《空间直角坐标系》教学设计(优质课)

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空间直角坐标系(优质课)教案

1.13空间直角坐标系（优质课）教案_教学目标：通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；通过空间中两点的距离解决问题．教学过程：一、空间直角坐标系1. 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系.如右图所示.点O 叫做坐标原点，x 、y 和z 三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向. 2．空间特殊平面与特殊直线：每两条坐标轴分别确定的平面yOz 、xOz 、xOy ，叫做坐标平面．xOy 平面(通过x 轴和y 轴的平面)是坐标形如(x ，y,0)的点构成的点集，其中x ，y 为任意的实数； xOz 平面(通过x 轴和z 轴的平面)是坐标形如(x,0，z )的点构成的点集，其中x ，z 为任意的实数； yOz 平面(通过y 轴和z 轴的平面)是坐标形如(0，y ，z )的点构成的点集，其中y ，z 为任意的实数； x 轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x 为任意实数； y 轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y 为任意实数； z 轴是坐标形如(0,0，z )的点构成的点集，其中z 为任意实数．3．空间结构：三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．二、关于一些对称点的坐标求法 1.关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOy P x y z −关于坐标平面对称 ()()1,, ,,P x y z yOz P x y z −关于坐标平面对称()()1,, ,,P x y z xOz P x y z −关于坐标平面对称2.关于坐标轴对称()()1,, ,,P x y z x P x y z −−关于轴对称()()1,, ,,y P x y z P x y z −−关于轴对称 ()()1,, ,,P x y z z P x y z −−关于轴对称三、空间两点间的距离公式一般地，空间中任意两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z 间的距离为12PP =特殊地，任一点(),,P x y z 到原点O 的距离为PO =类型一空间点的坐标例1：已知棱长为2的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．解析：由空间直角坐标系定义求解答案：①对于图一，因为D 是坐标原点，A 、C 、D ′分别在x 轴、y 轴、z 轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、D ′(0,0,2)．因为B 点在xDy 平面上，它在x 轴、y 轴上的射影分别为A 、C ，所以B (2,2,0)．同理，A ′(2,0,2)、C ′(0,2,2)．因为B ′在xDy 平面上的射影是B ，在z 轴上的射影是D ′，所以B ′(2,2,2)．②对于图二，A 、B 、C 、D 都在xD ′y 平面的下方，所以其z 坐标都是负的，A ′、B ′、C ′、D ′都在xD ′y 平面上，所以其z 坐标都是零．因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴、y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D ′(0,0,0)、A ′(2,0,0)、C ′(0,2,0)、D (0,0，－2)．同①得B ′(2,2,0)、A (2,0，－2)、C (0,2，－2)、B (2,2，－2)．练习1：如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标．答案：建立如图所示的空间直角坐标系．E 点在xOy 面上的射影为B (1,1,0)，且z 坐标为12，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.F 点在xOy 面上的射影为BD 的中点G ，G ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，且z 坐标为1，∴F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1. 练习2：点(2,0,3)位于( ) A ．y 轴上 B ．x 轴上 C ．xOz 平面内 D ．yOz 平面内答案：C例2：已知V －ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD 的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x 轴、y 轴建系．如以A 为顶点AB 、AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建系，等等．答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O 为原点，互相垂直的对角线AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴，OV 为z 轴建立如图所示坐标系．∵正方形ABCD 边长AB ＝2，∴AO ＝OC ＝OB ＝OD ＝2，又VO ＝3，∴A (0，－2，0)，B (2，0,0)，C (0，2，0)，D (－2，0,0)，V (0,0,3)．练习1：如图所示，棱长为a 的正方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．答案：∵OB ′与BD ′相交于Q 点，∴Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，z . 同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的并点， ∴Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，12a . 练习2：(2014·湖北理，5)在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和② 答案：D例3：在平面直角坐标系中，点P (x ，y )的几种特殊的对称点的坐标如下： (1)关于原点的对称点是P ′(－x ，－y )， (2)关于x 轴的对称点是P ″(x ，－y )， (3)关于y 轴的对称点是P (－x ，y )，那么，在空间直角坐标系内，点P (x ，y ，z )的几种特殊的对称点坐标： (1)关于原点的对称点是P 1________；(2)关于横轴(x 轴)的对称点是P 2________； (3)关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3________； (4)关于竖轴(z 轴)的对称点是P 4________； (5)关于xOy 坐标平面的对称点是P 5________； (6)关于yOz 坐标平面的对称点是P 6________； (7)关于zOx 坐标平面的对称点是P 7________.解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论答案：(1)(－x ，－y ，－z )．(2)(x ，－y ，－z )． (3)(－x ，y ，－z )．(4)(－x ，－y ，z )． (5)(x ，y ，－z )．(6)(－x ，y ，z )． (7)(x ，－y ，z )．练习1：求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标．答案：如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使AM ＝CM ，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称，且C (1,2,1)．过A 作AN ⊥x 轴于N 并延长到点B ，使AN ＝NB ，则A 与B 关于x 轴对称，且B (1，－2,1)．∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点C (1,2,1)； A (1,2，－1)关于x 轴对称的点B (1，－2,1)．练习2：点()1,2,3P −关于坐标平面xOz 对称点的坐标是（）A.()1,2,3B.()1,2,3−−C.()1,2,3−−D.()1,2,3−− 答案：B类型二空间两点间距离公式例4：证明以A (4,3,1)、B (7,1,2)、C (5,2,3)为顶点的△ABC 是等腰三角形．解析：运用两点间距离公式答案：由两点间距离公式：|AB |＝(7－4)2＋(1－3)2＋(2－1)2＝14， |BC |＝(5－7)2＋(2－1)2＋(3－2)2＝6，|AC |＝(5－4)2＋(2－3)2＋(3－1)2＝6， ∵|BC |＝|AC |，∴△ABC 为等腰三角形．练习1：求下列两点间的距离．(1)A (－1，－2,3)、B (3,0,1)； (2)M (0，－1,0)、N (－3,0,4)．答案：(1)d (A ，B )＝(3＋1)2＋(0＋2)2＋(1－3)2＝2 6.(2)d (M ，N )＝(0＋3)2＋(－1－0)2＋(0－4)2＝26. 练习2：2．点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是( )A ．|a |B ．|b |C ．|c |D ．以上都不对答案：C例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD ＝5m ，河宽BC ＝3m ，另一侧有点A ，AB ＝4m ，求点A 与塔顶D 的距离AD .解析：建立合适的空间直角坐标系解决问题答案：以塔底C 为坐标原点建立如下图所示的坐标系．则D (0,0,5)，A (3，－4,0)，∴d (A ，D )＝32＋(－4)2＋52＝52，即点A 与塔顶D 的距离为52m.练习1：已知空间三点A (1,2,4)、B (2,4,8)、C (3,6,12)，求证A 、B 、C 三点在同一条直线上．答案：d (A ，B )＝(2－1)2＋(4－2)2＋(8－4)2＝21，d (B ，C )＝(3－2)2＋(6－4)2＋(12－8)2＝21， d (A ，C )＝(3－1)2＋(6－2)2＋(12－4)2＝221， ∴AB ＋BC ＝AC ，故A 、B 、C 三点共线．练习2：以()()()10,1,6,4,1,9,2,4,3A B C −三点为顶点的三角形是（ C ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形答案：C例6：求到两点A (2,3,0)、B (5,1,0)距离相等的点P 的坐标满足的条件．解析：运用两点间距离公式. 答案：设P (x ，y ，z )，则P A ＝(x －2)2＋(y －3)2＋z 2， PB ＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2. ∵P A ＝PB ，∴(x －2)2＋(y －3)2＋z 2＝(x －5)2＋(y －1)2＋z 2.化简得6x －4y －13＝0.∴点P 的坐标满足的条件为6x －4y －13＝0. 练习1：若点P (x ，y ，z )到A (1,0,1)、B (2,1,0)两点的距离相等，则x ，y ，z 满足的关系式是____________；答案：2x ＋2y －2z －3＝0练习2：若点A (2,1,4)与点P (x ，y ，z )的距离为5，则x 、y 、z 满足的关系式是____________；答案：(x －2)2＋(y －1)2＋(z －4)2＝25练习3：已知空间两点A (－3，－1,1)、B (－2,2,3)在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距离相等，则C 点的坐标是____________．答案：⎝⎛⎭⎫0，0，321．下列说法：①在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )； ③在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c )．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C2．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是( )A ．(－3，－4,5)B ．(－3，－4，－5)C ．(－3,4,5)D ．(3,4,5) 答案： B3．设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 坐标平面的对称点，则|AB |等于( )A ．10B.10C.38 D ．38 答案：A4．已知三点A (－1,0,1)、B (2,4,3)、C (5,8,5)，则( )A ．三点构成等腰三角形B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形答案：D5．(2014·福建师大附中高一期末测试)点(1,1，－2)关于yOz 平面的对称点的坐标是________．答案：(－1,1，－2) 6．(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)空间直角坐标系中的点A (2,3,5)与B (3,1,4)之间的距离是________．答案：67. 在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称点的坐标是________．答案：(2,0,3)_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．点P (－1,2,0)位于( )A ．y 轴上B ．z 轴上C ．xOy 平面上D ．xOz 平面上答案：C2．点P (－1,2,3)关于xOy 坐标平面对称点的坐标是( )A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(－1,2，－3)D ．(1，－2，－3) 答案：C3．已知A (1,0,2)、B (1，－3,1)，点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为( )A ．(－3,0,0)B ．(0，－3,0)C ．(0,0，－3)D ．(0,0,3) 答案：C4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A (－6，－6，－6)、B (8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( )A ．143B ．314C ．542D ．425 答案：A5.已知一长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A 1、B 1、C 1、D 1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA 1＝2，AB ＝6，AD ＝4.求长方体各顶点的坐标．答案：由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，∴A 1(3,2,1)、B 1(－3,2,1)、C 1(－3，－2,1)、D 1(3，－2,1)，A (3,2，－1)、B (－3,2，－1)、 C (－3，－2，－1)、D (3，－2，－1).能力提升6．点A (－3,1,5)、B (4,3,1)的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫72，1，－2B.⎝⎛⎭⎫12，2，3 C.()－12，3，5 D.⎝⎛⎭⎫13，43，2答案 B7. 以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 答案：C8. 点M (2，－3,5)到x 轴的距离d 等于( )A.38B.34C.13D.29 答案：B9. 如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B 、C 、E 、A 1的坐标．答案：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz .依题设，B (2,2,0)、C (0,2,0)、E (0,2,1)、A 1(2,0,4)．10. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．答案：建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：|A 1C 1|＝22， ∵|MC 1|＝2|A 1M |，∴|A 1M |＝232，∴M (23，23，4)．又C (2,2,0)，D 1(0,2,4)，N 为CD 1中点∴N (1,2,2)，∴|MN |＝(1－23)2＋(2－23)2＋(2－4)2＝533.。

《空间直角坐标系》示范课教学设计【高中数学】

环节一空间直角坐标系【引入新课】思考：在平面向量中，我们通过平面直角坐标系建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？【探究新知】为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们需要满足什么条件？答案：追问2：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系. 类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义呢？答案：空间直角坐标系定义：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j, }k. 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分．追问3：空间直角坐标系如何画呢？答案：先回想平面直角坐标系Oxy 的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i ，j 方向相同的数轴x 轴和y 轴，它们互相垂直、原点重合．与画平面直角坐标系相比，画空间直角坐标系只是多画一个与x 轴、y 轴都垂直的z 轴而已，所以我们不妨借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxyz 时，让x 轴与y 轴所成的角为135︒（或45︒），即135xOy ︒∠=（或45︒），画z 轴与y 轴垂直，即90yOz ︒∠=．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点A 与哪个向量的坐标相同？答案：在平面直角坐标系中，点A 的位置由向量OA 唯一确定，类比到空间直角坐标系中，我们可知点A 的坐标与从原点出发的OA 坐标相同. 由此，确定空间直角坐标系中点的坐标，可以从确定与之对应的，以原点为起点，该点为终点的向量的坐标入手．追问2：在空间直角坐标系中如何定义OA 的坐标呢？答案：平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，i ，j 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x ，y 使得取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的两个单位向量，i ，j ，k 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使得OA x y =+i j k +z ，我们把有序实数组x y =+a i j ．我们把有序数对(),x y 叫做a 的坐标，记作(),x y =a ．(),,x y z 叫做OA 的坐标，记作(),,OA x y z =．所以，在单位正交基底{i ，j ，}k 下与向量OA 对应的有序实数组(x ，y ，)z ，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记做A (x ，y ，)z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.追问3：那么对于给定的向量a 又该如何定义它的坐标呢？答案：因为空间向量是自由的，我们在空间直角坐标系Oxyz 中可以作OA =a . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z ，使x y z =++a i j k ,有序实数组(x ，y ，)z 叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记为(x =a ，y ，)z这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 问题3：在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任意一点A ，或任意一个向量OA ，你能借助几何直观确定它们的坐标(),,x y z 吗？答案：过点A 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点B ，C 和D . 可以证明OA 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影向量分别为OB ，OC ，OD ，由向量加法的意义可知，OE OB OC +=,OA OE EA OE OD ++==,即OA OB OC OD ++=. 设点B C D ，和在x 轴、y 轴和z 轴上的坐标分别是x ，y 和z ，那么OA x y z =++i j k ，即点A 或者向量OA 的坐标就是(x ，y ，)z .k yzxoi A (x ,y ,z )a思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点A 或任意一个向量a 的坐标呢？【知识应用】例1 如图，在长方体OABC D A B C ''''-中，3OA =，4OC =，2OD '=，以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . （1）写出D '，C ，A '，B '四点的坐标；（2）写出向量A B '',BB ',A C '',AC '的坐标.追问1：题目条件中的13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭为什么是单位正交基底？答案：由图可知，OA 在x 轴上，且3OA =，所以1=13OA .同理，OC 在y 轴上，OD '在z 轴上，由4OC =，2OD '=知，1=14OC ，1=12OD '，所以13OA ⎧⎨⎩，14OC ，12OD ⎫'⎬⎭是单位正交基底，等同于我们前面用到的{i ，j ，}k .追问2：求空间点的坐标我们有哪些基本解题思路？答案：有两种选择，一种是转化为求与该点对应的，从原点出发，指向该点的空间向量的坐标. 而后依据空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底分解，从而求出坐标；另一种是应用几何直观，找出空间点在x 轴、y 轴、z 轴上的射影，进而得到坐标.思路小结：由几何直观可知，确定空间中一个点的坐标，我们需要先找出该点在各个坐标轴上的射影，再根据空间向量基本定理，得到点的坐标. 所以可以总结步骤如下：（1）过空间点分别作x 轴、y 轴和z 轴的垂面；点A 的坐标给定的向量a 的坐标OA 的坐标应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定OA 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标（2）确定空间点在坐标轴上的射影的坐标；（3）得到空间点的坐标. 解：（1）()()()()0,0,2,0,4,0,3,0,2,3,4,2D C A B '''.（2）()0400,4,0,A B OC ''=++=i j k=()0020,0,2,B B OD ''-=+-=-=i j k()3403,4,0,A C A D D C OA+OC =''''''=+=-=-++-i j k()3423,4,2AC AC CC OA OC CC OA OC OD =''''=+=-++=-++=-++-i j k .问题4：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和空间向量的坐标的？答案：（1）类比平面直角坐标系，构建了空间直角坐标系.（2）根据空间向量基本定理，在单位正交基底下，得到空间直角坐标系中的每一个点和向量都存在唯一的有序实数组(x ，y ，)z 与之对应，从而引出空间点和空间向量的坐标表示.问题5：如何求空间点或向量的坐标呢？答案：（1）根据空间向量基本定理，将点或向量用单位正交基底{i ，j ，}k 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.（2）由几何直观，过点作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.第二课时空间向量运算的坐标表示环节一：引入新课本章前半部分的主要内容：我国著名数学家吴文俊先生曾指出：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说，就是研究数和形的科学.”中学几何的“腾飞”是“数量化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”.在前面的学习中，我们已经掌握了空间直角坐标系的概念，进一步通过正交分解的方法将空间向量用唯一的有序实组表示出来，引入坐标后可使向量中形的运算转化成数的运算.今天我们就循着数学家的足迹，大胆类比、猜想，把向量坐标运算从平面拓展到空间，完成一次从二维到三维，从形到数的跨越.环节二：探究新知为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？追问1：平面向量的运算都有哪些？如何对平面向量进行坐标运算？答案：加法，减法，数乘，数量积.追问2：你能否类比平面向量运算的坐标表示给出空间向量运算坐标表示的猜想？答案：设空间向量 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 猜()112233,,,a b a b a b +=+++a b()112233,,,a b a b a b -=a b ---()123,,,a a a =a 112233.a b a b a b ⋅=++a b追问3：你能否对空间向量运算的坐标表示进行证明呢？答案：结合空间向量坐标的定义，我们以数量积运算的坐标表示为例进行证明：第一步：由空间向量基本定理，设{},,i j k 为空间的一个单位正交基底，由向量a 的坐标为123(,,)a a a ，则可将向量a 唯一分解为123a a a =++a i j k ，同理可将向量b 表示为123b b b =++b i j k . 第二步： ()()123123a a a b b b ⋅=++⋅++a b i j k i j k111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅i i i j i k j i j j j k k i k j k k利用向量数量积的分配律以及======⋅⋅⋅1,⋅⋅⋅0,i i j j k k i j j k k i 得112233.a b a b a b ⋅=++a b其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自主完成.由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. 类似地，我们还可以得到：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.即：设 123123(,,),(,,),A a a a B b b b 则向量()112233,,AB b a b a b a =---.问题2：在学习平面向量运算的过程中，我们了解到向量可以帮助我们解决平面几何中的特殊位置关系与几何度量等问题，这些重要的性质和结论在空间向量中仍然成立吗？追问1：如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？答案：设 1212(,),(,),a a b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ属于全体实数，用坐标表示为1212(,)(,),a a b b = 得到方程组1122,,a b a b =⎧⎨=⎩ 消去λ，得到平面向量平行充要条件的坐标表示：a 1b 2−a 2b 1=0.类比平面向量平行的坐标表示，我们可以得到：设空间向量123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b 当≠0b 时，∥a b 的充要条件是=a b ， λ 属于全体实数.可以用坐标表示为123123(,,)(,,)a a a b b b =，得到方程组()112233,,.a b a b a b =⎧⎪=∈⎨⎪=⎩R ，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示.追问2：这个充要条件能否表示为312123a a ab b b ==？答案：显然，空间向量平行的充要条件不等价于312123a a ab b b ==，因为≠0b 的含义是b 的坐标分量123,,b b b 至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零.例如，当b 与坐标平面Oxy 平行时，30b =此时33a b 无意义.因此只有在b 与三个坐标平面均不平行，即123,,b b b 均不为零时才能有312123a a ab b b ==⇔∥a b .特殊地，当=0b 时，(0,0,0)=b .此时b 与任意向量都平行.追问3：除了上述对空间向量位置关系的研究，类比平面向量运算的应用，能否总结出空间向量的度量关系，如空间向量长度和夹角的坐标表示？答案：设 123123(,,),(,,),a a a b b b ==a b222123a a a =⋅=++a a a . 112233222222123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++⋅==++++a ba b a b.设1111()P x ,y ,z , 2222()Px ,y ,z ，则()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=追问4：得到上面的猜想后，同学们能利用空间向量运算的坐标表示证明空间两点间的距离公式吗？答案：首先，建立空间直角坐标系Oxyz ，设1P , 2P 是空间中任意两点，则向量()1221212121.PP OP OP x x ,y y ,z z ---=-= 于是121212PP PP PP ⋅=，带入坐标，()()()22212212121PP x x +y y +z z ---=.所以()()()2221212212121=PP PP x x +y y +z z ---=.这就是空间两点间的距离公式.因此，空间向量123(,,)a a a =a 的模可以理解为点123(,,)a a a 到原点的距离，这是空间两点间距离公式的特殊化.环节三：知识应用例1 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ,F 分别是1BB , 11D B 的中点.（1）求证1EF DA ⊥；（2）求AE 与1CD 所成角的余弦值.追问1：两条直线的垂直关系可以用向量刻画吗？答案：要证明1EF DA ⊥，只需证明1EF DA ⊥，在前面的学习中，我们已经得到了两个向量垂直的充要条件为数量积为零，即10.EF DA =通过本节课学习的内容，可以将空间向量垂直的充要条件用坐标形式表达，因此在应用向量法求解本题时，我们需要利用题目中的空间直角坐标系，从而建立立体图形与空间向量的联系.追问2：向量EF 的坐标怎么求？答案：因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).EF =-=--分析：因为空间向量的数量积和夹角有关，此我们经常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题.追问3：两条直线夹角与两向量夹角有区别吗？答案：这二者是有区别的，它们的取值范围不同.具体来说，两条直线夹角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,而向量夹角的范围是[]0,π.当AE 与1CD 所成的角为锐角或直角时，直线AE 与1CD 所成的角和向量的夹角相等. 当AE 与1CD 所成的角为钝角时，直线AE 与1CD 所成的角为向量夹角的补角.解：（1）因为()2,2,1E , (1,1,2)F ，所以(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1)EF =-=--. 得到向量EF 的坐标后，同理，又因为点()()12,0,2,0,0,0A D ,所以()12,0,2DA =. 所以()()11,1,12,0,22020.EF DA =--=-++= 所以1EF DA ⊥,即1EF DA ⊥. （2）因为()()()()12,0,0,0,2,0,2,2,1,0,0,2A C E D ，所以()()()2,2,12,0,00,2,1AE =-=,()()()10,0,20,2,00,2,2CD =-=-, 15,=22AE DF =.所以()10022122AE CD =⨯+⨯-+⨯=-.所以111cos ,AE CD AE CD AE CD ===所以, AE 与1CD 所成角为向量AE ，向量1CD 夹角的补角.所以, AE 与1CD 方法提炼：在空间直角坐标系中，先写出相关点、相关向量的坐标，把几何问题代数化，然后再利用向量的坐标运算解决位置关系与几何度量等问题，其中要关注空间两条直线所成角与对应向量夹角的取值范围是不同的.需要注意的是，有些问题往往需要我们观察几何体的结构特征，找寻三条两两垂直的线段，先建立空间直角坐标系，再应用向量运算解决几何问题.问题3：回顾本节课对于空间向量坐标运算的探究过程，你都学到了什么？答案：1. 类比平面向量研究空间向量运算的坐标表示（1）空间向量运算的坐标表示空间向量加法减法的坐标运算只需将其相应的坐标相加或相减；空间向量数乘的坐标运算等于用这个实数λ乘原来向量的相应坐标；空间向量数量积的坐标运算是其对应坐标乘积的和. （2）空间向量运算坐标表示的应用我们得到了空间向量平行和垂直这两种特殊位置关系的坐标表示同时，我们证明了空间向量长度和夹角的公式，这些公式可以帮助我们解决立体几何中的度量问题2.关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决. 因此，我们说空间向量与立体几何有着天然的联系.空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具.一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲”，步骤一：建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点、相关向量的坐标；步骤二：进行空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；步骤三：求出答案后，翻译成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．课时检测1. (3,2,5),(1,5,1),--a =b =求：（1）+a b ；（2）6a ；（3）ab .2. (2,1,3),(4,2,),x --a =b =且⊥a b .求x 的值.3. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1BC 的中点, 1E ,1F 分别在棱11A B ,11C D 上,111114B E A B =，111114D F C D =. （1）求AM 的长.（2）求1BE 与1DF 所成角的余弦值.答案：1. （1） ()2,7,4+-a b =；（2）()618,12,30-a =；（3）2a b =；2. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即－8－2＋3x ＝0，解得x ＝103；3. （1）AM =（2） 1517．。

空间直角坐标系》教案(人教A版必修

空间直角坐标系》教案(人教A版必修)第一章：空间直角坐标系的建立1.1 坐标系的定义与分类让学生理解坐标系的概念，掌握坐标系的分类及特点通过实例让学生了解坐标系在几何图形中的应用1.2 空间直角坐标系的定义与结构让学生理解空间直角坐标系的定义，掌握其结构特点通过实例让学生了解空间直角坐标系在空间几何中的应用第二章：点的坐标2.1 坐标的概念与表示方法让学生理解坐标的概念，掌握坐标的表示方法通过实例让学生了解坐标在空间几何中的应用2.2 点的坐标与坐标轴的关系让学生了解点的坐标与坐标轴的关系，掌握坐标轴上点的坐标特点通过实例让学生了解坐标轴上点的坐标在空间几何中的应用第三章：直线的方程3.1 直线方程的概念与表示方法让学生理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法通过实例让学生了解直线方程在空间几何中的应用3.2 直线方程的求解方法让学生掌握直线方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解直线方程通过实例让学生了解直线方程的求解方法在空间几何中的应用第四章：平面的方程4.1 平面方程的概念与表示方法让学生理解平面方程的概念，掌握平面方程的表示方法通过实例让学生了解平面方程在空间几何中的应用4.2 平面方程的求解方法让学生掌握平面方程的求解方法，能够灵活运用各种方法求解平面方程通过实例让学生了解平面方程的求解方法在空间几何中的应用第五章：空间几何图形与坐标系5.1 空间几何图形在坐标系中的表示让学生了解空间几何图形在坐标系中的表示方法，掌握坐标系中几何图形的性质通过实例让学生了解空间几何图形在坐标系中的应用5.2 空间几何图形的位置关系与坐标系的变换让学生了解空间几何图形的位置关系，掌握坐标系变换的方法通过实例让学生了解坐标系变换在空间几何中的应用第六章：空间距离与角度6.1 空间两点间的距离让学生理解空间两点间的距离公式，掌握如何计算空间两点间的距离通过实例让学生了解空间两点间距离在几何中的应用6.2 空间角度的计算让学生理解空间角度的计算方法，掌握如何计算空间角度通过实例让学生了解空间角度在几何中的应用第七章：向量及其应用7.1 向量的概念与表示方法让学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法通过实例让学生了解向量在空间几何中的应用7.2 向量的运算让学生掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘通过实例让学生了解向量运算在空间几何中的应用第八章：空间解析几何8.1 解析几何的基本概念让学生理解解析几何的基本概念，如参数方程、极坐标方程等通过实例让学生了解解析几何在空间几何中的应用8.2 解析几何与坐标系的转换让学生掌握如何将解析几何问题转换为坐标系问题，以及如何利用坐标系解决解析几何问题通过实例让学生了解解析几何与坐标系的转换在空间几何中的应用第九章：空间几何体的性质与判定9.1 空间几何体的性质让学生了解空间几何体的基本性质，如表面积、体积、对称性等通过实例让学生了解空间几何体的性质在几何中的应用9.2 空间几何体的判定让学生掌握如何判定空间几何体的类型，如球、圆柱、锥体等通过实例让学生了解空间几何体的判定在几何中的应用第十章：空间几何的综合应用10.1 空间几何问题的一般解决方法让学生掌握解决空间几何问题的基本方法，如分割、投影、对称等通过实例让学生了解空间几何问题的一般解决方法10.2 空间几何在实际问题中的应用让学生了解空间几何在实际问题中的应用，如建筑设计、物理学中的力学问题等通过实例让学生了解空间几何在实际问题中的应用重点和难点解析重点环节一：坐标系的概念与分类补充和说明：本环节需要重点关注坐标系的定义、各种坐标系的结构特点以及坐标系在几何图形中的应用。

空间直角坐标系示范课市公开课金奖市赛课一等奖课件

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第18页
例4．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)中
点坐标是（ B）
（A） (7 ,1, 2)
2
（B） (1 , 2,3) 2
（C）(－12，3，5) （D）(1 , 4 , 2)
33
第19页
2.4.1 空间直角坐标系
第1页
一．空间直角坐标系
为了拟定空间点位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直数轴，通惯用x、y、z 表示. 轴方向通常这样选择：从z轴正方向看，x轴半轴沿逆时针方向转90°能与y轴半轴重叠. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz， O叫做坐标原点.
第12页
4．卦限在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；
在坐标平面xOy上方四个象限相应卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；
在下面卦限称为第V、第VI、第VII、第 VIII卦限；
在每个卦限内，点坐标各分量符号是不变，比如在第I卦限，三个坐标分量x、y、 z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z 均为正数；
xOz平面（通过x 轴和z轴平面）是坐标形如（x，0，z）点构成点集，其中x、z 为任意实数；
第11页
3．坐标轴上点特性： x轴是坐标形如（x，0，0）点构成点
集，其中x为任意实数； y轴是坐标形如（0，y，0）点构成点集，
其中y为任意实数； z轴是坐标形如（0，0，z）点构成点集，
其中z为任意实数。
第15页
例1．正方体棱长为2，求各顶点坐标. 解：由图可知，正方体各个顶点坐标下列: A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)， A1(0，0，2)，B1(2，0，2)， C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，

空间直角坐标系》教案(人教A版必修

空间直角坐标系》教案(人教A版必修)一、教学目标1. 理解空间直角坐标系的定义和意义。

2. 学会在空间直角坐标系中确定点的位置。

3. 掌握空间直角坐标系中线段和距离的计算方法。

4. 能够运用空间直角坐标系解决实际问题。

二、教学重点1. 空间直角坐标系的定义和意义。

2. 在空间直角坐标系中确定点的位置。

3. 空间直角坐标系中线段和距离的计算方法。

三、教学难点1. 空间直角坐标系的建立和理解。

2. 在空间直角坐标系中进行距离计算。

四、教学准备1. 教学课件或黑板。

2. 空间直角坐标系的模型或图示。

3. 练习题和答案。

五、教学过程1. 引入：通过实际例子，如确定一个物体的位置，引出空间直角坐标系的概念。

2. 讲解：讲解空间直角坐标系的定义和意义，介绍坐标轴和坐标点。

3. 演示：通过模型或图示，展示空间直角坐标系的建立和应用。

4. 练习：让学生通过练习题，巩固空间直角坐标系的知识。

5. 总结：总结本节课的重点内容，强调空间直角坐标系在实际问题中的应用。

6. 布置作业：布置一些有关空间直角坐标系的练习题，让学生课后巩固。

六、教学内容：点与坐标的关系1. 教学目标：学生能够理解点的坐标与其在空间直角坐标系中的位置的关系。

学生能够通过坐标来识别和描述空间中的点。

2. 教学重点：点的坐标与空间位置的对应关系。

3. 教学难点：理解和计算点在不同象限中的坐标特征。

4. 教学准备：坐标系图示和模型。

《空间直角坐标系》教案-公开课-优质课(人教A版必修二精品)

《4.3.1空间直角坐标系》教案一、学习目标1、在空间直角坐标系中确定点的坐标；2、给出点的坐标能在空间直角坐标系中找出点的位置.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生对课堂整体的把握二、教学过程同学们都看过2009年国庆大阅兵吧？在阅兵的时候，天上的战机风驰电掣，速度如此的快，岂不是很容易撞机？但事实上，撞机的可能性为零.这是为什么呢？这是因为战机的航线都是统一规定的，而划定航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线在地面的高度.为此，我们要学习空间直角坐标系.阅读教材134页内容，回答问题（空间直角坐标系）<1>通过自学教材，回答一下我们怎么建立空间直角坐标系？<2>空间直角坐标系是怎样确定点的位置的？<3>请同学们学习右手直角坐标系的内容，并理解之.结论：<1>如图所示，''''C B A D OABC 是单位正方体.以O 为原点，分别以射线'OD OC OA 、、的长为单位长，建立三条数轴：z y x 、、轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标原点，z y x 、、轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为zox yoz xoy 、、平面；<2>如图所示，设点M 为空间一定点，过点M 分别作垂直于z y x 、、轴的平面，交点依次为R Q P 、、，设点R Q P 、、在z y x 、、轴上的坐标分别为z y x 、、，那么点M 就对应唯一确定的有序实数组（z y x ,,）.反过来，给定有序实数组（z y x ,,），我们可以在z y x 、、轴上分别取坐标为实数z y x 、、的点R Q P 、、，分别过这三点各做一个平面，分别垂直于z y x 、、轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（z y x ,,）确定的点M.这样，空间一点M 的坐标可以用有序实数组（z y x ,,）表示，有序实数组（z y x ,,）叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M （z y x ,,）.其中z y x ,,分别叫做点M 的横坐标、纵坐标、竖坐标.<3>在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.【教学效果】：关键是让学生能找出空间中点的坐标.三、练习与巩固练习一：自学教材例1、2，检查一下自己能否顺利的写出空间中直角坐标系中点的坐标.同学们，这是我们这节课必须掌握的内容，一定要认真的完成，达到非常熟练的程度. 练习二：完成教材136页练习1、2、3，检验是否完成了今天的学习目标.【教学效果】：通过巩固与练习，让学生能更好的把握课堂内容和重点.四、小结这节课主要学习了空间直角坐标系，要求学生能建立恰当的直角坐标系，能准确的找到点的坐标，并能够根据坐标确定点的位置.。

高中数学《空间直角坐标系》教案11新人教A版必修2（优秀范文五篇）

高中数学《空间直角坐标系》教案11新人教A版必修2（优秀范文五篇）第一篇：高中数学《空间直角坐标系》教案11 新人教A版必修24.3.1 空间直角坐标系教案教学要求：使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法。

教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标教学过程：一.复习准备：1.提问：平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2.讨论：一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、讲授新课：1.空间直角坐标系：如图，OBCD-D,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA，OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。

这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1）叫做坐标原点2）x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

2.右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。

大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

3.有序实数组1）空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标思考：原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。

例题1：在长方体OBCD-D,A,B,C,中，OA=3,oC=4,OD,=2.写出D，C,A，B,四点坐标.（建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标）讨论：若以C点为原点，以射线BC、CD、CC1 方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？（得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同。

）4.练习：V-ABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB=2，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。

【参考教案】《空间直角坐标系》(人教)

《空间直角坐标系》（人教）第一章：空间直角坐标系的引入1.1 学习目标(1) 了解空间直角坐标系的定义和意义。

(2) 学会在空间直角坐标系中确定一个点的坐标。

1.2 教学内容(1) 空间直角坐标系的定义：三维空间中的一个参照系统，由三个互相垂直的坐标轴组成。

(2) 坐标轴的表示：通常用x, y, z表示三个坐标轴。

(3) 坐标点表示：一个点在空间直角坐标系中的位置由一对有序实数(x, y, z)表示。

1.3 教学活动(1) 利用实际例子（如地图上的位置表示）引出空间直角坐标系的定义。

(2) 通过图形和模型展示坐标轴的互相垂直关系。

(3) 让学生通过实际操作，学会在空间直角坐标系中表示一个点。

1.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括在给定的坐标系中表示不同点的坐标。

(2) 设计一个小项目，要求学生自己创造一个坐标系，并标出一些特定的点。

第二章：坐标系的转换2.1 学习目标(1) 学会在不同坐标系之间进行转换。

(2) 理解坐标系转换的原理和意义。

2.2 教学内容(1) 坐标系之间的转换：通过变换矩阵实现不同坐标系之间的转换。

(2) 变换矩阵的定义和性质：变换矩阵是一个方阵，用于描述坐标系的转换关系。

2.3 教学活动(1) 通过图形和实例解释坐标系转换的原理。

(2) 引导学生学习变换矩阵的定义和性质。

(3) 进行实际操作，让学生学会使用变换矩阵进行坐标系之间的转换。

2.4 作业与练习(1) 完成练习题，包括使用变换矩阵进行坐标系转换。

(2) 设计一个小项目，要求学生自己创建一个坐标系转换问题，并给出解答。

第三章：坐标系的应用3.1 学习目标(1) 学会使用坐标系解决实际问题。

(2) 了解坐标系在各个领域中的应用。

3.2 教学内容(1) 坐标系在几何中的应用：通过坐标系解决几何问题，如计算距离、角度等。

(2) 坐标系在物理学中的应用：描述物体的运动轨迹和速度等。

3.3 教学活动(1) 通过实际例子展示坐标系在几何中的应用。

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空间直角坐标系
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景
（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示
2．过程与方法
建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示
3．情态与价值观
通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想.
（二）教学重点和难点
空间直角坐标系中点的坐标表示.
（三）教学设计
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
复习引入（1）我们知道数轴上的任意一点M
都可用对应一个实数x表示，建立了
平面直角坐标系后，平面上任意一点
M都可用对应一对有序实数(x，y)表
示。

那么假设我们对立一个空间直角
坐标系时，空间中的任意一点是否可
用对应的有序实数组(x，y，z)表示
出来呢？
师：启发学生联想思考，
生：感觉可以
师：我们不能仅凭感觉，我
们要对它的认识从感性化提
升到理性化.
让学生体会到
点与数（有序
数组）的对应
关系.
概念形成（2）空间直角坐标系该如何建立
呢？
师：引导学生看图[1]，单位
正方体OABC–
D′A′B′C′，让学生认识
该空间直角系O –xyz中，
什么是坐标原点，坐标轴以
体会空间直角
坐标系的建立
过程.
[1] 及坐标平面.
师：该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系.
（3）建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
[2] 师：引导学生观察图[2]，
生：点M对应着唯一确定的
有序实数组(x，y，z)，x、y、
z分别是P、Q、R在x、y、z
轴上的坐标.
师：如果给定了有序实数组
(x，y，z)，它是否对应着空
间直角坐标系中的一点呢/
生：（思考）是的
师：由上我们知道了空间中
任意点M的坐标都可以用有
序实数组(x，y，z)来表示，
该数组叫做点M在此空间直
角坐标系中的坐标，记M(x，
y，z)，x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，z叫做
点M的竖坐标.
师：大家观察一下图[1]，你
能说出点O，A，B，C的坐标
吗？
生：回答
学生从（1）中
感性向理性过
渡.
应用
举例
（4）例1 如图，在长方体OABC–
D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 师：让学生思考例一一会，
学生作答，师讲评。

师：对于例二的讲解，主要
是引导学生先要学会建立合
学生在教师的
指导下完成，
加深对点的坐
标的理解，例2
4，|OD′| = 2.写出D′、C、A′、B′四点的坐标.
解：D′在z轴上，且O D′ = 2，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D′的坐标是(0，0，2).
点C在y轴上，且O D′ = 4，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点C的坐标是(0，4，0).
同理，点A′的坐标是(3，0，2).
点B′在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B
的横坐标x与纵坐标y相同.在xOy 平面上，点B横坐标x = 3，纵坐标y= 4；点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′
的竖坐标z = 2.
所点B′的坐标是(3，4，2)
例2结晶体的基本单位称为晶胞，图是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为1
2
的小正方体堆积成的正方体)，其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子.如图，建立空间直角坐标系O–xyz后，试写出全部钠原子适的空间直角坐标系，然后
才涉及到点的坐标的求法。

生：思考例一、例二的一些
特点。

总结如何求出空间中
的点坐标的方法。

更能体现出建
立一个合适的
空间直角系的
重要性
所在位置的坐标.
解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.
下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，11
(,,0)
22
；
中层的原子所在的平面平行于xOy
平面，与z轴交点的竖坐标为1
2
，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是1111
(,0,),(1,,)
2222
，
1111
(,1,),(0,,)
2222
；
上层的原子所在的平面平行于xOy
平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，11
(,,1)
22
（5）练习2 如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′于
B′D′相交
于点P.分别
写出点C、B′、P的坐标. 师：大家拿笔完成练习2然
后上黑板来讲解
生：完成
解：C、B′、P各点的坐标
分别是(0，4，0)，(3，4，
3)，3(,2,3)
2
学生在原有小
结的经验的基
础上，动手操
作，并且锻炼
学生的口才
归纳总结（6）今天通过这堂课的学习，你能
有什么收获？
生：谈收获
师：总结
让学生的自信
心得到增强
课外布置作业见习案4.3的第一课时学生独立完成巩固所学知识
练习
备选例题
例1 如图，长方体OABC–D′A′B′C′中，OA = 3，OC = 4，OD′= 3，A′B与AB′相交于点P，分别写出点C、B′、P的坐标.
【解析】C在y轴正半轴上，坐标C(0，4，0)，
B′的横坐标与A点相同，纵坐标与C点相同，竖坐标与D′点相同，所以B′（3，4，3）.
P为正方形的对角线交点，坐标为
11 (1,,)
22
.
例2 如图，正方体ABCD–A1B1C1D1，E、F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，求点E、F的坐标和B
1
关于原点D的对称点坐标.
【解析】由B(1，1，0)，B1(1，1，1)
则中点E为
1 (1,1,)
2
，
由B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，
则中点
11 (,,1)
22
F.
设B1关于点D的对称点M(x0，y0，z0)，即D为B1M的中点，因为D(0，0，0)，
所以
1
21
1
01
2
1
1
2
x
x
y
y
z
z
+
⎧
=
⎪
=-
⎧
⎪
-
⎪⎪
==-
⎨⎨
⎪⎪=-
⎩
+
⎪
=
⎪
⎩
得，
所以M (–1，–1，–1 ).。