人教版二次函数的图像和性质PPT课件
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2二次函数的图像和性质~22.PPT课件(人教版)
A．50 m
B．100 m
C．160 m
D．200 m
C
).
22.1 二次函数的图像和性质
分析
建立如图22-1-9所示的平面直角坐标 系, 根据所建平面直角
坐标系的特点可设函数解析 式为y=ax2+c(a≠0). 由题意, 得B(0, 0.5),
C(1, 0), 分别将B, C两点的坐标代入y=ax2+c(a≠0), 得 a=-0.5, c=0.5, ∴函
向下(k<0)平移 |k|个单位长度, 得到的抛物线的函数解析式是
y=a(x-h)2+k.
22.1 二次函数的图像和性质
题型五 二次函数值的大小比较
例题5 已知二次函数y=2(x-1)2+k的图像上 有A(
C(2- , y3)三点, 则y1, y2, y3 的大小关系是(
A．y1>y2>y3
B．y2>y1>y3
数解析式为y=-0.5x2+0.5(-1≤x≤1). 当x=0.2时, y=0.48；当x=0.6时,
y=0.32. ∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×(0.48+0.32)= 1.6(m), ∴所需不锈钢
支柱的总长度至少为1.6×100= 160(m).
22.1 二次函数的图像和性质
第二十二章
二次函数
22.1 二次函数的图像和性质
第二十二章
二次函数
22.1.1 二次函数
2
22.1.2 二次函数y=ax 的图像和性质
2
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的图像
和性质
考场对接
22.1 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax2+k的图像和性质PPT课件(人教版)
a
方向 称 点
轴坐 对 对
标称称
轴轴
左右
侧侧
a＞0
a＜0
2、视察每组中的三个函数图像的位置 关系，后面两个可以分别由第一个图像 进行怎样的平移的到呢？
例如，抛物线y=x²向 平移 个单位得 到 y=x²+1的图像。
8 6 4 2
－4 －2 －2 －4
y 2x2 5
y 2x2
24
y 2x2 3.4
1、把抛物线y＝2x2向上平移5个单位，得
到抛物线是
；向下平移3.4个单
位得到
．
2、抛物线y＝5x²-3的开口向___ ，对称轴
是 ，顶点坐标是
，是由抛物线
y＝5x2向 平移 个单得到的．
3、一条抛物线向上平移2.5个单位得到抛
物线y=½x²，原抛物线是
．
1、抛物线 y=ax²+k 的性质：
性质 开口
视察归纳
2.视察每组的三个图像，归纳并总结它 们的开口方向、对称轴及顶点坐标分别 是什么？
抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴
y=x2 y=x2+1 y=x2-1
1、通过以上问题的解答，你认为形如： y=ax2+k的函数图像是什么形状？它的开口 方向、对称轴和顶点坐标怎样确定？
性质 开口 对 顶 增减性
课后作业
1. 必做题：P14-5、(1) 2. 选做题： 在同一坐标系内画出函数 y=3x²,y=3x²+1，y=3(x+1)²的图象， 分别说出它们的开口方向、对称轴、 顶点坐标，复习回顾
1.二次函数y=ax2的图像是 ，对称 轴是 ，顶点坐标是 ；当a＞0时 开口向 ；当a＜0时开口向 ；。
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
《二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质》二次函数PPT精品课件
和一次项同时提取公因数a，再进行配方会更简便.
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
3. 将二次函数y＝－
1
4
x2＋x＋4写成y＝a(x－h)2＋k的形
式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝－
x2＋x＋4＝－
(x2－4x＋4－4)＋4＝－
(x
－2)2＋5，
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，5)，对称轴为直
线x＝2.
2－_______.
＝（x＋_______）
4
15
2. 配方：y＝2x2－4x＋1
＝2(x2－2x)＋1
＝2(x2－2x＋______________－______________)＋1
1
1
2－______________.
＝2(x－______________)
1
1
课堂导练
【例1】利用配方法把抛物线y＝x2－6x－3化为y＝a（x－h）2
形式，并写出其开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：y＝x2－8x＋16－16＝(x－4)2－16，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（4，－16），对称轴
为直线x＝4.
【例2】用配方法把二次函数y＝x2－x＋2化成顶点式．
解：y＝x2－x＋2＝x2－x＋
即y＝ −
2
＋
－
＋2＝ −
新知探究
课堂小结
这节课你收获了什么？ 还有什么疑惑？
新知探究
新知探究
新知探究
2
＋
，
．
思路点拨：利用一次项系数的一半的平方来凑完全平方式
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT课件
第二十二章 二次函数
∴正方形的边长为
cm，
∴S与C之间的关系式为S =
；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
（4）若S ≥ 4cm2，即 因此C ≥ 8cm.
≥4，解得C，≥或8c≤-8(舍去）.
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题1
已知 0时，y随ห้องสมุดไป่ตู้增大而增大2，则k=
是二次函数，且当x＞ .
分析
是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2 .
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P33：例1+达标训练
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表 表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章 二次函数
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反 ，大小相同，它们 关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质
人教版数学中考复习《二次函数的图象及性质》精品教学课件ppt优秀课件
A(x,y)
B(-x,y)
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
1 1.5
2
...
y=x2
...
4 2.25
1 0.25 0
0.25
1
2.25
4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0
-0.25
-1
-2.25 -4
...
函数图象画法
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
y x2
当当当当xx==xx--==2112时 时时 时，，，，yyyy====--41--14
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而
增大。
当当当当xx==xx--==2112时时时时，，，，yyyy====4114
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而
3
3
( 3,6)
( 3,6)
谢谢观看
Thank You!
这对对这对条称对这对称条称抛，称条称轴抛，物y轴抛，。轴物y线。轴物y就线轴关就线是关就于是关它于是y它于的轴y它的轴y的轴 对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图， 并完成填空。
2、练习2 3、想一想
4、练习4
二次函数y=ax2的性质 １、顶点坐标与对称轴 ２、位置与开口方向 ３、增减性与极值
4. 点的位置及其坐标特征: ①.各象限内的点: ②.各坐标轴上的点: ③.各象限角平分线上的点: ④.对称于坐标轴的两点: ⑤.对称于原点的两点:
y
Q(b,-b)
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
你还记得如何画出一次函数的图像吗？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级数学上册《二次函数的图象与性质》PPT
我们一起用描点法画二次函数y=x2的图象。 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应
的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
做一做
画出 y=-x2 的图象
y ax2
喷泉(1)
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.二次函数的特殊形式：
当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
3.画出函数图像的一般步骤是什么？ （1）列表，（2）描点，（3）链接
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴
3
的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x
的 增大而减小 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0 ,
当x 大于或小于 0时,y<0.
（3）判断下列抛物线开口的大 小
(1)y x2,(2)y 1 x2,(3)y 2x2,(4)y 3x2,(5)y 3x2,(6)y 2x2 2
布置作业
下课了!
（1)想一想：任何一个抛物线的顶点都 是原点吗？对称轴都是y 轴吗？ (2)练习册第（12-14）页
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的 下方(除顶点外) ,它的 开口 向下 ,并且 向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而 减小 ；在 对称轴右侧,y随着x的增大而 增大 .当x=0时函数y的值最 小.
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c=-3 ∴ 16a+4b+c=5
a-b+c=0
a= 解得 b=
c=-3
16a+4b=8 a-b=3
4a+b=2 a-b=3
例题
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） （－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）
解得 a=1 ∴所求二次函数为 y=(x-3)(x+1)
即 y=x2-2x-3
变式2
x=1，y最值=-4
已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
解： 设所求的二次函数为 y=a(x-1)2-4 ∵点( 0,-3)在抛物线上
∴ a-4=-3, ∴ a=1
∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4
c=-3 ∴ 16a+4b+c=5
a-b+c=0
a= 1 解得 b=-2
c=-3
x=0时,y=-3; x=4时,y=5;
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
x=-1时,y=0;
变式1
已知一个二次函数的图象过点（0, -3） （-1,0） （3,0） 三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=a(x-3)(x+1) 依题意得 -3=a(0-3)(0+1)
待定系数法
当抛物线上的点的 坐标未知时， 应根 据题目中的隐含条 件求出点的坐标
（-3，0）C
y
B（0，3）
D
A(1，0)
O
x
达标检测
根据条件求出下列二次函数解析式：
（1）过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6； （2）如图所示，
O
－1
2
－1
拓展延伸
数学是来源于生活又服务于生活的.
小燕去参观一个蔬菜大棚，大棚的横截面为抛物线，有关数据 如图所示。小燕身高１．４０米，在她不弯腰的情况下，横向 活动范围是多少？
（-4，0）（-6，0）
y=a(x_-_x_1) (x__-_x_2) （a≠0）
(x1,0),( x2,0)
交点式
二次函数常用的几种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知三个点坐标三对对应值，选择一般式
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式。
二 函数
图像和性质
人教版九年级数学下册 授课人：当图网
M
N ３．２米
８米
拓展延伸
y
y 1 (x 4)2 3.2 5
B
3.2
O
8米
Ax
Oy
x
3.2
B
8米
A
y 1 x2 5
y
C
3.2
B O8米
Ax
y 1 x2 3.2 5
拓展延伸
y
C
M
N3.2
x
B
8米
A
二次函数常用的பைடு நூலகம்种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知三个点坐标三对对应值，选择一般式
变式3
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
思考：怎样设二次函数关系式 解：设所求的二次函数为 y=a(x-1)2+k
应用迁移
• 如图，直角△ABC的两条直角边OA、OB的长分别是1和3，将 △AOB绕O点按逆时针方向旋转90°，至△DOC的位置，求过C、B、 A三点的二次函数解析式。
二 函数
图像和性质
人教版九年级数学下册 授课人：当图网
1、已知抛物线y=ax2+bx+c 当x=1时，y=0，则a+b+c=_____0 经过点（-1,0），则_____a_-_b_+_c_=_0 经过点（0,-3），则_______c_=_-3__ 经过点（4,5），则____1_6_a_+_4_b_+_c=5
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件 的特点，恰当地选用一种函数表达式。
待定系数法
一、设 二、代 三、解 四、还原
例题
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） （－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c ∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0）
对称轴为直线x=1，则____-__2b_a___=_1
问题3
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
抛物线解析式
y=2(x-1)(x-3)
抛物线与x轴交点坐标 (x1,0),( x2,0)
（1，0）（3，0）
y=3(x-2)(x+1)
（2，0）（-1，0）
y=-5(x+4)(x+6)