高中数学-函数的平均变化率测试题
人教B版数学选修1-1练习3.1.1函数的平均变化率含解析
3.1导数3.1.1函数的平均变化率课时过关·能力提升1.下列说法错误的是()A.函数的平均变化率可以大于零B.函数的平均变化率可以小于零C.函数的平均变化率可以等于零D.函数的平均变化率不能等于零答案:D2.在曲线y=x2+x上取点P(2,6)及邻近点Q(2+Δx,6+Δy),那A.2+ΔxB.2Δx+(Δx)2C.Δx+5D.5Δx+(Δx)2解析:因为Δy=(2+Δx)2+(2+Δx)- 6=(Δx)2+5Δx,所x+5,故选C.答案:C3.函数f(x)=2x在x=1附近(即从1到1+Δx之间)的平均变化率是()A.2+ΔxB.2-ΔxC.2D.(Δx)2+2答案:C4.一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为()A.3B.4C.4.1D.0.41解析:利用求平均变化率的方法和步骤来解决.因为Δs=(3+2.12)-(3+22)=0.41,Δt=2.1-2=0.1,所.1.答案:C5.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2答案:C6.已知曲线y Q是曲线上点P附近的一点,则点Q的坐标为.答案7.已知s t从3 s到3. 1 s的平均速度是m/s(g=10 m/s2).解析:因为Δs×3.1×32=3.05(m),Δt=3.1-3. 0=0.1(s),所.5(m/s).答案:30.58.已知函数y=x3,当x=1时.解析:因为Δy=(1+Δx)3-13=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,所Δx)2+3Δx+3.答案:(Δx)2+3Δx+39.求y=f(x x0到x0+Δx之间的平均变化率(x0≠0).分析:利用求平均变化率的方法和步骤直接计算即可.解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率★10.求函数y=f(x)=x3+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并计算当x0=1,Δx.分析:直接利用概念求平均变化率,先求出表达式,再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率.解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率x0Δx+(Δx)2.当x0=1,Δx,平均变化率的值为3×12+3×。
高中数学 111函数的平均变化率同步测试 新人教B版选修22
函数的平均变化率第1题. 2007海南、宁夏文)设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．答案：解：的定义域为．（Ⅰ）．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．第2题. （2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ第3题. （2007海南、宁夏理）设函数．（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．答案：解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是．答案：第5题. (2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即．又由，得．故．解法二：同解法一得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．当时，，当时，；或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．由知是的一个极值点，则．所以．又由，得，故第6题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．答案：第7题. (2007江西理)设在内单调递增，，则是的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：B第8题. （全国卷I理）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围答案：解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．第9题. (2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A第10题. (2007全国I文)设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．答案：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．第11题. (2007全国II理)已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．答案：解：（1）求函数的导数：．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．第12题. (2007陕西理)设函数，其中为实数．（I）若的定义域为，求的取值范围；（II）当的定义域为时，求的单调减区间．答案：解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．第13题. (2007浙江理)设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．答案：（I）解：．由，得．因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得．当时，，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．方法二：对任意固定的，令，则，由，得．当时，．当时，，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．即存在正实数，使得对任意正实数成立．下面证明的唯一性：当，，时，，，由（i）得，，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，第15题. (2007安徽文)设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值．答案：解：（I）我们有．由于，，故当时，达到其最小值，即．（II）我们有．由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．第16题. 设，．（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有答案：（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．第17题. (2007天津理)已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．答案：（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．第18题. (2007天津理)已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．答案：（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．答案：解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．第20题. (2007广东文)函数的单调递增区间是．答案：第21题. (2007广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．（1）求的值；（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．答案：解：(1) 由得(2)又数列是一个首项为，公比为2的等比数列；第22题. (2007山东理)设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．答案：解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立．第23题. (2007四川理)设函数（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数，证明（是的导函数）；（Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。
1.1.1函数的平均变化率
x
x
2(2 x)
lim x0
y x
lim[1
x0
2(2
1
] x)
1
1 4
3 4
,
y
|x2
3 4
.
基本方法:
思考5：由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0 );
2. 求平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) ;
思考3：同学们能用数 形给合的思想进行验
证吗？
探 究: h(t) 4.9t2 6.5t 10
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
t 0
9.8t0
6.5)
0 0.5 1.0
65 2.0
49
T 【s】
h(t) 4.9t2 6.5t 10
思考2：当△t趋近于 0时，平均速度有什 么样的变化趋势？
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051当△t = 0.01时, v 13.149
跳水运动中,运动员从t 到t 这段内的平均速度： 12
h(t) 4.9t2 6.5t 10 v h h(t2 ) h(t1)
H 【m】
t
t2 t1
当0 t 0.5时, v 4.05(m / s)
高中数学 111函数的平均变化率综合测试 新人教B版选修2-2
函数的平均变化率一、选择题(共12小题，每题5分,共60分)y=x2co sx的导数为…………………………………………………………………【】A. y′=2x co sx－x2s i nxB. y′=2x co sx+x2s i nxC. y′=x2co sx－2xs i nxD. y′=x co sx－x2s i nx ……………………………………………………………………【】A. 导数为零的点确定是极值点…………………………………………………………【】B. 假设在四周的左侧，右侧，那么是极大值C. 假设在四周的左侧，右侧，那么是微小值D. 假设在四周的左侧，右侧，那么是极大值3. 曲线与坐标轴围成的面积是…………………………………【】A.4B.，的最大值是…………………………………………【】A.1B. C5. 假设10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，那么抑制弹力所做的功为…………………………………………………………【】A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J6. 给出以下命题：⑴假设，那么f(x)>0；⑵;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，那么；其中正确命题的个数为…【】A. 1B. 2C. 3D. 07. 假设函数是R上的单调函数，那么实数m的取值范围是………【】A. B. C. D.8.设0<<b，且f (x)＝，那么以下大小关系式成立的是…………………………【】.A.f ()< f ()<f ()B. f ()<f (b)< f ()C. f ()< f ()<f ()D. f (b)< f ()<f ()9. 函数在区间内是减函数，那么应满足………………………【】Ａ．且Ｂ．且Ｃ．且Ｄ．且10. 与是定义在上的两个可导函数，假设与满足，那么与满足…………………………………………………………………………………………【】Ａ．Ｂ．为常数函数Ｃ．Ｄ．为常数函数11. (2007江苏)二次函数的导数为，，对于任意实数，有，那么的最小值为…………………………………………………………………【】Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12. (2007江西理)设函数是上以5为周期的可导偶函数，那么曲线在处的切线的斜率为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题(共4小题，每题5分,共20分)y=2x3－3x2共有____个极值.14．为一次函数，且，那么=_______..15. 假设，那么___________.16. 函数处取得极值，并且它的图象与直线在点〔1，0〕处相切，那么函数的表达式为__ __m2.三、解答题〔共74分〕17．〔本小题总分值10分〕一物体沿直线以速度〔的单位为:秒,的单位为:米/秒〕的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?18. 〔本小题总分值12分〕曲线y = x3 + x－2 在点P0 处的切线平行直线4x－y－1=0，且点P0 在第三象限,⑴求P0的坐标; ⑵假设直线 , 且l 也过切点P0 ,求直线l的方程.19. 〔本小题总分值12分〕函数的图象关于原点成中心对称, 试推断在区间上的单调性,并证明你的结论.20．〔本小题总分值14分〕函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵假设,函数在上的最小值是2 ,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.21．〔本小题总分值12分〕设，．〔Ⅰ〕令，争辩在内的单调性并求极值；〔Ⅱ〕求证：当时，恒有．22．〔本小题总分值14分〕函数〔Ⅰ〕假设，试确定函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；〔Ⅲ〕设函数，求证：．导数及其应用?章节测试题答案一、选择题〔60分〕1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B二、填空题〔16分〕13. 2 14.15. 〔或〕 16、三、解答题〔共74分〕17.解:∵当时,; 当时,.∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程=(米)18.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由得3x2+1=4，解之得x=±x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)∴直线l的方程为即.19. 解: 答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,那么f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=∴当又∵函数在上连续所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.20.解:⑴∵,∴当时,; 当时,∴当时,; 当时,.∴当时,函数.⑵∵由⑴知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=21. 本小题主要考察函数导数的概念与计算，利用导数争辩函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考察综合运用有关学问解决问题的力气．本小题总分值14分．〔Ⅰ〕解：依据求导法那么有，故，于是，列表如下：〔Ⅱ〕证明：由知，的微小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．22．本小题主要考察函数的单调性、极值、导数、不等式等根本学问，考察运用导数争辩函数性质的方法，考察分类争辩、化归以及数形结合等数学思想方法，考察分析问题、解决问题的力气．总分值14分．解：〔Ⅰ〕由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．〔Ⅱ〕由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．〔Ⅲ〕，，，由此得，故．数学科学段测试〔导数局部〕一、选择题〔12小题，共36分〕1、设曲线在点M处切线斜率为3，那么点M的坐标为 ( )A、〔0，－2〕B、〔1，0〕C、〔0，0〕D、〔1，1〕2、抛物线y=x2在点M〔〕的切线的倾斜角是〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°3、将半径为的球加热，假设球的半径增加，那么球体积的平均变化率为〔〕A、 B、C、 D 、4、函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为〔〕A、2B、－2C、0D、－45、设函数的导函数为，且，那么等于 ( )A、 B、 C、 D、6、曲线在点，那么过P点的切线方程为〔〕A、B、C、D、7、f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和微小值，那么a的取值范围为( )A、－1<a<2B、－3<a<6C、a<－1或a>2D、a<－3或a>68、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如以下图所示，那么导函数y=f '(x)可能为〔〕A B C D值范围是〔〕A、B、C、D、10、函数的单调递减区间是〔〕A、〔，+∞〕B、〔－∞，〕C、〔0，〕D、〔e，+∞〕11、方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 ( )A．3 B．2 C．1 D．012、对于R上可导的任意函数f〔x〕，且假设满足〔x－1〕>0，那么必有〔〕A、f〔0〕＋f〔2〕<2f〔1〕B、f〔0〕＋f〔2〕≥2f〔1〕C、f〔0〕＋f〔2〕>2f〔1〕D、f〔0〕＋f〔2〕≥2f〔1〕二、填空题〔4小题，共16分〕13、【文】函数，那么它的单调递增区间是。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
人教B版选修22高中数学1.1.1函数的平均变化率同步练习2
函数的平均变化率一、选择题1．函数错误！超链接引用无效。
的导数错误！超链接引用无效。
（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：D2．已知函数错误！超链接引用无效。
在错误！超链接引用无效。
处有极值，则该函数的一个错误！超链接引用无效。
递增区间是（）错误！超链接引用无效。
A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：B3．曲线错误！超链接引用无效。
在点错误！超链接引用无效。
处的切线与错误！超链接引用无效。
轴、直线错误！超链接引用无效。
所围成的三角形的面积为（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：C4．设错误！超链接引用无效。
，则错误！超链接引用无效。
的值等于（）A．错误！超链接引用无效。
错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：D5．若函错误！超链接引用无效。
数错误！超链接引用无效。
在错误！超链接引用无效。
处的导数值与函数值互为相反数，则错误！超链接引用无效。
的值（）A．等于0 B．等于1 C．等于错误！超链接引用无效。
D．不存在答案：C6．定积错误！超链接引用无效。
分错误！超链接引用无效。
的值等于（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：A7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为错误！超链接引用无效。
，货款的利率为错误！超链接引用无效。
，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为错误！超链接引用无效。
，为使银行获得最大收益，则存款利率为（）A．0.032 B．错误！超链接引用无效。
C．0.04 D．0.036答案：A8．若函数错误！超链接引用无效。
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；例1：1．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为2，则m 等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D2．求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.【答案】320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0＋Δx ，函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆＝3300()x x x x +∆-∆ ＝23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ ＝2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ ＝320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2.举一反三：1．求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2223(1)2y x x x =-+=-+，在区间23[12，2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-， 在区间[2，25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =，求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =，所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3．如图，直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线．(1)若(1,2)P ，(5,7)Q ，求l 的斜率；(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？ 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1)解：因为(1,2)P ，(5,7)Q ，所以725514l k -==-； (2)解：当Q 沿曲线向点P 靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又tan k α=，所以直线l 的斜率变大了；二．瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；当x ∆、△y 都趋向0时。
函数的平均变化率
T（℃）
C（34，33.4）
.30
●
.20
.10
●
. 2 A（1，3. 5）
0 12
10
B（32，18.6）
●
. ..
20
30 34 t（d）
形：曲线的陡峭的程度反映了气温变化的快与慢． 数：如何量化曲线的陡峭程度呢？
T（℃）平均变化率为
直线的斜率
33.4
K yCyC yyBB
xCxC xxBB
C（34，33.4）
函数的平均变化率
y
Δy
Δx
O
x
情境1:
某股民5年时间挣到10万元， 而此后仅用5天时间挣到10万元．
情境2:
姚明身高变化曲线图(部分)
身高
2.26 2.12
● ● ●
1.61
●
●
●
0.8 ●
●
●
●
●
●
●
●
4 7 10 13 16 19 22 年龄
某情市境04问3年:3题月18:日如—4何月2刻0日画气温变变化化曲的线图快（以与3月18慢日作呢为第1？天）
例4．已知函数 f(x) ＝2 x＋1， g(x) ＝―2 x，分别计算在下列 区间上 f(x) 及 g(x)的平均变化率： ⑴ [―3，―1]； ⑵ [0，5].
六、小结：
1、平均变化率
一般地，函数 f在(x区) 间
均变化率为
f (x2 ) f (x1) x2 x1
上 x的1, x2 平
2、平均变化率的几何意义与实际意义；
3、思想方法:①以直代曲； ②数形结合。
七、作业： P7 练习1、2、3、4
例2.水经过虹吸管从容器甲中流向容 器乙（如图），t 秒后容器甲中水的体 积 V（t）= 5×2－0.1t (单位:cm3)，计 算第一个10秒内V的平均变化率.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学-函数的平均变化率测试题
自我小测
1．已知函数y ＝f (x )＝2x ，那么当自变量x 由2变到3
2时，函数值的增量Δy 为( )
A.1
2
B ．－12
C.1
3
D ．－13
2．在曲线y ＝x 2
＋x 上取点P (2,6)及邻近点Q (2＋Δx,6＋Δy )，那么Δy Δx 为( )
A ．2＋Δx
B ．2Δx ＋(Δx )2
C ．Δx ＋5
D ．5Δx ＋(Δx )2
3．某地某天上午9：20的气温为23.40 ℃，下午1：30的气温为15.90 ℃，则在这段时间内的气温变化率为( )
A ．0.03 ℃/min B．－0.03 ℃/min
C ．0.003 ℃/min D．－0.003 ℃/min
4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s ＝3＋t 2
，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A ．3
B ．4
C ．4.1
D ．0.41
5．函数f (x )＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )
A ．k 1＜k 2
B ．k 1＞k 2
C ．k 1＝k 2
D ．无法确定
6．已知函数f (x )＝ax ＋b 在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a ＝__________. 7．已知函数y ＝x 3
，当x ＝1时，Δy Δx
＝__________.
8．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 2
1 200，其中x 为产量数，生产900个单位
到1 000个单位时总成本的平均变化率为__________．
9．求函数y ＝f (x )＝3x 2
＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．
10．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3
.
(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )．
(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
参考答案
1. 答案：Δy ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－f (2)＝232－22＝13. 答案：C
2. 解析：因为Δy ＝(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－6＝(Δx )2
＋5Δx ，所以Δy Δx ＝Δx ＋5，故
选C.
答案：C
3. 解析：15.90－23.40
250＝－0.03.
答案：B
4. 解析：利用求平均变化率的方法和步骤来解决． Δs ＝(3＋2.12
)－(3＋22
)＝0.41， Δt ＝2.1－2＝0.1，所以Δs
Δt ＝4.1.
答案：C
5. 解析：k 1＝(x 0＋Δx )2
－x 20Δx ＝(Δx )2
＋2x 0Δx
Δx
＝Δx ＋2x 0，
k 2＝x 20－(x 0－Δx )2Δx ＝2x 0Δx －(Δx )2
Δx
＝2x 0－Δx ，
k 1－k 2＝(Δx ＋2x 0)－(2x 0－Δx )＝2Δx ，Δx 符号不确定，故无法确定k 1与k 2谁大．
答案：D
6. 解析：平均变化率Δy Δx ＝f (8)－f (1)8－1＝8a ＋b －(a ＋b )
7＝a ＝3.
答案：3
7. 解析：因为Δy ＝(1＋Δx )3
－13
＝(Δx )3
＋3(Δx )2
＋3Δx ， 所以Δy Δx ＝(Δx )2
＋3Δx ＋3.
答案：(Δx )2
＋3Δx ＋3
8. 解析：ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝19
12.
答案：19
12
9. 解：函数y ＝f (x )＝3x 2
＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)
(x 0＋Δx )－x 0
＝[3(x 0＋Δx )2
＋2]－(3x 20＋2)Δx
＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2
Δx
＝6x 0＋3Δx .
当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2
＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
10. 解：(1)因为V ＝43πr 3
，
所以r 3
＝3V
4π，r ＝33V 4π
，
所以r (V )＝33V
4π
.
(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)
1－0＝
33×1
4π－01≈0.62(dm/L)，
函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)
2－1
＝33×24π－
33×14π
≈0.16(dm/L)．
显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．。