四年一定是要跟一家唱片公司签上合约。
那么你的第三年一定是要有一个完整的作品，可以拿给很多很多的唱片公司听，对不对？那么你的第二年，一定要有很棒的作品开始录音了。
用“逆向归纳法”教学英语语法
用“逆向归纳法”教学英语语法在英语语法教学中运用“逆向归纳法”就是通过“发现—归纳—运用”三个步骤来教学英语语法，改变以往“分析讲解规则—巩固运用规则”的以“教”为中心的教学方法。
“逆向归纳法”有以下四大特点：一是反转了语法教学的方向。
惯常的语法教学是以介绍规则为起点，操练运用为终点；而此方法是以实际体验范例为起点，发现规律为中转，总结运用为终点。
二是改变了思维方式的模式。
以往的语法教学是基于演绎的模仿运用，现在是基于归纳的自然运用。
三是转变了情感体验的方式。
变枯燥无味的规则记忆为栩栩如生的意义构建。
四是实现了知识能力的倒转。
从被动接受式的知识传递转化为主动发现式的能力提高。
经过如此的逆向反转，学生习惯了运用观察、分析、联想等发现问题和解决问题的方法，自主归纳出相应的规律，为创造性地使用语言打下了坚实的基础。
一、现象呈现，供学生发现规律现象呈现就是呈现与此语法相关的语言材料。
呈现的形式以书面材料为主，还可夹杂相关的视频、音频等材料，让学生在真实的语境中体验语法的实际应用。
如在教学分词时，放一段“美国总统奥巴马对全美中小学生的讲话”视频，其中有一段话：Young people like Jazmin Perez, from Roma, Texas. Jazmin didn’t speak English when she first started school. Neither of her parents had gone to college. But she worked hard, earned good grades, and got a scholarship to Brown University —is now in graduate school, studying public health, on her way to becoming Dr Jazmin Perez. 画线部分的studying为现在分词，作伴随状语。
第数学归纳法的其他形式(学生版)
数学讲义数学归纳法的其他形式知识定位数学归纳法是处理有关自然数的命题的证明时的一种常用方法。
这也是在以往的自主招生考试或者是竞赛中非常常用的一种方法。
本节课将介绍除了第一数学归纳法与第二数学归纳法之外的几种数学归纳法的特殊形式。
知识梳理1. 反向归纳法：设()P n 是关于自然数n 的命题，若 ① ()P n 对无限多个自然数n 成立； ② 假设(1)P k + 成立可以推出()P k 成立， 那么，()P n 对一切自然数n 成立。
2. 螺旋归纳法:设(),Q()P n n 是两串关于自然数n 的命题，若 ① (1)P 成立；②假设()P k 成立可以推出()Q k 成立；()Q k 成立可以推出(1)P k +成立， 那么，(),Q()P n n 对一切自然数n 成立。
注：在运用螺旋归纳法时，往往要自己补充“伴随命题”Q()n .3. 二重数学归纳法：设(,)P n m 是关于两个独立的自然数,n m 的命题，若① (1,)P m 对一切自然数m 成立，(,1)P n 对一切自然数n 成立； ② 假设(1,)P n m +和 (,1)P n m + 成立可以推出(1,1)P n m ++成立， 那么，(,)P n m 对一切自然数,n m 成立。
例题精讲例1：【试题来源】【题目】数列{}2112,1, 1.n n n n F F F F F F ++=+==满足： 求证：22121.n n n F F F +++=【难度系数】3例2：【试题来源】已知数列{}n a 定义如下：2,2.3(1)1,213n n m m m n m a m =-+=-⎧=⎨⎩①求证：数列的前n 项和n S 为：()()221221431,21431.2m mS m m m S m m m -=-+=++②③【难度系数】3例3：【试题来源】【题目】（均值不等式）设12,,,n a a a 是n 个正数，1211,nn n i n n i A a B a a a n ===∑ ，证明：.n n A B ≥【难度系数】4例4： 【试题来源】【题目】 设函数*[1:,)f →+∞N 满足： （1）(2)2f = ；（2）*,()()(,)f mn f m f m n n ∀∈=N 有 ； （3）当m n < 时，有()()f m f n < .证明：*,().n f n n ∀∈=N 【难度系数】4例5： 【试题来源】【题目】 （琴声不等式）若()f x 在定义域[],a b 内满足：[]()1,,,()()22x y x y a b f f x f y +⎛⎫∀∈≤+ ⎪⎝⎭有： ，则对[]12,,,,,n b x x x a ∈ 有：11().n ni i i i x f x f n n ==⎛⎫ ⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑【难度系数】4例6：【试题来源】【题目】设*,m n ∈N ，证明对任意实数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，若1,1,2,,i i x y i n +== ，那么：()()()()12121111 1.mm mmn nx x x y y y -+---≥①【难度系数】4例7：【试题来源】【题目】设非负整数列122006,,,a a a 满足：()1,1,2006,2006.i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++≤≤+≤求证：存在x ∈ ，使得对任意*12006,n n ≤∈≤N ，都有：[].n a nx =【难度系数】4例8：【试题来源】【题目】设空间中有2(2)n n ≥ 个点，其中任何4点都不共面，它们之间连有21n + 条线段。
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一个逆向归纳法的经典例子，其原型来自I.Stewart在《科学美国人》杂志上的一篇文章《凶残海盗的逻辑》。
这个例子曾经被微软公司作为招募员工的面试题目。
话说有五个海盗抢来了100枚金币，大家决定分赃的方式是：由海盗1提出一种分配方案，如果同意这种方案的人数达到半数，那么该提议就通过并付诸实践；若同意这种方案的人数未达半数，则提议不能通过且提议人将被扔进大海喂鲨鱼，然后由接下来的海盗继续重复提议过程。
假设每个海盗都聪明绝顶，也不互相合作，并且每个海盗都想尽可能多的得到金币，那么，第一个提议的海盗将怎样提议既可以使得提议被通过又可以最大限度得到金币呢？
使用逆向归纳法可以求解如下：
●首先，考虑只剩下最后的海盗5，显然他会分给自己100枚，并且赞成自己●再回到只剩下海盗4和海盗5的决策，海盗4可以分给自己100枚并赞成自
己；海盗5被分得0枚，即使反对也无用。
●回到海盗3，海盗3可以分给海盗5一枚得到海盗5的同意；分给自己99
枚，自己也同意；分给海盗4零枚，海盗4反对但无用。
●回到海盗2，海盗2可以分给海盗4一枚得到海盗4的同意；分给自己99
枚，自己也同意；海盗3,5分得0枚，他们会反对但反对没有用。
●回到海盗1，他可以分给海盗3,5各一枚，获得海盗3,5的同意；分给自己
98，自己也同意；分给海盗2,4各零枚，他们会反对但反对没有作用。
因此，这个海盗分赃的问题答案是（98，0，1，0，1）：海盗1提出分给自己98枚，分给海盗2,4各零枚，分给海盗3,5各一枚，该提议会被通过。
因为海盗1,3,5会投赞成票。
对于上述海盗分赃问题，我们还可以演化出不同的版本。
比如说：（1）如果要求包括提议海盗在内的所有海盗过半数（超过1/2）同意才能使提议通过，那么海盗1应该怎么提方案？(2)如果要求提议海盗之外的海盗过半数同意才能通过，那么海盗1又该怎样提出方案？（3）或者海盗的数目增加到10个，100个，海盗1又怎么提方案？
答案：变种问题（1）中，海盗1提出的分配方案是（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）；变种问题(2)中，海盗1提出的方案应是（97，0，1，1，1）；变种问题（3）中，奇数号海盗各得一枚，偶数号海盗不得金币。
这学期选修的益智数学，颇觉有意思。
一向知道数学是一门严谨严格的学科，这特点本已让数学充满了神奇，而这神奇而演绎出来的灵活与实用，也为数学带来了足具艺术的气质。
不得不让人为数学折服，为数学无怨无悔，尽情尽意奉献一生。
海盗分赃这类问题虽说简单，却也能锻炼人的逆向思维能力，思维的灵活程度一般说来也是可以锻炼强化的。
通过诸多数学游戏，也慢慢能够熟悉一些数学模型，而思维的模型化能够让人更加快捷的熟悉并掌握新的事物，也能为探索未知的模型奠定一定的思维技巧。