3、有趣的图形数

有趣的图形数

2010-04-29 17:44:11| 分类：数学珍闻| 标签：|字号大中小订阅

古希腊有位数学家叫毕达哥拉斯。他和他的学派在数学上做出了巨大的贡献。毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1表示点，2表示线，3表示面，4表示体。

世间万物无一不是由点、线、面、体所组成，而 1＋2＋3＋4＝10，因此，

10就可以表示宇宙。

毕达哥拉斯把自然数看成是点的化身，尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形的数。下面我们就用这三种数推出一些非常重要的常用公式。

公式一：两个三角形数可以组成一个长方形数：

所以(1＋2＋3＋4＋5)×2＝5×6，即

推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有n＋1个点，

于是得到求连续自然数的和的公式：

公式二：正方形数可以这样划分：

所以1＋3＋5＋7＋9＝52。推而广之，如果正方形数有n层，第n层就有2n －1个点，于是得到求连续奇数和的公式：

1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2

公式三：长方形数可以这样划分：

所以2＋4＋6＋8＋10＝5×(5＋1)。推而广之，如果长方形数有n层，第n 层就有2n个点，于是得到求连续偶数和的公式：

2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)

公式四：正方形数还可以这样划分：

先按横行从1加到5，再按竖列从4加到1，即1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52。推而广之，如果正方形数有n层，于是得到求从1到n再到1的连续

自然数之和的公式：

1＋2＋3＋…＋n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝n2

图形数把抽象的数与直观的图形巧妙地联在一起，这种数形结合的方法是一种重要的常用的数学思想方法。下面我们进一步用这种方法再推出两个比较复杂

一点的重要公式。

公式五：把这5个连续正方形数12、22、32、42、52稍加变形，排成左下方

的“摩天大楼形”：

在它的两侧各加上同样的5个连续正方形数，得到一个像右上方那样的长

方形数。摩天大楼形数等于

12＋22＋32＋42＋52

长方形数是它的3倍。从下往上看，这个长方数有

层。从最上层看，每层有2×5＋1个点。所以长方形数等于

于是

推而广之，就得到求连续平方数的和的公式：

真是妙不可言！

公式六：下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形

拼成的。

观察发现，虽然有两处重叠，不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等，正好可以用重叠的那一层补上空白部分。因此可以说，这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的。所以它的面积等于

1×12＋2×22＋3×32＋4×42＋5×52＝13＋23＋33＋43＋

53

而大正方形的边长等于

面积等于边长的平方。于是

推而广之，就得到求连续立方数的和的公式：

真是不可思议！

上面我们用数形结合与合情推理的方法，妙趣横生地得到了六个非常重要而常用的公式，使我们不能不又一次为数学内在奥秘所陶醉，为她那无与伦比的美

所倾倒。这，就是数学的魅力！