伸缩变换视角下的压轴题

伸缩变换视角下的压轴题山东省莱州市第一中学 (261400) 史胜江2013年山东文科数学压轴题是一道有良好区分度的高考题，题目条件简单，易于上手，但考生要获得满分还是比较困难的，因为本题既考查了考生的分类讨论思想，又深度地考查了运算能力. 本文中笔者首先给出标准答案和两种简洁解法，然后对此题的命题背景进行了深层次的分析，应用伸缩变换解答本题和2011年山东理科第22题，简洁清晰的解题过程犹如一道亮丽的风景呈现在我们的眼前. 1 原题与标准答案（2013年山东文科数学第22题） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为46的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设t =，求实数t 的值.标准答案 （Ⅰ）椭圆C 的方程1222=+y x （省略过程）； （Ⅰ）（Ⅰ）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意02<<-m 或20<<m ，把m x =代入1222=+y x 得22||2m y -=，根据4622||2=-=∆m m S AOB得232=m 或21，此时)0,26(±=或)0,22(±，而)0,2(±=，所以332=t 或2. （Ⅰ）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，和1222=+y x 联立得0224)21(222=-+++h khx x k ，设),(),,(2211y x B y x A .由判别式0>∆可得2221h k >+，此时22212212122,214k h x x k kh x x +-=+-=+，221212k hy y +=+，所以22222121122||k h k kAB +-++=.点O 到直线AB 的距离21||kh d +=，所以46||21212||21222=+-+==∆h k h k d AB S AOB. 令221k n +=，代入上式整理得016163422=+-h n h n ，解得234h n =或24h n =.又),2()2,2(2121nhtn kht y y x x t t -=++==，代入椭圆方程1)()2(21222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n h n kh t ，即122=t n h ，又因为234h n =或24h n =，且0>t ，故332=t 或2. 经检验，适合题意. 综合（Ⅰ）（Ⅰ）得332=t 或2. 以上解法是官方答案，属于通法，思路简单，只要想到讨论，便是复杂的运算了，解法中令221k n +=，使式子简洁了许多. 总之此题深度地考察了考生的运算能力. 2 简洁解法简解法一 设),(),,(2211y x B y x A ，因为46||211221=-=∆y x y x S AOB ，平方得232212221212221=+-y x y y x x y x ，把212121x y -=，212222x y -=代入得342)(2212122212221=--+y y x x x x x x Ⅰ.)2,2(2121y y x x t t ++==代入椭圆1222=+y x 得14)(8)(22122212=+++y y t x x t ，2212212)(2)(8y y x x t +++=2121212122222121424842228y y x x y y x x y x y x ++=+++++=，而2121222122212212116164)42(y y x x y y x x y y x x ++=+1616)(88212122212221+++-=y y x x x x x x ，把Ⅰ式代入得416)4(3)42(22121=+-⨯=+y y x x ，所以2422121±=+y y x x ，得342=t 或4，因为0>t ，故332=t 或2. 此法能避免讨论，运算量较小.简解法二 设)sin ,cos 2(),sin ,cos 2(ββααB A ，46||211221=-=∆y x y x S AOB ，即46|)sin(|22|sin cos 2sin cos 2|21=-=-βααββα，所以23|)sin(|=-βα，21)cos(±=-βα. 把)2sin sin ,2)cos (cos 2(βαβα++==t t 代入椭圆1222=+y x 得14)sin (sin 4)cos (cos 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++βαβαt ，所以34)cos(2242=-+=βαt 或4，因为0>t ，故332=t 或2. 利用椭圆的参数方程，也能避免讨论，且运算量更小. 3 渊源与推广我们知道椭圆和圆之间可以通过伸缩变换进行相互转化.例如：椭圆12222=+by a x 在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100a b，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 1001的作用下变换为圆222''b y x =+和圆1''22=+y x ，反之亦成立. 在变换⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a 001，⎪⎪⎭⎫⎝⎛100a b ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a 1001等的作用下，直线变换为直线，原点变换为原点，椭圆的切线变换为切线；直线和直线之间的关系不变（平行直线仍平行，相交直线仍相交），点与直线关系不变，同一直线上的两线段长度之比不变；变换前后两个三角形的面积之比不变；两直线的斜率之比不变，等等.关于变换前后两个三角形的面积之比不变，证明如下：设),(),,(2211y x B y x A ，),(33y x C ，则11121332211y x y x y x S ABC =∆的绝对值，在伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==by y a xx ''（b a ,为常数）下ABC C B A S abS ∆∆=1''''，所以ab S S ABC C B A 1''''=∆∆不变. 利用上述伸缩变换中诸多不变的性质，椭圆1222=+y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x '2'后为单位圆1''22=+y x ，由211'''==∆∆ab S S AOB OB A ，得43'''=∆OB A S . 在单位圆1''22=+y x 中，设半径'''B A OP ⊥，垂足为'E （即''B A 的中点），则43|'||'|1'2''=⋅-=∆OE OE S OB A ，解得21|'|=OE 或23，此时2|'||'|=OE OP 或332. 由同一直线上两线段长度之比在伸缩变换下不变，所以在椭圆1222=+y x 中2|'||'|||||===OE OP OE OP t 或332.这也是本题的一种解法.事实上，在单位圆中当''OB A ∆的面积为定值（]21,0(''∈∆OB A S ）时，其高'OE 为定值，进一步高与半径之比为定值. 在伸缩变换下，单位圆转化为椭圆，相应AOB ∆面积也为定值，相应||||OP OE 的值也是定值. 这便有本题的推广： 推广 B A ,为椭圆C ：12222=+b y a x 上满足AOB ∆的面积为定值（范围]2,0(ab）的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P . 设OE t OP =，则实数t 为定值.图一 图二上述推论的逆命题也成立.由于椭圆与圆是紧密联系的，利用变换的性质，结合圆的某些性质，许多问题可以轻松解决，既能避免大量的运算，节省了宝贵的考试时间，又能减少出错的机会. 再举一例： 4 神通的变换(2011年山东理科数学第22题) 已知动直线l 与椭圆123:22=+y x C 交于),(),,(2211y x Q y x P 两不同点，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点. （1） 证明：2221x x +和2221y y +均为定值；（2）、（3）略.这道理科压轴题的难点就在第（1）问，按照常规做法运算量很大，难坏了当年的考生，考后统计数据显示全省只有2名考生得到该题的满分.解 椭圆123:22=+y x C 在伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'3'y y x x 下变为单位圆1''22=+y x ，由61231''==∆∆OPQ Q OP S S ，得21''=∆Q OP S . 而单位圆中21''sin |'||'|21''=∠=∆OQ P OQ OP S Q OP ，得︒=∠90''OQ P .设)','(),','('2211y x Q y x P ，因为|'||'|OQ OP =，不妨设i y x i i y x 2211'')''(+=⋅+（i 为虚数单位），即⎩⎨⎧-==1221''''y x y x ，由1''2121=+y x 得1''2221=+x x ，即32221=+x x ，同理22221=+y y 均为定值.上面证明中复数乘法几何意义的应用是一大亮点. 本题利用椭圆的参数方程解答也很简单，留给读者证明. 通过证明，细心的读者就会体会出伸缩变换与参数方程的紧密关系了，限于篇幅，不再赘述.孟子曰：孔子登东山而小鲁,登泰山而小天下.只有站在更高的地方才能看清问题的本质，做到一览无余，融会贯通.参考文献：[1] 胡典顺. 解析几何中的问题解决：变换的视角 [J]. 数学通讯，2013（1）（下半月）.图三。