第一章《整式的运算》章末复习资料
《整式的运算复习》课件
04 整式运算的注意事项
运算顺序的重要性
01
运算顺序是整式运算中的重要原 则，必须遵循先乘方、再乘除、 最后加减的顺序，不能随意更改 顺序，否则会导致计算错误。
02
在进行整式运算时，应先进行括 号内的运算，然后依次进行乘除 和加减运算，遵循从左到右的顺 序进行。
避免运算错误的方法
仔细审题
在开始计算前，应仔细审题，明 确运算的步骤和顺序，避免因疏
同底数幂的除法法则
$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方运算法则
$(a^m)^n = a^{mn}$。
举例
$2^3 times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$，$3^2 div 3^3 = 3^{2-3} = 3^{-1} = frac{1}{3}$，${(frac{1}{2})}^{-2} = {(frac{1}{2})}^{2} = frac{1}{4}$。
03 整式运算的应用
代数表达式的化简
总结词
整式运算在代数表达式的化简中有着广泛的应用，通过合并同类项、因式分解等 整式运算技巧，可以简化复杂的代数表达式。
详细描述
在解决代数问题时，经常需要处理复杂的代数表达式。整式运算提供了有效的工 具来化简这些表达式，例如合并同类项、提取公因式、进行因式分解等。这些技 巧能够大大简化表达式的结构，使其更易于进一步的分析和计算。
解方程和不等式
总结词
整式运算在解一元一次方程、一元二次方程和不等式中起到关键作用，通过对方程或不 等式进行变形和求解，可以得到解的准确值或取值范围。
详细描述
在解决方程和不等式问题时，整式运算起到了至关重要的作用。通过对方程或不等式进 行移项、合并同类项、提取公因式等整式运算操作，可以将其转化为更易于解决的形式 。对于一元一次方程，可以直接求解；对于一元二次方程，可以通过公式法或配方法求
数学：第一章《整式的运算》基础知识复习(北师大版七年级下)
第2章： 整式的加减一、基础知识定义单项式：如100t 、6a 2、2.5x 、vt 、-n ，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如：单项式100t 、vt 、-n 的系数分别是100、1、-1。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：在单项式100t 中，字母t 的指数是1，100t 是一次单项式；在单项式vt 中，字母v 与t 的指数的和是2，vt 是二次单项式。
多项式：如2x-3，3x+5y+2z ，21ab-πr 2，它们都可以看作几个单项式的和，像这样几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
例如：在多项式2x-3中，2x 和-3是它的项，其中-3是常数项。
多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如：在多项式2x-3中，次数最高的项是一次项2x ，这个多项式的次数是1；在多项式x 2+2x+18中，次数最高的项是二次项x 2，这个多项式的次数是2。
整式：单项式与多项式统称为整式。
例如：单项式100t 、vt 、-n ，以及多项式2x-3，3x+5y+2z ，21ab-πr 2等都是整式。
同类项：在单项式3ab 2与-4 ab 2，它们都含有字母a ，b 并且a 都是一次，b 都是二次，像3ab 2与-4 ab 2这样，所含字母相同，并且相同字母指数也相同的项想叫做同类，几个常数项也叫做同类项。
把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。
我们可以运用交换律、结合律、分配率把多项式中的同类项进行合并。
整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。
整式期末复习资料
第一章 整式及其运算复习一 幂的运算n m n m a a a +=⋅ ；m n n m mn )a ()a (a ==；n n n b a )ab (⋅=；n m n m a a a -=÷ (m ，n 都是正整数)注：1、()=-na ⎪⎩⎪⎨⎧-);(),(为奇数为偶数n a n a nn ()=-na b ⎪⎩⎪⎨⎧---).()(),()(为奇数为偶数n b a n b a nn 2、10=a（a ≠0） （2）pp a a 1=- （a ≠0）针对练习： （1）已知31232m -=，求m=____；（2）如果20a a +=，那么2001200012a a ++的结果为（3）已知3113m n n y y y -+=，146m nx xx --=，求2m n +=__________(4)整数825m N =⨯是一个11位整数，求m___________(5)已知122,62,32===c b a，求a ， b ， c 之间的关系为_________(6) 若()()()43991003,4,212-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=c b a ，试比较a ， b ， c 的大小为_____________ (7) 1002___753(填>或<) , 比较333444555543、、的大小为___________________(8) 若72=nx，则()()nn x x 322343-=________若y xy x 279,0432⋅=-+求=_______(9) 已知(2x －3)0＝1，则x 的取值范围是________(10)()()3200820082125.0⨯-=___________ 78772153187⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=_____________(11) 若m my x 43,12+=+=，请用含x 的代数式表示y 为________________ (12) 已知,200080,200025==y x则yx 11+的值为（ ） A 、1 B 、2 C 、21D 、23二 整式的计算（整式的混合运算） 1、 化简求值：(1)若2(2)10a b +++=,求{})]24(3[2522222b a ab ab b a ab ----的值(2) 已知xyz xA -=32，xyz z y B +-=23，xyz y x C -+-=222，且01)1(2=+-++z y x 求：)32(C B A --的值.(3) 已知：2,1a b a c -=-=，求：()()222a b c c b --+-=___________(4) 若a 3（3a n－2a m+4a k）=3a 9－2a 6+4a 4，求－3k 2（n 3mk+2km 2）=___________ (5) 化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==2、（整体思想）（1）已知535-++=cx bx ax y ，当3-=x 时，7=y ，求当3=x 时y 的值；（2）若22210,24x x x x -+=-=则 (3) 已知：220m m +-=，求：3232000m m ++=___(3) 已知33xx -=1，则43291237x x x x +--+1999=___________(4) 已知：3,4a b b c -=-=，求：222a b c ab bc ca ++---的值 (5) 已知012=++a a ，求200720082009a a a ++的值；(6)已知32-=xy ，求出)(523y y x xy xy -+-的值3、恒等问题：（1）、已知多项式63513212--+-+x xy y x m 是六次四项式，单项式m n y x -523与该多项式的次数相同，则=+n m （2）若多项式1)3(5)1(234-+-+--x b x x a x 中不含3x 和x 项，则=a ，=b ；若)3)(8(22n x x mx x+-++展开后不含x２和x ３项，求m ，n 分别为_____________（3）已知：222321,1A x ax x B x ax =+--=-+-，且B A 63+的值与x 无关，求a 的值(4) 若)3)(8(22b x x ax x+-++的积中不含3x 项和x 项，则a 、b 的值分别为（ ）A 、0=a ，0=bB 、3-=a ，1=bC 、3=a ，8=bD 、3-=a ，9-=b（5）已知：b x x x a x +-=+-610)25)(2(2恒成立，求a+b=__________(6) C x B x x x+-+-=++)1()1(4322，求B C =__________(7) 若22251(1)(1)xx a x b x c ++=++++，求23a b c +-=___________4、计算题 （1）()()22a b c d a b c d +++-+--（2）()()()()2222222312231233233xx x x x x x x --+---+++-++（3）（－1）2006+（－12）－2－（3.14－π）0; （4）（2x －3）2－（2x+3）（2x －3）（5）运用乘法公式进行简便计算：20052-2004×2006（3）已知b a ,满足()2125224)8(b b a --=÷-，()()2739÷=ab ba（1）求22b a +的值 （2）计算()()()()++++++-+11b a b a ab b a b a ab ()()()()1009921+++++⋯+++++b a b a ab b a b a ab三 平方差(a+b)(a-b)=a 2—b21、计算22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()x y z x y z +-++（3）59.860.2⨯ （4）2200620052007-⨯（5）()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++（6）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （7）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（8）（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-）（9）(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)四 完全平方(a+b)2=a 2+2ab+b 2；(a-b)2=a 2-2ab+b 2公式变形：（1）()2222a b a b ab +=+-（2）()2222a b a b ab +=-+（3）()()222222a b a b a b ++-=+（4）()()224a b a b ab +--=1、简单计算和化简（1）()22a b -+ （2）(a+b-c)² （3）(a-b-c)²（4）()()()()22342343232x x x x +++-++-+（5）2202 （7）利用完全平方公式解方程：0161242=-+x x（8）1.23452+0.76552+2.469×0.7655． （9）2、22ab ±、ab 、2()a b ±之间关系的问题：（1）4,2a b ab +==-.则（1）22ab + =______（2）()2a b -=_________(2) 已知实数a 、b 满足（a+b ）2=1，（a ﹣b ）2=25，求a 2+b 2+ab 的值．（3）设2,122=+=+b a b a ，求33b a +的值3、1x a x±= 求22x y +=？的问题 （1）已知1x x+=3.（1）求221x x +的；（2）求441x x +的值（2）已知：231xx -+=0.（1）求:221x x +的值；（2）求:441xx +的值。
【中考-章节复习五】 第一章 整式的运算
提高复习效 率,你一定 行!
知识点:
, a 2 h 等,都是数与字母的乘积,这 样的代数式叫做单顶式.几个单项式的和叫做多 π 1 1 项式,例如 ab - 16 b , 2 ab - 2 mn 等.单顶式和多项式 统称整式. 一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个
2
π 2 3 像 16 b , 5 x
计算下列各式:
1 1 2 2 3 2 (1) (2xy ) • ( xy) = (2 × ) • ( xx) • ( y y ) = x y 3 3 3 2 3 [(-2) ×(-3)](a 2a) • b 3 = 6a 3b 3 (2) (-2a b ) • (-3a ) =
2
(3) ( 4 ×10 ) • (5 ×10 ) 5 4 9 10 = (4 ×5) • (10 ×10 ) = 20 ×10 = 2 ×10
幂 的 乘 方
?
(2 ) = 2
3 6
(2) 8 = 8×8×8×8×8×8
= (2 )
3 6
?个2 3
(2 ) = 2
?
即
(a ) = a
m n
mn
(m,n都是正整数)
不变 相乘 幂的乘方,底数_____,指数_____.
------ 幂的乘方运算法则 2.如果甲球的半径是乙球的n倍,那么甲球的体 3 积是乙球的 n 倍. 地球、木星、太阳可以近似地看做是球体,木 星、太阳的半径分别约是地球的10倍和 10 2 倍, 3 (10 2 ) 3 = 10 6 它们的体积分别约是地球的____、_________倍. 10
= 20 ×10 = 2 ×10 2 12 答:它工作 5 ×10 秒可做 2 ×10 次运算.
整式的运算复习课件
符号问题
要点一
总结词
符号问题是整式运算中常见的问题之一，需要注意正负号 的处理。
要点二
详细描述
在进行整式运算时，需要注意正负号的处理，特别是在加 减混合运算中，要特别留意正负号的变化，避免因为符号 处理不当而导致的错误。
运算顺序问题
总结词
运算顺序是整式运算中的重要原则，需要注意先乘除后 加减的顺序。
单项式除以多项式
总结词
转化为单项式除以单项式的形式
详细描述
单项式除以多项式时，可以将其转化为多个 单项式除以单项式的形式，然后分别进行计 算。
多项式除以多项式
总结词
因式分解后进行除法运算
详细描述
多项式除以多项式时，可以先将多项式进行 因式分解，然后对每个因式分别进行除法运
算。
05 整式运算的注意事项与常 见错误
整式的加减混合运算
总结词
掌握整式的加减混合运算规则，是整式运算的关键。
详细描述
在进行整式的加减混合运算时，应先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最 后进行加减运算。遵循这个顺序可以避免计算错误，提高运算效率。
03 整式的乘法运算
单项式与单项式的乘法
总结词
直接相乘，系数相乘，同类项的字母 和指数不变
详细描述
在进行整式运算时，需要遵循先乘除后加减的顺序，如 果运算顺序不正确，会导致结果出现错误。因此，在运 算过程中需要特别留意运算顺序的正确性。
运算过程中的化简问题
总结词
在整式运算过程中，需要注意化简步骤，避免出现不 必要的复杂化。
详细描述
在进行整式运算时，需要注意化简步骤，尽可能将复 杂的表达式化简为简单的形式，这样可以减少计算难 度和错误率。同时，在化简过程中需要注意等式的平 衡性，确保等式两边的化简结果相等。
【高效培优】北师大版七年级数学下册第一章 整式的乘除(章末整理与复习课件)
(ab)n anbn，(其中n为正整数)， (abc)n anbncn (其中n为正整数)
练习：计算下列各式。
(2xyz)4，( 1 a2b)3，(2xy2 )3，(a3b2 )3 2
温故知新 4、同底数的幂相除
法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
数学符号表示：
（其中m、n为正整数）
名师归纳
幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、 积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法 的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方 结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.
举一反三
1.下列计算不正确的是（ D ）
A.2a3 ·a=2a4
B. (－a3)2=a6
C. a4 ·a3=a7
D. a2 ·a4=a8
（其中m、n为正整数）
[(a m )n ] p a mnp （其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a4 )4 a44 a8，[(b2 )3]4 b234 b24 (x2 )2n1 x4n2，(a4 )m (am )4 (a2m )2
温故知新 3、积的乘方
法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再 把所得的幂相乘。（即等于积中各因式乘方的积。）
（一）整式的乘法
1、同底数的幂相乘 2、幂的乘方
3、积的乘方
4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式
7、多项式乘以多项式 8、平方差公式
9、完全平方公式
（二）整式的除法
1、单项式除以单项式 2、多项式除以单项式
温故知新 （一）整式的乘法
1、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
名师归纳
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
七年级数学下册_第一章《整式的运算》知识点总结_北师大版
第一章《整式的运算》知识点总结 一、单项式：数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：π是数字，而不是字母，它的系数是π，次数是0.二、多项式几个单项式的代数和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法： 整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=∙2、幂的乘方： ),(都是正整数）（n m a a m n n m =3、积的乘方：)()(都是正整数n b a ab n n n =4、同底数幂的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：);0(10≠=a a2、负整数指数幂：),0(1是正整数p a aap p ≠=- 七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式： 法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
5、多项式除以单项式： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
八、整式乘法公式：1、平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+2、完全平方公式： 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：1、都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
七年级数学（下）第一章《整式的运算》章末复习
一. 整式
1. 单项式 ①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的符号,如果一个单项式只是字母的积,并非没有系数.
③一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
例1.在下列代数式：x
y x abc ab 3,,0,32,4,3---中，单项式有【 】 （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个
例2.单项式7
24
3xy -的次数是【 】 （A ）8次 （B ）3次 （C ）4次 （D ）5次 例3.下列说法中正确的是【 】
（A ）代数式一定是单项式 （B ）单项式一定是代数式
（C ）单项式x 的次数是0 （D ）单项式－π2x 2y 2的次数是6。
例4.单项式3
2b a -的系数是 ，次数是 。
2.多项式 ①几个单项式的和叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.不含字母的项叫做常数项. ②一个多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.
例5.在下列代数式：1,2
12,3,1,21,2122+-+++++x x b ab b a ab ππ中，多项式有【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个
例6.下列多项式次数为3的是【 】
（A ）－5x 2＋6x －1 （B ）πx 2＋x －1 （C ）a 2b ＋ab ＋b 2 （D ）x 2y 2－2xy －1
3.整式 单项式和多项式统称为整式.
⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他代数式多项式单项式整式代数式
二. 整式的加减
1. 整式的加减实质上就是去括号后,合并同类项,运算结果是一个多项式或是单项式.
2. 括号前面是“－”号,去括号时,括号内各项要变号,一个数与多项式相乘时,这个数与括号内各项都要相乘.
例7. 化简：（1）2a 2－3ab ＋2b 2－（2a 2＋ab －3b 2） （2） 2x －（5a －7x －2a ）
例8.减去－2x 后，等于4x 2－3x －5的代数式是什么？
例9.一个多项式加上3x 2y －3xy 2得x 3－3x 2y ，这个多项式是多少？
1.同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)
2.在应用法则运算时,要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；
②指数是1时，不要误以为没有指数；
③当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a
a a a ++=⋅⋅（其中m 、n 、p 均为正数）； ④公式还可以逆用：n m n m a a a
⋅=+（m 、n 均为正整数） 例10. 111010m n +-⨯=________,456(6)-⨯-=______.
例11. 25()()x y x y ++=_________________.
例12. 若34m a a a =,则m=________;若416a x x x =,则a=__________。
例13. 若2,5m n a a ==,则m n a +=________.
例14. 下面计算正确的是( )
A ．326b b b =；
B ．336x x x +=；
C ．426a a a +=；
D ．56
mm m = 四．幂的乘方与积的乘方
1. 幂的乘方法则： ()
mn n m a a =(m,n 都是正数)。
2. 积的乘方法则：()n n n b a ab =（n 为正整数）。
3．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。
例15.1001001
()(3)3⨯- =_________ 。
例16. 若2,3n n x y ==,则()n xy =_______。
例17. 计算：
（1）22
1
()3ab c - （2） 23()n a a ⋅
（3） 52
37()()p q p q ⎡⎤⎡⎤+⋅+⎣⎦⎣⎦ （4）23222(3)()a a a +⋅
（5）221()()
n n x y xy -⋅ （6）82332
()()[()]p p p -⋅-⋅-
1. 同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数,且m>n).
2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即()010≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00
无意义. ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a
1=- ( a ≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的。
例18.计算52()()x x -÷-=_______, 10234x x x x ÷÷÷ =______.
例19.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________.
例20.若0(2)x -有意义,则x_________.
例21.如果3,9m n a a ==,则32m n a
-=________. 例22.若5x-3y-2=0,则531010x y ÷=_________.
例23.计算 ：（1） 02(3)(0.2)π--+- （2） 2324[()()]()m n m n m n -⋅-÷-
六. 整式的乘法
1. 单项式与单项式相乘法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
2．单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3．多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例24．计算 ：
（1） a 6b ·（－４a 6b ） （2）x ·（－５x －２y ＋１） （3）（a ＋１）（a －2
1）
七．平方差公式
1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即()()22b a b a b a -=-+。
2. 结构特征：
①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数； ②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。
例25.下列式中能用平方差公式计算的有( )
①(x-1y)(x+1y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1)
例26.利用平方差公式计算：
（1）(x+6)(6-x) （2）11()()22x x -+-- （3）(a+b+c)(a-b-c) （4）18201999
⨯
八．完全平方公式
1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即()222
2b ab a b a +±=±； 2．结构特征：
①公式左边是二项式的完全平方；
②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。
例27. 若x 2
＋mx ＋４是一个完全平方式，则m 的值为 。
例28.计算： （1）()21x + （2）221⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a （3）2
10151⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x
（4）)12)(12(-+++y x y x （5）)2)((4)2(2y x y x y x +--- （6） 998
2
九．整式的除法
1．单项式除法单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
2．多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
例29.（1）8a 2b 2c ÷_________=2a 2bc. （2）__________÷73(210)510⨯=-⨯ 例30．计算：
（1）223293m m m m a b
a b +-÷ （2）(7x 3-6x 2+3x)÷3x
（3）232324[(2)(0.5)][(25)()]xy x y z xy xy ⋅÷-。