初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳全等中的动点

全等三角形之动点问题典型例题:如图1,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的运动速度相同,连接AQ、CP交于点M.(1)求证:△ABQ≌△CAP;(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,∠QMC变化吗？若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.(3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠QMC变化吗？若变化,请说明理由;若不变,则求出它的度数.练习题:1.(2016·山东省济宁市·3分)如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CE B.2.如图,已知△ABC中,AB=AC=12厘米,BC=9厘米,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C 点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,1秒钟时,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD≌△CQP？(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？3. 如图,边长为6的等边三角形ABC中,D是AB边上的一动点,由A向B运动(A、B不重合),F 是BC延长线上的一动点,与D同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动(与C不重合),过点D作DE⊥AC,连接DF交AC于G.(1)当点D运动到AB的中点时,直接写出AE的长;(2)当DF⊥AB时,求AD的长;(3)在运动过程中线段GE的长是否发生变化？如果不变,求出线段GE的长;如果发生改变请说明理由.1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝900 ,AB=4,AC=10,PQ=BC,P、Q分别在AC和AB的反向延长线上移动,当PC等于多少时,△ABC≌△APQ。

2.如图,在Rt△ABC中,∠B＝900,AB=6,BC=8,过点C作CF⊥BC,点D、E分别在BC、CF上移动,且始终保持DE=AC,当CD等于多少时,△ABC与△DCE全等。

3.如图,AB=2,BC=5,AB⊥BC于点B,QC⊥BC于点C,点P从点B开始沿射线BC移动,过点P 作PQ⊥PA,交直线L于点Q。

⑴求证:∠A=∠QPC ⑵当点P运动到何处时,PA=PQ,并说明理由。

4.(2015秋•龙海市期末)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,点D在线段BC上运动(不与B、C 重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于点E.(1)当∠ADB=115°时,∠BAD=°,∠DEC=°;(2)线段DC的值为多少时,△ABD与△DCE全等？请说明理由;(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠ADB的度数;若不可以,请说明理由.例题:【考点】等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质.【分析】(1)根据等边三角形的性质,利用SAS证明△ABQ≌△CAP;(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP,从而得到∠QMC=60°;(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP,从而得到∠QMC=120°.【解答】(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,又∵点P、Q运动速度相同,∴AP=BQ,在△ABQ与△CAP中,∵,∴△ABQ≌△CAP(SAS);(2)解:点P、Q在运动的过程中,∠QMC不变.理由:∵△ABQ≌△CAP,∴∠BAQ=∠ACP,∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°…(6分)(3)解:点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时,∠QMC不变.(7分)理由:∵△ABQ≌△CAP,∴∠BAQ=∠ACP,∵∠QMC=∠BAQ+∠APM,∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°.【点评】主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识.当堂巩固:1. AH=CB或EH=EB或AE=CE.(只要符合要求即可)2. 【考点】全等三角形的判定.【专题】动点型.【分析】(1)①先求得BP=CQ=3,PC=BD=6,然后根据等边对等角求得∠B=∠C,最后根据SAS即可证明;②因为V P≠V Q,所以BP≠CQ,又∠B=∠C,要使△BPD与△CQP全等,只能BP=CP=4.5,根据全等得出CQ=BD=6,然后根据运动速度求得运动时间,根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度;(2)因为V Q＞V P,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,据此列出方程,解这个方程即可求得.【解答】解:(1)①∵t=1(秒),∴BP=CQ=3(厘米)∵AB=12,D为AB中点,∴BD=6(厘米)又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6(厘米)∴PC=BD。

∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD与△CQP中,,∴△BPD≌△CQP(SAS),②∵V P≠V Q,∴BP≠CQ,又∵∠B=∠C,要使△BPD≌△CPQ,只能BP=CP=4.5,∵△BPD≌△CPQ,∴CQ=BD=6.∴点P的运动时间t===1.5(秒),此时V Q===4(厘米/秒).(2)因为V Q＞V P,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇,依题意得4x=3x+2×12,解得x=24(秒)此时P运动了24×3=72(厘米)又∵△ABC的周长为33厘米,72=33×2+6,∴点P、Q在BC边上相遇,即经过了24秒,点P与点Q第一次在BC边上相遇.【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质,等腰三角形的性质,以及数形结合思想的运用,解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质.3. 【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.【分析】(1)由点D运动到AB的中点时,于是得到AD=AB=3,根据等边三角形的性质得到∠A=60°,求得∠ADE=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论;(2)由点D、F同时运动且速度相同,得到AD=CF,求出∠AGD=∠CGF=30°,∠F=30°,于是得到CF=CG=AD,设AD=CG=CF=x,则AG=2x,列方程即可得到结论;(3)当点D、F同时运动且速度相同时,线段GE的长度不会改变.理由如下:作FQ⊥AC,交直线AC的延长线于点Q,连接FE,DQ,由点D、F速度相同,得到AD=CF,根据等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠QCF=60°,推出△ADE≌△CFQ(AAS),根据全等三角形的性质得到AE=CQ,DE=QF且DE∥QF,证得四边形DEFQ是平行四边形,根据平行四边形的性质得到GE=EQ,推出GE=AC,即可得到结论.【解答】解:(1)点D运动到AB的中点时,∵AD=AB=3,∠A=60°,∵DE⊥AC,∴∠ADE=30°,∴AE=AD=;(2)∵点D、F同时运动且速度相同,∴AD=CF,∵DF⊥AB,∠A=60°,∴∠AGD=∠CGF=30°,∵∠B=60°,∴∠F=30°,∴∠CGF=∠F,∴CF=CG=AD,设AD=CG=CF=x,则AG=2x,∴AG+CG=2x+x=3x=6,∴x=2,∴AD=2;(3)当点D、F同时运动且速度相同时,线段GE的长度不会改变.理由如下:作FQ⊥AC,交直线AC的延长线于点Q,连接FE,DQ,又∵DE⊥AB于E,∴∠GQF=∠AED=90°,∵点D、F速度相同,∴AD=CF,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠QCF=60°,在△ADE和△CFQ中,∵∠AED=∠CQF=90°,∴∠AED=∠CQF,在△ADE和△CQF中,,∴△ADE≌△CFQ(AAS),∴AE=CQ,DE=QF且DE∥QF,∴四边形DEFQ是平行四边形,∴GE=EQ,∵EC+AE=CE+CQ=AC,∴GE=AC,又∵等边△ABC的边长为6,∴GE=3,∴点D、F同时运动且速度相同时,线段GE的长度不会改变.【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,平行线的性质,直角三角形的性质的应用,能推出两三角形全等是解此题的关键.课后作业参考答案:1.∵三角形ABC与三角形APQ全等,∴(1)△ABC≌△APQ时,AP=AB=4,则CP=AC+AP=14。

(2)△ABC≌△AQP时,AP=AC=10,则CP=AC+AP=20。

2. 解:∵△ABC与△DCF全等,DE=AC,∴分两种情况:①AB与CD是对应边时,CD=AB=6;②AM与AC是对应边时,CD=BC=8;综上所述:当CD=6或8时,△ABC与△DCF全等;故答案为:6或8.【点评】本题考查了全等三角形的性质,勾股定理,主要利用了全等三角形对应边相等的性质,难点在于要分情况讨论.3. 解:(1)证明:∵PQ⊥AP,∴∠ABP=90°,∴∠APB+∠QPC=90°,∵AB⊥BC于点B,∴∠A+∠APB=90°,∴∠A=∠QPC;(2)当P运动到离C处距离为2时,PA=PQ,证明:当PC=2时,PC=AB,在△ABP与△PCQ中,∵,∴△ABP≌△PCQ(ASA),∴PA=PQ;同理,BP=7时,PC=2也符合,所以,点P运动到与点C距离为2时,PA=PQ.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及余角的性质:同角的余角相等,正确证明∠A=∠QPC是关键.4.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.【分析】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题;(2)当DC=2时,利用∠DEC+∠EDC=140°,∠ADB+∠EDC=140°,求出∠ADB=∠DEC,再利用AB=DC=2,即可得出△ABD≌△DCE.(3)当∠BDA的度数为110°或80°时,△ADE的形状是等腰三角形.【解答】解:(1)∵∠B=40°,∠ADB=115°,∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=180°﹣115°﹣40°=25°,∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°,∵∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=25°,∴∠DEC=180°﹣∠EDC﹣∠C=115°,故答案为:25°,115°;(2)当DC=2时,△ABD≌△DCE,理由:∵∠C=40°,∴∠DEC+∠EDC=140°,又∵∠ADE=40°,∴∠ADB+∠EDC=140°,∴∠ADB=∠DEC,又∵AB=DC=2,在△ABD和△DCE中,,∴△ABD≌△DCE(AAS);(3)当∠BDA的度数为110°或80°时,△ADE的形状是等腰三角形,∵∠BDA=110°时,∴∠ADC=70°,∵∠C=40°,∴∠DAC=70°,∴△ADE的形状是等腰三角形;∵当∠BDA的度数为80°时,∴∠ADC=100°,∵∠C=40°,∴∠DAC=40°,∴△ADE的形状是等腰三角形.【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,三角形外角的性质等知识点的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性较强,但难度不大,属于基础题.。