1994考研数一真题及解析

1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 0

11

limcot (

)sin x x x x

→-=_____________. (2) 曲面23z

z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

(3) 设sin x

x u e y -=,则2u x y ∂∂∂在点1

(2,)π

处的值为_____________.

(4) 设区域D 为2

2

2

x y R +≤,则22

22()D

x y dxdy a b +=⎰⎰_____________.

(5) 已知11(1,2,3),(1,,)23

αβ==,设T

A αβ=,其中T α是α的转置,则n

A =_________.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

(1) 设422

2

sin cos 1x M xdx x π

π-=+⎰,3422(sin cos )N x x dx ππ-=+⎰,23422(sin cos )P x x x dx π

π-=-⎰, 则 ( )

(A) N P M << (B) M P N << (C) N M P << (D) P M N <<

(2) 二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (3) 设常数0λ>,且级数

21

n n a ∞=∑收敛,则级数2

1

(1)n

n n n λ

∞

=-+∑ ( )

(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (4) 2

tan (1cos )lim

2ln(12)(1)

x x a x b x c x d e -→+-=-+-,其中220a c +≠,则必有 ( )

(A) 4b d = (B) 4b d =- (C) 4a c = (D) 4a c =-

(5) 已知向量组1234αααα、、、线性无关,则向量组 ( ) (A) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα+线性无关

(B) 12αα-、23αα-、34αα-、41αα-线性无关

(C) 12αα+、23αα+、34αα+、41αα-线性无关 (D) 12αα+、23αα+、34αα-、41αα-线性无关

三、(本题共3小题, 每小题5分,满分15分.)

(1) 设222

1cos(),cos(),2t x t y t t udu u

⎧=⎪

⎨=-⎪⎩

⎰ 求dy dx 、2

2d y dx 在2t π=. (2) 将函数111()ln arctan 412

x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数. (3) 求

sin 22sin dx

x x +⎰.

四、(本题满分6分)

计算曲面积分2222

S

xdydz z dxdy x y z +++⎰⎰,其中S 是由曲面222

x y R +=及两平面,z R = (0)z R R =->所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设()f x 具有二阶连续导数,(0)0,(0)1f f '==,且

2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的

通解.

六、(本题满分8分)

设()f x 在点0x =的某一领域内具有二阶连续导数,且0

()

lim

0x f x x

→=,证明级数 1

1

()n f n

∞

=∑

绝对收敛.

七、(本题满分6分)

已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为S .求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.

八、(本题满分8分)

设四元线性齐次方程组()I 为12240,

0,

x x x x +=⎧⎨

-=⎩ 又已知某线性齐次方程组()II 的通解为

12(0,1,10)(1,2,2,1)k k +-.

(1) 求线性方程组()I 的基础解系；

(2) 问线性方程组()I 和()II 是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

九、(本题满分6分)

设A 为n 阶非零方阵,*A 是A 的伴随矩阵,T A 是A 的转置矩阵,当*T A A =时,证明

||0A ≠.

十、填空题(本题共2小题, 每小题3分,满分6分.)

(1) 已知A 、B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且()P A p =,则()P B =__________. (2) 设相互独立的两个随机变量X 、Y 具有同一分布律,且X 的分布律为

X 0 1

P

12 12

则随机变量{}max ,Z X Y =的分布律为_______.

十一、(本题满分6分)

已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 分别服从正态分布2

(1,3)N 和

2(0,4)N ,X 与Y 的相关系数12XY ρ=-,设32

X Y

Z =+,

(1) 求Z 的数学期望()E Z 和方差()D Z ； (2) 求X 与Z 的相关系数XZ ρ； (3) 问X 与Z 是否相互独立？为什么？