人教A版选修2-21.5 定积分的概念

1.5 定积分的概念
1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程 1．5.3 定积分的概念
双基达标 (限时20分钟)
1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
i －1n
，i n 上， ( )．
A ．f (x )的值变化很小
B ．f (x )的值变化很大
C ．f (x )的值不变化
D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小
解析 当n 很大时，区间⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D. 答案 D
2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2
在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替
( )．
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n
C ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
i n D ．f (0)
解析 当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C. 答案 C
3．已知定积分∫60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则∫6－6f (x )d x ＝
( )．
A ．0
B ．16
C ．12
D ．8
解析 偶函数图象关于y 轴对称，
故，故选B.
答案 B
4．如图所示阴影部分的面积用定积分表示为________．
答案
5．若
，则lim n →∞
∑i ＝1
n
f (ξi )
b －a
n
＝________. 解析 由定积分的定义
可得．
答案 6
6．利用定积分定义计算∫10x3d x.
解(1)分割：0<1
n
<
2
n
<…<
n－1
n
<
n
n
＝1.
(2)求和：
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
n
3·
1
n
＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫2
n
3·
1
n
＋…＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫n
n
3·
1
n
＝∑
i＝1
n
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫i
n
3·
1
n
.
(因为x3连续，所以ξi可随意取而不影响极限，故我们此处将ξi取为[x i，
x
i＋1
]的右端点也无妨)
(3)取极限：lim
n→∞
∑
i＝1
n
i3
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫i
n
3·
1
n
＝lim
n→∞
1
n4
∑
i＝1
n
i3＝lim
n→∞
1
n4
·
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
n(n＋1)
2
2＝
1
4
.
此处用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
n(n＋1)
2
2，因此∫10x3d x＝
1
4
.
综合提高(限时25分钟)
7．下列等式成立的是
( )．
解析由定积分的几何意义，选C.
答案 C
8．下列式子中不成立的是
( )．
解析 分析被积函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 在各区间的图象，由定积分的几何意义，易得只有C 选项不成立，故选C. 答案 C
9．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则的值为________．
解析 因为定积分与符号无关，所以.
答案 0
10．利用定积分的几何意义计算⎠⎛1
3(x ＋2)d x 的值是________．
解析 由定积分的几何意义知
⎠⎛1
3
(x ＋2)d x 就是如图所示阴影部分的面积．
答案 8
11．已知汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2t (单位：k m/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？
解 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·
1n ，i ＝1,2，…，n . 所以s n ＝∑i ＝1n
Δs i ＝∑i ＝1n
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1
n
＝－1
n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2
]＋2
n
2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋
2n ]
＝－1n 3⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6＋ 2
n 2
·
n (n ＋1＋2n )
2
＝－13⎝
⎛
⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋
16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1
n
，
s ＝S n ＝
－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋161＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝2
3
，
所以这段时间行驶的路程为2
3
k m.
12．(创新拓展)求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与二次函数曲线f (x )＝4x 2＋2x ＋1所围成的曲边梯形的面积．
解 (1)分割：将[0,2]n 等分，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )的区间长度Δx ＝2
n
，原曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，如图所示．
(2)用f ⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2(i －1)n 作为第i 个小曲边梯形的高作成小矩形，并用小矩形面积近
似替代相应小曲边梯形面积． (3)n 个小矩形面积之和
S n ＝∑i ＝1
n
f [
2(i －1)
n
]Δx
＝∑i ＝1
n
[
16(i －1)2
n 2
＋
4(i －1)
n
＋1]2
n
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n 2[12＋22＋…＋(n －1)2
]＋4n [1＋2＋…＋(n －1)]＋n 2n
＝32
n 3·16n (n －1)(2n －1)＋8n 2·1
2
n (n －1)＋2 ＝163⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＋4⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1n ＋2
(4)所求曲边梯形面积S ＝lim n →∞S n ＝
⎣⎢
⎡⎦⎥⎤163⎝
⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋2 ＝163(1－0)(2－0)＋4(1－0)＋2＝323＋6＝50
3
.。