定积分的换元法第二篇

当x0时,t 1; x4时, t 3.
∴
原式 =
3
t2 1 2
2 t
dt
1t
1 3(t23)dt
21
12(
1t3 3
3t
)
3 1
22 3
注：换元公式也可反过来使用 , 即得定积分的 第一类换元公式：
f[
(t
)
](t)
dt
b
f (x)dx
a
(令 x(t))
或
f[
(t
)
](t)
dt
f
[
(t
)
证: aa f(x)dx 0a f (x)dx0af(x)dx
0af(t)dt 0af(x)dx
令xt
0 a [f(x)f(x)]dx
20af(x)dx,
0,
f(x)f(x)时 f(x)f(x)时
该题几何意义是很明显的，如图所示:
y -a O
y
a
ax
O ax
例6
计算
1
2x2xcoxs dx.
0
0
16cosx02

1. 6
例4 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
区间可加性
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
2 0
3
sinx2dsinx
第四章
3.2 定积分的换元法
换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时，x (t)的值在
[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b，则有
b
a
f
令ux3,
解法2 对已知等式两边求导,
得
3x2f(x3)1x
f (x3)
思考: 若改题为
x3 f(3t)dtlnx 1
提示: 两边求导, 得
1 3
作业
P221 习题4-3 (A)部分：3奇数题；6(3); 9(1); (B)部分：3(1)(2)
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs dx 1 1x2
偶函数
奇函数
401
1
x2 1x2
dx401
x2(1 1x2) 1(1x2) dx
1
40(1
1x2)dx 4401
1x2dx
单位圆的面积
4.
练习：
(19) (20)
(21)
(22)
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
x(fsx ) id n x f(sx ) id n .x
0
20
01xscions2xxdx
2
01scionx2sxdx
201c1o2xsd(cx o)s2arctanx()c0os
() 2 . 2 44 4
练习： 2. 证：
3. 证：
4. 证：
思考练习：
设
解法1 lnx x3 f(t)dt 1
2
sinx23dsinx
不换元
2
2 5
sin
5
x2
2 0
2 5
sin
5
x2
4. 5
2
例5. 设 f(x)在对[称 a,a]区 上间 连 , 续 (1) 若 f(x)f(x), 则 a af(x )d x 2 0 af(x )d x
(2) 若 f( x)f(x), 则 aaf(x)dx0 偶倍奇零
(
x
)dx
f [ (t)] (t)dt .
第二类换元公式
应用第二类换元公式时应注意:
（1）用 x (t)把变量 x换成新变量 t 时，积分限
也相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量 t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
证（1）设
x
2
x0
t t
d xd,t , x t0,
22
2 0
f(sinx)dx
0
2
当 x0时 ,t 0; xa时 ,t2.
∴
原式 = a 2
2 cos2 tdt
0
a2
2(1co2st)dt
20
a2
2
(t
1si 2
n2t
)
2
0
a2 4
换元必换限！
例2. 计算
4 x2 dx. 0 2x1
（第二类换元：根式代换）
解: 令 t 2x1,则 xt21, dxtdt, 且 2
（3）当 时，换元公式仍成立.
例1. 计算 a a2x2dx(a0). 0
解法一: （直接用牛-莱公式）令 x a sti,t n ( 2 , 2 ),
则 a2x2 acots, dxaco tdts
a2x2d xaco ta sco tds a t2 co2tsdt
a t
x
a2t sin 2t C
]
d(t)
口诀：换元必换限，配元不换限
例3 计算 2 co5sxsinxd.x（第一类换元：凑微分） 0
解 2co 5xs six nd x2co 5xs(dcx o ) s
0
0
令 tcox,s
x 2
t0, x0t1,
原式 0t5dt 1
t6 6
1
0
1. 6
或者 2co 5xs sixnd x2co 5xs(dcx o ) s
24
a2 x2
s2 it n 2 sticn to 2 xs a 2 x 2
a2 2
arcsin
aa
x a
1x 2
a2x2C
∴
原式
a2
2
arcsin
x
1
x
a2
a2
x2
a 0
a 4
2
例1. 计算
a a2x2dx(a0).
0
解法二 ：（先换元,再用牛-莱公式）
令 xasitn, 则 dxaco tdts,且
fsin2tdt
2
0
f(cots)dt
2
0
f(coxs)dx;
（2）设 x t d xd,t
x0 t, xt0,
0
0 xf(sinx)dx(t)f[s i nt)(d ] t
0(t)f(sti)n d,t
0 xf(sinx)dx0 f(sitn)dt0 tf(sint)dt
0 f(sixn)dx0 xf(sixn)dx,