初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全

基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线

思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE

思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN

思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E

1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）

A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19

2．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE．

4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示）

（2）AD的取值范围是

小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长．

5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF．

6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C．

求证：∠C=∠BAE．

8．如图，已知D 是△AB C 的边BC 上的一点，CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．（1）若∠B=60°，求∠C 的值；

（2）求证：AD 是∠E A C 的平分线．

9．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠B D A，AE是△AB D 的中线，求证：AC=2AE．

10．已知，如图，AB=AC=BE，CD 为△AB C 中AB 边上的中线，求证：CE=2CD．

11．已知：如图，△AB C 中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT 平分∠BA C 交CM 于D，交BC 于T，过D 作DE∥AB交BC 于E，求证：CT=BE．

12．如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O，且PM∥NQ，可证△PM O≌△

并证明你的结论；(图3 是原题的第2 问)

13．如图，在△AB C 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 的中点，EF∥AD交CA 的延长线于点F，交EF 与于点G．若BG=CF，求证：AD 为△AB C 的角平分线．

14．如图，已知在△AB C 中，∠C AE=∠B，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE．

（1）求证：AC=BD；

（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x 的取值范围．

15．已知在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三

角形，如图，求证：EF=2A D．

1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，

∵AD 是△AB C 的中线，∴B D=CD，

在△AB D 和△ECD 中，，

∴△AB D≌△ECD（SAS），∴AB=CE，

∵AD=7，∴AE=7+7=14，

∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，

2．证明：如图，过点D 作DG∥AE，交BC 于点G；

3．证明：

4．解：（1）如图2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．

在△B ED 和△C AD中，，∴△B ED≌△C AD（SAS）．（2）∵△B ED≌△C AD，∴B E=A C=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，∴2＜2A D＜12，∴1＜AD＜6．

解决问题：如图3 中，

解：延长GE 交CB 的延长线于M．

∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥CM，∴∠A GE=∠M，

在△AEG和△B EM 中，，∴△AEG≌△B EM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，

∵B F=4，∴M F=B F+BM=2+4=6，∴GF=F M=6．

5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．

∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC=D B，

在△AD C 和△GD B中，∴△AD C≌△GD B（SAS），∴∠C AD=∠G，BG=A C

又∵B E=A C，∴B E=BG，∴∠B ED=∠G，

∵∠B ED=∠AEF，∴∠AEF=∠C AD，

即：∠AEF=∠F AE，∴A F=EF．

6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF 和△CE G中，

∵，∴△DEF≌△CE G．∴DF=GC，∠DFE=∠G．

∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．

∵DF=A C，∴GC=A C．∴∠G=∠C AE．∴∠BA E=∠C AE．即AE 平分∠BA C．

7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△AB D 的中线∴B E=ED，在△AB E 与△FDE 中

∵，∴△AB E≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，

∵∠ADB 是△AD C 的外角，∴∠D A C+∠A CD=∠ADB=∠BAD，

∴∠BAE+∠E AD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，

∴∠EFD+∠E A D=∠D A C+∠A CD，∴∠AD F=∠A DC，